第九篇解析几何第5讲椭圆

第5讲椭圆

【2013年高考会这样考】

1.考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题.

2.考查椭圆的方程及其几何性质.

3.考查直线与椭圆的位置关系.

【复习指导】

1.熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程.

2.掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等.体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题.

第九篇解析几何第5讲椭圆

基础梳理

1.椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:

(1)若a>c,则集合P为椭圆;

(2)若a=c,则集合P为线段;

(3)若a<c,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

第九篇解析几何第5讲椭圆

续表

第九篇解析几何第5讲椭圆

第九篇解析几何第5讲椭圆

一条规律

椭圆焦点位置与x2,y2系数间的关系:

给出椭圆方程

x2

m+

y2

n=1时,椭圆的焦点在x轴上?m>n>0;椭圆的焦点在y轴上?0<m<n.

两种方法

(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2、b2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、c的方程组,解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程.

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.

(2)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1).

(3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①

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