第14讲巧算(二)上一讲我们学习了整数的巧算,这一讲我们学习小数的巧算。例1.计算578.47-4.62-78.47-3.38
例2.计算0.9999×1.3-0.1111×2.7
例3.计算3.6×31.4+43.9×6.4
例4.7.37×12.5×0.15×16
例5.计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99
例6.计算(44332-443.32)÷(88664-886.64)
练习与思考
用简便方法计算下面各题。
1. 15.4-2.17-3.83+4.6
2. 25.6-(0.23+5.6)-51.7
3. 146.95-48.3-6.95-51.7
4. 12.5×0.64×2.5
5. 3
6.3×4.5+6.37×45
6. 1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.5
7. 0.876+0.765+0.654+0.543+0.432
8. 36×2.54+1.8×49.2
9. 5.76×1.1+57.7×0.89
10. (22944-22.944) ÷(45888-45.888)
11. 16.15÷1.8+1.85÷1.8
12.(4.8+3.6+2.4+1.2) ÷1.8
13.2.8×7.2×5.1÷2.8÷3.6÷5.1
14.0.7777×0.7+0.1111×2
15.(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)
第一讲速算与巧算(一) 我们已经学过四则运算的定律和性质等基础知识。这一讲主要介绍基本定律和性质在加减法中的灵活运用,以便提高计算的技能技巧。 一、运用加法运算定律巧算加法 1.直接利用补数巧算加法 如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千,那么我们就可以说这两个数互为补数,其中的一个加数叫做另一个加数的补数。 如:28+52=80,49+51=100,936+64=1000。 其中,28 和52 互为补数;49 和51 互为补数;936 和64 互为补数。 在加法计算中,如果能观察出两个加数互为补数,那么根据加法交换律、结合律,可以把这两个数先相加,凑成整十、整百、整千,……再与其它加数相加,这样计算起来比较简便。 例 1 巧算下面各题: (1)42+39+58; (2)274+135+326+ 265。解:(1)原式=(42+ 58)+39
=100+39=139
(2)原式=(274+326)+(135+265) =600+400 =1000 2.间接利用补数巧算加法 如果两个加数没有互补关系,可以间接利用补数进行加法巧算。例 2 计算 986+238。 解法 1:原式=1000-14+238 =1000+238-14 =1238-14 =1224 解法 2:原式=986+300-62 =1286-62 =1224 以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……,再去掉多加的部分(即补数),所以可称为“凑整去补法”。 解法 3:原式=(62+924)+238
=924+(238+62) =924+300 =1224 解法 4:原式=986+(14+224) =(986+14)+224 =1224 以上方法是把其中一个加数拆分为两个数,使其中一个数正好是另一个加数的补数。所以可称为“拆分凑补法”。 3.相接近的若干数求和 下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加,这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。 例 3 计算 71+73+69+74+68+70+69。 解:经过观察,算式中 7 个加数都接近70,我们把 70 称为“基准数”。我们把这7 个数都看作70,则变为7 个70。如果多加了,就减去,少加了再加上,这样计算比较简便。 原式=70×7+(1+3-1+4-2+0-1)
第20讲速算与巧算(一) 一、知识要点 速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一讲我们学习加、减法的巧算方法,这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质,通过对算式适当变形从而使计算简便。 在巧算方法里,蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式,根据运算定律和运算性质,或改变它的运算顺序,或减整从而变成一个易于算出结果的算式。 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律,通过对算式适当变形,将其中的数转化成整十、整百、整千…的数,或者使这道题计算中的一些数变得易于口算,从而使计算简便。 二、精讲精练 【例题1】计算9+99+999+9999 练习1:计算 (1)99999+9999+999+99+9 (2)9+98+996+9997
(3)19999+2998+396+497 (4)198+297+396+495 【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488 练习2:计算 (1)50+52+53+54+51 (2)262+266+270+268+264 (3)89+94+92+95+93+94+88+96+87 (4)381+378+382+383+379 【例题3】计算下面各题。 (1)632-156-232 (2)128+186+72-86
计算下面各题 (1)1208-569-208 (2)283+69-183 (3)132-85+68 (4)2318+625-1318+375 【例题4】计算下面各题。 (1)248+(152-127)(2)324-(124-97)(3) 283+(358-183)
第二讲速算与巧算(乘除法) 一、乘法凑整 (1)8×23×125 (2)25×(200+4)(3)625×64×25 1、43×20×5 25×91×4 43×76+76×57 125×32×49×25 【拓展提高】 1、(1)25×25×25×32 (2)125×24×25 2、119×17+42×119+119×41 3999×222+333×334
二、乘法速算 (1)73×77 (2)63×43 (3)25×99 (4)36×11 【拓展提高】 1、(1)317×11 (2)5613×11 2、(1)93×97 (2)49×69 3、(1)924×999 (2)485×999 4、(1)63×37 (2)21×67 游戏一:奇妙的数37 游戏二:神奇的37,67
三、除法凑整 1、(1)6300÷25÷4 (2)88000÷125÷8 2、(1)(860+215)÷43 (2)(5000-375)÷25 3、(1)9750÷25 (2)2000÷125 【拓展提高】 1、(1)56560÷8÷7 (2)6300÷25÷7÷4 2、(1)135÷(15÷8)(2)625÷(100÷16) 3、(1)54÷26+115÷26+65÷26 (2)1560÷(78÷4) (2)(1234567+2345671+3456712+4567123+56712345+6712345+7123456)÷4
四、乘除法的简便运算 (1)204×108÷18 (2)10000÷(625÷8)(3)44000÷25 1、(1)160×24÷6 (2)78×352÷176 2、(1)400÷(25÷4)(2)1920÷(64÷4) 3、(1)3600÷25 (2)64000÷125 【拓展提高】 1、(1)777×75÷15 (2)145×584÷292 2、(1)648÷(18×3)(2)945÷(7×9)
巧算乘法 整数乘法的速算与巧算,一条最基本的原则就是“凑整”。要达到“凑整”的目的,就要将一些数分解、变形,再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则,把某些数组合到一起,使复杂的计算过程简便化。 一、记住乘法中常用的几个重要式子 5×2=10,25×4=100,125×8=1000,4×75=300;4×125=500;625×8=5000,625×16=10000。 二、乘法的运算定律 1、乘法交换律:a×b=b×a 2、乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 题型1、根据交换律与结合律直接凑整 ①19×4×25 ②125×49×8 ③125×(25×8)×4 ④4×145×25 ⑤125×19×8 ⑥37×4×25 ⑦625?(13?8)⑧17×4×25⑨25×439×25×4×8 ⑩2×4×5×8×25×125(11)456×2×125×25×5×4×8
题型2 分解因数凑整 ① 25×48 ②36×25 ③125×72 ④56×125 ⑤16×125×50⑥25×32×125 ⑦80×16×25×125 ⑧ 937×125×25×64×5 3、乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 题型3:直接利用乘法分配律凑整 ①②③125×(40+8) ④(100—4)×25 ⑤(40+4)×25 ⑥125×(20—8)
⑦125×(80+8) ⑧125×(80—8)⑨ (40—8)×25 题型4 分解后利用乘法分配律凑整 ①37×99 ②234×102 ③46×101 ④⑤125×98 ⑥17×999 题型5 逆用乘法分配律凑整 ①95×71+95×29 ②62×38+38×38 ③175 ×34+175×66 ④64×25+35×25+25 ⑤123×235-24×235+235 ⑥586×124+29×586-586×53 ⑦ 54×154-45×54-54×9
第一讲 速算与巧算(一) 内容概述 同学们,这节课我们又要一同走进“计算的海洋”,还记得课堂上我们学到的一些巧算的方法吗?在那节课中我们学到了以下几种方法:凑整求和、找基准数、分组求解、自然数的分拆等几个常用技巧!学习完以后,相信聪明的你会发现自己能快速正确的做出更多的题目了!可有时候,还有许多我们却摸不着头脑!那是因为在速算的方法技巧中还蕴藏了许多我们没有学习到的东西!那么这节课让我们一起来走进去探讨一下吧! 一、巧妙运用运算律和积、商不变的规律进行简便运算 在速算的过程中,如果加入运算律的应用,会有意想不到的效 果!我们一起先来看看常用的一些运算律和结论吧! 在计算过程中,最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有: (1) 加法交换律:a+b=b+a (2) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) (3) 乘法交换律:ab=ba (4) 乘法结合律:(ab)c=a(bc) (5) 分配律: a(b+c)=ab+ac (反过来就是提取公因数) (6) 减法(括号)的性质:a-b-c=a-(b+c) (7) 除法的性质:a÷(b×c)=a÷b÷c (a+b) ÷c=a÷c+b÷c (a-b) ÷c=a÷c-b÷c 和不变的规律:如果一个加数增加另一个加数减少同一个数,它们的和不变.
积不变的规律:如果一个因数扩大几倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变. 商不变的规律:如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变. 【例1】 计算:6.25×8.27×16+3.75×0.827×8 分析:原式=6.25×16×8.27+3.75×0.8×8.27 =8.27×(6.25×16+3.75×0.8) =8.27×(100+3) =8.27×100+8.27×3 =851.81 . 根据“一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变”的道理,进行适当变换,提取公因式,进而凑整求和. 【巩固】计算 6.25 × 0.16+264×0.0625+5.2×6.25+0.625×20 【巩固】计算:8.88×0.15+265×0.0888+5.2×8.88+0.888×20【例2】 1.23452+0.76552+2.469×0.7655 分析:原式=1.23452+0.7655×(1.235+2) =1.2345×(1.2345+0.7655)+0.7655×2 =2×2 =4 【巩固】计算7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816 【例3】 计算:147.75×8.4+4.792+409×2.1+0.9521×479分析:原式=(147.75×4+409)×2.1+(0.0479+0.9521)×479 =1000×2.1+479 =2579 【巩固】计算11.8×43—860×0.09 【例4】 41.2×8.1+11×8.75+537×0.19 分析:(法1)原式=41.2×8.1+11×8.75+53.7×1.9 =41.2×8.1+11×8.75+(41.2+12.5)×1.9 =41.2×(8.1+1.9)+11×8.75+12.5×1.9 =412+11×8.75+12.5×1.9 =412+1.1×87.5+12.5×1.9 =412+1.1×12.5×7+12.5×1.9 =412+12.5×8×1.2 =532 (法2):原式=41.2×8.1+11×8.75+(41.2+12.5)×1.9
第一讲分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题. 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式. 知识点拨 一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1 a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那 么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 (二)、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2) 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n =-??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简. 三、循环小数化分数
第2讲速算与巧算 计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1:四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下: 86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。 求这10名同学的总分。 例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到: 总和数=基准数×加数的个数+累计差, 平均数=基准数+累计差÷加数的个数。 在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 练习: 1.求下面10个数的总和:
165,152,168,171,148,156,169,161,157,149。 2.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为: 68,91,84,75,78,81,83,72,79。 他们共加工了多少个零件? 例2 某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:千克): 462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。求平均每块麦田的产量。 练习: 1.农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为(单位:厘米):26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25。求这批麦苗的平均高度。 2.计算: 13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12= 求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×7=49(七七四十九)。对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10~20的平方,而21~99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。 例3 求29×29和82×82的值。
速算与巧算 引导: 1、计算(凑十法)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、计算(凑整法)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 2+13+25+44+18+37+56+75 3、计算(用已知求未知)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 5+6+7+8+9+10 4、计算(改变运算顺序)10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 5、计算(带着“+”、“-”号搬家)1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 一、凑十法:利用个位数相加之和都等于10的技术 题1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 这种逐步相加的方法,好处是可以得到每一步的结果,但 缺点是麻烦、容易出错;而且一步出错,以后步步都错。若是 利用凑十法,就能克服这种缺点。 二、凑整法:同学们还知道,有些数相加之和是整十、整百的数,如: 巧用这些结果,可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。 题2、计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解:这是求1到19共10个单数之和,用凑整法做:
题3、计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解:这是求2到20共10个双数之和,用凑整法做: 题4、计算 2+13+25+44+18+37+56+75 解:用凑整法: 三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程,凑十法、凑整法的实质就是这个道理,可见把这种认识规律用于计算方面,可使计算更快更准。题5、计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解:由例2和例3,已经知道从1开始的前10个单数之和及从2开始的前10个双数之和,巧用这些结果计算这道题就容易了。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)=100+110(这步利用了例2和例3的结果)=210 题6、计算:5+6+7+8+9+10 解:可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。 5+6+7+8+9+10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4)=55-10=45 四、改变运算顺序 在只有加减运算的算式中,有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙! 题7、计算:10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解:改变一下运算顺序,先减后加,就使运算显得非常“漂亮”。 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5
第二讲 有理数的巧算技巧与巧算答案 基础夯实: 一、填空题 1、计算1+(-2)+3+(-4)+ … +99+(-100)=___-50_______ 2、计算1-3+5-7+9-11+…+97-99=_____-50_____ 3、若m <0,n >0,且| m |>| n |,则m +n ___<_____ 0.(填>、<号) 4、如果|a |=3,|b |=2,若ab <0,那么a -b =_____5_____ 5、25.2-减去85-与8 3 -的差,所得的结果 =______-2____ 2 1 2-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小=_____7.4_____ 6、若实数a 、b 满足0a b a b +=,则ab ab =_____-1______. 7、如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 1 2 的长方形,接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形,再把面积为1 4的正方形 等分成两个面积为1 8 的长方形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算 11111111 248163264128256 +++++++ =____256255 ______. 8、已知数轴上有A 、B 两点,A 、B 之间的距离为2,点A 与原点O 的距离为6,则所有满足条件的点B 与 原点O 的距离的和为___0______; 9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=???归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测1-22018的个位数字是______3____. 10..、.3...05..万是精确到.....__..百______......位的近似数....... 11、地球到太阳的距离大约是150000000千米,用科学记数法表示为__11 101.5?_______ 米. 12..、测得某同学的身高约是...........1...66..米,那么意味着他的身高的精确值...............h .的取值范围是在....... 1.665h 1.655<≤ .. 二、选择题 1、在1,-1,-2这三个数中,任意两数之和的最大值是( B ) A . 1 B .0 C .-1 D .-3 2、若a <0,则|a -(-a )|等于( D ) A .-a B .0 C .2a D .-2a 3、两个有理数的和是正数,下面说法中正确的是( D ) A .两数一定都是正数 B .两数都不为0
初中数学题典网 https://www.wendangku.net/doc/9b17673063.html,/ 1 第二讲 速算与巧算(1) 告诉你本讲的重点、难点 在四则混合运算中,可以根据数的分解、合并改变原来的运算顺序使计算简便,有时可以利用四则混合运算的定律和性质或利用和、差、积、商的变化规律,使计算简便.简便计算不仅可以使计算过程简捷,提高计算的正确率,而且还可以加深对数和运算性质的 理解. 看老师画龙点晴,教给你解题诀窍 【例l 】计算:999999999999999++++ 分析与解 在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法,例如将999化成11000-去计算,这是小学数学中常用的一种技巧. 原式)1100000()110000()11000()1100()110(-+-+-+-+-= 510000010000100010010-++++= 5111110-= 111105= 【例2】 计算:901062++++ 分析与解 这是一组等差数列,可以用等差数列求和公式“(首项十末项)×项数÷2”来计算,不过这道题目中,还需要用公式“项数=(末项一首项)÷公差+1”求出项数. 项数:2314)290(=+÷- 原式223)902(÷?+= 22392÷?= 2346?= 1058= 【例3】计算:2512532)1(?? 999999)2(?+ 分析与解 这两道题目需要利用乘法的分配律和乘法的结合律来进行简便计算,简算时要注意观察数字的特点,利用一些特殊的数字使计算简便. (1)原式2512548???= )254()1258(???= 1001000?= 100000= (2)原式9999199?+?= 99)991(?+= 99100?= 9900= 【例4】计算:33334333332222299999?+? 分析与解 仔细观察第一个加数,22222 99999?可以利用积的变化规律把第一个因数缩小3倍,第二个因数扩大3倍,转化为,6666633333 ?这样两个加数就有了一个相同的因数,可以利用乘法分配律简便计算了. 原式333343333322222333333?+??=
第一讲速算与巧算(一) 计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 ●基准数速算法 1、典型例题分析: 例1:四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下,求这10名同学的总分。 86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。 2、分析:通常的做法是将这10个数直接相加,但这些数杂乱无章,直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现,这些数虽然大小不等,但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准数”,比如以“80”作基准数,这10个数与80的差如下: 6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”号表示这个数比80小。于是得到: 总分:80×10+(6-2-3+3+11-6+12-11+4-5) =800+9 =809 实际计算时只需口算,将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见,将这一过程表示如下:
同理,因为82比80多2,所以从82中“移走”2,这叫“移多”。因为是两个82相乘,所以对其中一个82“移多”后,还需要在另一个82上“找齐”。给一个82减去2。最后,还要加上“移多补少”的这个零头数2的平方。 这种方法不仅适用于求两位数的平方值,也适用于求三位数或更多位数的平方值。 例2:求9932的值。 解:9932=993×993 =(993+7)×(993-7)+72 =1000×986+49 =986000+49 =986049。 下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。 请看下面的算式: 66×46,73×88,19×44。 这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。 例3:88×64=? 分析与解:由乘法分配律和结合律,得到 88×64 =(80+8)×(60+4) =(80+8)×60+(80+8)×4 =80×60+8×60+80×4+8×4 =80×60+80×6+80×4+8×4 =80×(60+6+4)+8×4 =80×(60+10)+8×4
第一讲:整数的速算与巧算 在速算与巧算时要根据数的组成和算式的特点,善于发现规律,巧用运用性质及运算定律,使计算简便。 1、改变运算顺序:在四则运算中,可以运用运算定律适当地改变运算顺序、使运算简便。 例1 求1到100的自然数的和。 例2计算2+4+6+…+100-1-3-5-…-99 例3计算7200÷(25×9)÷8 2、凑整法:在整数的四则运算中,我们常常将已知数凑成整十、整百、整千……的数,使运算简便。 例4 计算 6897+294+103+79+6 例5 计算8993+199+248+389 例6计算9+99+999+…+9999999999
例7计算25×5×2×4×8×125 例8计算 23000÷125 3、应用分解的方法:应用分解整数的方法,并依据运算定律和运算性质,可以使一些运算简便。 例9 计算714285÷37÷27×17×7 例10 计算 1990×20002000-2000×19901990 例11计算125×32 例12 计算 99992 例13 计算33332
4、其它特殊方法的速算。 (1)应用公式进行速算 ①由公式a×1.5×10n=(a+ a)×10n进行速算叫做“加半移位法”。 例14 计算 24624×150 3720×0.15 ②首同末合十设两个数分别是10a+b和10a+c,且b+c=10,则 (10a+b)(10a+c)=a(a+1) ×100+bc 例15 计算 73×77 39×31 例16 计算 104×106 243×247 ③末同首合十设两个数分别为10a+c和10b+c,且a+b=10,则 (10a+c)(10b+c)=(ab+c) ×100+c2 例17 计算 86×26 47×67 ④利用平方差公式的速算。 例18 计算 1025×975 (2)乘数是11的两个数相乘:当乘数是11时,实际上是把另一个乘数“错位
小学三年级上册数学奥数知识点讲解第1课《速算与巧算1》试 题附答案 一、加法中的巧算 1.什么叫“补数”? 两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如:1+9=10,3+7=10, 2+8=10,4+6=10, 5+5=10。 又如:11+89=100,33+67=100, 22+78=100,44+56=100, 55+45=100, 在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”呢?一般说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。 如:87655→12345,46802→53198, 87362→12638,… 下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1 巧算下面各题: ①36+87+64②99+136+101 ③1361+972+639+28 3.拆出补数先加。 例2 ①188+873 ②548+996 ③9898+203 4.竖式运算中互补数先加。
如: 二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起,再从被减数中减去。 例3①300-73-27 ②1000-90-80-20-10 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4①4723-(723+189) ②2356-159-256 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。 例5 ①506-397 ②323-189 ③467+997 ④987-178-222-390 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则 在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即: a+(b+c+d)=a+b+c+d a-(b+a+d)=a-b-c-d a-(b-c)=a-b+c 例6 ①100+(10+20+30) ②100-(10+20+3O) ③100-(30-10)
第二讲速算与巧算(四) 例1 比较下面两个积的大小: A=987654321×123456789, B=987654322×123456788. 分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1,但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算,凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B,直接把两个因数相乘求积又太繁,所以我们开动脑筋,将A 和B先进行恒等变形,再作判断. 解: A=987654321×123456789 =987654321×(123456788+1) =987654321×123456788+987654321. B=987654322×123456788 =(987654321+1)×123456788 =987654321×123456788+123456788. 因为 987654321>123456788,所以 A>B. 例2 不用笔算,请你指出下面哪道题得数最大,并说明理由. 241×249 242×248 243×247 244×246 245×245. 解:利用乘法分配律,将各式恒等变形之后,再判断. 241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9; 242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8; 243×247=(240+ 3)×(250— 3)= 240×250+3×7; 244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6; 245×245=(240+5)×(250— 5)=240×250+5×5.
恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250,又有不同的部分 1×9, 2×8, 3×7, 4 ×6, 5×5,由此很容易看出 245×245的积最大. 一般说来,将一个整数拆成两部分(或两个整数),两部分的差值越小时,这两部分的乘积越大. 如:10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5 则5×5=25积最大. 例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和. 解:五个数中,后一个数都比前一个数大10,可看出1986是这五个数的平均值,故其总和为: 1986×5=9930. 例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数,如果五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个. 解:五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60. 总结以上两题,可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数,中间一个数为首末两数的平均值;五个连续自然数,中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显,这五个数可以记作:x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此类推,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值. 如:对于2n+1个连续自然数可以表示为:x—n,x—n+1,x-n+2,…,x—1, x, x+1,…x+n—1,x+n,其中 x是这2n+1个自然数的平 均值. 巧用中数的计算方法,还可进一步推广,请看下面例题. 例5 将1~1001各数按下面格式排列: 一个正方形框出九个数,要使这九个数之和等于: ①1986,②2529,③1989,能否办到?如果办不到,请说明理由.
第二讲长方体和正方体(巧算表面积) 例题讲学 例1 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体,这个长方体的表面积是多少? 从图上可以清楚地看出:两个正方体原先各有6个正方形的面,当把它们拼起来时就少了2个正方形的面。这时,求长方体的表面积只相当于求(12-2=)10个正方形的面积;还可以这样想:当两个正方体拼成一个长方体时,求长方体的表面积, 我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高,再求出它的表面积。 当物体拼合时表面积之和少了,可以根据用原来的面去掉减少了的 2.还可以求出拼成 后大物体的长、宽、高,再根据物体形状直接求表面积。 同步精练 1. 把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是多 少? 2.把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体,长方体的表面积是多少? 3.把三个完全相同的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是350平方厘米。每个正方体的表面积是多少平方厘米? 例2把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长
方体,使这两个长方体表面积之和最大,这时表面积之和是多少平方厘米? 【思路点拨】把长方体截成两个长方体后,两个长方体表面积之和等于原长方体表面积再加上两个截面的面积。这个长方体几个面中,上、下面的面积最大,所以要看哪个面的面积最大,于是本题就按平行于上、下面的方式去截,才使表面积之和最大。 同步精练 1.把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木料截成两个完全一样的长 方体,怎样截才能使截成之后,得到两个长方体的表面积之和最大?最大是多少? 2.把两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体, 这个长方体的表面积是多少平方厘米? 3.把两个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少? 例3求出下面立体图形的表面积。(单位:厘米) 【思路点拨】从图上看出,这个图形是由一个长方体和一个正方体组成的,求它的表面积时,可以把正方体的右侧面平移到长方体上,这个立体图形的表面积
第一讲速算与巧算(三) 例1 计算9+99+999+9999+99999 解:在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 9+99+999+9999+99999 =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1) +(100000-1) =10+100+1000+10000+100000-5 =111110-5 =111105. 例2 计算199999+19999+1999+199+19 解:此题各数字中,除最高位是1外,其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如 199+1=200) 199999+19999+1999+199+19 =(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1) +(19+1)-5 =200000+20000+2000+200+20-5 =222220-5 =22225. 例3计算(1+3+5+...+1989)-(2+4+6+ (1988)
解法2:先把两个括号内的数分别相加,再相减.第一个括号内的数相加的结果是: 从1到1989共有995个奇数,凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的数相加的结果是:
从2到1988共有994个偶数,凑成497个1990. 1990×497+995—1990×497=995. 例4 计算 389+387+383+385+384+386+388 解法1:认真观察每个加数,发现它们都和整数390接近,所以选390为基准数. 389+387+383+385+384+386+388 =390×7—1—3—7—5—6—4— =2730—28 =2702. 解法2:也可以选380为基准数,则有 389+387+383+385+384+386+388 =380×7+9+7+3+5+4+6+8 =2660+42 =2702. 例5 计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6 解:认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和,故可选4940为基准数.
第二讲速算与巧算(二) 例1 比较下面两个积的大小:A= 987654321×123456789, B= 987654322×123456788. 分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1,但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算,凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B,直接把两个因数相乘求积又太繁,所以我们开动脑筋,将A和B先进行恒等变形,再作判断. 解: A=987654321×123456789 =987654321×(123456788+1) =987654321×123456788+987654321. B= 987654322×123456788 =(987654321+1)×123456788 =987654321×123456788+123456788. 因为 987654321>123456788,所以A>B. 例2 不用笔算,请你指出下面哪道题得数最大,并说明理由. 241×249242×248243×247 244×246245×245. 解:利用乘法分配律,将各式恒等变形之后,再判断. 241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9; 242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8; 243×247=(240+3)×(250—3)=240×250+3×7;
244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6; 245×245=(240+5)×(250—5)=240×250+5×5. 恒等变形以后的各式有相同的部分 240 ×250,又有不同的部分1×9,2×8,3×7, 4 ×6,5×5,由此很容易看出245×245的积最大. 一般说来,将一个整数拆成两部分(或两个整数),两部分的差值越小时,这两部分的乘积越大. 如:10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5 则5×5=25积最大. 例3 求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和. 解:五个数中,后一个数都比前一个数大10,可看出1986是这五个数的平均值,故其总和为: 1986×5=9930. 例4 2、4、6、8、10、12?是连续偶数,如果五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个. 解:五个连续偶数的中间一个数应为320÷5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60. 总结以上两题,可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数,中间一个数为首末两数的平均值;五个连续自然数,中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值. 如果用字母表示更为明显,这五个数可以记作:x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此类推,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值. 如:对于2n+1个连续自然数可以表示为:x—n,x—n+1,x-n+2,?,x—1,x,x +1,?x+n—1,x+n,其中x是这2n+1个自然数的平均值. 巧用中数的计算方法,还可进一步推广,请看下面例题. 例 5 将1~1001各数按下面格式排列:
第2讲 速算与巧算(裂项法) 1、分数裂项法 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法。裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1 a b ?形式的,这里我们把较 小的数写在前面,即a b <,那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1 (1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。
2、整数裂项法: 裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。 例如:1223344950?+?+?+ +?=_________; 设S =1223344950?+?+?++? 1×2×3=1×2×3 2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3 3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4 …… 49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50 3S =1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+49×50×3=49×50×51 S =49×50×51÷3=41650 例1: 111111223344556 ++++=????? 。 练习:(1)111 (101111125960) +++??? (2) 2222109985443++++=????