2015年高考理科数学试题分类汇编函数、导数、定积分部分
(新课标全国II )5.设函数21
1log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-=?≥?
,2(2)(log 12)f f -+=( ) A .3 B .6 C .9 D .12 【答案】C 【解析】
试题分析:由已知得
2(2)
1l o g 43f -=+=,又2l o g 121>,所以
22log 121log 62(log 12)226f -===,故2(2)(log 12)9f f -+=,故选C .
考点:分段函数.
(新课标全国II )10.如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P
沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=.将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )
【答案】B 【解析】
D
P
C
x
考点:函数的图象和性质.
(新课标全国II )12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=,当0
x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A .(,1)(0,1)-∞- B .(1,0)(1,)-+∞ C .(,1)(1,0)-∞-- D .(0,1)(1,)+∞
【答案】A 【解析】
试题分析:记函数()()f x g x x =,则''
2
()()()xf x f x g x x
-=,因为当0x >时,'()()0x f x f x -<,故当0x >时,'()0g x <,所以()g x 在(0,)+∞单调递减;又因为函数
()()f x x R ∈是奇函数,故函数()g x 是偶函数,所以()g x 在(,0)-∞单调递减,且(1)(1)0g g -==.当01x <<时,()0g x >,则()0f x >;当1x <-时,()0g x <,则()0f x >,综上所述,使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-,故选A .
考点:导数的应用、函数的图象与性质. (新课标全国II )21.(本题满分12分) 设函数2()mx f x e x mx =+-.
(Ⅰ)证明:()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增;
(Ⅱ)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12()()1f x f x e -≤-,求m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)[1,1]-. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求导函数'
()(1)2mx
f x m e
x =-+,根据m 的范围讨论导函数在(,0)-∞和
(0,)+∞的符号即可;(Ⅱ)
12()()1f x f x e -≤-恒成立,等价于
12max ()()1f x f x e -≤-.由12,x x 是两个独立的变量,故可求研究()f x 的值域,由(Ⅰ)
可得最小值为(0)1f =,最大值可能是(1)f -或(1)f ,故只需(1)(0)1,
(1)(0)1,f f e f f e -≤-??
--≤-?
,从
而得关于m 的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解.
考点:导数的综合应用.
(新课标全国I )12.设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数
x 0,使得0()f x 0,则a 的取值范围是( )
A.[-,1)
B. [-,)
C. [,)
D. [,1) 【答案】D 【解析】
试题分析:设()g x =(21)x e x -,y ax a =-,由题知存在唯一的整数0x ,使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.
因为()(21)x g x e x '=+,所以当12x <-时,()g x '<0,当1
2
x >-时,()g x '>0,
所以当1
2
x =-时,max [()]g x =12-2e -,
当0x =时,(0)g =-1,(1)30g e =>,直线y ax a =-恒过(1,0)斜率且a ,故
(0)1a g ->=-,且1(1)3g e a a --=-≥--,解得
3
2e
≤a <1,故选D.
考点:导数的综合应用
13(新课标全国I )若函数f (x )=x ln (x a =
【答案】1
考点:函数的奇偶性
(新课标全国I )(本小题满分12分) 已知函数f (x )=3
1
,()ln 4
x ax g x x ++
=- (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;
(Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{
()min (),()(0)h x f x g x x => ,
讨论h (x )零点的个数
【答案】(Ⅰ)34a =
;(Ⅱ)当34a >-或54a <-时,()h x 由一个零点;当34a =-或54
a =-时,()h x 有两个零点;当53
44
a -<<-时,()h x 有三个零点.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应的a 值;(Ⅱ)根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数,若零点不容易求解,则对a 再分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ,则0()0f x =,0()0f x '=,即
300
20
10430
x ax x a ?++=???+=?,解得0
13,24x a ==. 因此,当3
4
a =
时,x 轴是曲线()y f x =的切线. ……5分 (Ⅱ)当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<, ∴()h x 在(1,+∞)无零点.
当x =1时,若54a ≥-,则5(1)04f a =+≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点;若54a <-,则5
(1)04
f a =+<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f
g f ==<,故x =1
不是()h x 的零点.
当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =->,所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数.
(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥,则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点,故()f x 在(0,1)单调,而
1(0)4f =
,5
(1)4
f a =+,所以当3a ≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,()f x 在(0,1)无零点.
(ⅱ)若30a -<<,则()f x 在(0
1)单调递增,故
当x
()f x
取的最小值,最小值为f
=
14.学科网 ①
若f >0,即34-<a <0,()f x 在(0,1)无零点.
②
若f =0,即34a =-,则()f x 在(0,1)有唯一零点;
③
若f <0,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当
5344a -
<<-时,()f x 在(0,1)有两个零点;当5
34
a -<≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点.…10分
综上,当34a >-
或54a <-时,()h x 由一个零点;当34a =-或5
4a =-时,()h x 有两个零点;当53
44
a -<<-时,()h x 有三个零点. ……12分
考点:利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想 (2015安徽)(2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
(A )y cos x = (B )y sin x = (C )y ln x = (D )21y x =+ 【答案】A
考点:1.函数的奇偶性;2.函数零点的概念.
(2015安徽)函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
(A )0a >,0b >,0c < (B )0a <,0b >,0c > (C )0a <,0b >,0c < (D )0a <,0b <,0c <
【答案】C
考点:1.函数的图象与应用.
(2015安徽)15.设30x ax b ++=,其中,a b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的
是 .(写出所有正确条件的编号)
①3,3a b =-=-;②3,2a b =-=;③3,2a b =->;④0,2a b ==;⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤
考点:1函数零点与方程的根之间的关系;2.函数的单调性及其极值. (2015安徽)(18)(本小题满分12分) 设*
n N ∈,n x 是曲线22
1n y x
+=+在点(12),
处的切线与x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)求数列{}n x 的通项公式; (Ⅱ)记22
2
1321n n T x x x -=,证明1
4n
T n
≥. 【答案】(1)1
n n
x n =+;(2)14n T n ≥.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)对题中所给曲线进行求导,得出曲线221n y x +=+在点(12),处的切线斜率为22n +.从而可以写成切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点
的横坐标1111n n
x n n =-
=
++. (Ⅱ)要证1
4n T n
≥,需考虑通项221n x -,通过适当放缩能够使得每项相消.先表示出
考点:1.曲线的切线方程;2.数列的通项公式;3.放缩法证明不等式. (2015安徽)(21)(本小题满分13分) 设函数2
()f x x ax b =-+. (Ⅰ)讨论函数(sin )f x 在(,)22
ππ
-
内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(Ⅱ)记2
000()f x x a x b =-+,求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22
ππ
-
,上的最大值D ; (Ⅲ)在(Ⅱ)中,取000a b ==,求2
4
a z
b =-满足D 1≤时的最大值.
【答案】(Ⅰ)极小值为2
4
a b -;(Ⅱ)00||||D a a b b =-+-; (Ⅲ)
1.
试题解析:(Ⅰ)2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+,2
2
x π
π
-
<<
.
[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-,2
2
x π
π
-
<<
.
(2015北京)7.如图,函数()f x 的图象为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是
A .{}|10x x -<≤
B .{}|11x x -≤≤
C .{}|11x x -<≤
D .{}|12x x -<≤
【答案】C 【解析】
考点:1.函数图象;2.解不等式.
(2015北京)8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】
【解析】
试题分析:“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A错误;B中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B错误,C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油,C错误,D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,选D.
考点:1.函数应用问题;2.对“燃油效率”新定义的理解;3.对图象的理解.
(2015北京)
考点:1.函数的单调性、极值与最值;2.绝对值不等式的应用. (2015北京)
14.设函数()()()2142 1.
x a x f x x a x a x ?-=?--?????≥
①若1a =,则()f x 的最小值为
;
②若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是
.
【答案】(1)1,(2)
1
12
a ≤<或2a ≥.
考点:1.函数的图象;2.函数的零点;3.分类讨论思想. (2015北京)18.(本小题13分) 已知函数()1ln
1x
f x x
+=-.
(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()00f ,处的切线方程; (Ⅱ)求证:当()01x ∈,
时,()323x f x x ??
>+ ??
?; (Ⅲ)设实数k 使得()33x f x k x ??
>+ ???
对()01x ∈,
恒成立,求k 的最大值. 【答案】(Ⅰ)20x y -=,(Ⅱ)证明见解析,(Ⅲ)k 的最大值为2.
试题解析:(Ⅰ)
2
12
()ln
,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x
+''=∈-===--,曲线()y f x =在点()()00f ,处的切线方程为20x y -=;
(Ⅱ)当()01x ∈,
时,()323x f x x ??
>+ ???
,即不等式3
()2()03x f x x -+>,对(0,1)x ?∈成立,设
33
1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-,则
4
2
2()1x F x x
'=-,当()01x ∈,时,()0F x '>,故()F x 在(0,1)上为增函数,则()(0)0F x F >=,因此对(0,1)x ?∈,
3
()2()3
x f x x >+
成立;学科网
(Ⅲ)使()33x f x k x ??
>+ ???
成立,()01x ∈,
,等价于3
1()ln ()013
x x F x k x x +=-+>-,()01x ∈,;
42
22
22()(1)11kx k F x k x x x
+-'=-+=--, 当[0,2]k ∈时,()0F x '
≥,函数在(0,1)上位增函数,()(0)0F x F >=,符合题意;
当2k >时,令4
02
()0,(0,1)k F x x k
-'
==
∈,
()(0)F x F <,显然不成立,
综上所述可知:k 的最大值为2.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论.
(2015福建)2.下列函数为奇函数的是( )
A .y =
B .sin y x =
C .cos y x =
D .x x y e e -=-
【答案】D
考点:函数的奇偶性.
(2015福建)10.若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ,其导函数()f x ' 满足
()1f x k '>> ,则下列结论中一定错误的是( )
A .11
f k k ??<
??? B .111f k k ??> ?-?? C .1111f k k ??< ?--?? D . 111
k f k k ??> ?
--?? 【答案】C
考点:函数与导数.
(2015福建)14.若函数()6,2,
3log ,2,a x x f x x x -+≤?=?
+>?
(0a > 且1a ≠ )的值域是[)4,+∞ ,
则实数a 的取值范围是 . 【答案】(1,2]
考点:分段函数求值域.
(2015福建)20已知函数f()ln(1)x x =+,(),(k ),g x kx R = (Ⅰ)证明:当0x x x ><时,f();
(Ⅱ)证明:当1k <时,存在00x >,使得对0(0),x x ?任意,恒有f()()x g x >;
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值,使得存在0t >,对任意的(0),x ?,t 恒有2|f()()|x g x x -<. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) =1k . 【解析】学科网
试题分析:(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-? 只需求值域的右端点并和0比较即可;(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-? 即()0G x >,
求导得1
()1+G x k x
¢
=-
(1k)
1+kx x
-+-=
,利用导数研究函数()G x 的形状和最值,证明当1k <时,存在00x >,使
得()0G x >即可;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当1k >时,对于(0,),x "违+
()f()g x x x ,
>>故()f()g x x >,则不等式2|f ()()|x g x x -<变形为2k l n (1)x x x -+<,构造函数
2M ()k l n (1),[0)x x x x x =-
+-违,+,只需说明()0M x <,易发现函数()M x 在
0x ?(递增,而(0)0M =,故不存在;当1k <时,由(Ⅱ)知,
存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ,?恒有f()()x g x >,此时不等式变形为
2
ln(1)k x x x
+-<, 构造
2
N ()l n (1)k ,[0)x x x
x x =+--违,+,易发现函数()N x 在
0x ?(递增,而(0)0N =,不满足题意;当=1k 时,代入证
明即可.
试题解析:解法一:(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-? 则有
1()11+1+
x
F x x x ¢=
-=- 当(0,),x ? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+ 上单调递减; 故当0x >时,()(0)0,F x F <=即当0x >时,x x f()<.
(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-? 则有1(1k)
()1+1+kx G x k x x
-+-¢
=-= 当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+ 上单调递增, G()(0)0x G >= 故对任意正实数0x 均满足题意. 当01k <<时,令()0,x G ¢=得11
=10k x k k
-=->. 取01
=
1x k
,-对任意0(0,),x x ?恒有G ()0x ¢>,所以G ()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G >=,即 f()()x g x >.
综上,当1k <时,总存在00x >,使得对任意的0(0),x x ,?恒有f()()x g x >. (3)当1k >时,由(1)知,对于(0,),x "违+
()f()g x x x ,
>>故()f()g x x >, |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+,
令
2M()k ln(1),[0)
x x x x x =-+-违,+,则有
2
1
-2
+(
k -
2M ()
k
2
=
,
11x x k x x
x
x
+-¢=--++
故
当
)
8
(
k 1)
0x ?(时
,
M ()x ¢>,
M()x 在
[0上单调递增,故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以
满足题意的t 不存在.
当1k <时,由(2)知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ,?恒有f()()x g x >. 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-, 令
2N()ln(1)k ,[0)
x x x x x =+--违,+,则有
2
'
1
-2
-(k
+2
()2=
,
11x x k N x k x
x
x
-+=--++
故
当
+2
)
8(1k )0x ?(时
,
N ()x ¢>,M()
x 在
[0上单调递增,故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记
0x 1x ,
则当2
1(0)|f()()|x x x g x x ?>,时,恒有,故满足题意的t 不存在.
当=1k ,由(1)知,(0,),x 违
当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+,
令2
H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违,+,则有2
1-2H ()12=,11x x
x x x x
-¢
=--++
当0x >时,H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥,)上单调递减,故H()(0)0x H <=, 故当0x >时,恒有2|f()()|x g x x -<,此时,任意实数t 满足题意. 综上,=1k .
解法二:(1)(2)同解法一.
(3)当1k >时,由(1)知,对于(0,),x "违+
()f()g x x x >>,
, 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-, 令2(k 1),01x x x k -><<-解得,
从而得到当1k >时,(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时,取11k+1
=
12
k k k <<,从而 由(2)知存在00x >,使得0(0),x x ?任意,恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2
k
x g x x g x k x x --=->-=, 令
21k 1k
,022x x x --><<解得,此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k
2
中较小的为1x ,则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>,时,恒有,
故满足题意的t 不存在.
当=1k ,由(1)知,(0,),x 违当+
|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+,
令2
M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞,+,则有212M ()12,11x x
x x x x
--'=--=++ 当0x >时,M ()0x ¢<,所以M()x 在[0+∞,)上单调递减,故M()M(0)0x <=, 故当0x >时,恒有2|f()()|x g x x -<,此时,任意实数t 满足题意.
综上,=1k .
考点:导数的综合应用.
(2015广东)3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是
A .x
e x y += B .x x y 1+
= C .x x
y 2
12+= D .21x y +=
【答案】A .
【解析】令()x f x x e =+,则()11f e =+,()111f e --=-+即()()11f f -≠,
()()11f f -≠-,所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数,而BCD 依次是奇函数、偶
函数、偶函数,故选A .
【考点定位】本题考查函数的奇偶性,属于容易题. (2015广东)19.(本小题满分14分) 设1a >,函数a e x x f x -+=)1()(2。 (1) 求)(x f 的单调区间 ;
(2) 证明:)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点;
(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平
行(O 是坐标原点),证明:12
3--
≤e
a m . 【答案】(1)(),-∞+∞;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】(1)依题()()()()()
2
22'1'1'10x x
x f x x e x e x e =+++=+≥,
∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数;