曲面的内蕴几何

第三章 曲面的内蕴几何


§3.1 曲面的等距对应和共形对应


在§2.2中我们已经看到, 不管曲面的方程或形状是否已知, 只要知道它的第一基本形

式, 就可解决曲面上曲线的弧长, 两条曲线间的夹角以及曲面(域)的面积等等问题. 由此可

推测到, 两个不同的曲面, 只要有相同的第一基本形式, 那么这两个曲面就有相同的内蕴几

何. 这一节中将把具有这一特征的曲面称为等距等价的曲面, 从而等距等价的曲面具有相

同的内蕴几何.

【注 1】 设S : r = r(u,v)和S : r = r(u,v)是R3中两张Ck曲面(k ≥ 4), 我们

先澄清以下几个概念:
(1) 曲面间的映射 如果对于曲面S 上任意一点P(u,v), 都对应有曲面S 上一点
P(u,v), 则称存在曲面S 到曲面S 的一个映射, 记这个映射为f : S → S. 映射f 必然
导出参数坐标(u,v)到(u,v)的一个映射, 即有

u = u(u,v),
(1.1)
v = v(u,v),

如果u、v都是u、v的Ck函数, 则称f 是一个Ck映射, (1.1)称为映射f 的一个局部坐标

表示.

(2) 单映射 对于P,Q ∈ S, 若f(P) = f(Q)蕴涵P = Q, 则称f 是单映射.
(3) 满映射 如果对P ∈ S , 都存在P ∈ S , 使得f(P) = P , 则称f 是满映射.
(4) 微分同胚 如果f : S → S 是一个1-1的、满的、Ck 映射，而且f 的逆映射f 也
1

是Ck, 则称f 是一个Ck微分同胚.

3.1.1 曲面的的等等距对应
设f : S → S是一Ck微分同胚, 若f 使得S与S上任意一条对应曲线(段)的弧长不
变, 则称f 是曲面S到曲面S上的一个Ck 等距微分同胚(或等距对应), 这时曲面S与S
称为等距等价. 当S = S时, 等距对应f 称为S上的一个等距变换.

显然, 欧氏运动是等距微分同胚, 但曲面之间的等距微分同胚不一定就是欧氏运动, 也

就是说两个等距等价的曲面不一定是合同的. 例如, 把一张纸卷成圆筒, 圆筒与铺平的纸当

然是等距的, 但它们不能通过欧氏运动叠合到一起.


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合同的两个曲面具有相同的内在和外在几何, 但不能寄希望等距等价的两个曲面具有

相同的外在几何, 如平面与柱面. 不过, 下面定理告诉我们, 等距等价的两个曲面具有相同

的内在几何.
定理 1.1 两个Ck曲面之间的一个Ck微分同胚是等距微分同胚经过适当的参数

选择后, 两个曲面具有相同的第一基本形式.
证明 设Ck曲面S与S之间的一个微分同胚是等距的, 而且在对应点取相同的参

数1, 则曲面S上任意一条曲线r(t) = r(u(t),v(t))(a ≤ t ≤ b)和曲面S上的对应曲线
r(t) = r(u(t),v(t))(a ≤ t ≤ b)应当有相同的长度, 即对于任意a、b (a < b)有

b du 2 du dv dv 2
E + 2F +

G dt
a dt dt dt dt

b du 2 + 2Fdu dv dv 2
= E + G dt,
a dt dt dt dt

那么对于这两个曲面的一对对应点, 有

du 2 du dv dv 2 du 2 dv dv 2
E + 2F + G = E + 2Fdu + G ,
dt dt dt dt dt dt dt dt

这是关于E,F,G; E,F,G; (du : dv)的恒等式, 所以

E = E, F = F, G = G.

必要性得到证明, 充分性是显然的.

推论 1.2 等距等价的两个曲面, 在对应点具有相同的Gauss曲率(逆命题不成立, 我们

将在本章第四节给予证明).

由此可见, 曲面的内蕴量是等距微分同胚下的不变量, 如曲面上曲线的弧长、曲面上两

条曲线间的夹角、曲面（域）的面积、曲面的高斯曲率等都是等距微分同胚下的不变量.

另外, 曲面的内蕴性质, 如曲面上的点是椭圆点、双曲点、抛物点等性质是等距微分同胚

下的不变性质. 本章我们将看到更多的这种不变量和不变性质.

1 曲 面S在 参 数 变 换(1.1)式 下 的 参 数 方 程 为r(u,v) = r(u(u,v),v(u,v)), 我 们 把
(u,v)作 为S 的 新 参 数. 那 么S 与S的 对 应 点 就 有 相 同 的 参 数 值(u,v), 即 P(u,v)
P(u(u,v),v(u,v)). 因此, 这时候曲面S 与S 上对应曲线就有相同的参数方程u = u(t),v = v(t)

(当然在空间中方程不同), 因此在对应点, 对应方向可以用相同的微分du : dv 来表示.


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【注 2】 当我们把平面卷成圆柱面时, 平面上的直线在圆柱面上的像通常不再是直

线, 即曲面上一条曲线的曲率在等距微分同胚下是要改变的. 由此可见, 曲面上确实存在一

部分几何性质或几何量是不能由第一基本型完全确定, 即不是内蕴量或内蕴性质, 它们被

称为曲面的外在量或外在性质.

定理 1.3 可展曲面与平面局部等距等价, 反之, 与平面等距等价的曲面必为可展曲面.

从而可展曲面的又一特征是与平面等距等价.

证明 由于可展曲面局部地或为柱面, 或为锥面, 或为某空间曲线的切线曲面, 所以我

们只需要分别证明这三种曲面都与平面等距等
价即可.

(1) 平面与柱面 在直角坐标系下, 平面S : r(u,v) = {u,v,0}的第一基本型为

IS = du2 + dv2,

以与直母线垂直的曲线a(s)为导线, b0为直母线上单位矢量的柱面S的参数方程为

S : r(s,λ) = a(s) + λb0,

它的第一基本形式是
IS = ds2 + dλ2,

容易验证在参数对应
λ = u,
(1.2)
s = v,

下, IS = IS , 因此柱面确实与平面等距等价, 且(1.2)式就是等距对应的

表达式.
(2) 平面与锥面 平面S : r(ρ,θ) = {ρcosθ,ρsinθ,0}的第一基本形式是

IS = ρ2dθ2 + dρ2,

以a0为顶点, b(s)为直母线上的单位矢量的锥面S的参数方程可写成

S : r(s,λ) = a0 + λb(s),

其中s为单位球面曲线b = b(s)的弧长, 则它的第一基本形式是

IS = λ2ds2 + dλ2,


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容易验证在参数对应
λ = ρ,
(1.3)
s = θ,

下, IS = IS , 因此锥面确实与平面等距等价, 且(1.3)式就是等距对应的表达式.
(3) 平面与空间曲线的切线面 设C : r = r(s)是一条以弧长s为参数的空间挠曲线,

其曲率函数记为k = k(s), 则C 的切线面S具有参数表示


r(s,v) = r(s) + vα(s),


它的第一基本形式为
IS = (1 + v2k2)ds2 + 2dsdv + dv2,

根据曲线论的基本定理, 存在一条以k = k(s)作为自然方程的平面曲线C. 设由C
产生的的切线面S为
r(s,v) = r(s) + vα(s),

则S的第一基本形式是

IS = (1 + v2k2)ds2 + 2dsdv + dv2,

显然在参数对应
v = v,
(1.4)
s = s,

下, IS = IS , 所以S与S等距等价, 但S是平面(一部分), 所以切线面S可以与平面等距
等价.

最后, 设一曲面S与平面等距等价, 由推论1.2, S的Gauss曲率处处为零, 从而该曲面必

为可展曲面.

【例 1】 证明第一类基本量E,F,G为常数的曲面和平面等距等价.

【证明】 设曲面S的第一基本形式为

I = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2,




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其中E,F,G为常数(即与参数无关). 对第一基本形进行适当变形


√ E du + √F dv 2 F2
I = + G dv2
E E
(1.5)
√ 2
E du + √F dv 2
= + EG F2dv
E E

令
x √
= E u + √F v,
E (1.6)
y = EGF2 v,
E

则
√
(x,y) x x E √F
= u v = E = EG F2 > 0.
(u,v) y y EGF2
u v 0
E

所以参数变换(1.6)为容许的参数变换, 由(1.6)得

dx √
= E du + √F dv,
E
dy = EGF2
E dv,

代入(1.5)知I = dx2 + dy2, 与平面的第一基本形相同, 即曲面S与平面等距等价.

【例 2】 若曲面上有直线, 试证明这样的曲面不可能与球面等距等价.
【证明】 首先, 直线的法曲率为零; 根据Euler公式kn = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ, 沿直线,
曲面的Gauss曲率

K = k1 k2 ≤ 0,

而球面的Gauss曲率恒为正, 因此, 有直线的曲面不可能与球面等距等价.

3.1.2 曲面的共形对应
设f : S → S是一Ck微分同胚, 若f 使得S与S上对应曲线的夹角不变, 则称f 是曲
面S到曲面S上的一个Ck 共形(或

保形)微分同胚, 简称共形对应, 或保角对应. 这时曲面
S 与S 称为共形(或保形)等价. 显然, 每一个等距对应都是共形对应, 而共形对应一般地却

不是等距对应.
定理 1.4 两个Ck曲面S和S之间的一个Ck微分同胚是共形微分同胚经过适当
的参数选择后, 两个曲面的第一基本形式成比例, 即IS = λ2 I, (λ = 0).


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证明 充分性是显然的. 至于必要性, 由于共形对应保持两条曲线的正交性不变, 所以

从公式

Eduδu + F(duδv + dvδu) + Gdvδv = 0,

得到
Eduδu + F(duδv + dvδu) + Gdvδv = 0,

消去δu、δv, 便得
Edu + Fdv Fdu + Gdv

=
Edu + Fdv Fdu + Gdv.
由于du和dv的任意性, 我们得到

E : F : G = E : F : G.


定理 1.5 任何曲面局部必与平面共形对应2. 因此, 曲面上总存在局部等温参数, 即存

在使曲面的第一基本型表现为

I = λ2(u,v)(du2 + dv2),

的参数(u,v).

【例 3】 已知曲面S的Gauss曲率为K, 曲面S是与曲面S共形对应的, 求曲面S

的Gauss曲率.

【解】 根据定理1.5, 在曲面S上, 选取局部等温参数(u,v), 于是有

IS = λ(u,v)(du2 + dv2),

这里λ(u,v)是u,v的正C∞函数. 又设在共形对应下, 曲面S的第一基本型为e2 IS , 这里 f

f 是曲面S 上的函数. 于是, 由Gauss方程, 我们得到S 的Gauss曲率

K = 2 1 2 2
e2 λ(u2 + e2 λ),
f
f v2)ln(

由于
ln(e2 λ) = 2f + lnλ,
f 1 2 2
K = 2 (u2 + λ,
λ v2)ln

2 证明超出了本书的范围, 参见Chern S. S. An elementary proof of the existence of isothermal

parameters on a surface. Proc. of AMS, 1955(6); 771-782.


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因此
K = e (Sf K),
2f


这里S 为曲面S的Laplace算子, Sf = (u2 +
1 2 2 )f.
λ v2

【注 3】 例3的反问题是: 在一个已知曲面上任给一个C∞函数K, 能否找到上述
C∞函数f , 使得
Sf K + e2 K = 0,
f


这就是微分几何中有名的Yamabe问题的一个特殊情况, 六十年代后期开始, 微分几何学家

经过艰苦工作, 这类问题目前已基本解决.

【例 4】 证明球极投影给出球面(除北极外)到平面的一个共形对应.

【证明】 取如图所示的一个空间直角坐标系和参数u,v, 则球面与平面上的对应点
P(x,y,z)和P(x,y,0)有如下关系式



x = OQcosv = 2Rsinucosucosv,

y = OQsinv = 2Rsinucosusinv,

z = PQ = OP sinu = 2Rsin2 u.



x = OP cosv = 2Rtanucosv,

y = OP sinv = 2Rtanusinv,

这里R是球面半径.

球面的第一基本形式

I = 4R2(du2 + sin2 ucos2 udv2),


平面的第一基本形式


I = 4R2
cos4 u(

du2 + sin2 ucos2 udv2).


所以球极投

影是球面到平面的一个共形对应.



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【注 4】 球面(除北极外)的常用的等温参数向量表示是

2u 2v u2 + v2 1
r(u,v) = u2 + v2 + 1, u2 + v2 + 1, u2 + v2 + 1 .


第一基本形式是
4
I = (u2 + v2 + 1)2( du2 + dv2).


【注 5】 在历史上, 球面和平面的共形对应还有另一种方法, 如用经纬度(u,v)

作为球面的参数, 则单位球面(除南北极外)的方程为


r(u,v) = {cosvcosu,cosvsinu,sinv},


且
I = ds2 = cos2 v du2 + dv2,

令u = x,v = f(y), 这里C∞函数f(y)为待定函数, 于是

I = cos2(f(y))dx2 + (f (y))2 dy2,


如果找一个f(y), 使得f (y) = cosf(y), 则

I = cos2(f(y))(dx2 + dy2),


球面就与平面共形对应.

从 df = dy可得一解
cosf

df = ln|tan(f2 + )| + C.
π
y =
cosf 4


【注 6】 绘制麦卡托(Mercator)地图的方法是用上式把地球上经纬度(u,v)的

点画在平面上直角坐标为(x,y)的点处, 这时子午线与y-轴的平行线对应, 纬圆与x

-轴的平行线对应.




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