2017年辽宁单招数学模拟试题及答案

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2017年辽宁单招数学模拟试题及答案

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知命题:,cos 1p x R x ?∈≤则

A :,cos 1p x R x ??∈≥

B :,cos 1p x R ??∈≥

C :,cos 1p x R x ??∈>

D :,cos 1p x R ??∈> 2若复数

312a i

i

+-（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A -6 B 6 C -2 D 4

3 下列几何体各自的三视图中，至少有两个试图相同的是

A

①②③ B ①④ C ②④ D ①②④

4函数()ln 21f x x x =+-零点的个数为

A4 B3 C 2 D1

5若不等式组5003x y x y a x -+≥??

≥??≤≤?

表示的平面区域是一个三角形，则a 得取值范围是

A 5a <

B a 8≥

C 58a ≤<

D 58a a <≥或 6 过点（0，1）的直线与224x y +=相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 A 2 B 23 C 3 D25

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7 在三角形ABC 中，A=1200，AB=5，BC=7，则sin sin B

C

的值为 A

35 B 53 C 85 D 58

8已知非零向量AB BC 、 和BC 满足2

()0=2||||||||

AB AC AC BC BC AB AC AC BC +=

且，则?ABC 为

A 等边三角形

B 等腰非直角三角形

C 非等要三角形

D 等腰直角三角形 9函数()y f x =的图像如图所示，则函数0.5log ()y f x =的图像大致是

10 若点p(2,0)到双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线的距离为2，则在双曲线德离心率

为

A 2

B 3

C 22

D 23 11 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了

该校1000名高三学生的视力情况，得到频率分布直 方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列， 设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数b ，则

a b 、的值分别为

A 2.7，780 B2.7，830 C 0.27，780 D 0.27，830

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12 设()f x 是定义在R 上的齐函数，且党0x ≥时2()f x x =，若对任意的

[22,22]x ∈--+不等式()2()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是

A [2,)+∞

B (,2]-∞

C [432,)++∞

D (2,][432,)-∞-?++∞

第II 卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1 第II 卷包括填空题和解答题共两个大题

2第II 卷所有题目的答案考生需要用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸制定的位置上

二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13 若3cos ,(

,)5

2

π

ααπ=-∈则tan α=

14 在如下程序图框中，输入0()sin f x x =，则输出的是

15 已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题： ①若||,m α则m 平行与平面α内的无数条直线 ②若||,,,||m n m n αβαβ??则 ③若,,||||m n m n αβαβ⊥⊥则 ④若||,,||m m αβαβ?则

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

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16 在技术工程上，常用到双曲线正弦函数2

x x

e e shx --=和双曲线余弦函数

2

x x

e e shx -+=，而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函

数有关类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin()sin cos cos sin x y x y x y +=+成立，

而关于双曲正、余弦函数满足()sh x y shxchy shxshy +=+。请你御用类比的思想，写出关于双曲正弦、双曲余弦很熟的一个新关系试

三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （12分）

已知2(cos ,cos ),(cos ,3sin )a x x b x x ωωωω==

（其中0<ω<1）,函数()f x a b - 若直线3

x π

=是

函数()f x 图像的一条对称轴， （I ） 试求ω的值；

（II ） 先列表在作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图像

18（12分）

将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，

记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，设复数z=a+b i (I) 求事件"3z i -为实数”的概率；

(II)

求事件“复数z 在复平面内的对应点（a,b ）满足（a-2）2 +b 29≤的

概率

19 （12分）

如图，已知里棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，

0||,90,,AD BC BCD PA PB PC PD ∠===

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（I ） 证明平面PAB ⊥平面ABCD ；

（II ）

如果1AD =,3,4BC CD ==，且侧面PCD 的面积为8，求四棱锥

P ABCD -的面积。

20（12分）

已知函数43

212()2243

f x x x ax x =-++--在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增。

（I ） 求实数a 的值 （II ） 求函数()f x 的极值

21（12分）

已知数列{}a 满足11222(2,2)n n n a a n a -=++≥=，

（I ）

求234,,;a a a

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（II ）

是否存在一个实数λ，使得数列2n n

a λ+??

?

???

成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；

（III ） 求数列{}n a 的前n 项和S n

22(14分)

如图，在Rt ABC ?中，02

90,2,2

CAB AB AC ∠===，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，并保持||||PA PB +的值不变，直线l 经过点A 与曲线E 交于,M N

两点。 （I ） 建立适当的坐标系，求取现E 的方程；

（II ）

设直线l 的斜率为k ，若MBN ∠为钝角，求k 的取值范围。

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参考答案

1—5 CBDDC 6—10 BADCA 11.C 12B 13. 43

-

14. cos x 15.①③④

()()2

2

16.221sh x y shxchy chxshy ch x y chxchy shxshy sh x shxchx ch x sh x -=-+=+=-=或或或等等（写对一个即可）

17.解：

()()()

22cos ,cos cos ,3sin 2cos 23cos sin 12cos 3sin 12sin 26f x a b x x x x x x x

x x x ωωωωωωωπωωω=?=?=+?

?=++=++ ?

?

?

()()22sin 133636231111

,010,22332

x k k Z K k k π

ωππωππππωωω??

I =

∴+=±∴+=+∈ ???∴=+∴-∴==

直线为对称轴, ()()()12sin 6f x x π??

∏I =++

??

?

由知

列表

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描点作图，函数()f x 在[],ππ-的图像如图

所示。

18.（文）

解：（Ⅰ）3i =-为实数，即()33a bi i a b i +-=+-为实数，3b ∴= 依题意a 可取1，2，3，4，5，6 故出现3b =的概率为161366

p =

= 即事件“3i =-为实数”的概率为

16

（Ⅱ）有条件可知，b 的值只能去1，2，3

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()()()2

221-28,12342-25,12343-20,2

b a a b a a b a a =≤=≤=≤当时，即可取，，，当时，即可取，，，当时，即可取 ∴共有8中情况下可使事件发生，有,a b 的取值情况共有36种

所以事件“点(),a b 满足()2

2

29a b -+≤”的概率为

244113636364

p =

++= 19.（文12分）

解：（Ⅰ）取AB 、CD 的中点E 、F 。连结PE 、EF 、PF ，由PA=PB 、PC=PD 得PE AB PF CD ⊥⊥、

∴EF 为直角梯形的中位线，EF CD ∴⊥

又,PF EF F CD =∴⊥ 平面PEF

PF ?平面PEF ,得CD PE ⊥

又PE AB ⊥且梯形两腰AB 、CD 必交

PE ABCD PE PAB PAB ABCD

∴⊥?∴⊥平面又平面平面平面

()()11

,422

4

PCD PF CD S CD PF PF

PF ?∏I ⊥=

?=??∴=由则 由已知，()1

22

EF AD BC =

+=又在直角PEF ?中，22224223PE PF EF =-=-=

即四棱锥P ABCD =的高为23

∴四棱锥P ABCD =的体积

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()132

1163 82333

AD BC CD V PE

+?=??=??=

20.（文12分）

解：（Ⅰ）由函数()43

2122243

f x x x ax x =-

++--在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,2上单调递增，可知当时1x =取得极小值，()10f '∴=

()()322221112220,2

f x x x ax f a a '=-++-'=-++-==

得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

()()()()()()4323212

22

43

221120,1,1,2

f x x x ax x f x x x x x x x f x x x x =-++--'∴=-++-=--+-==-==令得 列表

所以函数()f x 有极大值()()581,2123f f -=-=-，极小值()37112

f =-

21. .（文12分）

解：（Ⅰ）23344210,208230,6016278,a a a =++==++==++= （Ⅱ）假设存在一个实数λ，使得数列2n n

a λ+??

?

???

成等差数列，则1122n n n n a a λλ--++-

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11222222122n n n n n a a λλλ--+++---==+恒为常数

121222

2022,1,222

a a a λλ+++∴-===-=即，此时

当2λ=时，数列2n n

a λ+??

????

是首项为2、公差为1的等差数列 （Ⅲ）2n n

a λ+??

?

???

由（Ⅱ）得()1221122n n a a n n ++=+-=+ ()()()232

3

4

1

122

223242122222324212

4n n n n n n a n S n n S n n

+∴=+-=?+?+?+???++-=?+?+????++-

两式相减得：

()23111

22222122222

2n n n n n n S n n n n S n n

+++-=?++???+-++=-?+∴=?-

22. （文14分）

解：（Ⅰ）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则()1,0A -

()1,0B

有题设可得：2

222232

22222222PA PB CA CB ??+=+=++=+= ? ???

∴动点P 的轨迹为椭圆

设其方程()22

2211x y a b a b

+=

则22

2,1,1a c b a c ===-=

∴曲线E 的方程为2

212

x y +=

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（Ⅱ）设直线l 的方程为()()()11221,,,,y k x M x y N x y =+

()()()222222

112k 4210220

y k x x k x k x y ?=+?+++-=?+-=??由得 ① 有直线l 过点A 知，方程①有两个不等的实数根

()()()()()()()()()()()()()22121222

2121212122

2

2

12

1

2

2

2

22

2

2

2

2

2

214,121211111111121471111121212k k x x x x k k BM x x y y x x k x x k x x k x x k k k

k k

k k k k

k -∴+=-?=

++=--+=--+++=++-+++--=++--++=

+++

MBN ∠ 是钝角0BM BN ∴?

即22

7112k k -+0 ，解得：77

77

k - 又M 、B 、N 三点不共线，0k ∴≠

综上，k 的取值范围是77,00,77????- ? ? ? ?????