周期为2l的周期函数的傅里叶级数11.8

§11. 8 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数

到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以2π为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它的周期不一定是2π. 怎样把周期为2l 的周期函数f (x )展开成三角级数呢？

问题: 我们希望能把周期为2l 的周期函数f (x )展开成三角级数, 为此我们先把周期为2l 的周期函数f (x )变换为周期为2π的周期函数.

令t l x π=及)()()(t F t l f x f ==π

, 则F (t )是以2π为周期的函数. 这是因为)()()2()]2([)2(t F t l f l t l f t l f t F ==+=+=+π

ππππ. 于是当F (t ) 满足收敛定理的条件时, F (t )可展开成傅里叶级数:

)sin cos (2)(1

0nt b nt a a t F n n n ++=∑∞= , 其中

?-=πππntdt t F a n cos )(1, (n =0, 1, 2, ? ? ?), ?-=π

ππ

ntdt t F b n sin )(1(n =1, 2, ? ? ?). 从而有如下定理:

定理 设周期为2l 的周期函数f (x )满足收敛定理的条件, 则它的傅里叶级数展开式为

)s i n c o s (2)(10l

x n b l x n

a a x f n n n ππ++=∑∞=, 其中系数a n ,

b n 为

?-=l

l n dx l x n x f l a πcos )(1(n =0, 1, 2, ? ? ?), ?-=l l n dx l

x n x f l b πsin )(1(n =1, 2, ? ? ?). 当f (x )为奇函数时, l x n b x f n n πs i n )(1

∑∞==, 其中dx l x n x f l b l

n πsin )(20?=(n = 1, 2, ? ? ?). 当f (x )为偶函数时,

l

x n

a a x f n n πc o s 2)(10∑∞=+=, 其中dx l x n x f l a l

n πcos )(20?= (n = 0, 1, 2, ? ? ?). 例1 设f (x )是周期为4的周期函数, 它在[-2, 2)上的表达式为

?

??<≤<≤-=20 02 0)(x k x x f (常数k ≠0). 将f (x )展开成傅里叶级数.

解 这里l =2.

0]2s i n [2c o s 2120

20===?x n n k dx x n k a n πππ(n ≠0); k k d x dx a =+=??-200202

1021; ??????

??=???==-=-==? 6, 4, 2, 0 ,5 ,3 ,1 2)cos 1(]2cos [2sin 212020n n n k n n k x n n k dx x n k b n ππππππ 于是

) 2

5s i n 5123s i n 312(s i n 22)(???++++=x x x k k x f ππππ (-∞

k ). 例2 将函数?????≤≤-<≤=l x x l p x px x M 2l 2

)(2l 0 2 )(展开成正弦级数. 解 对M (x )进行奇延拓. 则

a n =0(n =0, 1, 2, 3, ? ? ?),

]s i n 2)(s i n 2[2s i n )(22

200dx l x n x l p dx l x n px l dx l x n x M l b l l l l n ???-+==πππ. 对上式右边的第二项, 令t =l -x , 则

)]()(sin 2

sin 2[20220dt l t l n pt dx l x n px l b l l n --+=??ππ

]s i n 2)1(s i n 2[220120dt l

t n pt dx l x n px l l n l ??+-+=ππ. 当n =2, 4, 6, ? ? ?时, b n =0; 当n =1, 3, 5, ? ? ?时,

2s i n 2s i n 242

220πππn n pl dx l x n x l p b l n ==?. 于是得

) 5s i n 513s i n 31(s i n 2)(222

???-+-=

l x l x l x pl x M ππππ(0≤x ≤l ).

方波信号展开为傅里叶级数

【例4.2-1】将下图所示方波信号展开为傅里叶级数。 解：按题意方波信号在一个周期内的解析式为 ()?????? ?≤≤<≤--=2 02 2 2 T t E t T E t f 分别求得傅里叶系数： cos 22cos 22200020??? ? ??+???? ??-=-T T n tdt n E T tdt n E T a ωω ()()[]0 sin sin n E 2 000 =+-= -T T t n t n T ωωω ???? ??+???? ??-=-200020sin 22sin 22T T n tdt n E T tdt n E T b ωω ()()[] 2 0020 cos cos n E T T t n t n T ωωω-+= - ()[]ππn n E cos 222-= 即： ??? ??=为偶数 为奇数n n n E b n 0 2π 故得信号的傅里叶级数展开式为 ()?? ? ??+++++=ΛΛt n n t t t E t f 0000sin 15sin 513sin 31sin 2ωωωωπ 它只含有一、三、五、……等奇次谐波分量。

【例 解: 首先将图示信号分解为奇、偶函数，如下图(a)、(b)所示。 (a) 从图(a)可见为一个半波反对称偶函数。在这种情况下，其傅里级数展开式 中将只含有余弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有： 06420321========ΛΛb b b b a a a ()?? ? ??+++++= ΛΛt n n t t t t f ev 02 0002cos 15cos 2513cos 91cos 8ωωωωπ

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

习题11-8 1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1))2 12 1(1)(2<≤--=x x x f ; 解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ? ? ?), 而 611)1(4)1(2/1221 0221 020=-=-=??dx x dx x a , ?-=21022/1c o s )1(2/12dx x n x a n π 2 2 121 2 )1(2c o s )1(4π πn x d x n x n +-= -=? (n =1, 2, ? ? ?), 由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以 ∑ ∞ =+-+=1 2 1 2 2c o s )1(1 1211)(n n x n n x f ππ , x ∈(-∞, +∞). (2)?? ? ???? <≤-<≤<≤-=1 21 12 1 0 101 )(x x x x x f ; 解 2 1)(1 2 121 1 11 -=-+==????--dx dx xdx dx x f a n , ?? ??-+==--1 2 121 1 11 c o s c o s c o s c o s )(x d x n x d x n x d x n x x d x n x f a n ππππ 2 s i n 2])1(1[122πππ n n n n +--= (n =1, 2, ? ? ?), dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ?? ??-+==--1 2 1210 1 1 1 sin sin sin sin )(ππππ π ππ n n n 12 c o s 2+-= (n =1, 2, ? ? ?).

傅里叶级数展开matlab实现

傅里叶级数展开matlab 实现给个例子说明下：将函数 y=x*(x-pi)*(x-2*pi)，在(0,2*pi)的范围内傅里叶级数展开syms x fx=x*(x-pi)*(x-2*pi); [an,bn,f]=fseries(fx,x,12,0,2*pi)%前12 项展开latex(f)%将f 转换成latex 代码an = [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] bn = [ -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18, -12/343, 3/128, -4/ 243, 3/250, -12/1331, 1/144] f = 12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/ 125*sin(5*x)+1/18*sin(6 *x)+12/343*sin(7*x)+3/128*sin(8*x)+4/243*sin(9*x)+3/ 250*sin(10*x)+12/1331* sin(11*x)+1/144*sin(12*x) ans = 12\,\sin \left( x \right) +3/2\,\sin \left( 2\,x \right) +4/9\,\sin \left( 3\,x \right) +3/16\,\sin \left( 4\,x \right) +{\frac {12}{125}}\,\sin \left( 5\,x \right) +1/18\,\sin \left( 6\,x \right) +{\frac {12}{343}}\,\sin \left( 7\,x \right) +{\frac {3}{128}}\,\sin \left( 8\,x \right) +{\frac {4}{243}}\,\sin \left( 9\,x \right) +{\frac {3}{250}}\,\sin \left( 10\,x \right) +{\frac {12}{1331}}\,\sin \left( 11\,x \right) +{\frac {1}{144}}\,\sin \left( 12\,x \right) function [an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b) %傅里叶级数展开% %an 为fourier 余弦项系数%bn 为fourier 正弦项系数%f 为展开表达式%f 为给定函数%x 为自变量%n 为展开系

ch3.周期信号的傅里叶级数展开

周期信号的傅里叶级数展开： 1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w T π=， 所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞ ==++∑ 其中：202 1()T T a f t dt T -=? 2122()cos T T n a f t nw tdt T -=? 212 2()sin T T n b f t nw tdt T -=? 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式： 011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑ 其中：00c a = n c = n n n b tg a φ=- （3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱 2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1 jnw t e 1()jnw t n n f t F e ∞ =-∞ = ∑ 其中122 1()T jnw t T n F f t e dt T --=?

注意：（1）幅度谱和相位谱n j n n F F e φ= ：偶谱和奇谱 与三角形式间的关系 （2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞ ==+∑ 0n b = 或011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑，00c a = ||n n c a = 0, 0,0n n n a a ?π>?=? ??=??

周期性函数分解的傅里叶级数

周期性函数分解的傅里叶级数 周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即 210),()(、、 =+=k kt t f t f 式中T 是周期函数的周期，且 210、、 =k 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数（三角级数） 设给定的周期函数)(t f ，则)(t f 可展开成 ） （）（1)sin cos (sin cos )2sin 2cos ()sin cos ()(1022110 ∑∞ =++=+++++++=k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 上式中的系数，可按下列公式计算： ????? ?? ? - - -= ====== = π ππ π ππωωπ ωωπωωωπ ωωπω) (sin )(1 ) (sin )(1sin )(2)(cos )(1 ) (cos )(1cos )(2)(1 )(1 20 020 00 22 0t td k t f t td k t f tdt k t f T b t td k t f t td k t f tdt k t f T a dt t f T dt t f T a T k T k T T T ）（2 这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。 设m.n 是任意整数，则下列定积分成立： ?=π 200 sin mxdx ? =π 20 cos mxdx ?=π 200cos sin nxdx mx ， n m ≠ ?=π 200 sin sin nxdx mx , n m ≠ ? =π 200cos cos nxdx mx , n m ≠ ? =π π 20 2)(sin dx mx ,

周期信号的傅里叶级数

《信号、系统与信号处理实验I》 实验报告 实验名称：周期信号的傅里叶级数 姓名：韩文草 学号：15081614 专业：通信工程 实验时间：2016.11.7 杭州电子科技大学 通信工程学院

一、实验目的 二、实验内容

三、实验过程及实验结果 1.1 t = 0:0.02:2*pi; %0-2π时间间隔为0.01 y = zeros(10, max(size(t))); %10*629（t的长度）的矩阵 x = zeros(10, max(size(t))); for k = 1:2:9 %奇次谐波1,3,5,7,9 x1 = 3*sin(k * t)/k; %各次谐波正弦分量 x(k,:) = x(k,:) + x1; %x第k（1,3,5,7,9）行存放k次谐波的629个值y((k+1)/2,:) = x(k,:); %矩阵非零行向量移至1-5行 subplot(7,1,(k+1) /2); plot(t,x(k,:)); end subplot(2,1,1); plot(t, y(1:5,:)); %绘制y矩阵中1-5行随时间波形 grid; halft = ceil(length(t)/2); %行向量长度减半（由对称前后段一致）subplot(2,1,2); %绘制三维图形：矩阵y中全部行向量的一半 mesh(t(1:halft), [1:10], y(:,1:halft));

1.2 t = -4.5 : 0.001 : 5.5; t1 = -4.499 : 0.001 : 5.5; x = [ones(1,1000) , zeros(1,1000)]; x = [x , x , x , x , x]; subplot(1 , 2 , 1); plot(t1 , x , 'b','linewidth', 1.5); axis([-4.5 , 5.5 , -0.5 , 1.5]); N = 10; c0 = 0.5; f1 = c0 * ones(1 , length(t)) for n = 1:N f1 = f1 + cos(pi * n * t)*sinc(n/2); end subplot(1,2,2); plot(t , f1 , 'r' , 'linewidth', 1.5); axis([-4.5, 5.5, -0.5, 1.5]);

周期信的傅里叶级数

计算机与信息工程学院实验报告 一、 实验目的 1、 分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成。 2、 观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。 3、 掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。 4、 观察矩形脉冲信号分解出的各谐波分量可以通过叠加合成出原矩形脉 冲信号。 专业：通信工程 2013— 2014学年第二学期 年级/班级：2012级通信工程

实验仪器或设备 一台装有MATLAB勺计算机一台 三、设计原理 1.信号的时间特性与频率特性 信号可以表示为随时间变化的物理量，比如电压u(t )和电流i (t )等, 其特性主要表现为随时间的变化，波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度及重复周期的大小等变化，信号的这些特性称为时间特性。 信号还可以分解为一个直流分量和许多不同频率的正弦分量之和。主要表现在各频率正弦分量所占比重的大小不同；主要频率分量所占的频率范围也不同，信号的这些特性称为信号的频率特性。无论是信号的时间特性还是频率特性都包含了信号的全部信息量。2?信号的频谱 信号的时间特性和频率特性是对信号的两种不同的描述方式。根据傅里叶级数原理，任意一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱 (Dirichlet) 条件，就可以将其展幵成三角形式或指数形式的傅里叶级数。例如，对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间(t1,t1+T )内表示为

3?信号的时间特性与频率特性关系 信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图 4-1来形象地表示。其中图4-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维坐标系统中的图形；图4-1(b)是信号在幅度--时间坐标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图4-1(c)是信号在 幅度--频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为

周期方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开 提出问题： 用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。 设周期为1的方波信号由以下函数给出 ?? ???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。 利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。 问题背景： 在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。 知识基础： 周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件 实验过程： 对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数 经过傅里叶变换得到： ?????????--- +- =∑∑∑∞∞∞111)) 1(2sin(21)2sin(2 1))1(2sin(2 1)(x k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=linspace(-1,2,3000); y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0; 01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ -=?1()sin n b f t ntdt πππ-=? 0,1,2n =L 1,2,3n =L

for k=1:10; y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0); end y1=1/2-y1; y2=0; for k=1:50; y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1); end y2=1/2-y2;y3=0; for k=1:100; y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2); end y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2) plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal 此图当x 属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项 此图当x 属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项 此图当x 属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项 红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数 拓展练习： 1. 可将周期2π扩展为任意周期T ,则此时方波信号的角频率2/T ωπ=，当方波信号 ()f t 满足Dirichlet 条件时，则可展为傅里叶级数： 01()(cos sin ).2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 0 02()d T a f t t T =?

傅里叶级数课程及习题讲解范文

第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 线性表出而得．不妨称 2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积， 1 1 (),cos ()cos d k a f x kx f x kx x π π π π -= = ? 0,1,2,k =L ；