点到直线的距离教学设计

教学设计:点到直线的距离公式

一、教学分析:

1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》

第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。

2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些

简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要

二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定）

（1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。

B：掌握点到直线的距离公式。

（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数

形结合能力。

（3）情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生

的学习积极性。

三、教学重点：点到直线的距离公式。

四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。

五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外

显行为化。

六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则）

1、教师必须抛弃过去的那种单纯的教师讲授，学生接受的教学模

式，在教学中启发引导，迁移联想，构建模型。由于本节内容为第一章最后一节内容，学生对点、线、线线关系均有了一个较为明确的认识。因此改变传统的求证方法，以引导思路为主，让学生边探索，边发现，最后证明距离公式。

2、多媒体教学，使整个课上得生动、有趣、高效。

3、使用教具，多媒体课件及投影仪。

六、学习方法分析：

充分地调动学生的学习积极性，增加学生的参与机会，让学生“动手、动脑”，因此在教学中，引导学生“动手做，大胆猜，严格证，勤钻研”的学习方法，让学生“学”有所“思”，“思”

有所“得”，最终达到学生会学的目的。

七、教学程序：

1、复习提问：

① 平面内点与直线的位置关系有几种？

② 点到直线的距离的定义

（设计意图：通过简明的情景设置为本节作好

知识的铺垫与图形准备）

2、演示启发：

由复习可知，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，那么怎样用解析法求点到直线的距离呢？

（设计意图：提出问题，激发学生的求知欲，探索欲。）

若已知点P （X 0，Y 0），直线L ：A x +B y +C=0，让学生自己寻求解决的办法，教师引导思路，特殊情况的处理，若AB=0时，让学生动手画出图象。

① A x +C=0

② B y +C=0

（设计意图：让学生画出图形，培养学生的数形结合能力） 一般情况，A ≠0，B ≠0时，

思路1：先求直线PQ 的斜率，再求与直线l 的交点Q 的坐标，利用

两点距离公式求距离。 （设计意图：思路1是学生较自然地想到此方法，让学生动手做时，必然碰到较为复杂的运算过程，也就会有其他思路的想法。） 思路2：过P 作直线L 的平行线L ’，利用平行线间的距离处处相等

的性质。

|MQ|=|MN|sin （π-α） 演示

短跑的教学设计

『短跑』单元教学计划 水平四·八年级· 5课时 短跑在人体机能供能方面，表现为人体以最大限度地发挥人的本能，并以无氧代谢供能的方式供能。选择短跑系列教学内容，旨在能有效地发展速度素质，因此，它是田径运动的基础项目， 而且在其他运动项目的训练中也占有重要的地位。 『短跑』加速跑教学设计 水平四·八年级·第2次课 教材分析 加速跑是以最快的速度跑完规定距离，发展速度素质的教学内容。速度是指人体快速运动的能力。学习加速跑重点是发展学生的反应速度、运动速度和位移速度，发展加速跑能力，提高机体无氧代谢耐力，发展腿部肌肉后蹬力量，在练习和比赛中培养竞争意识，体验快速跑的乐趣。加速跑教学中应采取多种形式的练习如：追逐跑、躲闪跑、让距跑、听信号跑、自定目标距离跑等，以激发学生学习兴趣，使学生主动学习，达到身心健康的目标。教学思想 本课以《课程标准》为据，坚持“健康第一”的指导思想，结合水平四学生的身心特点，通过学习加速跑技术动作，对学生快速运动能力的提升奠定基础，以发展学生的反应、腿部力量为中心，注重实用性，重视学生的主体地位，让学生有一个自主伸展的空间。培养学生终生体育的习惯，给学生营造一个轻松，和谐的学习氛围，让学生能感受体育的乐趣，从多方面，多角度促进其身心发展。 学习目标 1.通过本课学习，了解有关加速跑的基础知识，培养学生良好的体育锻炼习惯。 2.掌握加速跑的基本技能和方法，提高学生快速加速能力。 3.培养学生勇敢、顽强的优良品质，增强学生的合作意识和合作能力。 学情分析 有利因素：学生作为课程学习的主人，有着丰富的课程资源，为学生的学习创造了有利条件。在此我主要从以下两个方面来分析： 第一学生的学习经验是一种课程资源，初二学生已经有了新课程改革的经历，他们的学习方法已经有了很大的转变，在教师的引导和学练中已具备了一定的探究、分析、合作、解决问题的能力。这是本课教学所必备的条件之一。 第二、学生的差异也是一种课程资源，由于诸多因素的影响，学生的学习能力及技术掌握状况也存在一定的差异,为了学到知识他们会不断地相互学习、相互提高,这也是本课的最终目的。 不利因素：学生初步接触站立式起跑后的加速跑，对技术动作还没有掌握好，在练习过程由于注意力不集中，反应迟钝、起跑加速过度往前倾斜、摔倒。因此会阻碍学生的积极性教学过程 本课由开始部分、准备部分、基本部分、结束部分四个环节组成。用情景教学和游戏教学法相结合，使学生在学习过程能够保持浓厚的兴趣，流畅实现教学目标。 开始部分进行课堂常规，检查学生上课的状态同时也培养学生的纪律性；准备部分分为两个环节：热身运动和游戏，前者的目的是让学生充分活动起来，用最好的状态迎接上课内容；游戏过程中，学生积极参与，在一定程度上提高了学习的兴趣。基本部分，教师指导，学生分组自主练习，学习氛围浓厚，让学生享受上课的乐趣；最后，通过点评，肯定学生的积极表现和取得的成绩，同时指出其中的不足之处，指示方向。引导和培养了学生吃苦耐劳的精神和顽强拼搏的意志品质。

点到直线的距离公式教案

点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7

短跑起跑技术教学设计

教材；短跑起跑技术 游戏：抛手雷游戏 单位名称:军粮城中学 上课教师：毕明星 短跑教学设计 一、教学理念： 本课主要围绕“为了每一位学生的发展”的新课程理念，以“健康第一”为指导思想，遵循“四环导学”教学模式，通过激疑树自信—思疑练自信—析疑增自信—释疑强自信四个教学环节让学生在和谐、主动的氛围中激发学习兴趣，掌握技术技能，在培养学生主体意识的同时，提高礼仪修养，让学生体验到成功的喜悦。 二、教学目标 1、认知目标：发展力量、速度、灵敏等身体素质，激发对短跑运动的兴趣。 2、技能目标：巩固提高短跑起跑技术。 3、情感目标：培养学生坚韧、不怕苦、不怕累的意志品质。 三、教学重点难点 1、教学重点：起跑技术。 2、教学难点：启动迅速，蹬摆有力。 四、学情分析 高一学生正处于动作技术的形成期，有短跑的基本功，善于学习和思考，但是学习稳定能力一般，很容易反复出现错误动作，所以应该多做些强化练习，同时关注学生的差异，可根据男、女生学习能力和接受能力的不同，对技术、技能掌握程度的要求也不同，照顾到不同层次学生的需要，尽可能给所有学生

创造成功的机会，体验成功的喜悦，焕发学生学习的热情。把全班分成男生组、女生组，再各细分成两组，引导学生对自己和同伴的动作评价、分析和比较，提高认识动作的能力（分辨动作的对和错、美和差），激发学生学习激情，对动作有问题的学生先自己找到问题，在帮他们解决问题，或者让技术好的同学帮助他们，在班内养成互帮互学的风气，使不同学生都得到最大限度提高。五、组织与方法 （一）突出主体教学，探究学习，培养创新思维。 1、音乐导入，营造和谐、轻松愉快的教学氛围。 2、激疑:让学生进行探究性学习, 激发学习兴趣，通过提问、创设情景等方式， 3、思疑：在学习过程中，通过展示，让学生充分展示自我，激发学生积极思考，引导学生积极探究。 4、析疑：分层教学。设计不同的练习方法，学生可以根据自己的实际，自主选择符合自己发展的练习。 5、释疑：最后在教师的引导下，形成正确的动作概念。 6、让学生自编自创脚法，发挥主观能动性，拓展延伸。 （二）渗入德育教育，培养良好的社会适应能力 1、课堂中倡导以培养学生互敬互爱团结合作的精神。 2、通过游戏，提高学生竞争意识，培养遵守规则的意识，在游戏中体验成功与失败，增强社会适应能力。 六、教学流程设计： （一）课堂常规及准备活动 1、导入课的主题。 （1）宣布课的内容；（2）队形队列练习；（3）导入练习

空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页

高中体育田径“短距离跑”的教学设计

高中体育田径“短距离跑”的教学设计 一、快速跑的练习方法 下面给各位老师介绍一些快速跑的方法： 1.小步跑 （1）作用：体会用前脚掌积极着地技术培养协调能力和增强踝关节支撑力量。（2）动作要求：躯干正直，肩和双臂放松，提起脚跟保持高重心。一腿伸膝蹬地一腿屈膝前摆，大腿前摆不高约与水平面呈45度角就开始髋部发力，大腿积极下压膝关节放松小腿自然稍向前下方伸出，接着前脚掌迅速向前下方着地。着地要积和富有弹性。着地点靠近身体重心投影点。此时着地腿膝关节伸直配合另一腿屈膝前摆使重心迅速前移。双臂屈肘前后摆动，步幅小频率快，整个动作配合要协调连贯。 2.高抬腿跑 （1）作用：增强快速摆腿和蹬地的力量，提高两腿交换的动作频率以及蹬摆配合的协调能力。 （2）动作要求：躯干正直，保持高重心大小腿折叠高摆大腿，与地面平行，另一腿充分伸展髋、膝、踝三关节。然后摆动腿大腿下压用前脚掌着地。两臂屈肘前后摆动步幅小频率快，整个动作快速有力。 3.车轮跑 （1）作用：体会摆腿和大腿下压，小腿放松前伸以及小腿和脚掌鞭打扒地技术，提高协调能力，增强蹬摆肌肉力量。 （2）动作要求：和高抬腿摆腿动作相同，但在大腿下压时，强调膝关节放松，小腿自然向前下方伸出。当脚掌接近地面时，膝关节呈伸直姿势，小腿的延长线约与地面成70度角。随着大腿继续向下后方压，用前脚掌在靠近身体重心投影点处积极完成“扒地”动作，着地支撑时要充分伸展髋、膝、踝三关节，并使重心迅速前移。双臂屈肘前后摆，整个动作配合要协调、连贯。 4.后蹬跑 （1）作用：体会蹬地和摆腿配合技术，增加蹬摆力量和幅度，提高协调能力。（2）动作要求；两脚前后站立，躯干稍有前倾。后面的腿以膝领先，大小腿折叠前摆，同时支撑腿蹬地充分伸展髋、漆、踝三关节并把同侧髋前送，尽力加大两在腿夹角，蹬摆结束瞬间，摆动腿小腿和后蹬腿大腿约呈平行姿势，接着摆动腿大腿积极向后下压，用前脚掌着地转入后蹬，另一腿大小腿折叠前摆。两臂屈肘前后摆动，整个动作节奏快，重心上下波动小，动作幅度大而有。 5.发展快速跑中放松能力的练习 （1）肌肉的伸展性、关节的灵活性、全身的协调性以及柔韧性构成了放松能力的基本因素。因此，我们首先应有针对性地通过体操、艺术体操、游戏和球类运动等方式进行练习，发展基本放松能力和快速跑动中的放松能力。 （2）心理练习方法：讲清放松在短跑中的作用以及放松不只是肌肉的放松，而且还应重视神经系统的放松。通过反复对比测验，使学生相信用90%能力的放松快跑会提高成绩的事实。并培养学生的自信心。 （3）教育学方法。采用放松大步、加速后的惯性跑以及跑的专门性练习等手段，特别是加速跑后的不减速惯性跑练习，能够有效地发展快速跑中的放松能力。

人教版初中七年级数学下册《点到直线的距离》教案

点到直线的距离 教学目标：1、掌握点到直线的距离的有关概念。2、会作出直线外一点到一条直线的距离。3、理解垂线段最短的性质。 教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。 教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法 教学过程： 一、准备知识 1、垂直的概念 2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？ 二、探究新知 1、经过一点作一条已知直线的垂线。 （1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB 外 2、讨论思考题：过一点P作已知直线的 垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？ 如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合） 3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的概念：

如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段。 PA、PB、PC、PD叫作斜线段。 5、垂线段PO的长度叫作点P到直 线AB的距离。 6、做一做 （1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。 （2）按教材P73的做一做操作。 7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 8、垂线段的应用 P74的动脑筋 三、练习与小结 1、练习P74的练习题 2、课堂小结 四、布置作业 1、已知：经过直线m外一点P 。求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。 2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。

点到直线的距离公式应用

点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程

点到平面的距离的几种求法_人教版

点到平面的距离的几种求法 2 基本概念 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长. 例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质： (1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离. (2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解 已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、Ａ Ｄ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长 解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ 作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝ 2， 32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ?中 BN PB BQ PN ?=? 11112=∴BQ 图 1

3.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角 引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有 αsin a d = （1） 其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线 于Ｐ，易知 2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ 的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2， ∴ ＣＨ＝23 ，ＧＨ＝22 ∴ 222 sin =∠GHC ， 于是由（1）得所求之距离 11112222 2sin =?=∠?=GHC BP d (2) 利用斜线和平面所成的角 引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有 θsin l d = （2） 注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线 与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ． 解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作 GM BR ⊥，Ｒ为垂足． 图3 图 4 图 5

点到直线的距离 优秀教案

点到直线的距离 教学目标： （1）理解点到直线距离公式的推导过程. （2）会求点到直线的距离. （3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神. 教学用具：计算机 教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程： 一、引入 点到直线的距离是指过点P 作l 的垂线，P 与垂足Q 之间的长度 【问题1】已知点P （-1，2）和直线l ：0102=-+y x ，求P 点到直线l 的距离． （由学生分析、解答） 分析：先求出过P 点和l 垂直的直线：PQ ：052=+-y x ，再求出l 和PQ 的交点 ()43，Q ∴ 52=PQ 如果把问题1一般化就有如下问题： 【问题2】已知：()00y x P ，和直线l ：0 =++C By Ax （P 不在直线l 上，且0≠A ，0≠B ），试求P 点到直线l 的距离． 二、点到直线距离 分析1：要求PQ 的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求PQ 的长度．∵ P 点坐标已知，∴只要求出Q 点 坐标就可以了． 又∵Q 点是直线PQ 和直线L 的交点 又∵直线L 的方程已知∴只要求出直线 PQ 的方程就可以了. 即：PQ ←Q 点坐标←直线PQ 与直线l 的交点←直线PQ 的方程←直线PQ 的斜率←直线l 的斜率 （这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结） 问：这种解法好不好，为什么? 根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出

分析2：如果PQ 垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段PS 和PR ，如图1所示，显然相对而言PS ，和PR 好求一些， 事实上，设P 到直线的距离为d ，R 坐标为()11y x ，，S 坐标为()22y x ，，则易求： A C Bx x --= 01，B C Ax y --=02 所以：A C By Ax x x PR ++= -=0010，B C By Ax y y PS ++=-=0010 所以：C By Ax AB B A PS PR PS ++?+= +=002 22 2 根据三角形面积公式：PS PR RS d ?=? 所以：2 2 00B A C By Ax d +++= （至此问题2已经解决） 公式2 002 | |B A C By Ax d +++= 的完善.容易验证（由学生完成）： 当0=A ，即y L ⊥轴时，公式成立； 当0=B ，即x L ⊥轴时，公式成立； 当P 点在L 上时，公式成立． 公式2 002 | |B A C By Ax d +++= 结构特点 师生一起总结： （1）分子是P 点坐标代入直线方程； （2）分母是直线未知数x 、y 系数平方和的算术根． 类似于勾股定理求斜边的长 三、检测与巩固 练习1 （1）()32， -P 到直线2-=y 的距离是________． （2）()32-， P 到直线042=++y x 的距离是_______． （3）用公式解()21 ，-P 到直线0102=-+y x 的距离是______． （4）()11 ，-P 到直线23=x 的距离是_________．

点面距离的几种求法

点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM ?面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B ?=B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，

∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ 0!45=∠BCC ，4 3!= P C ,在PM C R t !?中， 8 2 343224510= ?=?= PM P C PM Sin . 2、 转化成其它点到面的距离： 2 C A A

、向量法： 例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥ 解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法 向量 =(x,y,z),则： AB → →?， y n → )1,2 1,0(),0,2 1,1(=→-=→DF DE

【公开课】短跑教学设计

《体育与健康》（水平四）短跑教学设计 一、指导思想： 本课实施新课程理念坚持“健康第一”的指导思想，以学生发展为中心，重视学生主体地位；依据《新课标》水平四的要求设计课堂教学，营造积极的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主参与意识、互相学习、交流的机会，建立和谐的学习氛围，培养学生养成锻炼的习惯和终身体育意识。 二、教材分析： 根据《新课标》水平四的要求，径赛项目是学生比较喜爱的一项运动，这项内容充满了激情和观赏性，特别是快速跑项目。快速跑是一项用最快的速度跑完一定距离的运动，不仅要在最短的时间发挥出最高速度，而且还要维持这种速度一直跑到终点。本次教学注重学生个性和全面发展，充分发挥学生的主体地位，使学生能够进一步掌握快速跑的技术要领并让学生通过观察、思考和实践，真正掌握快速跑技术。 三、学情分析： 本课教学对象是八年级的学生，学生课堂参与积极性高、活跃，身体素质好大多数学生都有竞争意识，好胜心强的特点。 四、教学目标和教学重点： 1、教学目标： （1）认知与技能目标：使学生了解短跑的技术原理，明确跑的目的是发展速度，激发跑的兴趣。 （2）体能与健康目标：初步掌握短跑的技术，能用合理的速度，发展奔跑能力。 （3）情感目标：发展学生个性，树立群体意识，培养组织性，纪律性，竞争意识和顽强拼搏精神。 教学重点：途中跑教学中，注意双臂摆动和两腿蹬与摆的协调配合。 教学难点：身体协调、控制重心。 五、教学策略 本课的教学指导思想主要采用教师启发、指导，学生反复练习的教学策略，发展学生的个性，充分发挥学生的主体作用，运用灵活多变手段，做到身心结合，努力达到教学目标。 全课的组织结构不拘泥于过分的统一规整，而以服务练习与教学为目标，力求合理、紧凑、流畅、新颖。全课教学的内容及手段，用循序渐进和分组的方式进行教学，通过比赛、游戏和行为教育，激发学生自主参与教学，提高课堂效率。 六、教学过程 （一）开始部分 1、课堂常规（2’） 组织：学生六列横队 要求：精神饱满、集中注意 2、准备活动（8’） （1）热身跑 组织：学生绕田径场慢跑热身。 （2）热身操 教法：教师领操、学生练习。 目的：通过热身操的练习使学生充分准备，并提高学生的兴奋性。 组织：六列横队

小学人教四年级数学点到直线的距离教案

执教时间：年月日课题点到直线的距离执教者李子涵共 1 课时 学情分析本课是在学生学习了射线、线段和直线、垂线、平行线之后，进一步学习空间与图形知识的基础。小学四年级学生认知水平以及生活阅历相对较少，但孩子们都喜欢亲自动手试一试。所以学生的这种认知特征要善于引导，寻求科学的学习方法和适合学生年龄特点的教学方法。 教学目标1、学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、认识平行线之间的距离相等。 3、在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点认识点到直线的距离，认识平行线之间的距离。 教学难点能解决一些实际的问题 教学准备多媒体课件、三角尺 教学过程 一、复习引入 1、下面各组直线，哪一组互相平？哪一组互相垂直？（课件出示） （学生判断，并说明理由） 2、复习过直线外一点（点A）画已知直线的垂线的方法。 （学生口述画垂线的方法，教师补充并在黑板上作图示范） 3、谈话导入：掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这 节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的 距离（板书课题）。 【设计意图：通过复习平行与垂直的知识，直接引出课题，可以让学 生尽快进入数学知识的学习状态中，而平行与垂直、画垂线知识的复 习为今天的学习起到铺垫作用】 二、新知探究。 修改意见

（一）点到直线的距离 1、画一画 从直线外一点A到这条直线画几条不同的线段，要求有一条垂线。（以比赛的形式展开：在1分钟的时间内看谁从点A向直线画出的线段多，速度快） 2、量一量 学生动手量一量所画的线段的长度，并观察这些线段的长度，看看有什么发现，同桌互相说一说。 3、通过学生交流，引导学生总结从直线外一点到这条直线所画的垂 直线段最短。 教师小结并板书：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离 【设计意图：进行画图、测量、交流等多种活动，引导学生得出垂线 的性质，对距离的含义，让学生在交流中明确它的定义】 （二）认识平行线间垂直线段的特点 1、课件出示课本例3（2）图，直线a//b，想一想这组平行线之间可以画出多少条垂线段？ a b 引导学生：一条直线上有无数个点，因此可以画出无数条垂直线段。2、学生独立完成（在课本上画）：在直线a上任选5个点，分别向b画垂直线段。 3、小组合作测量所画垂直线段的长度，然后交流测量结果，你有什 么发现？ （生动手操作，指名汇报） 4、师根据学生汇报，总结：端点分别在两条平行线上，且与平行线 垂直的所有线段的长度都相等。 5、拓展延伸：根据平行线间的距离处处都相等的性质可以判断两条 直线是否平行。 三、巩固练习 （一）基础练习 1、填空。

点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x

点到平面距离的若干典型求法

点到平面距离的若干典型求法 目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3. 1 定义法求点到平面距离 (3) 3. 2 转化法求点到平面距离 (5) 3. 3 等体积法求点到平面距离 (7) 3.4 利用二面角求点到平面距离 (8) 3. 5 向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1.引言 求点到平面的距离是高考立体儿何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了儿何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。 2.预备知识 （1）正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点向平面。引垂线，垂足为P,则点P'叫 做点〃在平面。上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面。的垂线段。

图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离, 也即点与平面间垂线段的长度。 (3)四面体的体积公式 V=-Sh 3 其中V表示四面体体积，S、/?分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线/把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面a与平面“所成的二面角，记作二面角a-1-p,其中/为二面角的棱。如图在棱/上任取一点。，过点。分别在平面。及平面”上作/的垂线。4、OB，则把平面角匕叫作二面角a-1-p的平面角，匕4彼的大小称为二面角a-1-p的大小。在很多时候为了简便叙述，也把匕称作a与平面“所成的二面角。 (7)空间向量内积： 代数定义：设两个向量刁=(而,》1，4)，/；=(易况，全)，则将两个向量对应分量的乘积之和 定义为向量。与片的内积,记作沁，依定义有必。二%工2 +凹)‘2 +4弓

点到直线的距离教案

点到直线的距离 人教版高二第二册（上）第七章第三节第4课时 山西省阳泉市荫营中学王萍 教学目标： （1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离； （2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力； （3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验． 教学重点：点到直线距离公式及其应用． 教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法． 教学方法：问题解决法、讨论法． 教学工具：计算机多媒体、实物投影仪． 教学过程： 一、创设情景提出问题 多媒体显示实际的例子： 某电信局计划年底解决本地区最后一个小 区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线 路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电 缆？ 以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1 离它最近线路其方程为2x+y+10=0． 这个实际问题要解决，要转化成什么样的 数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离． 二、自主探索推导公式 多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？ 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x 轴和y轴的特殊情况．学生解决． 板书：l l

B C By B C y y y PQ C By l A Q +=+ =-==+=000,0:0时，当 A C x x x PQ C Ax l B Q =+ =-==+=00,0:0时，当时， 当0≠AB 如何求PQ ？ 学生思考回答下列想法： 思路一：过P 作l PQ ⊥于Q 线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q 利用两点距离公式求得． 教师评价：此方法思路自然． 教师继续提出问题： (1)求线段长度可以构造图形吗？ (2)什么图形？如何构造？ (3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？ 学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第 三个顶点在什么位置？可能在直线l 与x 轴的交点M 或与y 轴交点N ，或过P 点做x,y 轴的平行线与直线l 的交点R 、S ． 教师根据学生提出的方案，收集思路． 思路二：在直角△PQM,或直角△PQN 中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值． 思路三：在直角△PQR,或直角△PQS 中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值． 思路四：在直角△PRS 中，求线段PR 、PS 、RS ，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ 长． 学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程． （思路一）解：直线PQ ：()()000,x x x x A B y y ≠-=-，即00Ay Bx Ay Bx -=- 由? ??=++-=-000C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2 2002B A AC ABy x B x Q +--= ()()2020y y x x d Q Q -+-=∴ ) () 0022 A Ax By C A B -++= +2220000022Q B x ABy AC A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022 Ax By C B A B ++=-+= 00Ax By C = ++

点到直线的距离公式

课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A

点到直线的距离教案公开课

《点到直线的距离》教案 教学目标 （1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。 （2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。 （3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。 教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习 教学工具：计算机多媒体、三角板 教学过程： 一、 创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子： 如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？ 这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。 二、师生互动 、探究新知 教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P （x 0 ,y 0）和一条定直线l ： Ax+By+C=0，那么如何求点P 到直线l 的距离d ？请学生思考并回答。 学生：先过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|PQ|的长度就是点P 到直线l 的距离d ，将点线距离转化为定点到垂足的距离。 接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评） (1)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0C d y B =+ ） 仓库

《点到直线的距离》教学设计(优质课)

点到直线的距离 （一）教学目标 1．知识与技能 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式. 2．过程和方法 会用点到直线距离公式求解两平行线距离. 3．情感和价值 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点 教学重点：点到直线的距离公式. 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. （三）教学方法 学导式

．点到直线距离公式 推导过程 方案一： 此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种

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ABC= 2

备选例题 例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0. 由 = 解得k = 0或12 k =-. 故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点.

若l ∥AB 且1 2 AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程. （2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0 由P 点到两直线的距离相等，即 = ，所以C = –38. 所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0. （2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离 1d = 到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为 2d =所以d 1 = d 2 =12 C =. 即l 的方程为：16802 x y ++=. 例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点 A 的坐标是(1，–2).求边A B 、A C 所在直线方程. 【解析】已知BC 的斜率为23 -，因为BC ⊥AC 所以直线AC 的斜率为32 ，从而方程32(1)2 y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0 又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为|| AC = ，