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导数题的解题技巧

导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势:

导数应用:导数-函数单调性-函数极值-函数最值-导数的实际应用. 【考点透视】

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.

2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题的最大值和最小值.

【例题解析】

考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.

例1.设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的

取值范围是 .

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

[解答过程]由0,,1;, 1.

1x a

x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/22

11,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

(1)关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点() y x P ,的切线,函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

(2)关于过某点曲线的切线

求曲线y=f(x)过某一点() y x P ,的切线,一般要先设切点坐标,然后列方程组求出切点的坐标.

注意:在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线.曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条.

典型例题

例2.已知曲线y =31x 3

+3

4,则在点P (2,4)的切线方程是_________.

思路启迪:通过求导,求切线斜率.

解答过程: ()4222

=='f ∴切线的斜率为4.

∴切线的方程为y -4=4(x -2),即y =4x -4.

例3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 . [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 例4.已知函数x x x x f 432)(23

++-

=,求过点)0,0(的曲线)(x f y =的切线方程. 答案:4y x =或35

8

y x =

例5.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ,2C 有且只有一

条公切线,求出此时公切线的方程.

思路启迪:先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程:函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ,曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-,即 211)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即 a x x x y ++-=2

222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程,故得

1,1222121+=--=+x x x x ,消去2x 得方程,012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ,即21-=a 时,解得2

11-=x ,此时点P 、Q 重合.

∴当21-=a 时,1C 和2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为1

4y x =- .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.

典型例题

例6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有 个极小值点.

a

b

x

y

)

(x f y '=O

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点.

例7. 设y f x =()为三次函数,且图象关于原点对称,当x =12

时,f x ()的极小值为-1,

求出函数f x ()的解析式.

【思路启迪】先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320,再利用图象关于原点对称确定系数. 【解答过程】设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320,因为其图象关于原点对称,即f x ()-= -f x (),得

ax bx cx d ax bx cx d b d f x ax cx

3232300+++=-+-∴===+,,,即() 由f x ax c '()=+32,

依题意,f a c '()12

34

0=+=,

f a c

()12182

1=+=-, 解之,得a c ==-43,.

故所求函数的解析式为f x x x ()=-433.

例8.函数y x x =+-+243的值域是_____________.

【思路启迪】求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值.此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易.

【解答过程】由24030

x x +≥+≥??

?得,x ≥-2,即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=

+-+=

+-++?+12412323242243

, 又2324282324

x x x x x +-+=

++++, ∴当x ≥-2时,y '>0,

∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数,而f ()-=-21,∴=+-+y x x 243

的值域是[,)-+∞1.

例9.设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,判断函数y=f (x )的单调性.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

(1)当10a -≤≤时,'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减, (2)当0a >时,由'()0,f x =解得1.x a

=

x

1(1,)a -

1a

1

(,)a

+∞ '()f x — 0 +

()f x

极小值

从上表可知

当1(1,)x a

∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减.

当1(,)x a

∈+∞时,'()0,f x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

综上所述:当10a -≤≤时,函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减. 当0a >时,函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减,在1(,)a

+∞上单调递增.

例10.设3=x 是函数

()()

()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点.

(Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()x f 的单调区间; (Ⅱ)设0>a ,()x

e a x g ??

? ??

+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立,求a 的取值范围.

[考查目的]本题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程](Ⅰ)()x f '=-[x 2

+(a -2)x +b -a ]e

3-x

,

由f ‘(3)=0,得 -[32+(a -2)3+b -a ]e 3-3

=0,即得b =-3-2a ,

则 ()x f '=[x 2

+(a -2)x -3-2a -a ]e

3-x

=-[x 2+(a -2)x -3-3a ]e

3-x

=-(x -3)(x +a+1)e

3-x

.

令()x f '=0,得x 1=3或x 2=-a -1,由于x =3是极值点,所以a ≠-4. 当a <-4时 x

(-∞,3)

3 (3,―a ―1) ―a ―1 (―a ―1,+∞) ()x f ' + 0 - 0 + ()x f

∴()x f 的减区间为(-∞,3)、(―a ―1,+∞);增区间为(3,―a ―1). 当a >-4时

()x f 的减区间为(-∞,―a ―1)

、(3,+∞);增区间为(―a ―1,3). (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a >0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)

上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],

而f (0)=-(2a +3)e 3

<0,f (4)=(2a +13)e -1

>0,f (3)=a +6, 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a +3)e 3

,a +6]. 又225()()4

x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数,

且它在区间[0,4]上的值域是[a 2

+4

25,(a 2

+4

25)e 4

],

由于(a 2

+4

25)-(a +6)=a 2

-a +41=(2

1-a )2

≥0,所以只须仅须

(a 2

+425)-(a +6)<1且a >0,解得0

3.

故a 的取值范围是(0,2

3).

例11.已知函数()ln f x x =.

(1)求函数()()1g x f x x =+-的最大值;

(2)若0x ?>,不等式()21f x ax x ≤≤+恒成立,求实数a 的取值范围;

(3)若120x x >>,求证:

()()122

22

12

1

2

2f x f x x x x x x ->

-+. 解:(1)()()()ln 11g x x x x =+->-,则()1111

x

g x x x -'=

-=

++.…………2分 当()1,0x ∈-时,()0g x '>,则()g x 在()1,0-上单调递增; 当()0,x ∈+∞时,()0g x '<,则()g x 在()0,+∞上单调递减,

所以,()g x 在0x =处取得最大值,且最大值为0. ………………………4分 (2)由条件得ln 1x a x

a x x ?

≥????≤+

??

在0x >上恒成立. ………………………6分

设()ln x h x x =

,则()21ln x

h x x

-'=. 当()1,x e ∈时,()0h x '>;当(),x e ∈+∞时,()0h x '<,所以,()1

h x e ≤.

要使()f x ax ≤恒成立,必须1

a e

≥. ………………………8分 另一方面,当0x >时,1

2x x

+

≥,要使21ax x ≤+恒成立,必须2a ≤. 所以,满足条件的a 的取值范围是1,2e ??

????. ………………………10分

(3)当120x x >>时,不等式

()()122

22

12

122f x f x x x x x x ->-+等价于1

12212

2

2

2

ln ()1x x x x x x ->-.…12分 令12x t x =,设()()222

ln 11t t t t t μ-=->+,则()()()()

2

2221101t t t t t μ-+'=>+, ()t μ∴在()1,+∞上单调递增,()()10t μμ∴>=,

所以,原不等式成立. ………………………16分 例12.已知函数()θθcos 16

3

cos 3423+

-=x x x f ,其中θ,R x ∈为参数,且πθ20≤≤. (1)当时0cos =θ,判断函数()x f 是否有极值;

(2)要使函数()f x 的极小值大于零,求参数θ的取值范围;

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增

函数,求实数a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程](Ⅰ)当cos 0θ=时,3()4f x x =,则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数,故无极值.

(Ⅱ)2'()126cos f x x x θ=-,令'()0f x =,得12cos 0,2

x x θ==.

由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时,随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表: x

(,0)-∞

0 cos (0,

)2

θ

cos 2

θ cos (

,)2

θ

+∞ '()f x + 0 - 0 + ()f x

极大值

极小值

因此,函数()f x 在cos 2x θ=处取得极小值cos f()2θ,且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.

要使cos ()02

f θ>,必有213cos (cos )04

4

θθ-->,可得30cos 2

θ<<.

由于30cos 2

θ≤≤,故3116

2

2

6

ππππθθ<<<<或.

②当时cos 0θ<,随x 的变化,'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表:

x cos (,)2

θ-∞

cos 2

θ

cos (,0)2

θ

0 (0,)

+∞

'()

f x

+ 0 - 0 +

()

f x

极大值

极小值

因此,函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ,且3(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >,则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时,()f x 的极小值不会大于零. 综上,要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零,参数θ的取值范围为

311(,)(,)6226

ππππ?.

(III )解:由(II )知,函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2

θ+∞内都是增函数.

由题设,函数()(21,)f x a a -在内是增函数,则a 须满足不等式组

210

a a a -<≤

211

21cos 2

a a a θ

-<-≥

由(II ),参数时311(,)(,)6226ππππθ∈?时,30cos 2

θ<<.要使不等式1

21cos 2a θ-≥关

于参数θ恒成立,必有3214

a -≥,即438

a +≤.

综上,解得0a ≤或4318

a +≤<.

所以a 的取值范围是43

(,0)[,1)8

+-∞?.

考点4 导数的实际应用 典型例题

例13.有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器 (切、焊损耗不计).有人应用数学知识作了如下设计:如图(a ),在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方形,该长方体的高为小正方形的边长,如图(b ).

请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积1V ; 由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积12V V >.

解:(1)设切去的正方形边长为x ,则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x ,所以, )44(4)24(2321x x x x x V +-=-=,)20(<

∴)483(421'+-=x x V .

令01'=V ,得2,3

221==x x (舍去).

而)2)(3

2(121'--=x x V ,

又当3

2V .

当23

2<

∴当3

2=x 时, 1V 取最大值27

128.

(2)重新设计方案如下:

如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器.

图223图

1

4231

图x

x a b

新焊成的长方体容器底面是一个长方形,长为3,宽为2,此长方体容积 61232=??=V ,显然12V V >.

故第二种方案符合要求.

例14.如图1,OA ,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ,OB 平行的栈桥MG ,MK ,且以MG ,MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系,测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤,曲线EF 的方程是200(0)xy x =>,设点M 的坐标为(,)s t .(题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防波堤都不

计宽度)

(1)求三角形观光平台MGK 面积的最小值;

(2)若要使MGK ?的面积不小于320平方米,求t 的范围.

【解析】先求出平台MGK 面积的表达式,也就是目标函数,是包含s t 和两个未知数的函数,恰好st 是一个整体,可用换元法转化为只含有一个未知数的函数,先应用基本不等式求出st (函数自变量)的取值范围,再利用导数判断函数的单调性,最后利用单调性求出函数的最小值.第(2)问需要根据第(1)问中函数的单调性求出st 的取值范围,再代入消元,解出t 的范围

(1)由题意,得),200

(),200,

(t t

G s s K , (0,0)s t >>, 又因为(,)M s t 在线段CD :220(020)x y x +=≤≤上, 所以220(020)s t s +=<<,

11200200140000

()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st

?=

??=--=+-……………4分 由st t s 22220≥+=,得050st <≤,当且仅当10s =,5t =时等号成立.

[来源:学*科*网]

图图2

……………………………………6分

令st u =,则140000()(400)2MGK f u S u u

?==+-,(0,50]u ∈. 又0)40000

1(21)(2'

<-=

u

u f ,故()f u 在(0,50]上单调递减, (注意:若()f u 在(0,50]上单调递减未证明扣1分)

所以min ()(50)225f u f ==,此时10s =,5t =.

所以三角形MGK 面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分 (2)由题意得()320f u ≥,

140000(400)3202u u

+-=,解得40u =或1000u =(舍去), 由(1)知40st ≤, ……………………………………14分

即(202)40t t -≤,解之得5555t -+≤≤.

所以t 的范围是[55,55]-+.………………………………………………………16分

【专题训练与高考预测】 一、填空题

1.函数f (x )=log a (3x 2

+5x -2)(a >0且a ≠1)的单调区间_________.

2.在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大. 二、解答题

3.设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2

+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值;

(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值,并说明理由.

4.设关于x 的方程2x 2

-ax -2=0的两根为α、β(α<β),函数f (x )=1

42+-x a x .

(1)求f (α)·f (β)的值;

(2)证明f (x )是[α,β]上的增函数;

(3)当a 为何值时,f (x )在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小? 5已知函数)0()(>+=x x

t

x x f ,过点P(1,0)作曲线)(x f y =的两条切线PM ,PN ,切点分别为M ,N .

(1)当2=t 时,求函数)(x f 的单调递增区间;

(2)设|MN |=)(t g ,试求函数)(t g 的表达式;

(3)在(2)的条件下,若对任意的正整数n ,在区间]64

,2[n

n +

内,总存在m +1个数,,,,,121+m m a a a a 使

得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立,求m 的最大值.

6.如图,在半径为30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ,其中点A 、B 在直径上,点C 、D 在圆周上.

(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大?并

求最大面积;

(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.

【参考答案】

1.解析:函数的定义域是x >3

1或x <-2,f ′(x )=

2

53log 2-+x x e a .(3x 2+5x -2)′

=)

2)(13(log )56(+-?+x x e x a ,

①若a >1,则当x >3

1时,log a e >0,6x +5>0,(3x -1)(x +2)>0,∴f ′(x )>0,∴函数f (x )

在(3

1,+∞)上是增函数,x <-2时,f ′(x )<0.∴函数f (x )在(-∞,-2)上是减函数.

②若0<a <1,则当x >3

1时,f ′(x )<0,∴f (x )在(3

1,+∞)上是减函数,当x <-2时,

f ′(x )>0,∴f (x )在(-∞,-2)上是增函数.

答案:(-∞,-2)

2.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x ,高为h ,那么h =AO +BO =R +22x R -,解得

x 2=h (2R -h ),于是内接三角形的面积为 S =x ·h =

,)2()2(432h Rh h h Rh -=?-

从而)2()2(2

14321

43'--='-h Rh h Rh S

323221

43)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=--=-.

令S ′=0,解得h =2

3R ,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R )上列表如下:

h (0,

2

3R ) 2

3R (2

3,2R

) S ′ + 0 - S

增函数

最大值

减函数

由此表可知,当x =2

3R 时,等腰三角形面积最大. 答案:2

3R

3.解:f ′(x )=x

a +2bx +1,

(1) 由极值点的必要条件可知:f ′(1)=f ′(2)=0,即a +2b +1=0,且2

a +4

b +1=0,

解方程组可得a =-3

2,b =-61,∴f (x )=-32ln x -6

1x 2

+x,

(2)f ′(x )=-3

2x -1

-3

1x +1,当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,当x ∈(1,2)时,f ′(x )>0,当x

∈(2,+∞)时,f ′(x )<0,故在x =1处函数f (x )取得极小值6

5,在x =2处函数取得极大值3

4-

3

2ln2. 4.解:(1)f (α)=

a

a -+-1682

,f (β)=

a

a ++-1682

,f (α)=f (β)=4,

(2)设φ(x )=2x 2

-ax -2,则当α<x <β时,φ(x )<0,

2222222)1()4(2)1(4)1()1)(4()1()4()(+--+=

+'+--+'-='x a x x x x x a x x a x x f

0)1()

(2)1()22(22

2222>+-=++--=x x x ax x ?.

∴函数f (x )在(α,β)上是增函数.

(3)函数f (x )在[α,β]上最大值f (β)>0,最小值f (α)<0, ∵|f (α)·f (β)|=4,∴当且仅当f (β)=-f (α)=2时,f (β)-f (α)=|f (β)|+|f (α)|取最小值4,此时a =0,f (β)=2.

5. 解:(1)当,2)(,2x x x f t +==时 02

21)(2

22>-=-='x

x x x f 2,2x x ><-解得或.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞-

(2)设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ,

)

1(.

02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(121121

1112

111

2=-+--=+-∴--=+-∴-

='t tx x x x t

x t x P PM x x x t

x t x y PM x t x f 即有过点切线又的方程为切线

同理,由切线PN 也过点(1,0),得.0222

2=-+t tx x (2)

由(1)、(2),可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根,

(*)

.

22121??

?-=?-=+∴t x x t x x

])1(1[)()()(||2

2

122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--+

+-= ])1(1][4)[(2

2

121221x x t x x x x -

+-+

把(*)式代入,得,2020||2t t MN +=

因此,函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为

(3)易知]64

,2[)(n

n t g +

在区间上为增函数, 12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().

()()()(),

i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+?≤++++++< 则对一切正整数成立

恒成立对一切的正整数不等式n n

n g g m )64

()2(+

,)64(20)64(2022022022n

n n n m +++

.3

136

.3

136]1616[61)]64

()64[(61,1664)]64

()64[(61222<

∴=+≥+++∴≥++++

n n n m 恒成立对一切的正整数即

由于m 为正整数,6≤∴m .

又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+

因此,m 的最大值为6.

6.【解析】本题主要考查建立数学模型的能力,同时考查利用所学知识(本题主要应用导数、基本不等式等知识求最值)分析和解决实际问题的能力. (1)(方法一)连结OC .

设BC x =,矩形ABCD 的面积为S .

则22900AB x =-,其中030x <<.……………2分

所以22222

29002(900)(900)900S x x x x x x =-=-≤+-=. ………4分

当且仅当22900x x =-,即152x =时,S 取最大值为2

900cm .

答:取BC 为152cm 时,矩形ABCD 的面积最大,最大值为2

900cm .……6分 (方法二)连结OC .设BOC θ∠=,矩形ABCD 的面积为S . 则30sin ,30cos BC OB θθ==,其中02

π

θ<<

.………………………2分

所以2900sin 2S AB BC OB BC θ=== .…………………………………4分 所以当sin 21θ=,即4

π

θ=

时,S 取最大值为2

900cm ,此时152BC =

答:取BC 为152cm 时,矩形ABCD 的面积最大,最大值为2

900cm .……………6分 (2)(方法一)设圆柱底面半径为r ,高为x ,体积为V . 由2

29002AB x r π=-=,得2

900x r π

-=,

所以2

31

(900)V r h x x ππ

==-,其中030x <<.……………………………10分

由21

(9003)0V x π

'=

-=,得103x =, 因此31

(900)V x x π

=

-在(0,103)上是增函数,在(103,30)上是减函数.………12分

所以当103x =时,V 的最大值为

60003

π

答:取BC 为103cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为

360003

cm π……14分

(方法二)连结OC .设BOC θ∠=,圆柱底面半径为r ,高为h ,体积为V 则圆柱的底面半径为30cos r θ

π

=,高30sin h θ=,其中02

π

θ<<

所以2

2327000

27000

sin cos (sin sin )V r h πθθθθπ

π

==

=

-………………10分 设sin t θ=,则327000

()V t t π

=

-.由227000

(13)0V t π

'=

-=,得33

t =

, 因此327000

()V t t π

=

-在3(0,

)3上是增函数,在3

(,1)3

是减函数…………12分 所以当33t =

时,即3sin 3θ=,此时103BC =时,V 的最大值为

3

60003cm π

答:取BC 为103cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为360003

cm π

……14分

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