高考第一轮复习之三-------函数的概念

高三同步辅导材料（第3讲）

主讲：李旭禾（金陵中学 高级教师 奥赛教练）

一、教学进度

高考第一轮复习之三-------函数的概念

函数的概念、函数的定义域和值域、函数的解析式、函数与反函数.

二、 复习指导

函数是高中数学最重要的内容.

A 、

B 两上集合，如果存有对应关系f ，使A 中任一元素通过f ，B 中有唯一确定的元素与之对应，则把A 、B 两集合连同它们之间的对应关系f 称为一个映射，记作f ：A →B. 因此，集合有三要素：A 、B 及小，能否构成映射，关键在于A 中元素是否都有象，这些象是否都是唯一的，而不在于B 中元素是否都是原象，或原象是否唯一.

如果映射f ：A →B 中，B 中元素都有原象，且原象都是唯一的，则称这样的映射为一一映射，一一映射才有逆映射（即把A 中元素的象作为原象而把原象作为象的映射，记作 f －1：B →A ）

函数是其定义域到值域的一种映射，定义域和值域都必须为非定数集.

一一映射构成的函数才有反函数(即逆映射所确定的函数). 原函数与反函数的图象关于直线y=x 对称，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.

注意以下两个问题的区别：

(1)曲线f (x 、y)=0与g(x 、y)=0关于直线y=x 对称，那么g(x 、y)=0是f (x 、y)=0的反函数吗？ (2)函数y=f (x)和y=g(x)图象关于直线y=x 对称. 那么，y=g(x)是f (x 、y)=0的反函数吗？ 当对应关系f 确定后，定义域即决定了它的值域.

三、典型例题

例1．(1)函数y=f (x)的对应关系如表： 它是否有反函数？如果有试写出其反函数：

(2)已知f (1－cosx)=cos2x+2cosx. 求f －1(x).

(1) 函数的表达方式有三种：①图象法. 如急诊病人的体温和入院时间之间的函数关系，它无法用解析法表达. ②列表法. 如住院病人的常规体温测试与时间f 的关系. ③解析法. 如果对应关系可以用一个解析式表达的话，称此解析式为函数的解析式. 当然，初等数学接能的大都为此.

本题是用列表法表示的函数，由表中数据的此函数有反函数为

(2)令u =1－cos x ∈［0，2］ 则cos x =1－u 可是

f (u )=2(1－u )2－1+2(1－u )=2u 2－6u +3 在［0，2］上单调递减，故有反函数. 2(u －3)3=y+15 －(u －3)=2

15y +. 故反函数解析式为y=3－

2

15y +. 其定义域为原函数的值

域为［－1，3］.

若把题目变为“已知f (－cos x )=cos2x ，则可得f(x )=2(x －1)2

－1 x ∈［0，2］. 则f(x)没有反函数，因为此函数在［0，2］上不是单调函数，不是一一映射构成的函数”. 解： (1)原函数为一一映射确定的函数，有反函数为f －1

：

X

2 4

8

Y

1

2 4

(2)令u=1－cosx ∈［0，2］则cosx=1－u f(u)=2(1－u)2

－1+2(1－u)=2u 2

－6u+3 ∴f(x)=2x 2－6x+3 x ∈［0，2］ ∴f －1(x)=3c

2

15+x x ∈［－1，3］

例2．如图，一上部为半圆周，下部为一矩形三边的周长为l 的钢窗框， 试用半圆半径r 表示<><>面积S ，并写出定义域、值域.

解：矩形一边为2x ，另一边为2

r

2r l --π.

S=

lr r )22

(

2

r

)2(l r 2r 2

12

2

++-=+-?

+π

ππ.

要求定义域，r ＞0是显然的，另一端则应改为下部是矩形，其一边2

r

)2(l +-π＞0，故r ＜

2

l

+π.

S=f (x )在??

?

??

+4l

,

0π单调递增，在(4l +π，2l +π)单调减，

且因

2

l

+π－

4

l

+π=

)

4)(2(l

2++ππ＜

8

2l 2+π=

04

l

-+π

∴S ∈??

? ??+)4(2l ,02

π 解：设半圆半径为r ，则矩形一边长为2r ，一边点为

2

2r

r l --π.

∴S=

)2

)2(2(212

r

l r r

+-?+ππ=－(

2

π

+2)r 2+l r

定义域为r ∈(0,2+πl

), 值域为??

? ??+)4(2,02

πl . 求函数的定义域，除了要使解析式有意义(如分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数真数为正，指数与对数的底大于0且不等1，等等)、对实际问题还应考虑实际可能的范围.

例3．求函数y=

x

sin lg x 812

-的定义域.

由

81－x 2≥0 x ∈［－9，9］ sinx ＞0 知

lgsinx ≠1 x ∈(2k π，2k π+

2

π

)∪(2k π+

2

π

，(2k+1)π) (k ∈z)

因x 取值范围有限，故结果应逐段写出，如y =f (2x )是由y=f (u )，u =2x

复合而成。它的定义域是指初始自变量x 的取值范围，而不是中间变量u 的取值范围，这个概念搞清楚了，本题也就迎刃而解了.

例4．已知函数f (x )满足：f (x )+xf (1－x )=x ，求其值域.

在本题中，要求值域，必须先把f (x )的解析式写出，那就须先设法除去f (1－x ). 令1－x =u ，则x =1－u ，由已知f (1－u )+( 1－u )f (u )= 1－u . 亦即f (1－x )+ (1－x )f (x )=1－x

它与原先的f (x )+ xf (1－x )=x 就形成了关于f (x )和f (1－x )的二元架构，就可通过解二元方程组的办法消去

f (1－x )除则f (x )=

2

2

x

x 1x

+-.

下面我们来求它的值域.

我们可把原式写为(y －1)x 2－yx +y =0的形式，图形别式法求出y 的取值范围. 我们也可知，当x =0时，f (x )=0，当x ≠0时，y

1=1－

x

1+

2

x

1=(

x

1－

2

1)2+

4

3∈

??

????+∞,43来求y 的取值范围.

解：由已知 f(x)+xf(1－x)=x 以1－x 代x, 得

f(1－x)+(1－x)f(x)= 1－x

由上述两式消去f(1－x)，得f(x)＝1

2

2

+-x x x

当x ＝1时，y=1 当y ≠1时 (y －1)x 2－yx+y=0

△=y 2

－△y(y －1)≥0 y ∈［0，3

4］且y ≠1

∴值域为［0，3

4］

例5．x ∈A. 求f (x )=

3

x 5x 2--(x ∈A)的值域为[)+∞,4时的A.

f (x )的定义域A 即其反函数的值域故可令3

x 5x 2--≥4，得x ∈［3，

2

7］.∴A=［3，

2

7］

解：令

3

52--x x ＞4，解得x ∈［3，

2

7］ ∴A=［3，2

7］

例6．求下列函数的值域. (1)y=x 1x 2--

(2)y=x 1x -+ (3)y=x 1x 2-+

这三题定义域均为［0，1］，值域与此有关. 在第一小题中，f (x )=x 2在［0，1］单调递增，而g(x )=x 1-在［0，1］单调递减，故原函数在［0，1］单调递增，利用定义域和单调性，立即可求出值域为［－1，2］.

在第(2)小题中，因(x )2+(x 1-)2=1 故可利用基本不等式知x +x 1-≤)x 1x (2-+=2 (当x =

2

1时)，也可直接写为

x +

x 1-=

)x 1(x 2)x 1(x -+-+=

x x 212

+-+求出值域；在第(3)小题中，仍有

(

x )2+(x 1-)2=1但(2)中的方法却不适用了，但下面的方法对(2)却适用：

记u =x ∈［0，1］ V=∈x 1-［0，1］.由已知u 2+V 2=1. 而2x +x 1-=2u+V . 问题就变成了过圆的一部分(第一象限，且含与x 、y 轴正向的交点)上的点作平行直线来，在y 轴上的截距的范围了.

针对

x .

x 1-∈［0，1］且(

x )2+(x 1-)2=1. 我们可以令x =cos 2θ(θ∈［0，2

π

］).则(1)中y=2cos θ－sin θ=

5cos(θ+arctan 2

1). (2)中y=cos θ+sin θ=

2cos(θ－

4

π

). (3)中

y=2cos θ+sin θ=5cos(θ－arctan

2

1). 范围立即可求出，从此上例题可看出，求函数值域的方法较多，

有反函数值，差别式法，利用函数单调性法，利用基本不等式法，代换法，几何化法等等，应根据题目的特点适当范围.

解：(1)y=x 2－x -1在其定义域［0，1］上单调减增 ∴y ∈［－1，2］

(2) 令x=cos 2θ θ∈［0，2

π

］ 则y=cos θ+sin θ=2cos(θ－

4

π

)

∵θ－

4

π

∈［－

4

π

，

4

π

］. ∴cos(θ－4

π

)∈［

2

1，1］

∴y ∈［1，2］

(3) 令x=cos 2

θ θ∈［0，

2

π

］ 则y=2cos θ+sin θ=5cos(θ－arctan 2

1)

∵θ－arctan

2

1∈［－arctan

2

1,

2

π－arctan

2

1］

∴cos(θ－arctan

2

1)∈［

5

5,1］ y ∈［1,5］

巩固练习

1．设x ＞0，y ≥0. x+2y=2

1, 求当x 、y 为何值时，u=log

3

1(8xy+△y 2

+1)有最大值、有最大值并求出

最大值和最小值.

2．求值域：(1)y=x －2

x 1- (2)y=1x x 1x x 22

+--+ (3)y=

2x x 1

x 2

2-+-

(4)y=21－1×1

3．若a ＞0，且a ≠1，求函数y=ln(a x －2x －1)的定义域.

4．已知函数f (x )的定义域为［0，1］，那么g(x )=f (x +a )+f (x －a )的定义域是什么？

5．已知函数y=f (x )有反函数f －1(x )，记f (x +1)的反函数为y =g(x )，则函数y =g(x )的图象与y = f －1 (x +1)的图像的关系是 （ ）

(A)g(x )的图像可由f －1(x+1)的图像向右平移1个单位，再向下平移一个单位得到. (B) g(x )的图像可由f －1(x+1)的图像向左平移1个单位，再向上平移一个单位得到. (C) g(x )的图像可由f －1(x+1)的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到. (D) g(x )与f －1(x+1)的图像完全相同. 6．已知：a ∈［3

1，1］，f (x )=ax 2

－x +1 x ∈［1，3］的最大值为M(a )，最小值为N(a )，g(a )=M(a )

－g(a ).

(1)求g(a )的解析式； (2)求g(a )的最小值.

7．函数y=x 2

+2mx +2m +3的图像与x 轴有两个交点(x 1，0) (x 2，0). 求2

22

1x x ++的取值范围.

8．(1)已知x 2+y 2

∈［2，4］.求4x+3y 的取值范围.

(2)已知sinx + siny=3

1. 求sinx+cos2y 的取值范围.

9．已知函数f (x )=4

x 12

-(x ＜－2)

(1)求f －1

(x )，

(2)数列{}n a 中，a 1=1，

1

n a 1+= f －1

(a n )，求{}n a 的通项公式；

(3)设b n =1

n n 1n n a a a a +++，S n 为{}n b 前n 项之和，求

.n

N S

n lim ∞

→.

10．f (x )=

1

x 3x 2-+，函数y=g(x )的图象与y= f －1(x +1)的图象关于直线y=x 对称，求g(x )的表达式.

11．如图所示铁路线上AB 段长100千米， 工厂C 到铁路线的距离CA=20千米，现<>在AB 段 的某点D 处向C 修CD ，以便把货物由B 经铁路运到 D 处，再沿公路这至C 处，若吨千米运费铁路与公路 之比为3：5，问C 远在何处可使运费最省？

12．设f (k )是满足不等式log2x+log2(3×2k －1－x)≥2k －1 (k ∈N +)的正整数x 的个数. (1)求f (k )的解析式；

(2)求Sn=f(1)+f(2)+……+f(n)的表达式.

13．求函数y=2

x cos 4x cos 3x sin

2

--+的值域.

14．(1)求关于x 的函数y =x 2+2a 2

x 1-+a 2－6a +13的最大值M ；

(2)是否存在正的常数b ，使a 在（1，+∞）上变动时，y=log b M 的最大值为3

4-

？

参考答案

1．2y=

21

－x ≥0 ∴∈??

?

??21,0，于是

u=log 31(4×(

2

1－x )+(

2

1－x )2

+1)= log

3

1(－3x 2

+x+

4

5).

当x=61时，－3x 2+x+45有最大值

3

4，从而u 有最小值1－2log 32.

当x=

2

1时，－3x 2+x+

4

5有最小值1，从而u 有最大值0.

2．(1)令x=cos θ θ∈［0，π］ 则y=cos θ－sin θ=2cos(θ+4

π

)∈［－2，1］

(2)(y －1)x 2－(y+1)x+y+1=0 当x=1时，y=1. 当y ≠1时，∵x ∈R. ∴(y+1)2－4(y 2－1)≥0 y ∈［－1，3

5］ 且y ≠1，∴y ∈［－1，

3

5］

(3)y=

)

2x )(1x ()1x )(1x (+--+=

2

x 1x ++ (x ≠1)

y=1－2

x 1+≠1，当x=1时2

x 1x ++=

3

2

∴y ∈?

???

??

≠

≠∈32y 1y R y y 且且. (4)∵1－x ∈(]1,∞- ∴y=21－1×1∈(]2,0 3．令a x

－2

x －1

＞0. (

2

a )x

＞

2

1

当a ∈(0,1)∪(1,2)时，

2

a ∈(0,1) x ∈(－∞,2

1

log

2

a )

当a ＞2时，

2

a ＞1 x ∈(2

1

log

2

a ,+∞,)

当a ＝2时，x ∈R.

4． x+a ∈［0，1］ x ∈［－a ，1－a ］ x －a ∈［0，1］ x ∈［a ，1+a ］ 1O 当a =0时，g(x )定义域为［0，1］ 2O 当a ∈［0，2

1］时，g(x)定义域为［a ，1－a ］

3O 当a ∈［－2

1，0］时，g(x)定义域为［－a ，1+a ］

4O

当a =±2

1时，g(x)定义域为?

?????21

5O 当a ＞2

1或a ＜－2

1时，g(x)不存在.

5．(A)

6．∵a ＞0 ∴f (x )为开口向上的抛物线，其对称轴为x=a

1∈［1，3］. 故N(a )=f (

a

1)=1－

a

1

M(a )=max {})3(f ),1(f =max {}5a 9,1a --

= a －1 当a ∈［31，

2

1］

9a －5 当a ∈(2

1，]3

∴g(a )= a +

a

1－2 当a ∈［3

1，

2

1］

9a+a

1－6 当a ∈(

2

1，]3

任取a 1、a 2∈［

3

1，

2

1］，a 1＜a 2 ∵(a 1+1

a 1－2)－(a 2+

2

a 1－2)=

2

12121a a )

1a a )(a a (--＞0单调递减，

此时g(a )∈［

2

1，3

4］任取

2

1＜a 1＜a 2≤3. .∵(9a 1+

1

a 1－6)－(9a 2+

2

a 1－6)=

2

12121a a )

9

1a a )(a a (9-

-＜

0 单调递增. 此时g(a )∈［2

1，21

3

1］

∴g(a )最小值为

2

1(当a =

2

1时).

7．△=4m 2

－4(2m+3)＞0 m ＞3或m ＜－1.

21x +2

2x =(x 1+x 2)2－2x 1x 2=4m 2－4m －6. 在(－∞，－1)单调递减(3，+∞)单调递增， ∴21x +22x ∈(2，+∞)

8．(1)设 x=rcos θ

y=rsin θ x ［2,2］

则4x+3y=5rcos(θ－4)∈［－10,10］(?=costan

4

3)

(2)由已知，siny ∈［－

3

2,1］

∴cos2y+sinx=1－2sin 2y+

3

1－siny=－2sin 2y －siny+

4

3 ∈［－

35,24

35］

9．(1)x 2

－4=

2

1y

，∵x ＜－2 ∴x=－

2

2

41y

y +，f －1

(x )=－

2

2

41x

x +. 其中x ∈(0,+∞).

(2) 1

1+n a =

2

2

41n

n

a

a + ∴(

1

1+n a )2=(

n

a 1)2+4 又(

1

1a )=1

∴

21

n

a

=1+4(n －1), 又a n ＞0，∴a n =3

41-n

(3)b n =

1

413

411

41341

++

-+-n n n n =

1

4341

++

-n n =

4

3

414--

+n n

∴S n =

4

1(14+n －1)

4

1lim =

∞

→n

S n n 2

1)114(lim =

-

+

∞

→n

n

n

10．yx －y=2x+3 (y －2)x=y+3 ∴f －1

(x)=23-+x x f －1

(x+1)=1

4-+x x

yx －y=x+4 (y －1)x=y+4 ∴g(x)=

1

4-+x x

11．设铁路吨千米运费为3k 元，公路吨千米运费为5k 元，AD ＝X 千米，总运费为y 元

y=(100－x)·3k+5k 2

220x + =k ［300+52

220x +－3x ］

只要求x 为何值时u=52

400x +－3x 最小. (u －3x)2=10000+25x 2

16x 2+6ux+10000－u 2

=0 ∵x ∈R

∴△=36u 2－64(10000－u 2)≥0 u 2≥6400. 故当x ＝15(千米)时运费最省.

12．原不等式即x(3×2k －1－x)≥22 k －1 整理得

x 2－3×2k －1+22 k －1≤0 x ∈［2k －1，2 k ］ ∴f(k)= 2

k －1

+1, (k ∈N +

)

Sn=

1

212--n

+n=2n +n －1

13．记u=cosx －2∈［－3，－1］则y=－u －

u

1－1，在［－3，－1］单调减

∴y ∈［1，

3

7］

14．(1)令t=2

1x -∈［0，1］，则y=－(t －a )2+2a 2－6a +14. 记y=g(t) 则

M= 2a 2

－6a +14 当a ∈［0，1］ g(1)= a 2－4a +13 当a ＞1 g(0)=a 2－6a +14, 当a ＜0

(2)当a ∈(1,+∞)时，M= a 2－4a +13∈[)+∞,6要使logbM 取得最大值－3

4，须b ∈(0,1)且

log b 6=－

3

4, ∴b=4

36

-

∈(0,1)

答案是肯定的.

高三数学精品教案：专题1：函数专题(理科)

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关

人教版高中数学必修一《集合与函数概念》章末复习课(含答案)

第一章集合与函数概念章末复习课 知识概览 对点讲练 分类讨论思想在集合中的应用 分类讨论思想是高中的重要数学思想之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题． 1．由集合的互异性决定分类 【例1】设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，则实数a＝________. 分析由A∩B＝{9}知集合A与B中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a 的值，注意集合中元素互异性的检验． 答案－3 解析由A∩B＝{9}，得2a－1＝9，或a2＝9， 解得a＝5,3，－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，

A ∩ B ＝{9，－4}，与A ∩B ＝{9}矛盾； 当a ＝3时，a －5＝－2,1－a ＝－2，B 中元素重复，舍去； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，满足题设． ∴a ＝－3. 规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用． (2)本题在解题过程中易出现的错误：①分类讨论过于复杂；②不进行检验，导致出现增根；③分类讨论之后没有进行总结． 变式迁移1 全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a ＋11|,2}，?S A ＝{5}，求实数a 的值． 解 因为?S A ＝{5}，由补集的定义知，5∈S ，但5?A. 从而a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a ＋11|＝15?S ，不符合题意； 当a ＝－4时，|2a ＋11|＝3∈S.故a ＝－4. 2．由空集引起的讨论 【例2】 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，若A ∩B ＝B ，求实数p 的取值范围． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ?A ， (1)当B ＝?时，即p ＋1>2p －1， 故p<2，此时满足B ?A ； (2)当B ≠?时，又B ?A ，借助数轴表示知 ????? p ＋1≤2p －1－2≤p ＋1 2p －1≤5，故2≤p ≤3. 由(1)(2)得p ≤3. 规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法．如A ?B 即可分两类：(1)A ＝?；(2)A ≠?.而对于A ≠?又可分两类：①A B ；②A ＝B.从而使问题得到解决．需注意A ＝?这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解． 变式迁移2 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x|mx －2＝0}，若B ?A ，求由实数m 构成的集合． 解 A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2} 当m ＝0时，B ＝?，符合B ?A ； 当m ≠0时，B ＝{x|x ＝2m }，由B ?A 知，2m ＝1或2m ＝2.即m ＝2或m ＝1. 故m 所构成的集合为{0,1,2}． 数形结合思想在函数中的应用 数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率． 【例3】 设函数f(x)＝x 2－2|x|－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域． (1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)解 当x ≥0时， f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，

第一章-集合与函数概念教案典型例题

集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}

2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( )

集合与函数概念单元测试题_有答案

高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集

高一数学《第一章 集合与函数概念》复习与小结

第一章集合与函数概念复习与小结 一、内容与解析 (一）内容：复习与小结 （二）解析：本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 二、教学目标及解析 通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学重点：①集合与函数的基本知识. ②含有字母问题的研究. ③抽象函数的理解. 教学难点：①分类讨论的标准划分. ②抽象函数的理解. 三、教学过程 问题1.①第一节是集合，分为几部分？ ②第二节是函数，分为几部分？ ③第三节是函数的基本性质，分为几部分？ ④画出本章的知识结构图. 活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图. 讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分. ②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射. ③分为：单调性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知识结构图如图1-1所 示，

图1-1 应用示例 [例1] 1.已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,1)，(1,2) B ．{(0,1)，(1,2)} C ．{y |y ＝1或y ＝2} D ．{y |y ≥1} 2.定义集合A 与B 的运算A*B={x|x∈A 或x∈B,且x ?A∩B},则(A*B)*A 等于( ) A.A∩B B.A∪B C.A D.B [例2] 已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值． [例3] 1.设集合A ＝{a |a ＝3n ＋2，n ∈Z}，集合B ＝{b |b ＝3k －1，k ∈Z}，试判断集合A 、B 的关系． 2.集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ?A ，则实数m ＝________. [例4] 已知函数的定义域为R ，且对任意m 、n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1且f ? ?? ??－12＝0，当x >－12 时，f (x )>0，试判断函数f (x )的单调性． 【例5】求函数()f x = [例6] 已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )(x ∈R ，y ∈R)，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数． [例7] 如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间? ????12，1上是增函数，求f (2)的取值范围．

集合与函数概念复习教案一对一教案

教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课 教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法 2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法 教学重难点教学重点：集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质教学难点：集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用 教 学 过 程 课后作业：教学反思：

知识点一：集合的性质与运算 例1、已知集合{}2 1,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件. 例2、设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ， 则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 例3、如图U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 例4、设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 例5、设{ }{} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a =__________。 知识点二：判断两函数是否为同一个函数 例6、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 , 01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

集合与函数概念测试题

新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝

B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}， N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0｝ ，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122 ≠-x x x ,则 f (2 1)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y= x x ++ -1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)= x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数 y=2x(x N ∈)的图象是一直线；

集合与函数概念测试题

修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷（四） （内容：集合与函数概念 满分：150 时间：120 制卷人：朱文艺） 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案填入相应的括号中，每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合 B ．集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ，{}41|>-<=x x x N 或， 则N M 等于 （ ） A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x （ ） A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,1==y x B ．{}1 C.{})1,1(|),(y x D ． {})1,1( 6．设{} 是锐角x x A |=，)1,0(=B ，从A 到B 的映射是“求正切”，与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 （ ） A ．3 B ． 33 C ．21 D ．2 2

高三复习 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质

高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?-

(3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围．

人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念-《1.1集合》教案

集合（第1课时） 一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征 等集合的基础知识。 ②重点：集合的基本概念及集合元素的特征 ③难点：元素与集合的关系 ④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合， 培养分析、判断的能力； ②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、教学过程： Ⅰ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 Ⅱ）探求与研究： ①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） ②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、 B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记 为……（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示 同学口答课本P5练习中的第1大题 ③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出： 对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A ④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。 ⑤在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本P4上与数集有 关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书N、Z、Q、R、N*（或N+）） 注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4……的概念有所不同 同学们完成课本P5练习第2大题。

集合与函数概念单元测试题(含答案)

新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 1 11+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在 B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2 ≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++ -19 12 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)=x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数y=2x(x N ∈) 的图象是一直线；

函数的概念与表示复习讲义与习题.doc

第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选

集合的概念教学设计

集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的

基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的

集合与函数概念检测试题

数学必修一第一章检测试题（含答案） （集合与函数概念） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合}8,5,2{=M ，}10,9,8,5{=N ，则=N M （A ） A ．}10,9,8,5,2{ B ．}8,5{ C ．}10,9{ D ．}2{ 2．若集合{},,a b c 当中的元素是△ABC 的三边长，则该三角形是(C) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．等腰直角三角形 3．集合{1，2，3}的真子集共有(C) A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 4．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ?B ，则下列式子成立的是(C) A ．C U A ?C U B B ． C U A ?C U B=U C ．A ?C U B=φ D ．C U A ?B=φ 5．已知}19,2,1{2-=a A ，B={1,3}，A =B }3,1{，则=a (C) A ． 3 2 B ． 2 3 C ．3 2± D ．2 3± 6．函数x x x y +=的图象是 (D) 7．如果集合A={x|ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，那么a 的值是(B) A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 8．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

高一数学必修①第一章_集合与函数概念讲义

心智家三优教育高一特训营数学教学进度表

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．

人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念教案

第一章 集 合 1 、1、1集合的含义 【探索新知】 在小学、初中我们就接触过“集合”一词。 例子： （1）自然数集合、正整数集合、实数集合等。 （2）不等式0722>--x x 解的集合（简称解集）。 （3）方程0232=+-x x 解的集合。 （4）到角两边距离相等的点的集合。 （5）二次函数2x y = 图像上点的集合。 （6）锐角三角形的集合 （7）二元一次方程12=+y x 解的集合。 （8）某班所有桌子的集合。 现在，我们要进一步明确集合的概念。 问题1、从字面上看，怎样解释“集合”一词？ 2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”，那么集合又是什么呢？ 1、集合、元素的概念 再看例子 （9）质数的集合。 （10）反比例函数x y 1=图像上所有点。 （11）2x 、2 y xy +、22y - （12）所有周长为20厘米的三角形。 问题3、从集合中元素个数看，上面例子（1）（2）（4）（5）（6）（7）（9）（10）（12）与例子（3）（8）（11）有什么不同？ 2、有限集和无限集

指出：集合论是德国数学家Cantor （1845～1918）在十九世纪创立的，集合知识是现代数学的基本语言，为进一步研究数学提供了极大的便利。 集合、元素的记法 问题4、（1）集合、元素各用什么样的字母表示？ （2）N 、)(+*N N 、Z 、Q 、R 等各表示什么集合？ 元素与集合的关系 阅读教材填空: 如果a 是集合A 的元素 ， 就记作_________，读作“____________”； 如果a 不是集合A 的元素，就记作__ ____，读作“______ _____”. 用∈或?填空： 1、6______N ， 23-______Q ， 31_______Z ，14.3_______Q π_______Q ， 2、设不等式012>-x 的解集为A ，则 5_______A , 3-_______A 3、012=+-y x 的解集为B ，则)4,1(-_______B , )3,1(_______B , 2-_______B 问题5、元素a 与集合A 有几种可能的关系？ 集合的性质 ① 确定性： 例子1、下列整体是集合吗？ ①个子高的人的全体。②某本数学资料中难题的全体。③中国境内的海拔高的山峰的全体。 2、集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？ （1）0 （2 （3 ②互异性： 例子、集合M 中的元素为1，x ，x 2-x ，求x 的范围？

集合与函数概念单元测试题经典含答案

第一章集合与函数概念测试题 一：选择题 1、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 2、图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3、已知集合2{1}A y y x ==+，集合2{26}B x y x ==-+，则A B =（ ） A ．{(,)1,2}x y x y == B ．{13}x x ≤≤ C ．{13}x x -≤≤ D ．? 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{1,2,3,}A a =，2{3,}B a =，则使得Φ=B A C U )(成立的a 的值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6、设A 、B 为两个非空集合， 定义{(,),}A B a b a A b B ⊕=∈∈，若{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B ⊕中的元素个数为 （ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 7、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50 C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 8、已知g (x )=1-2x, f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30