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广东省佛山市顺德区高三数学第一轮复习函数单调性及奇偶性导学案理

课题：函数单调性及奇偶性

编制人：审核：下科行政：

【学习目标】

1、理解函数单调性，最大值、最小值及其几何意义；

2、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；

3、会运用函数图象理解研究函数的性质。

【课前预习案】

一、基础知识梳理

2、函数奇偶性

如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个自变量x ，都有，则函

数)(x f 为偶函数，都有，则)(x f 为奇函数。奇函数图象关于对称，偶函数图象关于对称。

3、函数周期性：对于函数)(x f y =，若存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任何值时，都有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数。

二、练一练

1、下列四个函数中，在),0(+∞上为增函数的是（）

(A) x y )2

1(= (B)x y 2log -= (C) x x y 22

-= (D) 21

x y =

2、函数x x

x f -=

)(的图象关于（） (A) Y 轴对称 (B)直线y=-x 对称 (C) 坐标原点对称 (D) 直线y=x 对称 3、已知函数32)1()(2

++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)3,5(--上（）

(A) 先减后增 (B)先增后减 (C) 单调递减 (D) 单调递增

4、若偶函数)(x f 在]1,(--∞上是增函数，则下列式子中成立的是（）

(A) )2()1(}2

(f f f <-<- (B))2()2

3()1(f f f <-<-

()2(-<-

【课内探究】

一、讨论、展示、点评、质疑探究一函数的单调性问题例1（1）讨论函数)0(2

)(<-=m m mx

x f 的单调性

（2）求函数)32(log 2

1+--=x x y 的单调区间

拓展1、已知定义在区间),0(+∞上的函数)(x f 满足)()()(

212

x f x f x x f -=,且当1>x 时，0)(>x f

（1）求)1(f 的值，并判断)(x f 的单调性（2）若2)4(=f ，求)(x f 在]16,5[上的最大值

探究二、函数奇偶性的问他你例2、判断下列函数的奇偶性（1）)1(log )(22++

=x x x f （2）33)(22-+-=x x x f

（3）?????>+-<+=)

0()

0()(2

2x x x x x x x f （4）334)(2-+-=x x x f （5）2)(2

+-+=a x x x f

拓展二、函数2

1)(x

b ax x f ++=是定义在（-1，1）上的奇函数，52

)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式

（2）用定义证明)(x f 在（-1，1）是增函数（3）解不等式0)()1(<+-t f t f

二总结提升 1、知识方面

2、数学思想方面

【课后训练案】

一．选择题

1、下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是（）

（A ）3x y = （B ）1+=x y （C ）12

+-=x y （D ）x

y -=2

2、下列函数中非奇非偶的函数是（）

(A)x

y 2= (B))1lg(2++=x x y

(C)x

y -+=2

2 (D)1

1lg

+=x y 3、已知函数)(x f 对一切R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，则)(x f 为（） (A)偶函数 (B)奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶

4、已知函数)10(log )(≠>+=a a x a x f a x 且在]2,1[上的最大值和最小值之和为

62log +a ，则a 的值为（）

(A)

21 (B) 4

(A))6()4(->f f (B))6()4(-<-f f (C))6()4(->-f f (D))6()4(-

()12(f x f <-的x 的范围是（）

(A))32,31( (B))32,31[ (C))32,21( (D))3

2,21[ 7、若函数a x x x f +-=2

)(为偶函数，则实数

a = 。

8、若函数2)(+-=b x a x f 在),0[+∞上是增函数，则实数b a ,的取值范围是。

9、已知定义在R 上的函数)(x f 满足)0(2)(2

≥+=x x x x f ，若)2()3(2

a f a f >-，则实数a 的范围是。

10、已知函数)(x f y =在),0(+∞上为增函数且0)(

)(x f x F =在),0(+∞上单调性，并证明。

11、已知函数)0()(2≠+

=x x

x x f （1）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由

（2）若2)1(=f ，试判断)(x f 在),2[+∞上单调性

12、已知函数)(x f y =的定义域为R ，且对任意R b a ∈,都有)()()(b f a f b a f +=+，且当0>x 时，0)(

（1）证明：函数)(x f y =是R 上的减函数（2）证明：函数)(x f y =是奇函数

（3）试求函数)(x f y =在*),](,[N n m n m ∈上的值域。

函数的奇偶性教学设计

《函数的奇偶性》教学设计五华县高级中学叶双霞教材来源：人教版高中数学必修一一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基木性质”的第2小节。函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。尝试画出f(x) = χ2和f(x)=∣x∣的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性?从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，乂是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中己经学习了轴对称图形和中心对称图形, 并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。三、教学目标【知识与技能】 1. 理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义； 2. 能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。【过程与方法】通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。【情感、态度与价值观】 1. 在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力： 2?通过H主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

. 教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。五、教学方法引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 PPT 课件。七、教学过程 (一) 情境导入、观察图像设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？ ” 生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下f(x) = X 2和f(x)=∣x ∣的图像，并一起探究儿个问题。” (二) 探究新知、形成概念探究1 ?观察下列两个函数f(x) = X 2和f(x)=仪|的图象,它们有什么共同特征吗? !1! 六、教学手出示一组轴对称和中心对称的图片。

自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0

6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;

(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础

1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说f (x )在定义域上是增函数；乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间，丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；

函数的单调性及奇偶性(含答案)

函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.，答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1

C.0 D.±1 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.

函数的奇偶性导学案

1.3.2奇偶性【学习目标导航】 1．结合具体函数，了解奇函数，偶函数的定义． 2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系． 3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．【学习重、难点】 1．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点) 2．函数奇偶性的应用．(难点) 【问题提出导入新知】 1.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题：（1）f (x)＝x2（2）g(x)＝|x| （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）关于y轴对称的点的坐标有什么关系吗？（3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于y轴的对称点(—x, f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？ )= ；)= 这时我们称函数f (x)＝x2与g(x)＝|x|为偶函数。（5）偶函数的定义：如果对于函数f (x)的，都有，那么函数f (x)就叫做偶函数。偶函数的图象特征：图象关于对称。 2.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题： 1 （1）f (x)＝x（2）g(x)＝ x （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）关于原点对称的点的坐标有什么关系吗？（3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于原点的对称点(—x, —f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？

对于R 内的任意的一个x ，都有f (—x )= ；g (—x )= 这时我们称函数f (x )＝x 与g (x )＝ x 1 为奇函数。（5）奇函数的定义：如果对于函数f (x )的，都有，那么函数f (x )就叫做奇函数。奇函数的图象特征：奇函数的图象关于对称。 3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性，回答下列问题：（1）奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的x ”中的“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？（2）－x 与x 两个数在数轴上所表示的点有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？得出结论： (3)如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，能否判断它的奇偶性？得出结论： (4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？得出结论：【典例分析】【例1】判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝x ＋x 3＋x 5； (2) f (x )＝x 2＋1； (3) f (x )＝x ＋1； (4) f (x )＝x 2，x ∈[－1, 3]； (5) f (x )＝0； (6) f (x )＝5. （注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0常函数. 前提是定义域关于原点对称）. 【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：。【活学活用1】判断下列函数的奇偶性： (2) f(x)=2x 4+3x 2； (5) f(x)=x 3+2x ； (6)2 211)(x x x f -+-= 【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。 (3)()f x =(4)()f x = 1(1)()f x x x =-

抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析[1]

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析 1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（）（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5. 例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。 2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(1998 1x x f =试比较)1998( f 、)17101(f 、)15 104(f 的大小. 3、求函数解析式例 4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当 0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，. 4)3(2)(2 +--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在

函数单调性和奇偶性总结复习

课次教学计划（教案）课题函数的单调性和奇偶性教学目标1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别2.结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性教学策略重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学策略：讲练结合，查漏补缺函数的单调性 1.例1：观察y=x2的图象，回答下列问题问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随着x的增加，y值在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1f(x2). 那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f（x）＝－x2＋2x＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m］上是增函数时,数m的取值围.

专题抽象函数的单调性和奇偶性应用

抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。

《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修)

1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称；（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即

最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。分段函数的奇偶性 3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于

高中数学_函数的奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.4《函数的奇偶性》一、教材分析（一）教材所处的地位和作用函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节，函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。（二）学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．（三）教学目标基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标：【知识与技能】 1．理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2．能判断一些简单函数的奇偶性。

【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。（四）教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。难点：对函数奇偶性概念理解与认识。二、教法与学法分析（一）教法根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主

9运用函数地单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版

教学容概要

教学容【知识精讲】一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型：()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=??? ? ??。 ⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+= +1。如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。二、奇偶函数的性质：

奇函数：（1）()()f x f x -=-；（2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =；（3）图像关于原点对称；（4）y 轴左右两侧的单调性相同；偶函数：（1）()()f x f x -=；（3）图像关于y 轴对称；（4）y 轴左右两侧的单调性相反；三、函数单调性的逆用：若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x .(1x 2,x D ∈). 四、不等式恒成立问题的解法若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。【经典例题】

(完整版)函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<，则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0

函数奇偶性与单调性

一、函数的奇偶性奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数； ()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数. 性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言; (2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分) (3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分) (4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数?()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数?函数()f x 图像关于原点对称；函数()f x 是偶函数?函数()f x 图像关于y 轴对称. (6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =则在D 上有:

(7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数?偶次项系数全为0；多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数?奇次项系数全为0. 二、函数的单调性单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间. 性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式： ① ()() ()121200f x f x x x ->?>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x -->

高中数学必修1人教A教案导学案1.3.2函数的奇偶性

1 1. 3.2函数的奇偶性【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性；【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】（一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2 ()f x x = ()||1f x x =- 21 ()x x x = 通过讨论归纳：函数2 ()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数2 1 ()f x x = 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．（二）研探新知函数的奇偶性定义： 1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数

2 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2 ()[1,2]f x x x =∈- （2）32()1x x f x x -=- 解：函数2 (),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．函数32 ()1 x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称．点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。变式训练1 （1）、x x x f +=3 )( （2）、1 1 ) 1()(-+-=x x x x f （3）、 2224)(x x x f -+-= 解：（1）、函数的定义域为R ，)()()()(3 3 x f x x x x x f -=--=-+-=- 所以)(x f 为奇函数（2）、函数的定义域为}11|{-≤>x x x 或，定义域关于原点不对称，所以)(x f 为非奇非偶函数（3）、函数的定义域为{-2，2},)()(0)(x f x f x f -===-,所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数例2．判断下列函数的奇偶性（1）4 ()f x x = （2）5 ()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21 ()f x x = 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论：

专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明.

特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (ｋ≠0) f(x+y)＝f(x)＋ｆ（y) 幂函数ｆ（ｘ)=x n f(xy)=f （x)f(y) ［或) y (f )x (f )y x (f = ] 指数函数 f(ｘ）=a x (a>０且a ≠1）ｆ(x+y ）=f(x ）ｆ(ｙ) [) y (f )x (f )y x (f = -或对数函数 f(x ）=lo ｇa ｘ (a 〉0且ａ≠1) f(xy)=f(x ）+ｆ(y) ［)]y (f )x (f )y x (f -=或正、余弦函数 f(x ）=si ｎx f （ｘ)=cosx f(ｘ+T ）=f(x ）正切函数 f(x ）＝ｔanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(ｘ)＝co ｔx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 1。已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠，求证()f x 为偶函数。证明：令x =0，则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y ＝0则2(0)f =２(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =１∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。２．奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。解：由2 (1)(1)0f m f m -+-<得2 (1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2 (1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在（—1，1)内递减,∴2 21111110111m m m m m -<--? 3。如果()f x =2 ax bx c ++(a 〉0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2 ax bx c ++的对称轴又∵其开口向上∴f （2）最小，f （1)=f (3)∵在［２,+∞）上,()f x 为增函数 ∴f （3）〈f （4),∴f (2）〈f (1）〈f (4） 4。已知函数f (x ）对任意实数ｘ,y ,均有ｆ(x +y )＝f (x )＋f (y ),且当x >0时，f (ｘ)＞０，f (－1）=－2,求f (x )在区间［－2，1]上的值域。分析:由题设可知，函数f (x )是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域,关键在于研究它的单调性。解：设，∵当 ,∴ ， ∵, ∴ ，即,∴f （x )为增函数. 在条件中,令y ＝－x ,则，再令x ＝ｙ=０,则f (０）=２ f (0)，∴f （0）＝0,故ｆ（－ｘ)＝f (x ）,ｆ(x )为奇函数， ∴f (1）=－f （－1）＝2,又f （－２)＝２ f （－1）=-４， ∴ｆ(x ）的值域为［－4，2]。

广东省佛山市顺德区高三数学第一轮复习 函数单调性及奇偶性导学案 理