14第十四章 数论之余数三大定理
第十四章数论之余数三大定理
概念
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a
＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(1)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全
(2)当0
商
三大余数定理
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c
的余数。
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重
要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m
整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即
m|(a－b)
例题
1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。
2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数
之和为2113，则被除数是多少？
5.用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1
6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的
商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部
分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人?
9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
10. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
11. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
12. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少
个?(余数可以为0)
13. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和
等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多
14.
15.
16. 。
17. 2
18.
除余
19.
20. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么
n=________
21. 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
22. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》。一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本。这种《成语大词典》的定价是________元。
23. 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克。
24. 求2461135604711??÷的余数。
25. 求478296351??除以17的余数。
26. 求19973的最后两位数。
27.
"
2"20002222个除以13所得余数是_____.
28. 求89143除以7的余数。
29. 222212320012002+++++ 除以7的余数是多少？
30. ()30313130+被13除所得的余数是多少？
31. 已知20082008
200820082008a = 个，问：a 除以13所得的余数是多少？
32. 19967
77777???
个除以41的余数是多少？ 33.1234200512342005+++++ 除以10所得的余数为多少？
34. 求所有的质数P ，使得241p +与261p +也是质数。
35.
36.
37. 2a +38.
39. 等于多少？
40. （真题）一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数和a 的值.
41. 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数
列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
42. 有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两
个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
43. 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数。现知这
三余数的和是15。试求该数除以18的余数。
44. 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的
整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?
45. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩
跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，
希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结
果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B
孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个
圆圈上共有多少个孔吗?
46. 将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，
那么此数除以9的余数是 ________。
47. 设21
n+除所得的余数各不相同。
n+是质数，证明：21，22，…，2n被21
48. 试求不大于100，且使374
n n
++能被11整除的所有自然数n的和。
49. 若a为自然数，证明20051949
-。
10()
a a
50. 设n为正整数，2004n
k=，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n
的最小值。
51. （真题）有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17
整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。
52. 从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
53. 从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的
和能被15整除。N最大为多少？
54. 将自然数1，2，3，4……依次写下去，若最终写到2000，成为
，那么这个自然数除以99余几？
12319992000
55. 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多
位数：
12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数。56. 已知n是正整数，规定!12
，
=???
n n
令1!12!23!32007!2007
m=?+?+?++?
，则整数m除以2008的余数为多少？
57. 1351991
????
的末三位数是多少？
58. 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各
个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
59. 设2009
2009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字
之和为C，C的各位数字之和为D，那么D=？
60. （真题）两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______。
答案及解析
1.答：因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得
1992464314=?+，所以43a =，14r =。
2.答：(法1)因为甲=乙1132?+，所以甲+乙=乙1132?++乙=乙
12321088?+=；
则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=。
(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=。
3. 答：本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.
4. 答：被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。
5. 答：本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到
40164016933x y x y =+??+++=?,解方程组得85621x y =??=?
，即这两个自然数分别是856，21.
+++=++
6.答：设所得的商为a，除数为b。(19)(23)(31)2001
+++++=，
a b a b a b
a=，10
b=。所以，这三个数分别是
b<，可求得27
+=，由19
a b
7332001
+=，31847
+=。
a b
a b
+=，23631
a b
19523
7. 答：设这个自然数除以11余a(011)
≤<，则有
b
≤<，除以9余b(09)
a
a=，3
b=，所以这个自然数为
=，只有7
1193
a b
a a
b b
+=?+，即37
?。
12=
84
7
8. 答：由48412
÷=，÷=，4859.6
÷=知，一组是10或11人。同理可知48316÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只48412
能是15人，一组10人。
9. 答：因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于
?+=；又因为这个两位数除以11余6，而78 13678
?=，并且小于13(61)91
除以11余1，这个两位数为78583
+=。
10. 答：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但
是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可1014556
-=，(56,14)14
-=，594514
能为2,7,14。
11. 答：(法1) 39336
=，12的约数是1,2,3,4,6,12，
-=，(36,144)12
-=，1473144
因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12。
12. 答：我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次。
1～
13. m 和(s a -小为所以当a =17?当a =所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154。
14. 答：ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=?-（（）能被7整除。所以只能有7a b -=，那么ab 可能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ?=?=
15. 答：所求班级数是除以118,67,33余数相同的数。那么可知该数应该为1186751-=和673334-=的公约数，所求答案为17。
16. 答：因为3921351113903=-, 6861390314589=-，
由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除。98)686,392(=，所以所求的最大整数是98。
17. 答：找规律。用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因为20033667222?+=，所以20032除以7余4。又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同。而2003除以7余1，所以22003除以7余1。故20032与22003的和除以7的余数是415+=。
18. 答：1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5。
因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，
所以这样的数组共有下面4个：()2003,2000
，()2003,2000,1998， ()1995,2001,2003,2000，()1995
,2001,2003,2000,1998。
19. 答：(70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58。
7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29。
20.答： n 能整除258251299163=-++。因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数。显然，n 不能大于63。符合条件的只有43。
21. 答：本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。
22. 答：六名小学生共带钱133元。133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1。易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332++++÷= (元) 。
23. 答：两个顾客买的货物重量是3的倍数。
(151618192031)(12)119339...2+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20 千克。
24. 答：因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)，2461135604711??÷的余数等于83811??÷的余数，而838192??=， 1921117...5÷=，所以2461135604711??÷的余数为5。
25. 答：先求出乘积再求余数，计算量较大。可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1??÷=。
26. 答：即考虑19973除以100的余数。由于100425=?，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除
以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于1997209917=?+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=?，所以173除以100的余数等于
292943??除以100的余数，而29294336163??=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63。
27.
28. 由于所以而63所以故143计算
29. 答：由于22222200220034005123200120021001200313356
??+++++==?? ，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故
2222212320012002+++++ 除以7的余数是0；
30. 答：31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3， 时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1 以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3， 时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10， 以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；所以()30313130+被13除所得的余数是124133+-=。
31. 答：2008除以13余6，10000除以13余3，注意到
200820082008100002008=?+；
20082008200820082008100002008=?+；
2008200820082008200820082008100002008=?+；
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008除以13余6361311?+-=，200820082008除以13余1136390?+-=，即200820082008是13的倍数。
而2008除以3余1，所以20082008
200820082008a = 个除以13的余数与2008除以13的
余数相同，为6.
32. 答：找规律：7417÷=???□，774136÷=???□，7774139÷=???□，
77774128÷=???□，
77777410÷=???□，……，所以77777是41的倍数，而199653991÷= ，所以19967
77777???
个以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7。
33. 答：求结果除以10的余数即求其个位数字。从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的。
首先计算123420123420+++++ 的个位数字，
为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，
由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是
4100400?=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3。
34. 答：如果5p =，则241101p +=，261151p +=都是质数，所以5符合题意。如果P 不等于5，那么P 除以5的余数为1、2、3或者4，2p 除以5的余数即等于21、22、23或者24除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况。如果2p 除以5的余数为1，那么241p +除以5的余数等于4115?+=除以5的余数，为0，即此时241p +被5整除，而241p +大于5，所以此时241p +不是质数；如果2p 除以5的余数为4，同理可知261p +不是质数，所以P 不等于5，241p +与261p +至少有一个不是质数，所以只有5p =满足条件。
35. 答：因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积。因此原题中的8998～可以改换为110～，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了。我们得到下面的结果：
进而得到本题的答案是：
36.
abc
+
a b
+
a b
如果
b c
?
b c
(,)
如果
?
b c
如果
如果
abc
题意。综上所述，983
abc=是本题唯一的解。
37. 答：根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）。既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0。那么这个自然数是29023357
-=的约数，又是
23319538-=的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19。
38. 答：这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34.如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17。
39. 答：根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=
由于122r r =，232r r =，要消去余数1r , 2r , 3r ,我们只能先把余数处理成相同的，
再两数相减。
这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4。
于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷= ()22939222A K r ?÷= ()33393424A K r ?÷= 这样余数就处理成相同的。最后两两相减消去余数，
意味着能被A 整除。
93926031275?-=，3934603969?-=，()1275,96951317==?。
51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17。
40. 答：将这些数转化成被该自然数除后余数为2a 的数：()42952848-?=，791、50021000?=，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ，故同余.
将这三个数相减，得到84879157-=、1000848152-=，所求的自然数一定是57和152的公约数，而()57,15219=，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6
，6a =时成立,所以这个自然数是19，
6a =.
41. 答：斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、
2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.
42. 答：由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数。
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数。由于200954014÷= ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数。
43. 答：除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过15852=++，
既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8。所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即
18(1)17a m =-+（m 为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17。
44. 答：从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是31k +型的数，又是质数。只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁。
45. 答：设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…，B 孔的编号就是圆圈上的孔数。
我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1。按题意，小明最后跳到B 孔，因此总孔数是3的倍数加1。
同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B 孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A 孔，就意味着总孔数是7的倍数。
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为a ，则151a m =+（m 为非零自然数）而且a 能被7整除。注意15被7除余1，所以156?被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而157105?=已经大于100。7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是156191?+=。
46. 答：本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和。
19
?= (个),
～共有90个两位数，共有数字：902180
～共有9个数字，1099
～共900个三位数，共有数字：90032700
?= (个),所以数连续写，不100999
会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，
--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的(19979180)3602 (2)
百位和十位。从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，
其中2未写出来。因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9
个自然数也能被9整除，702个数能分成
的组数是：702978
÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2
未写出来，所以余数为9-27
=。
47. 答：假设有两个数a、b，(1b a n
n+除余
≤<≤)，它们的平方2a，2b被21
数相同。那么，由
同余定理得220(mod(21))
-≡+，即()()0(mod(21))
a b n
-+≡+，由于21
a b a b n
n+
是质数，所以0(mod(21))
-≡+，由于a b
a b n
a b n
+≡+或0(mod(21))
-均
+，a b
小于21
n+互质，即a b
+，n+且大于0，可知，a b
-也与21
n+互质，a b
+与21
n+整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证。
a b
-都不能被21
48. 答：通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，
依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，
因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，
可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；
于是374
n n
++被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；
这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，
数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答 案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少 分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位
数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班 分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定
能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
综合除法与余数定理
学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；
泛函分析课程论文
泛函分析课程论文 数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725 大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。首先，理解下“泛函分析”这个概念。 泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。 第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。 §1 度量空间 §1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ?→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ?∈，有 （1）(,)0d x y =当且仅当x y =； （2）(,)(,)d x y d y x =； （3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+， 则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。 【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。 §1.2 度量空间的进一步例子 例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ?∈，当1,(,)0,=x y d x y x y ≠?=??当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞ =∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t A d x y x y ∈=是度量空间 4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t b d x y x y ≤≤=是度量空间 5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k k i d x y y x ∞=∑是度量空间 §1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果 {}n x 是(,)X d 中点列，如果?x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 同样的类似于n R ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。 §1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令 M M M ?表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 即：{},n n M E x E x M s t x x n ??∈??→→∞在中稠密对 §1.3.3 例子 1、 n 维欧氏空间n R 是可分空间； 2、 坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集； 3、 l ∞是不可分空间。 §1.4 连续映射 §1.4.1定义：设 (,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o o o o X X d Y Y d T X Y x X d x x x d x x T x εδδε==∈ 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对 中一切满足 的 ，有 则称在连续。
六年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版
第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理Revised on November 25, 2020
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 ∴Q=542-+x x ， R=6。 下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
泛函分析中的概念和命题
泛函分析中的概念和命题 赋范空间，算子，泛函 定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε 定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则 1.*X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间， 可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞ ∞l L ,10，不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若： (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()()为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()()为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈?≤0 2. ()()()00X x x f x f ∈?=
六年级下册数学专题练习：数论(五) 余数问题-全国通用 无答案
【知识点概述】 一、带余除法的定义及性质： 1.带余除法的定义： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b； (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数) 性质1：余数小于除数 性质2：=?+ 被除数除数商余数 除数（被除数-余数）商 =÷ =÷ 商（被除数-余数）除数 性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316) ?除以5的余数等于?=。 313 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319) ?除以5的余数等于?=除以5的余数，即2. 3412 【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。 二、数的同余 1.同余定义
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用 式子表示为：a≡b ( mod m ) 同余式读作：a同余于b，模m 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )， 那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。 例如：（1）15365(mod7) ≡，因为36515350750 -==? （2）5620(mod9) ≡，因为56203694 -==? （3）900(mod10) ≡，因为90090910 -==? 由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod) ≡ a m 例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod2) a≡, 表示b为一个奇数，可以写为1(mod2) b≡ 我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。 2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。） 性质1：a≡a（mod m）（反身性） 性质2：若a≡b ( mod m ),那么b≡a ( mod m ) （对称性） 性质3：若a≡b ( mod m )，b ≡c( mod m )，那么a≡c ( mod m ) （传递性） 性质4：a≡b ( mod m ),c≡d ( mod m ),那么a±c≡b±d ( mod m ) （可加减性） 性质5：若a≡b ( mod m ) ，c≡d ( mod m ),那么ac≡bd ( mod m ) （可乘性） 性质6：若a≡b ( mod m ) ，那么a n≡b n(mod m),（其中n为自然数） 性质7：若ac≡bc ( mod m )，（c，m）＝1,那么a≡b ( mod m ) 三.弃九法 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》， 他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失 而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
7.综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 41264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同 -7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面， 同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，
泛函中三大定理的认识
泛函中三大定理及其应用 泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。 1、Hahn-Banach 延拓定理 定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足： (1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) X G F f =； 其中X F 表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；G f 表示G 上的线性泛函的范数． 延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中． 2、逆算子定理 在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间． 定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ?，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)． 定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ： ()G X Y ?→满足 (1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)． 注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？ 性质1 若T ：()G X Y ?→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 ：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知： 1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+-- 1212()y y y y αβαβ=+--0= 由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□ 定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．
小学五年级奥数—数论之同余问题
小学五年级奥数—数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：
1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b
初中数学竞赛余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
综合除法与余数定理修订版
综合除法与余数定理修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是 )(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++-
∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
综合除法与余数定理含答案
综合除法与余数定理 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如 下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数 乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 例1 计算（） 分析把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2）除式要变成的形式（b可以是负数） 例2用综合除法计算 （1）； （2） 解：（1） ∴商式为，余式为-3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以 ，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28， 它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得 a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。
数论之同余问题
数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理 （加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点 拨： 三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c
的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左 边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质， 我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定 有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除
综合除法(1)
综合除法与余数定理 一、知识提要与典型例题 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 （一）、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界
第8讲 数论(余数问题)
第8讲数论（余数问题） 1、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r， 也就是a＝b×q＋r, 0?r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商； (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。 余数一定要比除数小。 2、三大余数定理： （1）余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 （2）余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 （3）同余定理 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)。 3、弃九法： 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。 （思考：有没有求一个整数被11除的余数的快速方法呢？） 4、同余同补问题：
例1：（1）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 （2）有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 练习：（1）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数； （2）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 例2：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 练习：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
最新综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。