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微积分试卷

浙江工业大学之江学院08/09学年第二学期

微积分B 期终试卷(A 卷)

一、选择题（每小题3分，共15分）：

1、设)(x f 在),(+∞-∞内连续,则2

()x d f t dt dx =?（）

A ） )(2x f

B ）x x f 2)(2'

C ）x x f 2)(2

D ）)(2x f ' 2、设积分区域D 是连接三点（1，1），（4，1），（4，2）的线段围成的三角形，

则??=D

d σ4 （）

A ）4

B ）6

C ）8

D ）12 3、下列级数中条件收敛的是（） A) 2

110sin n n

n ∑

∞

= B) ∑∞

=+11

2n n n C) ∑∞

=--1

)

1(n n n D) ∑∞

=-1

)1(n n n 4、二元函数(,)f x y 在点）（00,x y 处两偏导数),(),,(0000y x f y x f y x ''存在是函数(,)f x y 在点）（00,x y 处可微的（）

A ）充分非必要条件

B ）必要非充分条件

C ）充要条件

D ）即非必要条件也非充分条件

5、幂级数∑∞

=-0

2)1(n n

x 的收敛区间为（） A 、(1,3)- B 、(1,1)- C 、(2,2)- D 、(0,1)

二、填空题（每题3分，共15分）：

1、设(,)f x y =22tan[(1)(1)]x xy y e x y +--,则(1,1)x f '= 。

2、交换积分次序2

0(,)y y dy f x y dx =??

。

3、5422

(1)cos x xdx π

π-+?= 。

4、3

ln e

dx x x

+∞?

= 。

5、差分方程t y y t t =-+12的特解形式是（不需要解出）。

三、计算题(每题6分，共30分)

1、设),(y x z z =是由方程033=+-z xy z 所确定的隐函数，试求dz

2、设23(,)z f x y xy =+,且),(v u f 具有一阶连续偏导数.求

z z

x y

???? 3、计算??

dxdy x

2，其中D 为曲线1=xy 及直线2=x ，x y =所围成的闭区域。

、D

??，D ：22224ππ≤+≤y x 。

5、求微分方程初值问题的解20(1)21

|1x x y xy y ='?--=?=?

四、级数（20分）

1、求幂级数111)1(-∞

=-∑-n n n nx 的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项

级数∑∞

=---1

)1(n n n n 的和.（12分）

2、将函数2

211)(x

x x f -+=

展开成关于

x 的幂级数,并指出收敛区间。（8

分）

五、应用题（20分）

1、定积分在几何上的应用(10分)

求由曲线x y =和直线2

y =所围成的图形的：

（1）面积；（2）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

2、某公司的甲,乙两厂生产同一种产品,月产量分别为x 和y (千件),甲厂的月生

产成本是:5221+-=x x c (千元),乙厂的生产成本是:4422+-=y y c (千元).现欲使总成本最小,试求:若要求产品的月产量为10(千件),问每个厂的最优月产量是多少. (10分)

浙江工业大学之江学院08/09学年第二学期

一、1、 C 2、 B 3 、D 4、 B 5、 A 二、 1、 2ln 2。

2、1

0(,)x

dx f x y dy ? 3、38π 4、1

5、At B +

三、1、设),(y x z z =是由方程033=+-z xy z 所确定的隐函数，试求dz 解：z xy z z y x F +-=3),,(3 1’

则13,3,32'''+=-=-=z F x F y F z y x 2’

''z

x F F x z

-=??, 1

332+=

z y

1’ ''z

y F F y z

-=?? 1

332

z x

1’ ∴dy z x

dx z y dz 1

3313322+++= 1’

2、设23(,)z f x y xy =+,且),(v u f 具有一阶连续偏导数.求

,z z x y

???? 解：

3122122,333z

xf y f x z

f xy f y

?'''

=+??'''

=+?

3、计算??

dxdy x

2，其中D 为曲线1=xy 及直线2=x ，x y =所围成的闭区域。

由?????==

y x y 1 得交点(1,1) 则 D:?????≤≤≤≤x y x x 121 2’

????=D x x dy x y dx dxdy x

122 2’ ?

?-==

214122)1

1(21)2

(1dx x

dx y

x x

x 48

17)31(212

=+=x x 2’ 4、dxdy y x cos 22??+σ

，σ：22224ππ≤+≤y x 。

如图示,D:022r θπ

ππ≤≤??

≤≤?

2’

220

cos D

d r rdr π

θ=????? 2’

2222cos 2(sin sin )4r rdr r r rdr π

ππ

ππ==-=?? 2’

5、求微分方程初值问题的解?

??==-'=1|y 1

xy 2y )x -1(0x 2.

解：原方程化为22

11x y y x x '-

=--22()1x P x x =-

-,2

()1Q x x =-. 2’ 由公式得:

222112

11x

dx dx x

x y e

e dx C x ---????=+??-??

?[]21

1x C x

+- 2’ 2’ 将01x y ==代入上式解出1C = ∴1

1y x

- 2’ 四、1、解: 收敛半径11

(1)lim

lim 1(1)(1)n n n n n n a n

R a n -→∞→∞+-===-+，收敛区间(-1,1) 3’ 设和函数1

()(1)

n n n S x nx ∞

--==

-∑ 1x < 1’

光对)(x S 在(-1,1)内从0到x 逐项积分,得:

()(1)

(1)1x

x n n n n n n x

S x dx nx dx x x

∞

---===-=-=

+∑∑?

3’ 再对上式两边对x 求导,得 2

()(1)

S x x =

+ 1x < 2’

121

114

(1)()1229

(1)2

n n n n S ∞

--=-===

+∑ 3’ 2、解：因为

()(

12(1

f x x x

x x

===

++--+-+

且

1n n x x ∞

==-∑ 1x < 2’ 所以1000

112()(2(2))(

)33n n n

n n n n f x x x x +∞∞∞

===+=+=∑∑∑ 2’ 收敛区间为11

(,)22

- 2’

五、1

、由2

y x y ?=?

?=??得交点(4，2) ，（0，0） 2’

(1) )2

dA dx = 3’

20024

)()2343

x x A dx x ==-=?

(2) 2

()4x dV x dx π=- 3’

31200

18()()4123x V x dx x x ππ=-=-=? 2、由题意得:总成本942),(2221+--+=+=y x y x C C y x C 约束条件:10=+y x

故设函数)10(942),,(2

-+++--+=y x y x y x y x L λλ 2’

由条件得:???

??-+==+-==+-=31020421022'''y x L y L x L y x λ

λλ

1-2得: 01=+-y x 代入3得: 0112=-y 5.5211==

y ,5.42

==x 4’ 因仅得唯一驻点,且在实际问题中存在着使总成本最小的每个厂的最优月产量,即甲厂的月产量为4.5千件,乙厂的月产量为5.5千件时,可使总成本最小. 1’

浙江工业大学之江学院09/10学年第二学期

微积分B 期终试卷(A 卷)

一、选择题（每小题3分，共9分）：

1、考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：(,)f x y 在点00,x y （）处

（1）连续，（2）两偏导数连续，(3) 可微，（4）两偏导数存在。若用

“P ?Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（）

A ）(3) ?（4）?（1）

B ）(3)? （2）?（1）

C ）（2）? (3) ?（1）

D ）(3)? （1）?（4）

2、4．级数1

213

1(1)

n n n

∞

-=-∑，则级数（）

A ）发散

B ）条件收敛

C ）绝对收敛

D ）收敛性不能确定

3、设)(x f 连续，且,1)0(=f 则0

()lim

2x x f t dt x

→=?（）

A ）∞

B ）0

C ）

D ）2 二、填空题（每题3分，共18分）：

1、

??≤+422y x dxdy ＝

2、5

(sin 1)cos d x x x π

π-

+=?

。

、

设

3(,)2sin[(1)(1)]

y xy f x y x e y x =+--,

则

f (1,1)

y '＝。 4、0lim 0

=→n n u 是级数

∑∞

n n

收敛的条件。

5、

x e dx +∞-=?

。

6、差分方程t

t t t y y 221=-+的特解形式是（不需要解

出）。

三、计算题(每题7分，共35分)

1、设23(,)z f x y xy =+,且),(v u f 具有一阶连续偏导数.求

,,d z z z x y

????， 2、设(,)z z x y =是由方程sin ln()z xy xz =+所确定的隐函数，试求

z x z ????, 3、改变积分次序计算

y x

dx e

dy -??

4、

计算

22,

:14D

D x y σ≤+≤

5、解微分方程x y xy sin '=+,1==π

x y

四、级数（18分）

1、求幂级数11

1)1(-∞

=-∑-n n n nx 的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级

数∑∞

=---11

3)1(n n n n 的和.（10分）

2、将函数21

y x x =

--展成x 的幂级数，并写出收敛区间.（8分）

五、应用题（20分）

1、定积分在几何上的应用(10分)

由曲线x

e y =与直线

0,==x e y 所围的平面图形,

试求: (1)面积; (2)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积.

2、某公司电台和报纸两种方式作销售某种商品的广告，据统计资料，销售

收入R （万元）与电台广告费用x （万元）及报纸广告费用y （万元）三

者之间的关系有经验公式2

1521458210R x y xy x y =++---（10分）

（1）、在广告费用不限定的条件下，求最优广告策略；

（2）、若提供的广告费用为3万元，求相应的最优广告策略。

答案：

一、1、C 2 、B 3、 C

二、1、4π 2、16/15 3、 2ln2 4、必要 5、 1 6、 t

t b b 2)(10+ 三、1、设23(,)z f x y xy =+,且),(v u f 具有一阶连续偏导数.求

63'

322

'1'3'2'1'----------+=----------+=xy f f z y f x f z y x

dy z dx z dz y x '

+=∴---------------7’

2、设(,)z z x y =是由方程z=sinxy+lnxz 所确定的隐函数，试求

z x z ????, 解：''

11cos x x z z

x xy y z ++

= 3’z x xy z x 111cos '

-+=∴

''1cos y y z z

xy x z +

= 6’z

x z y 11cos '-

∴ 7’ 3、改变积分次序计算dy e dx x

y ??-1

'7)1

1(2121(21'

410

)2101

------=-=--=--------=----???

e y d e dy y e dx dy e y

y y y y

4、计算41:,)

sin(222

222≤+≤++??

y x d y x y x σσπσ

解:草图---------1’

74)cos (1

2'6sin )

sin(2

120

2222-----------=-=---=++??

??r rdr r

d d y x y x ππ

πθσππσ

5、解微分方程x y xy sin '=+,1==πx y

解：原方程化为1sin 1'=

+'x x

y x y 3)

sin (1

'+??=?-

C dx e x

x e

y dx

x dx

sin (1'+=?-C xdx x y '6)

cos (1C x x y +-=-

π=x 时，1=y 得1-=πC '7)

cos 1(1

x x y --=-π

四、1、求幂级数11

1)1(-∞

=-∑-n n n nx 的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数

项级数∑∞

=---1

3)1(n n n n 的和.（10分）

解：设1

()(1)

,(1)

()1x n n n n n n n n x

S x nx

nx dx x x

∞

----====

--=--=

+∑∑∑?

3’ 122

()().()7',(1,1)9'1(1)(1)19

()10'

316

n n x n x S x x x x s ∞

-='∴--==∴=---------+++∴=--------∑

2、将函数2

x 1

y 2

--=

x 展成x 的幂级数，并写出收敛区间.（8分）解：原式=

n 00111111()((-1)x )6',(x 1)8'(1)(2)312322

n n x x x x x ∞∞==-+=-+--<--+-+-∑∑

五、1、A=1)

()(10

=-=-?x x e ex dx e e 4’

()()

x X e V e e dx e x e π

ππ=-=-=+? 4’ 2、解:(1)设利润函数L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+20x+44y-8xy-22102y x - 2’

(x>0,y>0) 3’

则令????

???=--=??=--=??0

2084404820y x y

z x y x z

解出???==13y x 为唯一驻点. 5’

所以实际问题是电台广告费用为3万元.报纸广告费用为1万元时为最优广告策略. 6’ (2)设L 2

x,y,1520448210(3)x y xy x y x y λλ=++---++-（） 8’

令2084044820030l

y x x l

x y y l x y λλλ

??=--+=?????=--+=?????=+-=???解出???

????=

3y x 9’ 即当电台广告费用与报纸广告费用相等时.为最优广告策略。 10’

浙江工业大学之江学院09/10学年第二学期

微积分B 期终试卷(A 卷)

一、选择题（每小题3分，共9分）：

1、考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：(,)f x y 在点00,x y （）处

（1）连续，（2）两偏导数连续，(3) 可微，（4）两偏导数存在。若用

“P ?Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（）

A ）(3) ?（4）?（1）

B ）(3)? （2）?（1）

C ）（2）? (3) ?（1）

D ）(3)? （1）?（4）

2、4．级数1

213

1(1)

n n n

∞

-=-∑，则级数（）

A ）发散

B ）条件收敛

C ）绝对收敛

D ）收敛性不能确定

3、设)(x f 连续，且,1)0(=f 则0

()lim

2x x f t dt x

→=?（）

A ）∞

B ）0

C ）

D ）2 二、填空题（每题3分，共18分）：

1、

??≤+422y x dxdy ＝

2、

(sin 1)cos d x x x π

π-

+=?

。

3、

设

3(,)2sin[(1)(1)]

y xy f x y x e y x =+--,则

f (1,1)

y '＝。 4、0lim 0

=→n n u 是级数

∑∞

n n

收敛的条件。

5、

x e dx +∞-=?

。

6、差分方程t

t t t y y 221=-+的特解形式是（不需要解

出）。

三、计算题(每题7分，共35分)

1、设23(,)z f x y xy =+,且),(v u f 具有一阶连续偏导数.求

,,d z z z x y

????， 2、设(,)z z x y =是由方程sin ln()z xy xz =+所确定的隐函数，试求

z x z ????, 3、改变积分次序计算

y x

dx e

dy -??

4、

计算

22,

:14D

D x y σ≤+≤

5、解微分方程x y xy sin '=+,1==π

x y

四、级数（18分）

1、求幂级数11

1)1(-∞

=-∑-n n n nx 的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级

数∑∞

=---11

3)1(n n n n 的和.（10分）

2、将函数21

y x x =

--展成x 的幂级数，并写出收敛区间.（8分）

五、应用题（20分）

1、定积分在几何上的应用(10分)

由曲线x

e y =与直线

0,==x e y 所围的平面图形,

试求: (1)面积; (2)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积.

2、某公司电台和报纸两种方式作销售某种商品的广告，据统计资料，销售

收入R （万元）与电台广告费用x （万元）及报纸广告费用y （万元）三

者之间的关系有经验公式2

1521458210R x y xy x y =++---（10分）

（1）、在广告费用不限定的条件下，求最优广告策略；

（2）、若提供的广告费用为3万元，求相应的最优广告策略。

答案：

一、1、C 2 、B 3、 C

二、1、4π 2、16/15 3、 2ln2 4、必要 5、 1 6、 t

t b b 2)(10+ 三、1、设23(,)z f x y xy =+,且),(v u f 具有一阶连续偏导数.求

63'

322'2'1'3'2'1'----------+=----------+=xy f f z y f x f z y x

dy z dx z dz y x '

+=∴---------------7’

2、设(,)z z x y =是由方程z=sinxy+lnxz 所确定的隐函数，试求

z x z ????, 解：''

11cos x x z z

x xy y z ++

= 3’z x xy z x 1

11cos '

-+=∴

''1cos y y z z

xy x z +

= 6’z

x z y 11cos '-

∴ 7’ 3、改变积分次序计算dy e dx x

y ??-1

'7)1

1(2121(21'

410

)2101

------=-=--=--------=----????e

e y d e dy y e

dx dy e

y y y y

4、计算41:,)

sin(222

222≤+≤++??

y x d y x y x σσπσ

解:草图---------1’

74)cos (1

2'6sin )

sin(2

120

2222-----------=-=---=++??

??r rdr r

d d y x y x ππ

πθσππσ

5、解微分方程x y xy sin '=+,1==πx y

解：原方程化为1sin 1'=

+'x x

y x y 3)

sin (1

'+??=?-

C dx e x

x e

y dx

x dx

sin (1'+=?-C xdx x y '6)

cos (1C x x y +-=-

π=x 时，1=y 得1-=πC '7)

cos 1(1

x x y --=-π

四、1、求幂级数11

1)1(-∞

=-∑-n n n nx 的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数

项级数∑∞

=---1

)1(n n n n 的和.（10分）

解：设1

()(1)

,(1)

()1x n n n n n n n n x

S x nx

nx dx x x

∞

----====

--=--=

+∑∑∑?

3’ 122

()().()7',(1,1)9'1(1)(1)19

()10'

316

n n x n x S x x x x s ∞

-='∴--==∴=---------+++∴=--------∑

2、将函数2

x 1

y 2

--=

x 展成x 的幂级数，并写出收敛区间.（8分）解：原式=

n 00111111()((-1)x )6',(x 1)8'(1)(2)312322

n n x x x x x ∞∞==-+=-+--<--+-+-∑∑

五、1、A=1)

()(10

=-=-?x x e ex dx e e 4’

()()

x X e V e e dx e x e π

ππ=-=-=+

? 4’ 2、解:(1)设利润函数L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+20x+44y-8xy-22102y x - 2’

(x>0,y>0) 3’

则令???????=--=??=--=??020********y x y

z x y x

解出???==13y x 为唯一驻点. 5’

所以实际问题是电台广告费用为3万元.报纸广告费用为1万元时为最优广告策略. 6’

(2)设L

x,y,1520448210(3)x y xy x y x y λλ=++---++-（） 8’ 令2084044820030l

y x x l

x y y l x y λλλ

??=--+=?????=--+=?????=+-=???解出???

????=

3y x 9’ 即当电台广告费用与报纸广告费用相等时.为最优广告策略。 10’

微积分期末测试题及复习资料

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

高等数学基础知识点大全(94页完美打印版)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A

微积分试题及答案

5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分）六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

微积分入门

序中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。 17世纪，许多着名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。 19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 1874年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着，人类认识微积分的水平在不断深化。 ※ 微积分学(Calculus,拉丁语意为用来计数的小石头)是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。 ※ 在高二上学期的数学学习过程中，我们认识了导数和定积分，并开始了对其应用的理解和练习。其实，早在高中物理开始不久后的学习中，我们就接触到了微积分的原型——微元法。同当年的科学家一样，我们也因物理上的应用需要，开始了对微积分学的认识之旅。借着这次研究性学习的契机，我们就了解一下微积分学的发展历史，认识数学研究对社会发展的重要意义，本着“以史为镜”的态度了解其中波折而有趣的发展历程；并由此拓展自己的知识面，

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+

2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)

大一微积分期末试卷及答案

大一微积分期末试卷及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

微积分期末试卷选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求

5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求四、证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）五、应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1

微积分大一基础知识经典讲解

Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ? =)()(x g x f :N ote 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f Example )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x Given two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by )) (())((x g f x g f = Note )))((())((x h g f x h g f =

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

微积分下册期末试卷及答案[1]

1、已知22 (,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数 ?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( b ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若2 211 x y I +≤= ?? ,2 2 212x y I ≤+≤= ?? , 2 2 324x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( d ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分,共15分) 1、2(1)1x y y -+. 2 3、) 32 ,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解： 32 y x =的函数为

微积分试卷及答案

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）

1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分）八、设，求.（本题6分）徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B)

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋

微积分试卷及答案4套

微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点

(D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （）。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（）。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x

微积分上期末考试试题A卷附答案

一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分) 1．1 lim 2x x - →=_________。（A ） - （B ） + （C ） 0 （D ）不存在 2．当0x →时，()x x f x x += 的极限为 _________。（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ）不存在３．下列极限存在，则成立的是_________。 0()()() lim ()x f a x f a A f a x - ?→+?-'=?0()(0) ()lim (0) x f tx f B tf x →-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()() ()lim ()x f x f a D f a a x →-'=- ４．设f （x ）有二阶连续导数，且()0 () (0)0,lim 1,0()_______x f x f f f x x →'''==则是的。（A ）极小值（B ）极大值（ C ）拐点（D ）不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式成立。 ()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-= () ()() C d f x d x φ= ?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的= 。 3．设1 (),()ln f x f x dx x '=?的一个原函数是那么。 4．设(),x f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格下降1％，需求量将。 6．若,1 1),(+-= =x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx = 。三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求 11ln (ln ) lim x x e x -→