2012相似三角形的周长与面积(2)

相似三角形的周长与面积（2）

基础练习

1.如图1，所示,在正方形网格上有两个三角形:△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2,则△A 1B 1C 1

的面积与△A 2B 2C 2的面积之比等于( )

A.4∶1

B.3∶1

C.5∶2

D.5∶3

图1 图2 图3

2.如图2，把△ABC 沿AB 平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分的面积是△ABC 面积的一半.若AB=2,则此三角形移动的距离AA′是( ) A.2-1 B.

2

2

C.1

D.21

3.如图3，D 是△ABC 的边AB 上一点,∠B=∠ACD,AC=1,△ACD 与△BDC 的面积之比为2∶1,则AD 的长为___________.

4.如图4,在△ABC 中,AD∶DB=1∶2,DE∥BC, 若△ABC 的面积为9,则四边形DBCE 的面积 为_____________.

图4

5.如图5,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,P 为AB 上一点,Q 为BC 上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ 的面积等于四边形APQC 面积的

4

1

,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC 的面积.

6.如图6,在ABCD中,E是BC的中点,F是BE的中点,AE与DF相交于点H,则S

△EFH 的比值是多少?

与S

△ADH

图6

7.某生活小区的居民筹集资金1 600元,计划在一块上,下底分别为10 m,20 m 的梯形空地上种植花木,如图27-2-3-15.

(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价8元/m2,当△AMD地带种满花后(图27-2-3-15中阴影部分),共花了160元,请计算种满△BMC地带所需的费用.

(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2和10元/m2,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金?

图7

◆ 能力提高

8. 如图8，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1

的面积为3

4，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次

取下去…．利用这一图形，能直观地计算出

3 4＋3 42＋3 43＋…＋3

4

n ＝________．

图8 图9 9.如图9，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、

BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、

B 2、

C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积

S 5=_____________ ．

◆ 聚焦中考

10.（2009年凉山州）已知ABC A B C '''△∽△且1:2ABC A B C S S '''=△△:，则

:A B A

B ''= ． 11.（2009年孝感）如图11，点M 是△AB

C 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．

12.(2009年牡丹江市) 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB

于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF

AD =

．

图11 图12

13.（2009年舟山）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ） A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5

14. (2009年湖州)如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ）

A ．1∶3

B ．2∶3

C 2

D 3

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C

双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =

初中数学九年级上册相似三角形的周长和面积之比专项练习题

第2课时 相似三角形的周长和面积之比 1、若△ABC ∽△DEF,△ABC 的面积为81cm 2,△DEF 的面积为36cm 2 ,且AB=12cm,则DE= cm 2、如图,ΔABC 中,DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB=1∶2∶3,则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG = _________. 3、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面 上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡 离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ -） A.、0.36π米2 B 、0.81π米2 C 、2π米2 D 、3.24π米2 4、如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a . （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积. （3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？ 5、如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1=??ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；

A B C Q M D N P E 6、在△ABC 中，AE ∶EB=1 ∶2，EF ∥BC ，AD ∥BC 交CE 的延长线于D ，求 S △AEF ∶S △BCE 的值。 7、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 8、如图,在△ABC 中,DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为20cm 2、45cm 2、80cm 2，求△ABC 的面积。

相似三角形的面积问题题型总结+答案

相似三角形的有关面积问题 复习引入： 求三角形面积常用方法 1、面积公式： 2、等高法： 3、相似三角形： 【精选例题】 【例题】如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3，则S △APE:S △CPD=______. 解答：4:25。 【例题】如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，且BE=EF=FD, 求S △AMH: S 平行四边形ABCD 的值。 解答：∵平行四边形ABCD ，∴AB//CD ，AD//BC ∴△BME ∽△DAE ，△DHF ∽△BMF ∴BM ：DA=BE ：DE,DH ：BM=DF ：BF 又 ∵BE=EF=FD,所以BE ：DE=DF ：BF=1：2 ∴AD=2BM,BM=2DH,所以AD=4DH,∴AH=4 3AD ∴S △AMH:S 平行四边形ABCD= 8 3。 变式：如图，在平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3.则△AEF 和△CDF 的周长比______. 解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD ， ∴∠EAF=∠DCF ，∠AEF=∠CDF ，∴△AEF ∽△CDF ， S ΔABD S ΔACD =a b h b a H D C B A h a S=1 2 ah E S ΔADE S ΔABC = a 2 b 2 b a D C B A P E D C B A

M 1F 1E 1M E F A B C ∴△AEF 的周长：△CDF 的周长=AE ：CD=2：5. 变式：如图,E 为平行四边形ABCD 的边AB 延长线上的一点,且BE:AB=2:3，△BEF 的面积为4,则平行四边形ABCD 的面积为_________. 答案∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB,CB//AD,BC//AB ∴△DEF ∽△AEB ， ∵DE:AB=2:3，∴DE:AE=2:5，∴S △DEF:S △AEB=4:25， ∵△BEF 的面积为4，∴S △AEB=25， ∴S 四边形ABFD=S △AEB?S △DEF=21， ∵AD=CB ，DE:AD=2:3，∴DEBC=23， ∵AB//CD ，∴△BEF ∽△CDF ，∴S △DEF:S △CBF=4:9，∴S △CBF=9， ∴S 平行四边形ABCD=S 四边形ABFD+S △CBF=21+9=30 【例题】如图,EE 1//FF 1//MM 1//BC,若AE=EF=FM=MB,则S △AEE 1:S 四边形EE 1F 1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB 为_____. 答案:设S △AEE 1=x ∵ EE 1//FF 1∴ △AEE 1∽△AFF 1 (平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的 三角形与原三角形相似) ∴ 2 21 1AF AE AFF S AEE S =?? (相似三角形面积比等于对应边的平方比) ∵ AE=EF ∴ 21=AF AE ∴ 4111=??AFF S AEE S ∴ S △AFF1=x 4 ∴ S 四边形EE 1F 1F=x 3 同理可得 S 四边形FF 1M 1M=x 5 S 四边形MM1CB=x 7 ∴ S △AED:S 四边形EE1F1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB=1:3:5:7 变式：如图，在△ABC 中，FG//DE//AB ，且AF=FG=CG 。设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S 1，S 2和S 3，求S 1：S 2：S 3。 解答：∵F 、G 为AC 边上的三等分点,D 、E 为AB 边上的三等分点 ∴ AF ：AG ：AC=1：2：3 ∵ FD//EG//BC ,∴ S △CFG ：S △CDE ：S △CAB=1：4：9，∴ S1：S2：S3=1：3：5 变式：如图，DE//FG//BC ，设△ABC 被分成的三部分的面积分别为 S1,S2,S3,且S1=S2=S3, 则AD:DF:FB= 。 G F E D A

相似三角形中的面积问题

………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 学习目标：．结合相似三角形的性质：相似比的平方等于面积比，解决相似三角形的面积问题 通过练习，体会并运用等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比 4、在ABCD 中,AE:BE=2:3，求S △A PE :S △C PD 与 S △A PD ：S △D PC 5.点D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，过点C 作CE ∥AB ，作DE ∥AC ，联结AE ，S △ABC =9 ,S △CDE =4, 求S △ACE 6.如图，CB ∥EF ， S △EBC =9 ,S △CFE =4,求S △ABC 7.体验中考 （1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ．请按图示数据填空： 四边形DFCE 的面积S =， △DBF 的面积1S =， △ADE 的面积2S =． 探究发现 （2）在（1）中，若BF a =，FC b =，D Ｇ与BC 间的距离为h ．证明2124S S S = 拓展迁移 （3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中的结论．．．．求□DEFG 的面积，直接写出结果． 三．课堂小结 如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时， BC A BC A ABC S S S 21???==. 请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）： (1)如图2，已知△ABC ，画出一个．． 等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等； (2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．． )； 变式三 ：如图,DE ∥BC ,DF ∥AC, S △ ABC =a , 则四边形DFCE 的面积为______________. 学习重点：利用面积比等于相似比的平方及其等高或同高的三角形面积比等于对应底的比求面积 学习难点：找准基本图形解决问题 一、复习引入： 二、例题及变式练习 1、如图,DE ∥BC, ， 则△ADE 与△ABC 的相似比是 __________,面积 之比是_______. △ADE 与四边形DBCE 的面积比是。 2、如图,DE ∥FG ∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部 分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 求S 1:S 2:S 3 . 3、在ABCD 中,CE:CB=2:3,S △CEF =4, 求ABCD 的面积 变式六：如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,且AE=EF=FC, 求S △DMN: S △ACD N D C F B E A 变式七：如图, △ ABC 中,AD ∥BC,联结CD 交AB 于点E,且，且 AE ：EB=1：3，过点E 作 EF ∥BC ，交AC 于点F ， 1 2AD BD =且1 2 AD BD =且 A B C D A B E C A E F B C C B E D A G F C B E D A 图1 D E C B A

2019中考相似三角形面积比公式推论

2019xx相似三角形面积比公式推论 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 相似三角形面积比 【一相似三角形】相似三角形知识放送： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形性质定理： 相似三角形的对应角相等。 相似三角形的对应边成比例。 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 相似三角形面积比判定定理推论 推论一： 顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二： 腰和底对应成比例的两个----------- 精选公文范文---------- 1等腰三角形相似。 推论三： 有一个锐角相等的两个xx相似。 推论四：

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五： 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 推论六： 如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 相似三角形面积比性质 1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2. 相似三角形的一切对应线段的比等于相似比。 3. 相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5. 相似三角形内切圆、夕卜接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外 -------- 精选公文范文--------- 2接圆面积比是相似比的平方 6. 若a: b =b: c,即b的平方=ac则b叫做a,c的比例中项 /d=a/b 等同于ad=bc. 8.必须是在同一平面内的三角形里相似三角形对应角相等，对应边成比例 相似三角形周长的比等于相似比各位读友大家好，此文档由网络收集而 来，欢迎您下载，谢谢---------- 精选公文范文 --------- 3

《相似三角形的周长与面积》教案

《相似三角形的周长与面积》教案 一、教学目标 1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2．能用三角形的性质解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：相似三角形的性质与运用． 2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 3．难点的突破方法 （1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比； ③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比） （2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是，它们的面积之比不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． （3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似必要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．如：如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________． （4）讲完性质后，可先安排一组简单的题目让学生巩固，然后再讲例题． 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，它紧扣性质，是性质的简单运用，但要注意它是逆用性质“相似三角形周长的比等于相似比”来进行运算的．例2 是教材P53的例6 ，它是通过求相似的过程中，求出相似比，再综合运用两条性质求出其周长与面积的．难度略高于例1．其目的是想让学生能够综合、灵活的运用相似三角形的性质解决问题．

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方 Prepared on 22 November 2020

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方；第二点是同高不同底的两个三角形面积之比等于这两个三角形的底边之比 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。 相似三角形的认识 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。 互为相似形的三角形叫做相似三角形 相似三角形的判定方法 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） 1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似； （这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明） 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； 4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 绝对相似三角形 1.两个全等的三角形一定相似。 2.两个等腰直角三角形一定相似。 3.两个等边三角形一定相似。 直角三角形相似判定定理 1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 三角形相似的判定定理的推论 推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 相似三角形的性质 1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的特例

相似三角形的周长和面积

相似三角形的周长和面 积 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

众兴中学初三数学导学案 课题 相似三角形的周长与面积【总第9课时】 学习目的: 1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。 2、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平 方． 3、能用三角形的性质解决简单的问题． 重点、难点 1．重点：相似三角形的性质与运用． 2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 一.知识链接 1．问题：已知： ?ABC ∽?A’B’C’，根 据相似的定义，我们有哪些结论 （从对应边上看； 从对应角上看：） 问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外， 我们还可以得到哪些结论 二 、探索新知 1．思考： （1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系 我们知道，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′ 的相似比为k ，即 因此AB=k A ′B ′,BC=k B ′C ′, CA=k C ′A ′，从而 AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ''''''++++==''''''''''''++++ 由此我们得到： 相似三角形周长的比等于相似比. （2）如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线、中线，对应角的平分线之间有什么关系写出推导过程。 AB BC CA k A B B C C A ===''''''

相似三角形中的面积问题

学习目标：．结合相似三角形的性质：相似比的平方等于面积比，解决相似三角形的面积问题 通过练习，体会并运用等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比 4、在ABCD 中,AE:BE=2:3，求S △A PE :S △C PD 与 S △A PD ：S △D PC 5.点D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，过点C 作CE ∥AB ，作DE ∥AC ，联结AE ，S △ABC =9 ,S △CDE =4, 求S △ACE 6.如图，CB ∥EF ， S △EBC =9 ,S △CFE =4,求S △ABC 7.体验中考 （1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ．请按图示数据填空： 四边形DFCE 的面积S = ， △DBF 的面积1S = ， △ADE 的面积2S = ． 探究发现 （2）在（1）中，若BF a =，FC b =，D Ｇ与BC 间的距离为h ．证明2124S S S = 拓展迁移 （3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中的结论．．．．求□DEFG 的面积，直接写出结果． 三．课堂小结 如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时， BC A BC A ABC S S S 21???==. 请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）： (1)如图2，已知△ABC ，画出一个．． 等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等； (2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．． )； 变式三 ：如图,DE ∥BC ,DF ∥AC, S △ABC =a , 则四边形DFCE 的面积为 ______________. 变式四： 如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB=2:3, 则S △APE :S △CPD =_____________. 变式五：如图,平行四边形ABCD 中,BE:AB=2:3, 且 S △BPE =4, 求平行四边形ABCD 的面积. 四、总结： 1.找到与已知和所求有关的基本图形. 2.找到相似三角形及相似比 利用面积比等于相似比的平方. 学习重点：利用面积比等于相似比的平方及其等高或同高的三角形面积比等于对应底的比求面积 学习难点：找准基本图形解决问题 一、复习引入： 二、例题及变式练习 1、如图,DE ∥BC, ， 则△ADE 与△ABC 的相似比是 __________,面积 之比是_______. △ADE 与四边形DBCE 的面积比是 。 2、如图,DE ∥FG ∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 求S 1:S 2:S 3 . 3、在ABCD 中,CE:CB=2:3,S △CEF =4, 求 ABCD 的面积 变式六：如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,且AE=EF=FC, 求S △DMN: S △ACD 变式七：如图, △ ABC 中,AD ∥BC,联结CD 交AB 于点E,且，且 AE ：EB=1：3，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ， 变式八：如图,点D 和E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,若 S △ADE =4 ,S △BCE =24,求 S △BDE 变式九：如图,点D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，过点C 作CE ∥AB ，作DE ∥AC ，联结AE ，S △ABC =9 ,S △CDE =4, 求S △ACE 三、拓展练习 1、(09中考链接）.在△ABC 内任取一点P,过点P 作三条直线分别平行于三角形的三边,这样所得的三个小三角形的面积分别为S1,S2,S3, 且S1=4 ,S2=9 ,S3=49, 求S △ABC . 12 AD BD =且图1

相似三角形中的求面积的问题

相似三角形中的求面积的问题 1) 两个相似三角形的相似比为9︰16，则它们的面积 比为_____________。 2) 已知两个相似三角形的相似比为2︰3，其中一个面 积为36，求另一个三角形的面积_____________。 3）已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作DE ∥BC ， 分别交AB 、AC 于点D 、E ，那么S △ADE ︰S △ABC ＝ ． 4) 在比例尺为1︰10000的地图上，一块面积为2cm 2 的区域表示的实际面积是（ ） 5) ⊿ABC 中，的值。求B S BC AB ABC ∠===?,324,12,38 6）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2， 求△ADE 与四边形DBCE 的面积比 7）已知：如图，点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，且四边形CEDF 为平行四边形，若△ADF 与△BDE 的面积分别为16与9．试求平行四边形CEDF 的面积． 8）如图，BE 、CD 是△ABC 的边AC 、AB 上的中线， 且相交于点F ． D A B C F B A E C F D B C A D E

求：（1）FC DF 的值；（2）BFC ADE S S ??的值． 9）如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，对 角线AC 与BD 相交于点O ，把△ABO 、△BCO 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ，那么下列结论中，正确的是( ) （A ）422S S =； （B ）124S S =； （C ）31S S =； （D ）4231S S S S +=+ 10）已知：AD=DF=FB, DE ∥DF ∥BC, 求 S ⊿AD E ：S 梯形DFGE ：S 梯形FBCF 已知：S 1=S 2=S 3, 求DE ︰FG ︰BC 和AD ︰DF ︰ FB , 若DE=6，求BC 的值。 11) 如图⊿ABC 中，DE ∥BC ，2BD=3AD ，AC 与BD 相交于点O ，把△ADE 、△DOE 、△BOD 、△BOC 、△EOC 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S 、 5S , 若S 1=6，求S 2, S 3, S 4, S 5 12) 在⊿ABC 中,DE ∥BC, ∠ADE=∠ACD,DC=20,BC=30, ⊿DBC 的面积为15 B A D O

相似三角形相似比和面积比之间的关系

1.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( ) A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5 2.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ） A ．1∶3 B ．2∶3 C ．3∶2 D ．3∶3 3.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ▲ ． 4 如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形A BCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．下面结论：①只有一对相似三角形；②E F ：ED=1：2；③S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ） A ．①③ B ．③ C ．① D ．①② 5.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°， 直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD = ．[来源:学§科§网]

6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点O ，S △AOD ：S △COB =1：9，则S △DOC ：S △BOC = _________ ． 7．如图，在△ABD 中，∠ADB=90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 _________ ． 8．在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=DC ．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 9.如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 。 10．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2 和8，则四边形AOED 的面积为（ ） A 、16 B 、32 C 、38 D 、40 A E F D G C B

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的 平方 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方；第二点是同高不同底的两个三角形面积之比等于这两个三角形的底边之比 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。 相似三角形的认识 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。 互为相似形的三角形叫做相似三角形 相似三角形的判定方法 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） 1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似； （这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明） 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； 4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 绝对相似三角形 1.两个全等的三角形一定相似。 2.两个等腰直角三角形一定相似。 3.两个等边三角形一定相似。 直角三角形相似判定定理 1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 三角形相似的判定定理的推论 推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 相似三角形的性质 1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的特例

相似三角形的周长与面积

相似三角形------周长与面积 一：知识回顾 1、相似三角形的周长比等于相似比。 2、相似三角形面积比等于相似比的平方。 3、如图一：△ABC中，若BD：CD=n：m，则S△ABD：S△ACD=n：m 4高之比。 图一图二 二：例题讲解 1、（2009年市）在ABC △和DEF △中，22 AB DE AC DF A D ==∠=∠ ，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（） A．8，3B．8，6C．4，3D．４，6 2、（2009年市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2 3、如图，在△ABC中，已知BC=48，高AD=16，它的接矩形两邻边EF：MF=5：9,长边MF在BC边上，求矩形EFMN的周长。 4、如图，在△ABC和△CAD中，已知D A∥BC,CD交AB于E,且AE：EB=1：2，EF∥BC交AC于F，S △ADE=1,求S△BCE和S△AEF A B N G E A B D C D C B C D E F M A D F

5、如图，M 为□ABCD 的AB 边上的中点，CM 交BD 于点E ，求图中△DEM, △BCE 面积的和与□ABCD 的面积之比。 6:如图1，矩形EFGH 接于△ABC ，AD ⊥BC 于D ，交EH 于P ，若矩形的周长为24，BC=10，AP=16，求 BPC S . 7、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m ，20m 的梯 形空地上种植花木（如图） （1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满 花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用. （2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12 元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ E B E C A H P 图1 A B C D M

相似三角形的周长与面积

相似三角形的周长与面 积 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

课题 相似三角形的周长与面积【总第9课时】 教学目的: 1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。 2、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平 方． 3、能用三角形的性质解决简单的问题． 重点、难点 1．重点：相似三角形的性质与运用． 2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 一.创设情境 活动1 教师活动：提出问题： 1．复习提问：已知： ?ABC ∽?A’B’C’，根据相似的定义，我们有 哪些结论 （从对应边上看； 从对应角上看：） 问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外， 我们还可以得到哪些结论 2．思考： （1）如果两个三角形相似，它们的之间有什么关系 （2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系 （3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系 推导教材P51探究．相似三角形的 结论——相似三角形的性质： 性质1 相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。 即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ， 那么 k A C C B B A CA BC AB =''+''+''++． 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ， 那么 22)(k B A AB S S C B A ABC =' '='''??． 相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比． 相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方． 二、例题讲解 活动2

相似三角形的面积比与相似比的关系

相似三角形的面积比与相似比的关系 执教老师：园南中学 姚春花 一、教学目标： 1、掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结论解决问题； 2、培养学生对数学结论的公理化的论证能力； 3、通过例题的分析、研究，培养学生的发散性思维； 4、通过认知冲突激发学生的学习兴趣，使学生主动活泼、自主、自动地进行学习，让学生获得成功的喜悦。 二、教学重点和难点：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结 论解决问题； 三、教学过程： （一）、创设情景、引入新课 1、已知：在△ABC 中，∠ABC=90o，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ∶AB=1∶3，AD=3，DE=4，求S △ADE ∶S △ABC 的值。 2、如果把上题中的阴影部分条件换成AD=a,DE=b 呢？ 3、如果上题中的△ABC 换成一般三角形呢？ 4、如果上题中AD ∶AB=K 呢？ 结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 （学生口述，教师板演过程） （二）、定理应用 A 、简单应用：

1、如果两个三角形相似，其中一组对应边分别是3和4，那么它们的面 积比是 2、已知两个三角形相似，面积比是1∶2，则相似比是 3、如果把一个三角形的三条边的长都扩大为原来的100倍，那么这个三 角形的面积扩大为原来的多少倍？ 4、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍，且与原三角形相似， 那么这个三角形的边长扩大为原来的多少倍？ B、应用举例 在 ABCD中，延长BC到E，使CE∶BC=1∶2，连接AE交DC于F， 求证： S△AFD ∶S△EFC=4∶1 A D F B C E C、变式练习： 1、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE交AB、AC于点D、E， 1)、若AD∶BD=1∶2,S△ADE∶S△A BC=______, 2)、若DE＝2，BC＝5，＝20，求： 3)、若AD∶DB=2∶3，S四边形DBCE=12，求S△ABC 4)、若DE=2，BC=5，连结BE、CD交于点O，＝4，问在图形中可求 出哪些三角形的面积？ A D E O B C

相似三角形的周长与面积-

相似三角形的周长与面积（1） 新颖题赏析 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB?上的一点，?若△BCE?和四 边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，求BE AE 的值． 分析由AD∥BC，就想到构造相似三角形．解分别延长BA、CD相交于H． 因为AD∥BC，BC=3AD．2S1=3S2 所以S△ADH：S△BCH =AD2：BC2=1：9，? 即S△ADH：（S△ADH+S1+S2）=1：9． S△ADH=1 8 （S1+S2）= 5 16 S2， 所以S△CEH =21 16 S2，S△CEH：S△BCE =EH：BE=（AH+AE）：BE=7：8， AH：BH=?1：3，AH：AB=1：2，（1 2 AB+AE）：BE=7：8， 所以BE=4AE．即BE AE =4． 一、基础练习 1．相似三角形周长的比等于________，相似多边形周长的比等于_______，?相似三角形对应高的比等于________，相似三角形对应中线的比等于________，相似三角形的对应角平分线的比等于________． 2．相似三角形面积的比等于_________；相似多边形面积的比等于_________． 3．已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为56cm和72cm，那么它们的面积的比_________． 4．如果把一个12cm?×21cm?的矩形按相似比3 4 进行变换，?得到的新矩形的周长为 _________，面积是_______． 5．如果把一个多边形改成和它相似的多边形，面积缩小为原来的2 3 ，那么边长缩小为原 来的_________． 6．如图1，在Y ABCD中，K是BC边上的一点，且BK：KC=2：3，则△ADE和△KBE的周长比为_______，面积比为_________． （1）（2）（3）

课题：相似三角形中的面积问题

课题：相似三角形中的面积问题 授课人： 时间：10/13 教学目标：结合相似三角形的性质及三角形的面积公式，解决相似三角形的面积问题 教学环节： 一、复习引入： 求三角形面积常用方法 1 、面积公式 2、等高法 3、相似三角形： 二、例题及变式练习 例1： 如图,DE ∥BC, ，则△ADE 与△ABC 的相似比是 __________,面积之比是_______. C B E D A F C B E D A 变式一： 如图, D 、E 、F 是△ABC 的各边的中点，设△ABC 的面积为S,求△DEF 的面积. 变式二： （1）如图,DE ∥FG ∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3, 求S1:S2:S3 . （2）如图,DE ∥FG ∥BC, 设△ABC 被分成的三部分的面积 分别为 S1,S2,S3, a h S △= 12ah 12S a S b =(同高不同底) S 1 S 2 12 AD BD =且

且S1=S2=S3, 求 AD:DF:FB G F C B E D A A E D C G F B 变式三 ：如图,DE ∥BC ,DF ∥AC, S △ABC =a , 则四边形DFCE 的面 积为______________. F C B E D A 变式四： 如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB=2:3, 则S △APE :S △CPD=_____________. D C B E A 变式五：如图,平行四边形ABCD 中,BE:AB=2:3, 且 S △BPE =4, 求平行四边形ABCD 的面积. P D C B E A 变式如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,且AE=EF=FC, 求S △DMN: S △ACD N D C F B E A 变式七：如图, △ ABC 中,AD ∥BC,联结CD 交AB 于点E,且，且 AE ：EB=1： 1 2 AD BD 且

相似三角形的周长和面积

27.2.3相似三角形的周长与面积 学习目标： 1. 理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长和面积的性质 2. 能够运用相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质解决相关问题 学习过程： 活动1： 1.在方格纸上，画出一个与已知△ABC 相似的三角形（相似比不为1）； 2.分别计算△ABC 与△A ′B ′C ′的周长与面积； 可以看出，相似比为_______，周长比为_______，面积比为_______。 猜想：相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_______ 。 活动2： 如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？ 如图，已知△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为k ， 求证：C'B'A'ABC C △△C =k 结论：相似三角形周长的比___________________________ 相似地，相似多边形___________________________________ 活动3： 如果两个三角形相似，它们的面积比呢？ 如图，△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ， 求证： C' B'A'ABC S △△S =2k 结论：相似三角形面积的比等于___________________

相似三角形对应中线、角的平分线之间的关系 已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，AD ，''A D 分别是中线，求''AD A D 的值 结论：相似三角形__________________ 活动5： 已知：四边形ABCD 相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k ，它们的面积比是多少？ 转 化 结论：相似多边形___________________ 活动6 例1：如图，已知，在△ABC 中，DE ∥BC ，AB=20，BD=12，△ABC 的周长为80，面积为100，求△ADE 的周长和面积？ D C B A A ' B ' C ' D '