常见麦克劳林公式大全
常用泰勒公式
简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]
常用函数的麦克劳林展开式与无穷小代换
常用函数的麦克劳林展开式与无穷小代换 1、 11?x =1＋x ＋x 2＋?＋x n ＋?=∑x n ∞n=0，(?1,1)； 2、 11＋x =1?x ＋x 2?x 3＋?＋(?1)n x n ＋?=∑(?1)n x n ∞n=0，(?1,1)； 3、e x =1＋x ＋1 2！x 2＋?＋1n ！x n ＋?=∑x n n ！ ∞n=0，(－∞,＋∞)； 比较无穷小代换：u →0时，e x －1～u 4、sinx =x －1 3！x 3＋?＋(?1)n 1(2n+1)！x 2n+1＋?=∑(?1)n x 2n+1(2n+1)！∞n=0， (－∞,＋∞)； 比较无穷小代换：u →0时，sinu ～u 5、 cosx =1－1 2！x 2＋?＋(?1)n 1(2n)！x 2n ＋?=∑(?1)n x 2n (2n)！ ∞n=0，(－∞,＋∞)； 比较无穷小代换：u →0时，1－cosu ～12u 2 6、ln (1+x)=x －12x 2＋?＋(?1)n x n+1 n+1＋?=∑(?1)n x n+1 n+1∞n=0 ， (－1, 1]； 比较无穷小代换：u →0时，ln (1+u)～u 7、(1+x)α=1＋αx ＋?＋α(α?1)2！x 2＋?＋α(α?1)…(α?n ＋1)n ！ x n ＋?，(－1,1)； 比较无穷小代换：u →0时，(1+u)α?1～αu 说明：将给定函数在某点处展成泰勒级数时，常常可以通过变量替换、四则运算、复合以及逐项微分或积分，然后套用以上7个函数展开式来实现。 8、arctanx=∑(?1)n x 2n+12n+1∞n=0，[－1, 1]；(2013年做的数三第四套模拟题)
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 1 定义 麦克劳林公式是一个数学学科的专业术语，指泰勒公式（在x=0下）的一种特殊形式，麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例。注：泰勒公式：在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来求近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还可以给出这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 2 历史来源 麦克劳林公式是18世纪英国最具有影响的数学家之一麦克劳林（Colin Maclaurin）发现提出的，麦克劳林得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予了证明，因此公示以麦克劳林命名。 中文名：麦克劳林公式 提出者：麦克劳林 提出时间：1719年 应用学科：数学 适用领域范围：数学 归属：泰勒公式 注意： 使用麦克劳林公式时，是不可能将被展开的函数完全展开的，所以只能展开一部分，用一个近似公式，而由这个式子计算出的结果也是近似值。 4 作用 麦克劳林公式的作用是把函数近似表达为一个多项式。但在使用的时候要考虑精度，也就是对给定函数展开到多少阶的问题。 5 运用 一般情况下遇到的极限有两种情况： （1）分子是两个或者以上的函数相加减，这种情况比较简单，只要将两个函数展开到与分母同阶即可 （2）分子是两个或以上的函数相乘，这种情况比较复杂，主要考虑的是分子相乘会出现的所有与分母同阶的项，举个例子，比如分母是 三阶，那么两个多项式必须都展开到三阶，因为一个函数的常数项与另一个函数的三次项，一个函数的一次项与另一个函数的二次项相乘都是三次，也就说，必须要保证展开的阶数相乘会得到所有与分母同阶的三次项。 6 实例 例子：（sinx/x）^(1/x^2) (x->0) 对sinx作泰勒级数展开,再利用基本极限公式. sinx=x-x^3/3!+O(x^3) 1/x^2ln（sinx/x） =1/x^2ln((x-x^3/3!+O(x^3))/x) =1/x^2ln(1-x^2/3!+O(x^2))（对ln(1+x)继续使用级数展开）=1/x^2(-xx/6+O(xx)) =-1/6+O(1). 泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都 可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 常用的泰勒公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k- 1)!+……。(-∞ 有欧拉麦克劳林求和公式： 成立。 一方面，它可以给出当b 较大时级数和的渐进表达式，另一方面，可以用它来对积分进行估值。 Euler-Maclaurin 求和公式来自对积分反复应用分部积分法，并利用伯努利多项式的性质。 定义伯努利多项式为： ∑+∞ ==?0! )(1n n n t tx t n x B e t e 任一阶伯努利多项式在x=0处的值记之为，称为伯努利数。 n B 除了n=1以外，有 n n n B B B ==)0()1( 对于n=1，有： 2 1 )1()0(11?=?=B B 特别重要的是其微分递推关系： 由 ∑+∞ ==?0! )(1n n n t tx t n x B e t e 两边对x 求偏导数： 1 12 ?=???t tx t tx e t e e t e x 另一边有： ∑∑∞ +=∞+==??0 0!)(!)(n n n n n n t n x B dx d t n x B x 同时，由 ∑+∞ ==?0! )(1n n n t tx t n x B e t e 可知： ∑+∞ =+=?01 2 ! )(1n n n t tx t n x B e t e 这样，我们就有： ∑∑∞ +=∞+=+=0 01!)(!)(n n n n n n t n x B dx d t n x B 对比两边t 同次幂的系数相等，就有： )()!1(1)(!11x B dx d n x B n n n ++= 即： ) (11)(1x B dx d n x B n n ++= 有了以上结论，就可以导出Euler-Maclaurin 求和公式了。 考虑积分： 常用bai泰勒展开公式如下： 1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+…… 2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞ h i n g s i n t h r b e i a r g o 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 常用的泰勒公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 一些常用的泰勒公式 作者：余世明 单位：星茂装饰有限公司 摘要：一些常用的泰勒公式 关键字：泰勒公式 前切点泰勒公式 后切点泰勒公式 中间切点泰勒公式 城市：上海 邮政编码：200011 中图分类号:O17 title: Some common Taylor formulas author: Yu Shiming company: Xinmao Decoration company city: Shanghai postcode: 200011 digest: Some common Taylor formulas 正文： 很容易推导下面的公式： K --+---=?3)2(2)1()(!3)()(!2)())(()(c x x f c x x f c x x f dx x f 1 由此可以通过牛顿莱布尼兹公式得到一下公式： Λ----+ -------=?])(!3)()(!3)([])(!2)()(!2)([)])(())(([)(3)2(3)2(2)1(2)1(c a a f c b b f c a a f c b b f c a a f c b b f dx x f b a 2 当 c=a 公式 2 为： Λ--+---=? 3)2(2)1()(!3)()(!2)())(()(a b b f a b b f a b b f dx x f b a 3 当 c=b 公式 2 为： Λ+-+-+-=?3)2(2)1()(! 3)()(!2)())(()(a b a f a b a f a b a f dx x f b a 4 当 c=0 公式 2 为： Λ--+---=?]!3)(!3)([]!2)(!2)([])()([)(3)2(3)2(2)1(2)1(a a f b b f a a f b b f a a f b b f dx x f b a 5 还可以利用以下公式，前半部分用公式4，后半部分用公式3： ???+=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 6 或者可以利用以下公式进行积分： Λ+-+-+-+=3!3)(2!2)()1()()())(()()()3()2(c x c x c x c f c f x f c f c f 积分得到公式如下： Λ+-+-+-+=?????dx c x dx c x dx c x c f dx c f dx x f b a c f b a c f b a b a b a 3!3) (2!2)()1()()()()()()()3()2( 常用的泰勒公式 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 麦克劳林公式展开式 麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。 麦克劳林简介 麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。 1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。 1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。 他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。 Maclaurin的其他论述涉及到天文学，地图测绘学以及保险统计等学科，都取得了很多创造性的成果。 Maclaurin终生不忘牛顿Newton对他的栽培，死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情。 麦克劳林bai级数”是“泰勒级数”的du特殊形式，是展开zhi 位置为0的泰勒dao级数）。 一阶导数，系数=1/(x+1)=1/(1+x0)。二阶导数，系数=-1/(1+x)^2=-1/(1+x0)^2 数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y 常用十个泰勒展开公式 常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(- ∞ 阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了 展开式： 展开式是诗的内在结构类型之一。在展开式中，诗的意念、意象向着纵的方向展开。 或层层展开，如杜甫的诗往往从写景开始，似无他意，但在诗的进展中突然出现诗人的情思，结尾时猛地煞住，使读者在一种惊奇兴奋的心情中忍不住重新将诗反复诵读几遍，以体会诗人的心情。他的《舟月对驿近寺》便是如此：“更深不假烛，月朗自明船。金刹青枫外，朱楼白水边。城乌啼眇眇，野鹭宿娟娟。皓首江湖客，钩帘独未眠。”或突然展开，如歌德的《游子夜歌》，写诗人在暮晚时来到吉息尔汗山顶，看着寂静的山峦和树林，自然界的宁静深深地浸入了诗人的心灵，诗人有一种与自然默契的感觉，遂在诗的结尾突然转入一个新的高度：“等待吧，不久你也将沉入宁静。”给读者心灵以强烈的震撼，从而使人深思人生的奥秘（生与死），生命从开始到终结的含意。或在结尾的高潮中突然提出一个全新的思想，但不再发挥，戛然而止，留下无限的空间，使读者继续思考，臻于余音袅袅的境界。如陶潜的《结庐在人境》，诗人从东篱下的菊花写到远山，又写到山前的飞鸟，这时突然转入一个全新的境界：“此中有真义，欲辨己忘言。”至此停笔掩卷，却留下一种言语无法表达的韵味。以上三种展开式，可谓各尽其妙。 泰勒级数： 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰 勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。泰勒级数在近似计算中有重要作用。 泰勒公式： 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。 历史发展： 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一 麦克劳林公式是泰勒公式（在X=0下）的一种特殊形式。 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn是公式的余项，可以是如下： 1.佩亚诺(Peano)余项： Rn(x) = o(x^n) 2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项： Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p) [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 3.拉格朗日(Lagrange)余项： Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 4.柯西(Cauchy)余项： Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 5.积分余项： Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数] 麦克劳林 麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。 1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。他在1742年撰写的名著《流数论》是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于 常用十个泰勒展开公式 泰勒公式，泰勒公式[1]真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。 我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。 泰勒公式的用途 在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。这也是我自学这么久总结出来的规律。 泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。 从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。 泰勒公式的定义 我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。 举个例子： 这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δx的减小，点P0 和P 也会越来越接近，这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。 当然，当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数： 我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是 一些常用函数及其泰勒 T a y l o r展开式的图像 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y麦克劳林公式展开式
常见泰勒公式展开式
常用的泰勒公式
欧拉-麦克劳林求和公式
常用十个泰勒展开公式
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式
一些常用的泰勒公式
常用的泰勒公式
麦克劳林公式展开式
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
常用十个泰勒展开公式
常见泰勒公式展开式
麦克劳林公式
常用十个泰勒展开公式
一些常用函数及其泰勒Taylor展开式的图像