8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)----证明平行与垂直
一、选择题
1.若直线l 1,l 2的方向向量分别为a =(2,4,-4),b =(-6,9,6),则( ).
A .l 1∥l 2
B .l 1⊥l 2
C .l 1与l 2相交但不垂直
D .以上均不正确
答案 B
2.直线l 1,l 2相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )
A .s 1=(1,1,2),s 2=(2,-1,0)
B .s 1=(0,1,-1),s 2=(2,0,0)
C .s 1=(1,1,1),s 2=(2,2,-2)
D .s 1=(1,-1,1),s 2=(-2,2,-2)
解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项B 中的两个向量垂直. 答案 B
3.已知a =? ????1,-32,52,b =?
????-3,λ,-152满足a∥b ,则λ等于( ). A.23 B.92 C .-92 D .-23
解析 由1-3=-
32λ=52-152,可知λ=92. 答案 B
4.若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,能使l ∥α的是 ( ).
A .a =(1,0,0),n =(-2,0,0)
B .a =(1,3,5),n =(1,0,1)
C .a =(0,2,1),n =(-1,0,-1)
D .a =(1,-1,3),n =(0,3,1)
解析 若l ∥α,则a·n =0.
而A 中a·n =-2,
B 中a·n =1+5=6,
C 中a·n =-1,只有
D 选项中a·n =-3+3=0.
答案 D
5.若平面α,β平行,则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
A .n 1=(1,2,3),n 2=(-3,2,1)
B .n 1=(1,2,2),n 2=(-2,2,1)
C .n 1=(1,1,1),n 2=(-2,2,1)
D .n 1=(1,1,1),n 2=(-2,-2,-2)
解析 两个平面平行时其法向量也平行,检验知正确选项为D.
答案 D
6.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( ).
A.627
B.637
C.607
D.657
解析 由题意得c =t a +μb
=(2t -μ,-t +4μ,3t -2μ),
∴??? 7=2t -μ
5=-t +4μ
,λ=3t -2μ
∴????? t =337μ=177λ=657.
答案 D 7.已知平面α内有一个点A (2,-1,2),α的一个法向量为n =(3,1,2),则下列点P 中,在平面α内的是( )
A .(1,-1,1)
B.? ????1,3,32
C.? ????1,-3,32
D.?
????-1,3,-32 解析 对于选项A ,PA =(1,0,1),则PA ·n =(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排
除A ;对于选项B ,PA =? ????1,-4,12,则PA ·n =? ??
??1,-4,12·(3,1,2)=0,验证可知C 、D 均不满足PA ·n =0.
答案 B
二、填空题
8.两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1=(1,0,-1),v 2=(-2,0,2),则
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结(文科) 一.平行问题 (一) 线线平行: 方法一:常用初中方法(1中位线定理;2平行四边形定理;3三角形中对应边成比例;4同位角、内错角、同旁内角) 方法二:1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三:2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四:3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 (二) 线面平行: 方法一:4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二:5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? (三) 面面平行:6方法一:线线平 行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二:7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l I , 方法三:8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二.垂直问题:(一)线线垂直 方法一:常用初中的方法(1勾股定理的逆定理;2三线合一 ;3直径所对的圆周角为直角;4菱形的对角线互相垂直。) 方法二:9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?????⊥αα (二)线面垂直:10方法一:线线垂直?线面垂直 α α⊥??? ? ???? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥???????⊥=?⊥l l m l m , (面) 面面垂直: 方法一:12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥???? ?⊥l l 三、夹角问题:异面直线所成的角: (一) 范围:]90,0(?? (二)求法:方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角:直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法:就是放到三角形中解三角形 四、距离问题:点到面的距离求法 1、直接求, 2、等体积法(换顶点)
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
立体几何大题题型及解题方法 立体几何大题一般考以下五个方面: 一、平行位置关系的证明 1、证明线面平行(重点) 解题方法:(1)线面平行判定定理;(2)面面平行的性质定理。 2、证明面面平行 解题方法:(1)面面平行的判定定理;(2)面面平行判定定理的推论;(3)垂直于同一直线的两平面平行;(4)平行平面的传递性。 3、平行位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 二、垂直位置关系的证明 1、证明线线垂直 解题方法: 2、证明线面垂直(重点) 解题方法: 3、证明面面垂直 4、垂直位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 三、求空间距离
1、点到平面的距离 解题方法: 2、空间线段长 解题方法:(1)解三角形法;(2)列方程法。 四、求几何体体积 五、求空间角 1、异面直线所成的角 2、直线与平面所成的角 考点一:如何判断空间中点、线、面的位置关系(排除法)
考点二:平行位置关系的证明 证明题一般的解题步骤: 一、根据题目的问题,确定要证明什么;根据题目的条件,确定用什么证明方法, 如果无法确定,则要通过逆向思维来分析题目; 二、看题目是否需要作辅助线(创造条件),证明平行位置问题一般作的辅助线是连等 分点,特别是中点; 三、根据确定的证明方法,看该方法需要多少个条件,然后看题目给的条件通过什 么方式给,如果是间接条件则需要推理证明得出,如果是直接条件或隐含条件则直接罗列; 四、准备好条件后,再次检查条件是否都满足,是否都罗列了,最后得出结论; 五、规范书写答案过程:一般过程为1、作辅助线;2、准备间接条件;3、罗列直接