2015高考数学试题分类汇编函数与导数部分

2015年高考理科数学试题分类汇编函数、导数、定积分部分

（新课标全国II ）5．设函数21

1log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-

,2(2)(log 12)f f -+=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C 【解析】

试题分析：由已知得

2(2)

1l o g 43f -=+=，又2l o g 121>，所以

22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．

考点：分段函数．

（新课标全国II ）10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P

沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）

【答案】B 【解析】

D

P

C

x

考点：函数的图象和性质．

（新课标全国II ）12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0

x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞

【答案】A 【解析】

试题分析：记函数()()f x g x x =，则''

2

()()()xf x f x g x x

-=，因为当0x >时，'()()0x f x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数

()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．

考点：导数的应用、函数的图象与性质． （新课标全国II ）21．（本题满分12分） 设函数2()mx f x e x mx =+-．

(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-． 【解析】

试题分析：(Ⅰ)先求导函数'

()(1)2mx

f x m e

x =-+，根据m 的范围讨论导函数在(,0)-∞和

(0,)+∞的符号即可；（Ⅱ）

12()()1f x f x e -≤-恒成立，等价于

12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)

可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需(1)(0)1,

(1)(0)1,f f e f f e -≤-??

--≤-?

，从

而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．

考点：导数的综合应用．

（新课标全国I ）12.设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数

x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）

A.[-，1）

B. [-，）

C. [，）

D. [，1） 【答案】D 【解析】

试题分析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.

因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当1

2

x >-时，()g x '＞0，

所以当1

2

x =-时，max [()]g x =12-2e -，

当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故

(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得

3

2e

≤a ＜1，故选D.

考点：导数的综合应用

13（新课标全国I ）若函数f (x )=x ln （x a =

【答案】1

考点：函数的奇偶性

（新课标全国I ）（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=3

1

,()ln 4

x ax g x x ++

=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{

()min (),()(0)h x f x g x x => ，

讨论h （x ）零点的个数

【答案】（Ⅰ）34a =

；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54

a =-时，()h x 有两个零点；当53

44

a -<<-时，()h x 有三个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即

300

20

10430

x ax x a ?++=???+=?，解得0

13,24x a ==. 因此，当3

4

a =

时，x 轴是曲线()y f x =的切线. ……5分 （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.

当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5

(1)04

f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f

g f ==<,故x =1

不是()h x 的零点.

当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.

(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而

1(0)4f =

，5

(1)4

f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.

(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0

1）单调递增，故

当x

()f x

取的最小值，最小值为f

=

14.学科网 ①

若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.

②

若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；

③

若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当

5344a -

<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当5

34

a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分

综上，当34a >-

或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或5

4a =-时，()h x 有两个零点；当53

44

a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分

考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 （2015安徽）（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+ 【答案】A

考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.

（2015安徽）函数()()

2

ax b

f x x c +=

+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <

【答案】C

考点：1.函数的图象与应用.

（2015安徽）15.设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的

是 .（写出所有正确条件的编号）

①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤

考点：1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值. （2015安徽）（18）（本小题满分12分） 设*

n N ∈，n x 是曲线22

1n y x

+=+在点(12)，

处的切线与x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记22

2

1321n n T x x x -=，证明1

4n

T n

≥. 【答案】（1）1

n n

x n =+；（2）14n T n ≥.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线进行求导，得出曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而可以写成切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点

的横坐标1111n n

x n n =-

=

++. （Ⅱ）要证1

4n T n

≥，需考虑通项221n x -，通过适当放缩能够使得每项相消.先表示出

考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式. （2015安徽）（21）（本小题满分13分） 设函数2

()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22

ππ

-

内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

（Ⅱ）记2

000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22

ππ

-

,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求2

4

a z

b =-满足D 1≤时的最大值.

【答案】（Ⅰ）极小值为2

4

a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）

1.

试题解析：（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，2

2

x π

π

-

<<

.

[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，2

2

x π

π

-

<<

.

（2015北京）7.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是

A ．{}|10x x -<≤

B ．{}|11x x -≤≤

C ．{}|11x x -<≤

D ．{}|12x x -<≤

【答案】C 【解析】

考点：1.函数图象；2.解不等式.

（2015北京）8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、

乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】

【解析】

试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.

考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.

（2015北京）

考点：1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用. （2015北京）

14.设函数()()()2142 1.

x a x f x x a x a x ?-

①若1a =，则()f x 的最小值为

；

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是

．

【答案】(1)1，(2)

1

12

a ≤<或2a ≥.

考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想. （2015北京）18.（本小题13分） 已知函数()1ln

1x

f x x

+=-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，

时，()323x f x x ??

>+ ??

?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ??

>+ ???

对()01x ∈，

恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.

试题解析：（Ⅰ）

2

12

()ln

,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x

+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；

（Ⅱ）当()01x ∈，

时，()323x f x x ??

>+ ???

，即不等式3

()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ?∈成立，设

33

1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则

4

2

2()1x F x x

'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈，

3

()2()3

x f x x >+

成立；学科网

（Ⅲ）使()33x f x k x ??

>+ ???

成立，()01x ∈，

，等价于3

1()ln ()013

x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；

42

22

22()(1)11kx k F x k x x x

+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '

≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；

当2k >时，令4

02

()0,(0,1)k F x x k

-'

==

∈，

()(0)F x F <，显然不成立，

综上所述可知：k 的最大值为2.

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.

（2015福建）2．下列函数为奇函数的是( )

A ．y =

B ．sin y x =

C ．cos y x =

D ．x x y e e -=-

【答案】D

考点：函数的奇偶性．

（2015福建）10．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足

()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）

A ．11

f k k ??<

??? B ．111f k k ??> ?-?? C ．1111f k k ??< ?--?? D ． 111

k f k k ??> ?

--?? 【答案】C

考点：函数与导数．

（2015福建）14．若函数()6,2,

3log ,2,a x x f x x x -+≤?=?

+>?

（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，

则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(1,2]

考点：分段函数求值域．

（2015福建）20已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R = (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；

(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x ?任意，恒有f()()x g x >；

(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x ?，t 恒有2|f()()|x g x x -<． 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ． 【解析】学科网

试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-? 只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-? 即()0G x >，

求导得1

()1+G x k x

￠

=-

(1k)

1+kx x

-+-=

，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k <时，存在00x >，使

得()0G x >即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k >时，对于(0,),x "违+

()f()g x x x ，

>>故()f()g x x >，则不等式2|f ()()|x g x x -<变形为2k l n (1)x x x -+<，构造函数

2M ()k l n (1),[0)x x x x x =-

+-违，+，只需说明()0M x <，易发现函数()M x 在

0x ?（递增，而(0)0M =，故不存在；当1k <时，由(Ⅱ)知，

存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，?恒有f()()x g x >，此时不等式变形为

2

ln(1)k x x x

+-<， 构造

2

N ()l n (1)k ,[0)x x x

x x =+--违，+，易发现函数()N x 在

0x ?（递增，而(0)0N =，不满足题意；当=1k 时，代入证

明即可．

试题解析：解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-? 则有

1()11+1+

x

F x x x ￠=

-=- 当(0,),x ? ()0F x ￠<,所以()F x 在(0,)+ 上单调递减； 故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x f()<．

(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-? 则有1(1k)

()1+1+kx G x k x x

-+-￠

=-= 当0k ￡ G ()0x ￠>,所以G()x 在[0,)+ 上单调递增, G()(0)0x G >= 故对任意正实数0x 均满足题意. 当01k <<时，令()0,x G ￠=得11

=10k x k k

-=->． 取01

=

1x k

，-对任意0(0,),x x ?恒有G ()0x ￠>,所以G ()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G >=,即 f()()x g x >.

综上，当1k <时，总存在00x >,使得对任意的0(0),x x ，?恒有f()()x g x >． (3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+

()f()g x x x ，

>>故()f()g x x >， |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，

令

2M()k ln(1),[0)

x x x x x =-+-违，+，则有

2

1

-2

+(

k -

2M ()

k

2

=

,

11x x k x x

x

x

+-￠=--++

故

当

)

8

(

k 1)

0x ?（时

，

M ()x ￠>,

M()x 在

[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以

满足题意的t 不存在.

当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，?恒有f()()x g x >． 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-, 令

2N()ln(1)k ,[0)

x x x x x =+--违，+，则有

2

'

1

-2

-(k

+2

()2=

,

11x x k N x k x

x

x

-+=--++

故

当

+2

)

8(1k )0x ?（时

，

N ()x ￠>,M()

x 在

[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记

0x 1x ，

则当2

1(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在.

当=1k ，由（1）知，(0,),x 违

当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，

令2

H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有2

1-2H ()12=,11x x

x x x x

-￠

=--++

当0x >时，H ()0x ￠<,所以H()x 在[0+￥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意. 综上，=1k .

解法二：（1）（2）同解法一.

（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+

()f()g x x x >>，

， 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-， 令2(k 1),01x x x k -><<-解得，

从而得到当1k >时，(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时，取11k+1

=

12

k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x ?任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2

k

x g x x g x k x x --=->-=, 令

21k 1k

,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k

2

中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，

故满足题意的t 不存在.

当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+

|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，

令2

M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有212M ()12,11x x

x x x x

--'=--=++ 当0x >时，M ()0x ￠<,所以M()x 在[0+∞，）上单调递减，故M()M(0)0x <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意.

综上，=1k .

考点：导数的综合应用．

（2015广东）3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A ．x

e x y += B ．x x y 1+

= C ．x x

y 2

12+= D ．21x y +=

【答案】A ．

【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，

()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶

函数、偶函数，故选A ．

【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题． （2015广东）19．（本小题满分14分） 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2。 (1) 求)(x f 的单调区间 ；

(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；

(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平

行（O 是坐标原点）,证明：12

3--

≤e

a m ． 【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题()()()()()

2

22'1'1'10x x

x f x x e x e x e =+++=+≥，

∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数；