导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势:
导数应用:导数-函数单调性-函数极值-函数最值-导数的实际应用. 【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的
取值范围是 .
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由0,,1;, 1.
1x a
x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时
()()()
/
/22
11,0.11111.
x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>
考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点() y x P ,的切线,函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于过某点曲线的切线
求曲线y=f(x)过某一点() y x P ,的切线,一般要先设切点坐标,然后列方程组求出切点的坐标.
注意:在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线.曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条.
典型例题
例2.已知曲线y =31x 3
+3
4,则在点P (2,4)的切线方程是_________.
思路启迪:通过求导,求切线斜率.
解答过程: ()4222
=='f ∴切线的斜率为4.
∴切线的方程为y -4=4(x -2),即y =4x -4.
例3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 . [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 例4.已知函数x x x x f 432)(23
++-
=,求过点)0,0(的曲线)(x f y =的切线方程. 答案:4y x =或35
8
y x =
例5.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ,2C 有且只有一
条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.
解答过程:函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ,曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-,即 211)1(2x x x y -+= ①
曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即 a x x x y ++-=2
222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程,故得
1,1222121+=--=+x x x x ,消去2x 得方程,012212
1=+++a x x
若△=0)1(244=+?-a ,即21-=a 时,解得2
11-=x ,此时点P 、Q 重合.
∴当21-=a 时,1C 和2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为1
4y x =- .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.
典型例题
例6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有 个极小值点.
a
b
x
y
)
(x f y '=O
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点.
例7. 设y f x =()为三次函数,且图象关于原点对称,当x =12
时,f x ()的极小值为-1,
求出函数f x ()的解析式.
【思路启迪】先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320,再利用图象关于原点对称确定系数. 【解答过程】设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320,因为其图象关于原点对称,即f x ()-= -f x (),得
ax bx cx d ax bx cx d b d f x ax cx
3232300+++=-+-∴===+,,,即() 由f x ax c '()=+32,
依题意,f a c '()12
34
0=+=,
f a c
()12182
1=+=-, 解之,得a c ==-43,.
故所求函数的解析式为f x x x ()=-433.
例8.函数y x x =+-+243的值域是_____________.
【思路启迪】求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值.此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易.
【解答过程】由24030
x x +≥+≥??
?得,x ≥-2,即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=
+-+=
+-++?+12412323242243
, 又2324282324
x x x x x +-+=
++++, ∴当x ≥-2时,y '>0,
∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数,而f ()-=-21,∴=+-+y x x 243
的值域是[,)-+∞1.
例9.设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,判断函数y=f (x )的单调性.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1
ax f x a x -=≥-+
(1)当10a -≤≤时,'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减, (2)当0a >时,由'()0,f x =解得1.x a
=
x
1(1,)a -
1a
1
(,)a
+∞ '()f x — 0 +
()f x
极小值
从上表可知
当1(1,)x a
∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a
-上单调递减.
当1(,)x a
∈+∞时,'()0,f x >函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增.
综上所述:当10a -≤≤时,函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减. 当0a >时,函数()f x 在1(1,)a
-上单调递减,在1(,)a
+∞上单调递增.
例10.设3=x 是函数
()()
()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点.
(Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()x f 的单调区间; (Ⅱ)设0>a ,()x
e a x g ??
? ??
+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立,求a 的取值范围.
[考查目的]本题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)()x f '=-[x 2
+(a -2)x +b -a ]e
3-x
,
由f ‘(3)=0,得 -[32+(a -2)3+b -a ]e 3-3
=0,即得b =-3-2a ,
则 ()x f '=[x 2
+(a -2)x -3-2a -a ]e
3-x
=-[x 2+(a -2)x -3-3a ]e
3-x
=-(x -3)(x +a+1)e
3-x
.
令()x f '=0,得x 1=3或x 2=-a -1,由于x =3是极值点,所以a ≠-4. 当a <-4时 x
(-∞,3)
3 (3,―a ―1) ―a ―1 (―a ―1,+∞) ()x f ' + 0 - 0 + ()x f
∴()x f 的减区间为(-∞,3)、(―a ―1,+∞);增区间为(3,―a ―1). 当a >-4时
()x f 的减区间为(-∞,―a ―1)
、(3,+∞);增区间为(―a ―1,3). (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a >0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)
上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
而f (0)=-(2a +3)e 3
<0,f (4)=(2a +13)e -1
>0,f (3)=a +6, 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a +3)e 3
,a +6]. 又225()()4
x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a 2
+4
25,(a 2
+4
25)e 4
],
由于(a 2
+4
25)-(a +6)=a 2
-a +41=(2
1-a )2
≥0,所以只须仅须
(a 2