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九年级秋季第二十七次课 反比例函数与二次函数

九年级秋季第二十七次课  反比例函数与二次函数
九年级秋季第二十七次课  反比例函数与二次函数

之间的关系可以表示成y = 的反比例函数. k >0

o

y x

的图象上,则k=.

与此物体在力的方向上移动的距离

牛时,物体在力的方向上移动的距离是

)和(-2,3),则m的值为

在坐标轴上,顶点C在第一象限且在反比例函数

-,,则此函数图象也经过点().(08嘉兴)某反比例函数的图象经过点(23)

.

)a>0

5. (06资阳)已知函数y=x 2

-2x-2的图象如图1所示,根据其中提供的信息,可求得使 (第5题) (第6题)

已知二次函数243y ax x =-+的图象经过点(-)求此二次函数的解析式;

)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点,并画出函数的图象;x 0

1

九年级数学上册 二次函数单元测试卷(解析版)

九年级数学上册 二次函数单元测试卷(解析版) 一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难) 1.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 2 0x +(b+1)x 0+b ﹣2 =x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点; (2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2 121 a +是线段AB 的垂 直平分线,求实数b 的取值范围. 【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣ b <0. 【解析】 【分析】 (1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点; (2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围; (3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2121 a +是线段AB 的垂 直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】 解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1, 即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0, ∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试含答案.doc

第二十二章二次函数单元测试 一、单选题(共10题;共30分) 1、西宁中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管的最大高度为3米,此时距喷水管的水平距离为米,在如图所示的坐标系中,这个喷泉的函数关系式是() A、y=-(x-)2+3 B、y=-3(x+)2+3 C、y=-12(x-)2+3 D、y=-12(x+)2+3 2、抛物线y=x2向左平移1个单位,再向下平移2个单位,得到新的图象的二次函数表达式是() A、B、C、D、 3、如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过平移得到抛物线,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A、2 B、4 C、8 D、16 4、抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为 A、 B、C、D、 5、下列关系式中,属于二次函数的是(x是自变量)()

A、y= B、y= C、y= D、y=ax2+bx+c 6、下列函数解析式中,一定为二次函数的是() A、y=3x﹣1 B、y=ax2+bx+c C、s=2t2﹣2t+1 D、y=x2+ 7、抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为() A、(4,0) B、(0,4) C、(4,2) D、(4,﹣2) 8、已知矩形的周长为36m,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱,设矩形的一条边长为xm,圆柱的侧面积为ym2,则y与x的函数关系式为() A、y=﹣2πx2+18πx B、y=2πx2﹣18πx C、y=﹣2πx2+36πx D、y=2πx2﹣36πx 9、已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5,则b,c的值为() A、b=0,c=6 B、b=0,c=﹣5 C、b=0,c=﹣6 D、b=0.c=5 10、(2011?梧州)2011年5月22日﹣29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在 比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣ x2+bx+c的一部分(如图),其中出球点B离地面O点的距离是1m,球落地点A到O点的距离是4m,那么这条抛物线的解析式是() A、y=﹣ x2+ x+1 B、y=﹣ x2+ x﹣1 C、y=﹣ x2﹣ x+1 D、y=﹣ x2﹣ x﹣1 二、填空题(共8题;共30分) 11、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3,利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解,也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x,用它们交点的横坐标来求该方程的解.所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数________和________的图象交点的横坐标来求得.

二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:??? ??++22 B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ;∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a

人教版九年级数学上册二次函数教案

教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。

九年级上册 二次函数单元测试卷(解析版)

九年级上册 二次函数单元测试卷(解析版) 一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难) 1.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 2 0x +(b+1)x 0+b ﹣2 =x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点; (2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2 121 a +是线段AB 的垂 直平分线,求实数b 的取值范围. 【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣ b <0. 【解析】 【分析】 (1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点; (2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围; (3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2121 a +是线段AB 的垂 直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】 解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1, 即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0, ∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,

二次函数压轴题专题及答案

2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M 的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,说明理由. 考点:二次函数综合题. 专题:压轴题;数形结合. 分析: (1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长. (3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB,MN的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:

, 解得; 故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标. 考点:二次函数综合题.. 专题:压轴题;转化思想. 分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.

新人教版九年级上册数学:《二次函数》基础练习含答案(5套)

时间:10分钟 满分:25分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.若y =mx 2+nx -p (其中m ,n ,p 是常数)为二次函数,则( ) A .m ,n ,p 均不为0 B .m ≠0,且n ≠0 C .m ≠0 D .m ≠0,或p ≠0 2.当ab >0时,y =ax 2与y =ax +b 的图象大致是( ) 二、填空题(每小题4分,共8分) 3.若y =x m - 1+2x 是二次函数,则m =________. 4.二次函数y =(k +1)x 2的图象如图J22-1-1,则k 的取值范围为________. 图J22-1-1 三、解答题(共11分) 5.在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后,画出函数y =2x 2和y =-12 x 2 的图象,并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1): 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标; (2)抛物线y =2x 2,当x ______时,抛物线上的点都在x 轴的上方,它的顶点是图象的最______点; (3)函数y =-1 2 x 2,对于一切x 的值,总有函数y ______0;当x ______时,y 有 最______值是______.

时间:10分钟 满分:25分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A .y =x 2+1 B .y =x 2-1 C .y =(x +1)2 D .y =(x -1)2 2.二次函数y =-x 2+2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分,共8分) 3.抛物线y =x 2 +14 的开口向________,对称轴是________. 4.将二次函数y =2x 2+6x +3化为y =a (x -h )2+k 的形式是________. 三、解答题(共11分) 5.已知二次函数y =-12 x 2 +x +4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴; (2)当x 取何值时,y 随x 的增大而增大?当x 取何值时,y 随x 的增大而减小?

九年级上册 二次函数单元测试与练习(word解析版)

九年级上册 二次函数单元测试与练习(word解析版) 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.已知,抛物线y=- 1 2 x2 +bx+c交y轴于点C(0,2),经过点Q(2,2).直线y=x+4分别交x轴、y轴于点B、A. (1)直接填写抛物线的解析式________; (2)如图1,点P为抛物线上一动点(不与点C重合),PO交抛物线于M,PC交AB于N,连MN. 求证:MN∥y轴; (3)如图,2,过点A的直线交抛物线于D、E,QD、QE分别交y轴于G、H.求证:CG ?CH 为定值. 【答案】(1)2 1 2 2 y x x =-++;(2)见详解;(3)见详解. 【解析】 【分析】 (1)把点C、D代入y=- 1 2 x2 +bx+c求解即可; (2)分别设PM、PC的解析式,由于PM、PC与抛物线的交点分别为:M、N.,分别求出M、N的代数式即可求解; (3)先设G、H的坐标,列出QG、GH的解析式,得出与抛物线的交点D、E的横坐标,再列出直线AE的解析式,算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证.【详解】 详解:(1)∵y=- 1 2 x2 +bx+c过点C(0,2),点Q(2,2), ∴ 2 1 222 2 2 b c c ? -?++ ? ? ?= ? = ,

解得:1 2b c =??=? . ∴y=- 12 x 2 +x+2; (2) 设直线PM 的解析式为:y=mx ,直线PC 的解析式为:y=kx+2 由2 2122y kx y x x =+?? ?=-++?? 得 12 x 2 +(k-1)x=0, 解得:120,22x x k ==-, x p =22p x k =- 由2 1=22y mx y x x =???-++?? 得 12 x 2 +(m-1)x-2=0, ∴124b x x a ?=- =- 即x p?x m =-4, ∴x m =4p x -=21 k -. 由24y kx y x =+??=+? 得x N = 2 1 k -=x M , ∴MN ∥y 轴. (3)设G (0,m ),H (0,n ). 设直线QG 的解析式为y kx m =+, 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+

新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习

新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一:二次函数的定义 1.二次函数的定义: 一般地,形如2 =++(a b c y ax bx c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数. 其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 知识点二:二次函数的图象与性质 ? 2. 二次函数()2 =-+的图象与性质 y a x h k (1)二次函数基本形式2 =的图象与性质:a的绝对值越大,抛物线的开口越小 y ax (2)2 =+的图象与性质:上加下减 y ax c

(3)()2 y a x h =-的图象与性质:左加右减

(4)二次函数()2 y a x h k =-+的图象与性质 3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质 (1)当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值 2 44ac b a -. (2)当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值 2 44ac b a -.

4. 二次函数常见方法指导 (1)二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线) 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,与y 轴的交点,顶点. (2)二次函数图象的平移 平移步骤: ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ② 可以由抛物线2 ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律:概括成八个字“左加右减,上加下减”. (3)用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式:.已知图象上三点或三对、 的值,通常选择一般式. ②顶点式:.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. ③交点式: .已知图象与轴的交点坐标 、 ,通常选择交点式. (4)求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2- =. ②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.

九年级上册 二次函数单元达标训练题(Word版 含答案)

九年级上册 二次函数单元达标训练题(Word版含答案) 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.已知,抛物线y=- 1 2 x2 +bx+c交y轴于点C(0,2),经过点Q(2,2).直线y=x+4分别交x轴、y轴于点B、A. (1)直接填写抛物线的解析式________; (2)如图1,点P为抛物线上一动点(不与点C重合),PO交抛物线于M,PC交AB于N,连MN. 求证:MN∥y轴; (3)如图,2,过点A的直线交抛物线于D、E,QD、QE分别交y轴于G、H.求证:CG ?CH 为定值. 【答案】(1)2 1 2 2 y x x =-++;(2)见详解;(3)见详解. 【解析】 【分析】 (1)把点C、D代入y=- 1 2 x2 +bx+c求解即可; (2)分别设PM、PC的解析式,由于PM、PC与抛物线的交点分别为:M、N.,分别求出M、N的代数式即可求解; (3)先设G、H的坐标,列出QG、GH的解析式,得出与抛物线的交点D、E的横坐标,再列出直线AE的解析式,算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证.【详解】 详解:(1)∵y=- 1 2 x2 +bx+c过点C(0,2),点Q(2,2), ∴ 2 1 222 2 2 b c c ? -?++ ? ? ?= ? = ,

解得:1 2b c =??=? . ∴y=- 12 x 2 +x+2; (2) 设直线PM 的解析式为:y=mx ,直线PC 的解析式为:y=kx+2 由2 2122y kx y x x =+?? ?=-++?? 得 12 x 2 +(k-1)x=0, 解得:120,22x x k ==-, x p =22p x k =- 由2 1=22y mx y x x =???-++?? 得 12 x 2 +(m-1)x-2=0, ∴124b x x a ?=- =- 即x p?x m =-4, ∴x m =4p x -=21 k -. 由24y kx y x =+??=+? 得x N = 2 1 k -=x M , ∴MN ∥y 轴. (3)设G (0,m ),H (0,n ). 设直线QG 的解析式为y kx m =+, 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+

人教版九年级上册数学九年级二次函数综合测试题及答案

二次函数单元测评 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3, y3)是直线上的点,且-1

人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷(解析版)

人教版九年级上册数学二次函数单元测试卷(解析版)一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.图①,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),并且与直线y=1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点,动点P在直线BC下方的二次函数的图象上. (1)求此二次函数的表达式; (2)如图①,连接PC,PB,设△PCB的面积为S,求S的最大值; (3)如图②,抛物线上是否存在点Q,使得∠ABQ=2∠ABC?若存在,则求出直线BQ的解析式及Q点坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)y=1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2;(2)﹣1<0,故S有最大值,当x=2时,S的最大值 为4;(3)Q的坐标为(5 3 ,﹣ 28 9 )或(﹣ 11 3 , 92 9 ). 【解析】 【分析】 (1)根据题意先求出点B、C的坐标,进而利用待定系数法即可求解; (2)由题意过点P作PH//y轴交BC于点H,并设点P(x,1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2),进而根据S =S△PHB+S△PHC=1 2 PH?(x B﹣x C),进行计算即可求解; (3)根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况,利用解直角三角形的方法,求出点H的坐标,进而分析求解. 【详解】 解:(1)对于直线y=1 2 x﹣2, 令x=0,则y=﹣2, 令y=0,即1 2 x﹣2=0,解得:x=4, 故点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,﹣2),抛物线过点A、B两点,则y=a(x+1)(x﹣4), 将点C的坐标代入上式并解得:a=1 2 ,

故抛物线的表达式为y= 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①; (2)如图2,过点P作PH//y轴交BC于点H, 设点P(x, 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2),则点H(x, 1 2 x﹣2), S=S△PHB+S△PHC= 1 2 PH?(x B﹣x C)= 1 2 ×4×( 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2)=﹣x2+4x, ∵﹣1<0,故S有最大值,当x=2时,S的最大值为4; (3)①当点Q在BC下方时,如图2, 延长BQ交y轴于点H,过点Q作QC⊥BC交x轴于点R,过点Q作QK⊥x轴于点K,∵∠ABQ=2∠ABC,则BC是∠ABH的角平分线,则△RQB为等腰三角形, 则点C是RQ的中点, 在△BOC中,tan∠OBC= OC OB = 1 2 =tan∠ROC= RC BC , 则设RC=x=QB,则BC=2x,则RB22 (2) x x 5=BQ, 在△QRB中,S△RQB= 1 2 ×QR?BC= 1 2 BR?QK,即 1 2 2x?2x= 1 2 5, 解得:KQ 5 ∴sin∠RBQ= KQ BQ 5 5x = 4 5 ,则tanRBH= 4 3 ,

九年级数学二次函数压轴题

九年级数学二次函数压轴题 1.(10分)某商店销售一种商品,每件的进价为2.5元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析,销售单价多少时,可以获利最大? 2.(12分)某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动,在活动中他们参与了某种水果的销售工作.已知该水果的进价为8元/千克,下面是他们在活动结束后的对话. 小丽:如果以10元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克. 小强:如果每千克的利润为3元,那么每天可售出250千克. 小红:如果以13元/千克的价格销售,那么每天可获取利润750元. 【利润=(销售价﹣进价)×销售量】 (1)请根据他们的对话填写下表: 销售单价x(元/kg)10 11 13 销售量y(kg) (2)请你根据表格中的信息判断每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系.并求y (千克)与x(元)(x>0)的函数关系式; (3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元,求W与x的函数关系式.当销售单价为何值时,每天可获得的利润最大?最大利润是多少元? 3、某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间每天的定价增加x元。 ⑴写出房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数关系式; ⑵写出该宾馆每天的房间收费p(元)关于x(元)的函数关系式;

⑶求该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w有最大值?最大值是多少? 4.(本小题满分10分) 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售单价x(元∕ 件)与日销售量y(件)之间的关系如下表. x(元∕ 15 18 20 22 … 件) y(件)250 220 200 180 … x (2)求日销售利润w(元)与销售单价x(元∕ 件)之间的函数关系式; (3)若规定销售单价不低于15元,且日销售量不少于120件,那么销售单价应定为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少? 5.(本题满分6分) 某商场进行促销活动,规定凡在商场一次性消费200元以上的顾客可以参加一次摸奖活动,摸奖规则如下:一个不透明的袋子里装有红(1个)、黄(2个)、绿(4个)、白(18个)除颜色外其余完全相同的小球,充分摇匀后,从中摸出一个小球,如果摸出的球是红、黄或绿色小球,顾客就可以分别获得150元、100元、50元的现金.如果不选择摸奖,则可以直接获得15元购物券.有一名顾客本次购物225元. (1)这名顾客能否参加摸奖,摸奖获得现金的概率是多少? (2)请通过计算说明选择哪种方式更合算? 6.(本题满分10分) 某经销店代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂

人教版九年级数学上册二次函数

初中数学试卷 二次函数 ——二次函数的定义、图像及性质 一、二次函数的定义 形如y=a x2+bx+c(a, b, c是常数,a≠0),那么,y叫做x的二次函数。 【例题1】 (1)下列函数中,是二次函数的为() A. B.y= C. D. (2)函数是二次函数,则m的值为()A.1或—6 B.1 C.—2或3 D.3 二、二次函数的图像——抓住a、b、c 【例2】

(1)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠ 0)的图象可能是() (2)函数与(k≠0)在同一坐标系中图像大致是图中的 () (3)已知:a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的() (4)设a、b是常数,且b>0,抛物线为下图中四个图像之一,则a的值为()

(5)二次函数的图像的一部分如图所示,求a的取值范围 三、二次函数的图像性质 1.点的坐标 【例3】 (1)已知抛物线的顶点在坐标轴上,则k的值共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)若抛物线的顶点的纵坐标为n,则k-n的值为_______. 2.二次函数的单调性 【例4】 (1)若点A(2,y 1),B(3,y 2 )是二次函数图像上的两点, 则y 1与y 2 的大小关系是() A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能确定

(2)已知a<—1,点(a-1, y1),(a, y2)(a+1,y3)都在二次函数 的图像上,则y1、y2、y3 的大小关系为_______. 四、二次函数的最值问题——配方法、顶点法 【例5】 (1)二次函数的最小值是_______. (2)已知实数x,y满足,则x+y的最大值为______. (3)当二次函数的最小值为() A.—4 B.— C.— D. (4)当—1≤x≤1时,二次函数y= x2-mx+3有最小值—3,求m的值。

人教版九年级数学上册二次函数 单元测试题

初中数学试卷 二次函数单元测试题 一、选择题: 1、已知二次函数的图象与x轴有交点,则k的取值范围是() A. B. C.且 D.且 2、抛物线y=2(x﹣3)2的顶点在() A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上 3、函数的顶点坐标是(). A.(1,) B.(,3) C.(1,-2) D.(-1,2) 4、把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是() A.y=-2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2-6 C.y=-2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5、如图,正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF 是矩形,则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为() A.y=5﹣x B.y=5﹣x2C.y=25﹣x D.y=25﹣x2

6、若二次函数的对称轴是x=3,则关于x的方程的解为() A.=0,=6 B.=1,=7 C.=1,=-7 D.=-1,=7 7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为() A.B.C.D. 8、抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示: x…﹣2﹣1012… y…04664… 从上表可知,下列说法中,错误的是() A.抛物线于x轴的一个交点坐标为(﹣2,0) B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6) C.抛物线的对称轴是直线x=0 D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的 9、在同一直角坐标系中,函数和函数(是常数,且)的图象可能

【专题培优】2018年 九年级数学上册 二次函数压轴题 培优专题(含答案)

2018年九年级数学上册二次函数压轴题培优专题 1.如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C (1)求点A,B,C的坐标; (2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用含m 的代数式表示MN的长; (3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.

3.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点, 其中C点的横坐标为2. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标; (3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出F点坐标;如果不存在,请说明理由. 4.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0). (1)求抛物线的表达式; (2)把﹣4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围; (3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.

人教版九年级上册二次函数全章教案

26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接: 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说y 是x 的 ,x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠(的函数是一次函数 二、自主学习: 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析:在这个问题中,可设长方形生物园的长为x 米,则宽为 米,如果将面积记为y 平方米,那么y 与x 之间的函数关系式为y = ,整理为y = . 2.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形,求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处? 。 5.归纳:一般地,形如 ,(,,a b c a 是常数,且 )的函数为二次函数。其中x 是自变量,a 是__________,b 是___________,c 是_____________. 三、合作交流: (1)二次项系数a 为什么不等于0? 答: 。 (2)一次项系数b 和常数项c 可以为0吗? 答: . 四、跟踪练习 1.观察:①2 6y x =;②2 35y x =-+;③y =200x 2+400x +200;④3 2y x x =-;⑤ 213y x x =-+;⑥()2 21y x x =+-.这六个式子中二次函数有 。(只填序号) 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数,则m 的值为______________. 5.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC 边长为x m ,绿化带的面积为y m 2.求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.

九年级上册数学 二次函数同步单元检测(Word版 含答案)

九年级上册数学 二次函数同步单元检测(Word 版 含答案) 一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,抛物线()2 50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点 C ,经过B C 、两点的直线为y x n =+. (1)求抛物线的解析式. (2)点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 秒,求t 为何值时,PBE △的面积最大并求出最大值. (3)过点A 作AM BC ⊥于点M ,过抛物线上一动点N (不与点B C 、重合)作直线 AM 的平行线交直线BC 于点Q .若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形,求 点N 的横坐标. 【答案】(1)2 65y x x =-+- (2)2t =;2(3541-或4541 + 【解析】 【分析】 (1)先确定A 、B 、C 三点的坐标,然后用待定系数法解答即可; (2)先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形,再求出点P 到BC 的高d 为 ()2 4542 d BP sin t =??= -,则12PBE S BE d =??)()122244222 t t t =??-=-,再根据二次函数的性质即可确定最大值; (3)先求出2 45422AM AB sin =??==N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,再说明四边形AMNQ 是平行四边形,得到22NQ AM ==;再过点

N 作NH x ⊥轴,交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角 形,求得4NH = ==;设() 2 ,65N m m m -+-,则(),0G m , (),5H m m -,最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况 解答即可. 【详解】 解:()1因为直线y x n =+经过B C 、两点,且点B 在x 轴上,点C 在y 轴上, ∵()(),,00,B n C n - ∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ,点(),0B n -,点()0,C n , ∴250505a b an bn n +-=??--=??-=?,解得51,6n a b =-?? =-??=? 所以抛物线的解析式为2 65y x x =-+-. ()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C - ∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形, ∴45,ABC ∠= 由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE 的距离)454d BP sin t =??=- 所以1 2 PBE S BE d =?? )()1244222 t t t t =??-=-; ∵二次函数( )()4f t t =-的函数图象开口向下,零点为0和4, ∴04 22 t += =时, ∴()( )( )2242max f t f ==?-=即2t =时,PBE △的面积最大,且最大值 为 ()3 由题意得4542 AM AB sin =??=? = 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形,

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