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2012苍中自主招生数学试卷2 - 附答案和评分标准

2012苍中自主招生数学试卷2 - 附答案和评分标准
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苍南中学2012年高一新生入学测试数学试卷

答题时,请注意以下几点:

1.全卷共4页,有三大题,22小题.全卷满分150分.考试时间120分钟; 2.答案必须写在答题纸相应的位置上,写在试题卷、草稿纸上均无效; 3.本卷不使用计算器。

参考公式:一元二次方程的ax 2+bx +c =0的两根是: x =—b ±b 2—4ac 2a

( b 2

—4ac ≥0);

二次函数y =ax 2

+bx +c (a ≠0)图象的顶点坐标为(—2b a ,2

44ac b a

-).

一、选择题(本题有8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、

多选、错选,均不给分)

1.对于一组统计数据:2,3,6,9,3,7,下列说法错误的是( )

A .众数是3

B .中位数是6

C .平均数是5

D .极差是7

2.化简222524

(1)244

a a a a a a -+-+÷+++的结果是( )

A .a -2

B .a +2

C .22(

)2a a -+ D .2

2()2

a a +- 3.为了测量被池塘隔开的A ,B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB ⊥BE ,

EF ⊥BE ,AF 交BE 于D ,C 在BD 上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC ,∠ACB ; ②AD ,∠ACB ,∠ DAC ;③EF ,DE ,BD ;④DE ,DC ,BC .能根据所测数据,求出 A ,B 间距离的有( )

A 、1组

B 、2组

C 、3组

D 、4组 4.如图,△ABC 是等边三角形,P 是∠ABC 的平分线BD 上一点,P

E ⊥AB 于点E ,线段BP 的垂直平分线交BC 于点

F ,垂足为点Q .若BF =2,则PE 的长为( ) A .2

B .

C D .3 5.如图给定的是纸盒的外表面,下面能由它折叠而成的是( )

A .

B .

C .

D .

(第

3

题图) (第4题图) (第5题图)

(第17题图)

6.已知关于x 的不等式

x a <6的解也是不等式253x a ->2

a -1的解, 则a 的取值范围是( ) A .611-

≤a <0 B .a ≥611- C .a >6

11

- D .以上都不对 7.已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图①;再顺次连接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图②;然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个新的菱形,如图③;如此反复操作下去,则第2012个图形中直角三角形的个数有( )

A .8048个

B .4024个

C .2012个

D .1066个

8.用][x 表示不大于x 的最大整数,如4]4.3[,0]25.0[,1]7.1[-=-==,则满足方程

1]8.3[]8.3[+=x x 的自然数x 有( )个

A .4

B .3

C .2

D .1 二、填空题(本题有10小题,每小题6分,共60分)

9.已知P =3xy ―2x +1,Q =x ―2xy ,当x ≠0时, P +Q =1恒成立,则y 的值为 . 10.袋中共有5个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和2个黑球.从袋 中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于___________.

11.已知二次函数y =x 2一5x +6,当y >0时x 的取值范围是

___________

. 12. |x + 2 | + | x – 2 | + |x – 1|的最小值是_______________. 13.如图,等边三角形ABC 中,D ,E 分别为AB ,BC 边上 的点,AD BE =,AE 与CD 交于点F ,AG CD ⊥于点G , 则

AG

AF

的值为 . 14.将一根细长的绳子,沿中间对折,再沿对折后的绳子中间对折,这样连续沿中间对折6次,用剪刀在对折6次后绳子的中间将绳子全部剪断,此时绳子被剪成____________段. 15.记A n =1-3+5-7+9+…+1

(1)(21)n n +-?-,其中n 为正整数,则 A 2011+A 2012=

_____. 16α,则α(α+1)的值为_________. 17.如图,△ABC 内接于⊙O ,AB +AC =12,AD ⊥BC 于点D , AD =3,则⊙O 面积的最大值为__________. 18.已知实数x ,y 满足(x y -

-=16,

则_________.

第13题图

D

C F

B

E G

三、解答题:(共4题,共50分)

19.(本题满分9分)如图,在平面直角坐标系中,-次函数)0(≠+=a b ax y 的图象与反比

例函数)0(≠=

k x

k

y 的图象交于一、三象限内的A ,B 两点,与x 轴交于C 点,点A 的坐标为(2, m ),点B 的坐标为(n ,-2),tan ∠BOC =5

2

(l )求该反比例函数和一次函数的解析式; (2)在x 轴上有一点E (O 点除外),使得△BCE 与△BCO 的面积相等,求出点E 的坐标.

20.(本题满分9分)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为圆上一点,AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ,DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若DE = 3,⊙O 的半径为5,求BE 的长.

(第19题图)

(第20题图)

21.(本题满分11分)如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ,点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合)将正方形纸片折叠,使点B 落在P 处,点C 落在G 处,PG 交DC 于H ,折痕为EF ,连接BP ,BH . (1)求证:∠APB =∠BPH ;

(2)当点P 在边AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论;

(3)设AP 为x ,四边形EFGP 的面积为S ,求出S 与x 的函数关系式,试问S 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

22.(本题满分11分)如图所示,已知在直角梯形OABC 中,AB OC BC x ∥,⊥轴于点

(11)(31)C A B ,,、,.动点P 从O 点出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P 点作PQ 垂直于直线..OA ,垂足为Q .设P 点移动的时间为t 秒(04t <<),OPQ

△与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S . (1)求经过O A B 、、三点的抛物线解析式; (2)求S 与t 的函数关系式;

(3)将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°,是否存在t ,使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛物线上?若存在,直接写出t 的值;若不存在,请说明理由.

(第21题图)

苍南中学2012年高一新生入学测试数学试卷答案

一、选择题(本题有8小题,每小题5分,共40分)

9.1 10.

25 11.x <2或x >3 12.4 1314. 65 15.-1 16. 1

17.36π 18.31

4

- 三、解答题:(共4题,共50分)

19.解:(1)过B 点作BD ⊥x 轴,垂足为D , ∵B (n ,﹣2),∴BD =2, 在Rt △OBD 在,tan ∠BOC =

BD OD ,即=2

5

,解得OD =5, 又∵B 点在第三象限,∴B (﹣5,﹣2),

将B (﹣5,﹣2)代入y =

k

x 中,得k =xy =10, ∴反比例函数解析式为y =10x ,将A (2,m )代入y =10

x

中,

得m =5,∴A (2,5),

将A (2,5),B (﹣5,﹣2)代入y =ax +b 中, 得25,52,a b a b +=??

-+=-?解得1,

3,

a b =??=?

则一次函数解析式为y =x +3;-----------------------------------7分 (2)由y =x +3得C (﹣3,0),即OC =3, ∵S △BCE =S △BCO ,∴CE =OC =3, ∴OE =6,即E (﹣6,0).------------------------------------- 11分

20.解: (1)如图,连接OD . 因为AD 平分∠BAC ,所以∠1=∠2.

又因为OA =OD ,所以∠1=∠3,所以∠2=∠3. 所以OD ∥AE .

又因为DE ⊥AE ,所以DE ⊥OD .而点D 在⊙O 上,所以DE 是⊙O 的切线.

---------------------------(5分)

(2)如图,连接BE 与OD 交于点H ,作OG ⊥AE 于点G . 则 OG =DE =3, EG =DO =5,

A B

所以AG 4,AE =4+5=9…(10分) 因为EA ∥OD , AO =OB ,所以HO =

12AE =92,HD =5-92=12

故HE =BE (11分)

21.

解:(1)如图1,∵PE =BE ,

∴∠EBP =∠EPB .

又∵∠EPH =∠EBC =90°,

∴∠EPH ﹣∠EPB =∠EBC ﹣∠EBP . 即∠PBC =∠BPH . 又∵AD ∥BC ,

∴∠APB =∠PBC .

∴∠APB =∠BPH .---------------------------------------4分

(2)△PHD 的周长不变为定值8.

证明:如图2,过B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q . 由(1)知∠APB =∠BPH ,

又∵∠A =∠BQP =90°,BP =BP , ∴△ABP ≌△QBP . ∴AP =QP ,AB =BQ . 又∵AB =BC , ∴BC =BQ .

又∵∠C =∠BQH =90°,BH =BH , ∴△BCH ≌△BQH . ∴CH =QH .

∴△PHD 的周长为:PD +DH +PH =AP +PD +DH +HC =AD +CD =8.

------------------8分

(3)如图3,过F 作FM ⊥AB ,垂足为M ,则FM =BC =AB . 又∵EF 为折痕, ∴EF ⊥BP .

∴∠EFM +∠MEF =∠ABP +∠BEF =90°, ∴∠EFM =∠ABP . 又∵∠A =∠EMF =90°, ∴△EFM ≌△BP A . ∴EM =AP =x .

∴在Rt △APE 中,(4﹣BE )2+x 2=BE 2

解得,2

28

x BE =+.

∴2

28

x CF BE EM x =-=+-.

又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等,

∴1

()2S BE CF BC =+?21(4)424x x =+-?,

即21282S x x =-+21

(2)62

x =-+,

∴当x =2时,S 有最小值6. --------------------------------------------14分

22.解:(1

设抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠. 把(11)(31)A B ,,,,代入上式得

1,1931,a b a b =+??

=++? 解得1,3

4.3a b ?=-????=??

∴所求抛物线解析式为214

33

y x x =-+.----------(4分) 法二:∵(11)(31)A B ,,,, ∴抛物线的对称轴是直线x =2.

设抛物线解析式为2(2)(0)y a x h a =-+≠.

把(0,0),(11)O A ,代入得22

0(02),

1(12).

a h a h ?=-+??=-+?? 解得1,3

4.3a b ?

=-????=??

∴所求抛物线解析式为214

33

y x x =-+.------------4分

(2)分三种情况:

①当0t <≤2,重叠部分的面积是OPQ S ?,过点A 作

AF ⊥x 轴于点F ,

∵(11)A ,,在Rt OAF △中,1A F O F ==

,45AOF ∠=°,

在Rt OPQ △中,OP t =,45OPQ QOP ∠=∠=°,

∴cos 452

PQ OQ t ===

°,

∴2

2

1124

S t ?==????. ------------7分

②当23t <≤,设PQ 交AB 于点G ,作GH x ⊥轴于点H ,

45OPQ QOP ∠=∠=°,则四边形OAGP 是等腰梯形,

重叠部分的面积是OAGP S 梯形. ∴2AG FH t ==-, ∴11

()(2)1

122

S AG OP AF t t t =

+=+-?=-.---------- 8分 ③当34t <<,设PQ 与AB 交于点M ,交BC 于点N 因为PNC △和BMN △都是等腰直角三角形, 所以重叠部分的面积是OAMNC S 五边形BMN OABC S S =-△梯形.

∵(31)B ,,OP t =,

∴3PC CN t ==-,

∴1(3)4BM BN t t ==--=-,

∴211

(23)1(4)22

S t =

+?-- 所以2111

422

S t t =-+-.-------------- 10分

(3)存在 11t = ---------------12分 22t = ------------14分.

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