德克教育数学学中考专题16新题型

新题型

1．小妍在数学复习总结中，发现一次函数、一元一次方程、一次不等式之间有着密切联系，例如右图一次函数21y x =-、一元一次方程210x -=、一元一次不等式210x ->的联系：一元一次方程210x -=的根为一次函数21y x =-图象与x 轴交点的横坐标；满足一次不等式210x ->的解是：一次函21y x =-数图象在x 轴上方部分的点所对应的横坐标的取值.

老师肯定了她的发现，并告诉她：实际上，这种联系不仅在一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间存在，在其它的类型的函数、方程、不等式间也存在着这种联系。 请你运用小妍同学的发现，解决下面问题：

（1）右图中是函数432y x x x x =+--的图象，则使不等式

4

3

2

0x x x x +--<成立的x 的取值范围：

__________01x << ______

（2）右图是函数3221y x x =-+与函数1y x =-在同一坐标系内的图象，则方程32220x x x --+=的根为__1,1,2-______；满

足不等式32211x x x -+>-的x 的取值范围：____11x -<<或

2x >___________

（3）已知不等式20a x b x c ++>的解为31x -<<，则a ____0 (填“>”或“<”)；

b c

=_____________ 答案：<；23

-

2.阅读理解下列例题：

例题：解一元二次不等式2

230x x --<.

分析：求解一元二次不等式时，应把它转化成一元一次不等式组求解. 解：把二次三项式2

23x x --分解因式，得：

2

2

23(1)4(3)(1)x x x x x --=--=-+，又2

230x x --<，

∴(3)(1)0x x -+<.

由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，得3010x x ->??+

，； ① 或 3010.x x -?，

②

由①，得不等式组无解；由②，得13x -<<

.

1 1

－1

O

2

-1

-1 -2

1 O

∴(3)(1)0x x -+<的解集是13x -<<.

∴ 原不等式的解集是 13x -<<.

（1）仿照上面的解法解不等式24120x x +->.

（2）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.某车行驶在一个限速为40千米/时的弯道上，突然发现异常，马上刹车，但是还是与前面的车发生了追尾，事故后现场测得此车的刹车距离略超过10米，我们知道此款车型的刹车距离S (米)与车速x (千米/时)满足函数关系：2S ax bx =+，且刹车距离S (米)与车速x (千米/时)的对应值表如下：

问该车是否超速行驶？

3．根与系数关系定理反映的是一元二次方程的两个根和系数之间的关系，定理叙述如下，定理：若21,x x 是x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，那么

a

c x x a b x x =

?-

=+2121,

.

例如：21,x x 是一元二次方程04232=-+x x 的两个根，由根与系数关系定理，则

3

4,

322121-==

?-

=-

=+a c x x a b x x .请利用根与系数关系定理．．．．．．．．．．

解答下列问题: (1).已知21,x x 是一元二次方程09722=-+x x 的两个根，不解方程，填空=+21x x ；=?21x x ；

（2）.若c a ,是x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的二次项系数和常数项，且c a ,恰是该方程的两个非零不等实根，y 是b 的函数，且ac bc ab abc y +++=，求该函数的解析式；

（3）.在（2）中，若函数值y 不小于－5，求b 的取值范围.

4、已知抛物线c bx ax y L ++=2

:（其中a 、b 、c 都不等于0），它的顶点P 的坐标是

y a

b a

c a

b 与),44,2(2

--轴的交点是M （0，c ）. 我们称以M 为顶点，对称轴是y 轴且过点P

的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线PM 为L 的伴随直线.

（1）请直接写出抛物线1422

+-=x x y 的伴随抛物线和伴随直线的解析式：

伴随抛物线的解析式 ， 伴随直线的解析式 ；

（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是332--=--=x y x y 和，则这条

抛物线的解析式是 ；

（3）求抛物线c bx ax y L ++=2:（其中a 、b 、c 都不等于0）的伴随抛物线和伴随直

线的解析式；

（4）若抛物线L 与x 轴交于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，012>>x x ，它的伴随抛物线与

x 轴交于C 、D 两点，且AB=CD. 请求出a 、b 、c 应满足的条件.

5.（延庆09一模23题）阅读理解：对于任意正实数a b ，

，2

0-

≥

，

0a b ∴-+≥，

a b ∴+≥，只有当a b =时，等号成立．

结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若a b 为定值p

，则a b +≥，

只有当a b =时，a b +

有最小值

根据上述内容，回答下列问题：

（1） 若0m >，只有当m = 时，1m m

+

有最小值 ．

（2） 探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12(0)y x x

=

>上的任意一点，

过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ．

求四边形A B C D 面积的最小值，并说明此时四边形A B C D 的形状．

6.（09宣武一模24题）．对于三个数a b c 、、，{

,M a {}min ,,a b c 表示a b c 、、这三个数中最小的数，如：{}123

41,2,33

3

M -++-==，

{}min 1,2,31-=-；

{}1211,2,3

3

a

a M

a -+++-=

=

，{}()()

1m in 1,2,1

1a a a a

≤-??-=?

->-??．

解决下列问题：

（1）填空：{}min sin 30,cos 45,tan 30???= ；若{}m i n

2,22,422

x x +-=，则x 的取值范围是 ； （2）①若{}{}2,1,2min 2,1,2M x x x x +=+，那么x ＝ ；

②根据①，你发现结论“若{}{},,min ,,M a b c a b c =，那么 ”（填,,a b c 大小关系）； ③运用②，填空：若

{}{}

22,2,2min 22,2,2M x y x y x y x y x y x y +++-=+++-，则x y

+＝ ；

（3）在同一直角坐标系中作出函数1y x =+，()2

1y x =-，2y x =-的图象（不需列

表，描点），通过图象，得出(){

}

2

min 1,1,2x x x +--最大值为 ．

y