2018高考理科数学试题全国卷2解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、3+i
1+i =( )
A ．1+2i
B ．1–2i
C ．2+i
D ．2–i 2、设集合A={1,2,4}，B={x 2–4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=( ) A ．{1,–3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}
3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4、如下左1图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A ．90π
B 42π D ．36π
开始
输出S
否
是K =K+1a=-a S =0，K =1S =S+a ?K K ≤6
输入a 开始
5、设x 、y 满足约束条件???
2x+3y –3≤02x –3y+3≥0y+3≥0
，则z=2x+y 的最小值是( )
A ．–15
B ．–9
C 1
D ．9
6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种
7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行上左2的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S=( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9、若双曲线C ：x 2a 2–y 2
b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x –2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )
A ．2
B ． 3
C ． 2
D ．23
3
10、已知直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1， 则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
11、若x=–2是函数f(x)=(x2+ax –1)e x –1的极值点，则f(x)的极小值为( ) A ．–1 B ．–2e –3 C ．5e –3 D ．1
12、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则向量PA ·(PB +PC )的最小值是( )
A ．–2
B ．–32
C ．–4
3 D ．–1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到二等品件数，则DX=_______________________。
14、函数f(x)=sin 2x+3cosx –34(x ∈[0,π
2])的最大值是______________。
15、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则=∑=n
k k
S 11
___________。 16、已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。若M 为FN 的中点，则|FN|=_______________________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。
17、(12分)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin(A+C)=8sin 2B
2。 (1)求cosB ；
(2)若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b 。
18、(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
旧养殖法
0.0340.0320.0240.0140.012
2530箱产量/kg
频率/组距
0.0400.0200
70
65605550454035箱产量/kg
频率/组距
0.068
0.0460.044
0.0200.0100
0.0080.004
70
65605550454035
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量<50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(精确到0.01)。
附：
K 2
=n(ad –bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)。
19、(12分)如图，四棱锥P –ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于地面ABCD ，AB=BC=1
2AD ，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点。
(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；
(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M –AB –D 的余弦值。
M E
C
B
A P
20、(12分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2
=1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足向量NP =2NM 。
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x=–3上，且向量OP ·PQ =1。 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
21、(12分)已知函数f(x)=ax2–ax –xlnx ，且f(x)≥0。 (1)求a ；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e –2< f(x 0)<2–2。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。
22、[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ=4。
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|·|OP|=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为(2,π
3)，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值。
23、[选修4–5：不等式选讲](10分)已知a>0，b>0，a 3+b 3=2。证明： (1)(a+b)(a 5+b 5)≥4； (2)a+b≤2。
理科数学 参考答案 一、选择题
1、D
2、C
3、B
4、B
5、A
6、D
7、D
8、B
9、A 10、C 11、A 12、B 二、填空题 13、1.96； 14、1；
15、2n n+1； 16、6； 三、解答题
17、(1)由A+C=π–B 得sinB=8sin 2B 2，即cos B 2=4sin B 2，∴tan B 2=14，得tanB=815，则有cosB=15
17。
(2)由(1)可知sinB=817，则S △ABC=12acsinB=2，得ac=17
2，
又b 2=a 2+c 2–2ac·cosB=(a+c)2–2ac –30
17ac=4，则b=2。
18、(1)旧养殖法箱产量低于50kg 的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 新养殖法箱产量不低于50kg 的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 而两种箱产量相互独立，则P(A)=0.62×0.66=0.4092。
则K 2=200(62×66–34×38)100×100×96×104≈15.705>6.635，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 (3)新养殖法箱产量低于50kg 的面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5， 产量低于55kg 的面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，
所以新养殖法箱产量的中位数估计值为(0.5–0.34
0.34)×5+50≈52.35(kg)。
19、(1)取PA 中点F ，连结EF 、BF 。因为E 为PD 中点，则EF ∥12AD 。而由题可知BC ∥1
2AD ，则EF ∥BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以EC ∥FB 。又EC ?面PAB ，FB ?面PAB ，故CE ∥平面PAB 。
(2)因为AB ⊥AD ，则以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系A –xyz ，如图所示。 取AB=1，设向量CM =λCP (0<λ<1)，则得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1,3)，，则CP =(–1,0, 3)，CM =(–λ,0,3λ)，可得点M(1–λ,1,3λ)，所以BM =(–λ,1,3λ)。
取底面ABCD 的法向量为n =(0,0,1)，则|cos 2)。因为向量AB =(1,0,0)，设面MAB 的法向量为m =(x,y,z)z=2得m =(0,–6,2)， 则cos 5。 20、(1)设P(x,y)，则M(x,22y)，将点M 代入C 中得x 22+y 2 2=1，所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2。 (2)由题可知F(–1,0)，设Q(–3,t)，P(m,n)，则向量OQ =(–3,t)，PF =(–1–m,–n)，OP =(m,n)，PQ =(–3–m,t –n)。由向量OP ·OQ =1得–3m –m 2+tn –n 2=1，由(1)有m 2+n 2=2，则有3+3m –tn=0，所以OQ ·PF =3+3m –tn=0，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。 21、(1) f(x)的定义域为(0,+∞)，则f(x)≥0等价于ax –a –lnx≥0。 设g(x)=ax –a –lnx ，则g'(x)=a –1x 。由题可知a>0，则由g'(x)>0解得x>1a ，所以g(x)为(1a ,+∞)上的增函数，为(0,1 a )上的 减函数。则有g(x)min =g(1 a )=1–a+lna=0，解得a=1。 (2)由(1)可知f(x)=x 2–x f'(x)=2x –2–lnx 。 设h(x)=2x –2–lnx ，则。由h'(x)>0解得x>12，所以h(x)为(12,+∞) 上的增函数，为(0,1 2)上的减函数。又因为h(12)=ln2–1<0，h(1)=0，则h(x)在(0,1 2)上存在唯一零点x 0使得2x 0–2–lnx 0=0，即2x 0–2=lnx 0，且f(x)为(0,x 0)，(1,+∞) 上的增函数，为(x 0,1)上的减函数，则f(x)极大值为f(x 0)=x 0(1–x 0)<1 4。 而e –1∈(0,1)，x 0≠e –1，所以f(x 0)>f(e –1)=e –2。 综上，e –2< f(x 0)<2–2。 22、(1)设P 极坐标为(ρ,θ)( ρ>0)，M 极坐标为(ρ1,θ)( ρ1>0)。则|OP|=ρ，|OM|=ρ1=4 cosθ。由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0)。所以C 2 的直角坐标方程为(x –2)2+y 2=4(x≠0)。 (2)设B 极标为(ρ2,θ)( ρ2>0)，由题可知|OA|=2，ρ2=4cosα，则有 S △OAB =12|OA|·ρ2·|sin(α–π3)|=2|s in(2α–π3)–32|≤2+3。即当α=–π12时，△OAB 面积的最大值为2+3。 23、(1)(a+b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2–2a 3b 3+ab(a 4+b 4)=4+ab(a 2–b 2)2≥4。 (2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 =2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)3 4 ，所以(a+b)3≤8，解得a+b≤2。