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微分差分方程经济应用

[问题1]某林区实行封山养林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻木材的变化率与当时木材数成正比. 假设10年时这林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立米时才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐.

[问题2]镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量成正比，由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量的一半，试求镭的量与时间的函数关系。

[问题3]设总人数是不变的，时刻得某种传染病的人数为，且，时刻

得该种病的人数的变化率与该时刻未得这种病的人数成正比（比例常数），

①求得病的人数与时间之间的关系，

②求，并对你的计算结果予以简单解释.

[问题4]已知某厂的纯利润对广告费的变化率与常数和纯利润之

差成正比，当时，试求纯利润与广告费之间的函数关系。

[问题5]某企业现在有固定资产100万元，以后每年比上一年增长20℅，问（

为正整数）年后该企业有固定资产多少万元？

[问题6]假设现在水葫芦的数量为一个单位,以后每天比前一天增长0.9倍,问30天后水葫芦的数量为多少单位？

[问题7]某药物现在人体血液的浓度为0.001℅，以后每小时比上一小时减少

20℅，问（为正整数）小时后该药物在人体血液的浓度为多少？若该药物在人体血液的浓度不能低于0.0001℅, 多少小时需要服药？

[问题8]一辆新轿车价值20万元，以后每年比上一年减少20℅，问（为正整数）年后这辆轿车价值为多少万元？若这辆轿车价值低于1万元就要报废, 这辆轿车最多能使用多少年？

[问题9]某地区的人平均收入每年比上一年增长10℅，问（为正整数）年后该地区的人平均收入是现在的多少倍？多少年后该地区的人平均收入达到翻两番的目标？

[问题10]（存款模型）设为年末存款总额，为年利率，设，

且初始存款为，求年末的本利和.

[问题11]某汽车公司在长期运营中发现每辆汽车的总维修成本随汽车大修的

时间间隔的变化率等于总维修成本的2倍与大修的时间间隔之比减去常数57与大修时间间隔的平方之比。已知当大修时间间隔（年）时，总维修成本（百元）。试求每辆汽车的总维修成本与大修的时间间隔的函数关系，并问每辆汽车多少年大检修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？

[问题12]某企业现在有资产500万元，以后每年比上一年净增资产20℅但该企业每年要抽出80万元资金捐献给福利事业，问（为正整数）年后该企业有资产多少万元？

[问题13]某企业现在拖欠债务500万元，以后每年偿还上一年拖欠债务余额的

20℅再多还10万元，问（为正整数）年后该企业拖欠债务多少万元？该企业拖欠的债务多少年可以还清？

[问题14]某林场现有森林资源为100万立方米，以后每年比上一年增长80℅，同时每年砍伐60万立方米，问（为正整数）年后该林场有森林资源为多少万立方米？

[问题15]某公司现在每个职员的年薪为10万元，以后每年比上一年增长20℅还加1万元，问（为正整数）年后该公司每个职员的年薪为多少万元？

[问题16]假设某产品的销售量是时间的可导函数，如果商品的销售量对时间的增长速度与销售量及销售量接近于饱和水平的程度之积成正比（为饱和水平，比例常数为），且当时，①求销售量；

②求的增长最快的时刻.

[问题17]在某池塘内养鱼，由于条件限制最多能养鱼1000条。在时刻的鱼数

是时间的函数，其变化率与鱼数和的乘积成正比。现已知池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求月后池塘内鱼数的公式。问6个月后池塘中有鱼多少？

[问题18]一只游船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病，

如果该病的感染率与感染人数及未感染人数之积成正比，当直升机将在60至72小时间将疫苗运到，试估算疫苗运到时患此传染病的人数。

[问题19]设分别表示某种商品在时刻的价格，供给量和需求量，这里取离散值，例如，.由于时刻的供给量决定于时刻的价格，且价格越高，供给量越大，因此常用的线性模型是同样的分析可得

这里均为正常数.实际情况告诉我们，时期的价格由的价格与供给量及需求量之差按下述关系所确定（其中为常数）.1.求供需相等时的价格（称为均衡价格）；2.求求商品的价格随时间的变化规律.

[问题20]某商场的销售成本和存贮费用均是时间的函数，随时间的增长，销售成本的变化率等于存贮费用的倒数与常数5的和，而贮存费用的变化率为存贮费用的倍.若当时，销售成本，存贮费用试求销售成本与时间的函数关系及存贮费用与时间的函数关系.

[问题21]某地区在一个已知的时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长

率为国民收入的。若时，国民收入为5（亿元），国民债务为0.1（亿元）。试求国民收入及国民债务与时间的函数关系。

[问题22]在宏观经济研究，发现某地区的国民收入，国民储蓄和投资均是时间的函数.且在任一时刻，储蓄额为国民收入的倍，投资额

是国民收入增长率的倍. 时，国民收入为5（亿元）.设在时刻的储蓄额全部用于投资，试求国民收入函数.

[问题23]某商品的需求量对价格的弹性为，若该商品的最大需求量为1200（即时，），（的单位为元，的单位为kg）.①试求需求

量与价格的函数关系；②求当价格为1元时，市场对该商品的需求量；③当时，需求量的变化趋势如何？

[问题24]某商品的需求量对价格的弹性为，已知当价格时，需求量，求需求量对价格的函数关系.

[问题25]设某商品的需求函数与供给函数分别为（其中均为正常数）

假设商品价格为时间的函数，已知初始价格，且在任一时刻，价格的变化率总与这一时刻的超额需求成正比（比例常数为）.1.求供需相等时的价格（均衡价格）；2.求价格表达式；3.分析价格随时间的变化情况.

四、微分方程与差分方程的经济应用问题

预备知识：导数与差分的关系

导数：. (为连续变量,可任意取值).

差分：. (为离散变量,只能取).

经济意义：变化率、速率、阶段差值、改变速度，等，均可视为导数（连续变化）或差分（阶段变化,相当于自变量的增量时的平均变化率）.

1.增长衰减模型（自然的）的变化率与成正比（比例常数为，时为增长，时为衰减，以下类同）.连续变化阶段变化如, 资金增

长, 人口增长, 存款增长, 动植物生长, 药效减退, 设备折旧,放射性元素衰减、预测可再生资源的产量、预测商品的销售量，疾病传染、人口增长商品存贮,等等。

[问题1]某林区实行封山养林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻木材变化率与当时木材数成正比.假设10年时这林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立米时才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐.

[解答] 若时间以年为单位，假设任一时刻木材的数量为万立方米，由题意可知，（为比例常数）且.该方程的通解为将，代入，得，故再将时，代入得，于是

要使，则.故至少20年后才能砍伐.

[问题2] 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量成正比，由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量的一半，试求镭的量与时间的函数关系。

[解答] 由题意得此微分方程为一阶齐次线性微分方程，其通解为

由初始条件得从而有由时

得所求的函数为[问题3] 设总人数是不变的，时刻得某种传染病的人数为，且，时刻得该种病的人数的变化率与该时刻未得这种病的人数成正比（比例常数），

①求得病的人数与时间之间的关系，

②求，并对你的计算结果予以简单解释.

[解答] ①由题意可知该一阶线性微分方程的通解为

由初始条件得.所求的函数为.

②如果不采取预防措施，所有的人都会得该种病.

[问题4] 已知某厂的纯利润对广告费的变化率与常数和纯利润之差成正比，当时，试求纯利润与广告费之间的函数关系。

[解答] 由题意列出方程分离变量两边积分

得（其中）由，解得

所求函数关系为

[问题5] 某企业现在有固定资产100万元，以后每年比上一年增长20℅，问（为正整数）年后该企业有固定资产多少万元？

[解答]依题意，通解为，由，得

[问题6] 假设现在水葫芦的数量为一个单位,以后每天比前一天增长0.9倍,问30天后水葫芦的数量为多少单位？

[解答]依题意，通解为，由，得，

∴, ≈230466618(单位),即30天后水葫芦的数量大约为2亿单位．

[问题7] 某药物现在人体血液的浓度为0.001℅，以后每小时比上一小时减少20℅，问（为正整数）小时后该药物在人体血液的浓度为多少？若该药物在人体血液的浓度不能低于0.0001℅, 多少小时需要服药？

[解答]依题意，通解为，由，得

，∴．由,得

≈10.3189,即10小时后需要服药.

[解答] 依题意，通解为，由，得，∴

．由,得≈13.425,即这辆轿车最多能使用13年5个月.

[问题9] 某地区的人平均收入每年比上一年增长10℅，问（为正整数）年后该地区的人平均收入是现在的多少倍？多少年后该地区的人平均收入达到翻两番的目标？

[解答]依题意，通解为，由，得，∴

．即年后该地区的人平均收入是现在的倍,由,得

≈7.2725,即7年3个月后该地区的人平均收入达到翻两番的目标.

[问题10]（存款模型）设为年末存款总额，为年利率，设，且初始存款为，求年末的本利和.

[解答] 即这是一个一阶常系数线性齐次差分方程.

其特征方程为特征方程的根为于是齐次方程的通解为

将初始条件代入，得因此，年末的本利和为这就是一笔本金存入银行后，年利率为，按年复利计算，年末的本利和.

2．增长衰减模型（受控的）

的变化率中一部分与成正比（比例常数为）,另外一部分为控制调节量.

连续变化阶段变化如, 工资增长, 再生产投入, 偿还债务, 企业亏损, 资产流失, 森林资源利用,水产资源利用，矿产资源利用，汽车维修, 等等.

[问题11] 某汽车公司在长期运营中发现每辆汽车的总维修成本随汽车大修的时间间隔的变化率等于总维修成本的2倍与大修的时间间隔之比减去常数57与大修时间间隔的平方之比。已知当大修时间间隔（年）时，总维修成本（百元）。试求每辆汽车的总维修成本与大修的时间间隔的函数关系，并问每辆汽车多少年大检修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？

[解答]由已知,改写为,这是一阶线性微分方程,代入通解公式,即,又由时解出,即总维修成本与大检修的时间间隔的函数关系为

令解得,因.故时，有最小值，即每辆汽车3天大检修一次可使总维修成本最低.

[问题12] 某企业现在有资产500万元，以后每年比上一年净增资产20℅但该企业每年要抽出80万元资金捐献给福利事业，问（为正整数）年后该企业有资产多少万元？

[解答]依题意，的通解为，

的特解设为，由，得，

的通解为由，得，∴

．

问题13] 某企业现在拖欠债务500万元，以后每年偿还上一年拖欠债务余额的20℅再多还10万元，问（为正整数）年后该企业拖欠债务多少万元？该企业拖欠的债务多少年可以还清？

[解答] 依题意，的通解为，

的特解设为，由，得，

的通解为由，得，∴

．由得≈10.7460,即该企业拖欠的债务11年可以还清.

[问题14] 某林场现有森林资源为100万立方米，以后每年比上一年增长80℅，同时每年砍伐60万立方米，问（为正整数）年后该林场有森林资源为多少万立方米？

[解答]依题意，的通解为，

的特解设为，由，得，

的通解为由，得，∴

．

[问题15] 某公司现在每个职员的年薪为10万元，以后每年比上一年增长20℅还加1万元，问（为正整数）年后该公司每个职员的年薪为多少万元？

[解答] 依题意，的通解为，

的特解设为，由，得，

的通解为由，得，∴

3．传播扩散模型

的变化率与及成正比（比例常数为,为总体）.连续变化

阶段变化如,技术推广,疾病传染,信息传递,文化传播,机密泄露,谣言扩散，预测销售量, 等等.

[问题16] 假设某产品的销售量是时间的可导函数，如果商品的销售量对时间的增长速度与销售量及销售量接近于饱和水平的程度之积成正比（为饱和水平，比例常数为），且当时，

①求销售量；

②求的增长最快的时刻.

[解答] ①由题意可知（2）分离变量，得两边积分，得解出，得（3）其中由得，，故

②由于令，得

当时，时，故时，增长最快。微分方程

（2）称为Logistic方程，其解曲线（3）称为Logistic曲线.在生物学、经济学中，常遇到这样的量，其增长率与及之积成正比（为饱和值），这时的变化规律遵循微分方程（2），而本身按Logistic曲线（3）的方程而变化.

[问题17] 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多能养鱼1000条。在时刻的鱼数是时间

的函数，其变化率与鱼数和的乘积成正比.现已知池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求月后池塘内鱼数的公式。问6个月后池塘中有鱼多少？

[解答] 由已知。解此微分方程得

将代入得

解得即月后鱼数与时间的函数关系为

即当放养6个月后池塘中的鱼数（条）

[问题18] 一只游船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病，如果该病的感染率与感染人数及未感染人数之积成正比，当直升机将在60至72小时间将疫苗运到，试估算疫苗运到时患此传染病的人数。

[解答]设表示发现首例病人后小时时刻的感染人数，则未感染人数为，

由题意（为比例常数）。该方程的通解为

又

下面计算、72小时时

感染者的人数：从上面

的数字可以看出，在72小时疫苗被运到时感染者的人数将是60小时时感染得人数的近2倍，可见在传染病流行时及时采取措施是至关重要的。

4.过剩亏空模型

的变化率与成正比（比例常数为）,其中为的函数连

续变化阶段变化如,价格变化率与需求、供应之差，效益变化率与人力、设备之差，存款变化率与收入、消费之差，森林资源变化率与种植、砍伐之差，水产资源变化率与养植、捕捞之差，等等.[若仍然由变化率给出，则为方程组模型的另一形式]

[问题19] 设分别表示某种商品在时刻的价格，供给量和需求量，这里取离

散值，例如，.由于时刻的供给量决定于时刻的价格，且价格越高，供给量

越大，因此常用的线性模型是同样的分析可得这里均

为正常数.实际情况告诉我们，时期的价格由的价格与供给量及需求量之差按下述关系所确定（其中为常数）.

1.求供需相等时的价格（称为均衡价格）；

2.求求商品的价格随时间的变化规律.

[解答] 1.由可得，

2.由题设可得即

这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，其对应的齐次方程的通解为（其中为常数）原方程的一个特解为

从而原方程的通解为由于初始价格一般为已知，故由可得从而

5.连锁效应模型（方程组模型）

的变化率是的函数,的变化率是与的函数连续变化

阶段变化如, 需求（供应）变化率与价格、价格变化率与时间，成本（收益）变化率与价格、价格变化率与时间，成本变化率与库存费（维修费）、库存费（维修费）变化率与时间，汽车票价（班次）变化率与客流量、客流量变化率与时间，成本分析、国民收入与国民债务、国民收入与储蓄及投资的关系, 等等.

[问题20] 某商场的销售成本和存贮费用均是时间的函数，随时间的增长，销售成本的变化率等于存贮费用的倒数与常数5的和，而贮存费用的变化率为存贮费用的倍.若当时，销售成本，存贮费用试求销售成本与时间的函数关系及存贮费用与时间的函数关系.

[解答] 由已知（4）

（5）

解微分方程（5）得由得，，故存贮费用与时间的函数关系为将上式代入微分方程（4），得从而由

，得从而销售成本与时间的函数关系为.

[问题21] 某地区在一个已知的时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长率为国民

收入的。若时，国民收入为5（亿元），国民债务为0.1（亿元）。试求国民收入及国民债务与时间的函数关系。

[解答]由已知,所以得国民收入函数,由时得，于是国民收入函数为,又由已知,解此方程得

,由时得,故国民债务函数为

[问题22] 在宏观经济研究，发现某地区的国民收入，国民储蓄和投资均是时间的函数.且在任一时刻，储蓄额为国民收入的倍，投资额是国民收入增长率

的倍. 时，国民收入为5（亿元）.设在时刻的储蓄额全部用于投资，试求国民收入函数.

[解答]由题意可知,由假设，时刻的储蓄全部用于投资，那么，于是有,解此微分方程得,由，得,故国民收入函数,而储蓄函数和投资函数为.

6.价格弹性模型(其他弹性模型类似)

需求量（供应量）的价格弹性连续变化阶段变化

（可理解为价格变动为1时的平均弹性）

[问题23] 某商品的需求量对价格的弹性为，若该商品的最大需求量为1200（即时，），（的单位为元，的单位为kg）.

①试求需求量与价格的函数关系；

②求当价格为1元时，市场对该商品的需求量；

③当时，需求量的变化趋势如何？

[解答] ①由条件可知即分离变量并求解此微分方程，得，（为任意常数）由得，，

②当（元）时，

③显然时，，即随着价格的无限增大，需求量将趋于零（其数学上的意义为，是所给方程的平衡解，且该平衡解是稳定的）.

[问题24] 某商品的需求量对价格的弹性为，已知当价格时，需求量，求需求量对价格的函数关系.

[解答] 由题总得整理得得此分离变量最微分方程的通解为由得所求的函数为

[问题25] 设某商品的需求函数与供给函数分别为（其中均为正常数）假设商品价格为时间的函数，已知初始价格，且在任一时刻，价格

的变化率总与这一时刻的超额需求成正比（比例常数为）.

1.求供需相等时的价格（均衡价格）；

2.求价格表达式；

3.分析价格随时间的变化情况.

[解答] 1.由得 2.由题意可知将

代入上式，得（1）

解一阶非齐次线微分方程，得通解为由，得

则特解为

3.讨论价格随时间的变化情况.由于为常数，，故当时，

，从而（均衡价格）（从数学上讲，显然均衡价格即为微分方程（1）的平衡解，且由于，故微分方程的平衡解是稳定的）.由与

的大小还可分三种情况进一步讨论.

若，则，即价格为常数，市场无需调节达到均衡；

若，因为总是大于零且趋于零，故总大于而趋于；

若，则总是小于而趋于.由以上讨论可知，在价格的表达式中的两项：为均衡价格，而就可理解为均衡偏差.

有限差分法求解偏微分方程MATLAB教学教材

有限差分法求解偏微分方程M A T L A B

南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨学号： 115104000545 成绩：有限差分法求解偏微分方程

一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα??-=??其中为常数具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π???-=≤≤?????? =??? ==≥??? 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2 100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下：

常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲

上海交通大学致远学院《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲一、课程基本信息课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时适用专业：致远学院与数学系相关专业先修课程：偏微分方程，数值分析后续课程：相关课程开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。三、教学内容和基本要求第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理

《有限差分法在微分方程中的应用》课程论文

课程论文

有限差分法在微分方程中的应用本学期学习了《微分方程数值解》，本书中有限差分法给我留下的印象比较深刻，下边说说自己在方面的一点理解，请老师指正。 1.有限差分法的基本思想：当系统的数学模型建立后，我们面对的主要问题就是微分积分方程的求解。基本思想是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解。将原方程及边界条件中的微分用差分来近似，对于方程中的积分用求和或及机械求积公式来近似代替，从而把原微分积分方程和边界条件转化成差分方程组。 2.有限差分法求解偏微分方程的步骤：区域离散，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格，这些离散点称作网格的节点；近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数。逼近求解，换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值进行插值计算来近似得到。理论上，当网格步长趋近于零时，差分方程组的解应该收敛于精确解，但由于机器字节的限制，网格步长不可能也没有必要取得无限小，那么差分法的收敛性或者说算法的稳定性就显得至关重要。因此，在运用有限差分法时，除了要保证精度外，还必须要保证其收敛性。 3.构造差分法的几种形式：主要草用的是泰勒级数展开的方法。其基本差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等。其中前两种形式为一阶计算精度，后一种为二阶计算精度。

习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++．解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='．解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分：

常微分方程边值问题的数值解法

第8章常微分方程边值问题的数值解法引言第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为则边值问题(8.1.1)有唯一解。推论若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<

第10章微分方程与差分方程

第十章微分方程与差分方程 A 级自测题一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列方程中为可分离变量方程的是（）． A ．xy y e '=． B ．x xy y e '+=． C ．22()()0x xy dx y x y dy +++=． D ．0yy y x '+-=． 2．下列方程中为可降阶的方程是（）． A ．1y xy y '''++=． B ．2()5yy y '''+=． C ．x y xe y ''=+． D ．2(1)(1)x y x y ''-=+． 3．若连续函数()f x 满足关系式30()()ln 33 x t f x f dt =+?，则()f x 等于（）． A ．ln 3x e ． B ．3ln 3x e ． C ．ln 3x e +． D ．3ln 3x e +． 4．函数28x x y A =?+是差分方程（）的通解． A ．21320x x x y y y ++-+=． B ．12320x x x y y y ---+=． C ．128x x y y +-=-． D ．128x x y y +-=．二、填空题（每小题5分，共20分） 1．微分方程2sin d d ρρθθ +=的阶数为． 2．一阶线性微分方程()()y g x y f x '+=的通解为_________． 3．微分方程0y y e '+=满足初始条件(1)0y =的特解为_________． 4．差分方程12x x y y +-=的通解为．三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分） 1．240ydx x dy dy +-=； 2．()220x y dx xydy +-=；

微分方程与差分方程详细讲解与例题

第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

微分方程与差分方程详解与例题

第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2）这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3）其中n t hn =，0h >称为步长。在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法：（i.4）从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

常微分方程差分解法、入门、多解法

毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802 学生王丹丹学号20080901045 指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日

摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程： 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? 第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例

ABSTRACT The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example. The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability. The third part tests the accuracy of each scheme. Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application

常微分方程的差分方法

第五章常微分方程的差分方法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的数值解法。二、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。三、教学重点难点 1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。 2. 教学难点：收敛性与稳定性。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。五、正文基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式引言 1．主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解: 00()(,)()y x f x y y x y '=??=? 微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程: xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。于是可得一阶常微分方程的初始问题 24(1)3y y x y ?'=+???=-?。显然函数y(x)=x 2-4x 满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4．微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进行划分得一系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。如果计算y n 时，只利用y n-1，称这种方法为单步法；如果在计算y n 时不仅利用y n-1，而且还要利用y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种方法为r 步方法，也称多步法。 §5.1 欧拉方法 §5.1.1 欧拉格式方程()(,)n n n y x f x y '=中，1()()()n n n y x y x y x h +-'≈ 1()()(,())n n n n y x y x hf x y x +≈+?1(,)n n n n y y hf x y +=+ 称为解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式，也称显示欧拉公式。欧拉公式的几何意义非常明显，因为微分方程的解在xoy 平面上表示一族积分曲线。用欧拉公式求数值解的几何意义如图：容易验证，该折线各个顶点的纵坐标(1,2...)n y n =就是欧拉公式算得的近似值解，所以，欧拉方法又称为折线法。算例：P98

常微分方程与差分方程知识点

常微分方程与差分方程知识点考试纲要常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程微分方程的简单应用差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程考试要求 1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 3、会解二阶常系数齐次线性微分方程 4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 7、会用微分方程求解简单的经济应用问题重要知识点 1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2、变量可分离微分方程解法 g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C 3、齐次微分方程解法 dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u dx x x (u) u x x 附：可化为齐次的方程 c C| 0,可化为齐次微分方程 a b . . a1 bi dy ax by c dx ax by c c或c o a b a b x X h 0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k 设印b,dy ax by c ,令ax a b dx (ax by) c 则可化为史的变量可分离微分方程 dx by v, 0,

7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解 y t*与对应齐次方程通解之和。即: ? t y t y t C a 。

第九章偏微分方程差分方法

170 第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2）第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3）第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4）这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G ={0

微分方程的边值问题

微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类：第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组

常微分方程与差分方程解法归纳

常微分方程解法归纳 1. 一阶微分方程部分 ① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称 )()(y h x g dx dy =为可分离变量的方程。对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 dx x g y h dy )() (=的形式，再对此式两边积分得到 C dx x g y h dy +=??)()(从而解出)()(y h x g dx dy =的解，其中C 为任意常数。具体例子可参考书本P10—P11的例题。 ②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程 ),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx dy =+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 0)(=+y x P dx dy ，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到?=-dx x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如?=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx dy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---这其实也就是 ? ='dx x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx x P +? =? )()()(，于是将其回代入 ? =-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+的通解? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。

常微分方程与偏微分方程数值方法比较

常微分方程与微分方程数值方法比较 1. 微分方程数值方法的有关概念首先回顾微分方程的定义与分类。含有自变量、未知函数及其导数（微分或偏导数）的方程称为微分方程；如果未知函数只含有一个变量，则称为常微分方程；如果未知函数含有若干个变量，则称为偏微分方程。微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶次称为微分方程的阶。例如：微分方程 (,)du f t u dt =是一阶常微分方程，而2 22u u a t x ??=??是二阶偏微分方程。所有使微分方程成为等式的函数，都是微分方程的解；在 n 阶微分方程中，将微分方程的含有 n 个任意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而需要的条件称为定解条件；定解条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。根据定解条件的不同，常微分方程分为初值问题和边值问题；若定解条件是描述函数在一点（或初始点）处状态的，则称为初值问题，一阶常微分方程初值问题的一般形式为： 2(0)1dy x y dx y y ?=-? ??=? 若定解条件描述了函数在至少两点（或边界）处状态的称为边值问题，例如： 2 22(0,)(,)0(,0)()u u a t x u t u L t u x f x ???=????? ==??=??? 2.常微分方程数值方法有限差分法是常微分方程中数值解法中通常有效的方法，建立差分算法的两个基本的步骤： 1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分；b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断误差（相容性）；c.数值解对真解的精度—整体截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速度；e. 差分算法—舍人误差（稳定性）. 2.差分格式求解，将积分方程通过差分方程转化为代数方程求解，一般常用递推算法。差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”，差分形式如下：

第九章-偏微分方程差分方法汇总

第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2）第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3）第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4）这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G ={0

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