辽宁省沈阳四校2013届高三上学期期中联考数学

辽宁省沈阳四校2013届高三上学期期中联考数学(理)试题.

一.选择题。(本大题共12小题,每小题5分,满分60分)

1. 设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{2

1<=x x N ,则N M 等于( )

A .)1,1(-

B .)3,1(

C .)1,0(

D .)0,1(-

2、下列说法中错误..

的个数是( ) ①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;

②命题“2,0x x x ?∈-≤R ”的否定是“2,0x x x ?∈-≥R ”; ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题; ④“x ≠3”是“|x |≠3”成立的充分条件. A .1 B .2 C .3

D .4

3、若实数x ,y 满足条件0,

30,03,x y x y x +≥??

-+≥??≤≤?

则2x y -的最大值为( )

(A )9

(B )3

(C )0

(D )3-

4、设函数()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()2(1)f x x x =-,则5

()2

f -=( ) A -21 B -41 C 41 D 2

1

5

、已知两点(1,0),(1A B O 为坐标原点,点C 在第二象限,且

120=∠AOC ,设

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2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于 ( )

A .1-

B .2

C .1

D .2- 6、在等比数列{a n }中,a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5=

( )

A .16

B .27 C36 D .81

7、函数()sin()(0,||)2

f x A wx A π

??=+><

其中的图象如图所示,为了得到

()cos 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象( )

A .向右平移

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个单位长度 B .向右平移12π

个单位长度

C .向左平移6π

个单位长度

D .向左平移12

π

个单位长度

8、三棱柱三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角

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三角形)如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 ( )

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A .12+.6+.8+ D .4

9、若函数3

21(02)3

x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( ) A .4π B .6

π C .56π D .34π

10、在各项均不为零的等差数列{a n }中,若a 1n +- a n

2

+ a 1-n =0(n ≥2),则S 1-n 2-4n=( )

A -2

B 0

C 1

D 2

11、已知f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足'()()0xf x f x +≤。对任意正数a 、b ,若a

A .af (b )≤bf (a ) B. bf (a )≤af (b ) C. af (a )≤f (b ) D. bf (b )≤f (a )

12、已知函数?

??>≤+=.0,ln ,0,1)(x x x kx x f 则下列关于函数[]1)(+=x f f y 的零点个数的判断正

确的是

A .当0>k 时,有3个零点;当0

B .当0>k 时,有4个零点;当0

C .无论k 为何值,均有2个零点

D .无论k 为何值,均有4个零点

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).

13.已知向量a =(1,2),b =(x,4),且a ⊥b ,则x=

14、已知四面体A B C P -的外接球的球心O 在AB 上,且⊥PO 平面ABC ,

AB AC 32=, 若四面体ABC P -的体积为

2

3

,则该球的体积为_____________; 15、如图,由曲线x y sin =,直线π2

3

=

x 与x 轴围成的阴影部分 的面

_____________;

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16、已知数列{a n }满足a n =n+

n

c ,若对所有n ∈N *

不等式a n ≥a 3恒成立,

则实数c 的取值范围是_____________;

三、解答题:(本大题共6小题,共70分)

17、(本小题满分12分)ABC ?中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量

2

(2s i n 3),(c o s 2,2c o s 1)2

B

m B n B ==

-

,且//m n

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(1)求锐角B 的大小,

(2)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值

18、(本小题满分12分)

已知数列{n a }是等差数列,且满足:a 1+a 2+a 3=6,a 5=5; 数列{n b }满足:n b -1n b -=1n a -(n≥2,n ∈N ﹡),b 1=1. (Ⅰ)求n a 和n b ; (Ⅱ)记数列n c =

1

2n b n

+(n ∈N ﹡),若{n c }的前n 项和为n T ,求n T .

19、(本小题满分12分)

已知函数)0)(2

sin(21cos cos sin 2sin 21)(2π??π

??<<+-+=

x x x f ,其图象过点).2

1

,6(

π

(Ⅰ)求?的值;

(Ⅱ)将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的

2

1

,纵坐标不变,得到函数)(x g y =的图象,求函数)(x g 在]4

,0[π

上的最大值和最小值。

20、(本小题满分12分)如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,

CD AD ⊥,AB ∥CD ,22

1

==

=CD AD AB ,点M 在线段EC 上. (I )当点M 为EC 中点时,求证:BM ∥平面ADEF ;

(II )当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为

6

6

时,求三棱锥BDE M -

的体积.

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21、(本小题满分12分)设函数2()(1)x f x x e ax =-- (Ⅰ)若a=

1

2

,求f (x )的单调区间; (Ⅱ)若当x ≥0时f (x )≥0,求a 的取值范围。 22、(本小题满分12分)已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-. (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值;

(2) 对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (3) 证明:对一切(0,)x ∈+∞,都有12

ln x x e ex

>-成立.

考试题答案

一. 选择题。

BC AAC BDA DA AB

二、填空题:

13、-8 14、π34 15、3 16、6≤c ≤12

三、解答题:

17、解:(1)

n m // B B B 2cos 3)12

cos 2(sin 22-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32t a n -=B ……………3分

又B 为锐角 ()π,02∈∴B 3

22π

=

∴B 3π=∴B ………6分

(2),23B b π

== , 由余弦定理得222

cos 2a c b B ac

+-=

即0422=--+ac c a ----------------------------------------------------9

又ac c a 22

2≥+ 代入上式得4≤ac (当且仅当 2==c a 时等号成立)…10分

34

3

sin 21≤==

?ac B ac S ABC (当且仅当 2==c a 时等号成立。

)………12分 18、解:(Ⅰ)∵1236a a a ++=,55a =,∴1113361

45

1a d a a d d +==????

?+==??, …………… 2分

∴n a n =;…………………………………………………………………… 3分 又111n n n b b a n ---==-,∴当2n ≥时,

1122332211=()()()()()+(1)(2)(3)21+1

n n n n n n n b b b b b b b b b b b b n n n ------+-+-++-+-=-+-+-+++

21(1)2

22

n n n n n b b --+=+=, ……………………………………………………4分

又11b =适合上式, (5)

∴222

n n n b -+=. ……………………………………………………………6分

(Ⅱ)∵2122112()

232(1)(2)12

n n c b n n n n n n n =

===?-++++?+++,…………… 8分

∴11111111112()2()2()2()2()2

3

3

4

3

4

1

12

n T n

n n n =-+-+-++-+-+++

1122()1=2222

n n n n =-=-+++.………………………………… 12分

19、解:(Ⅰ)因为2

11()sin 2sin cos cos sin()(0)222

f x x x π????π=+-+<<

所以11cos 21

()sin 2sin 2cos cos 222

x f x x ???+=+

-

11

sin 2sin cos 2cos 22x x ??=+

1

(sin 2sin cos 2cos )2x x ??=+

1

cos(2).2

x ?=- 又函数图象过点1

(,)62

π

所以11cos(2)226

π

?=?-

即cos(

)1,3

π

?-=

又0?π<<

所以.3

π

?=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知1()cos(2)22

f x x π

=

-,将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,可知 1()(2)cos(4),23

g x f x x π

==-

因为[0,

]4

x π

所以4[0,]x π∈ 因此24[,]3

33

x π

ππ

-∈-

故1cos(4)123

x π

-

≤-≤

所以()[0,]4

y g x π

=在上的最大值和最小值分别为

12和1.4

-

20、设10(<<=λλ,则,λλ22,4,0-===z y x 即)22,4,0(λλ-M .——6分

)

,,(111z y x n =是平面B D 的一个法向量,

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02211=+=?y x n OB 0)22(411=-+=?z y n OM λλ

取11=x 得 λλ-=

-=12,111z y 即 )12,1,1(λ

λ

--=n 又由题设,)0,0,2(=是平面ABF 的一个法向量,—————8分 ∴ 2

1

6

6)1(4222|

||||,c o s |2

2

=

?=

-+

=

?=

><λλλn OA ————10分 即点M 为EC 中点,此时,2=DEM S ?,AD 为三棱锥DEM B -的高, ∴ =-BDE M V 3

4

2231=??=-DEM B V ——————12分 21、解: (I ),2

1

)1()(,212x e x x f a x --==

).

1)(1(1)(+-=-+-='x e x

xe e x f x

x x

.

)0,1(,),0(),1,()(.0)(,),0(;0)(,)0,1(;0)(,)1,(单调减少在单调增加在故时当时当时当-+∞--∞>'+∞∈<'-∈>'--∞∈x f x f x x f x x f x

(II )).1()(ax e x x f x

--=

令.)(,1)(a e x g ax e x g x x -='--=则

若时从而当而为增函数时则当0,0)0(,)(,0)(,),0(,1≥=>'+∞∈≤x g x g x g x a

.0)(,0)(≥≥x f x g 即

若a >1,则当)(,0)(,)ln ,0(x g x g a x <'∈时为减函数,而,0)0(=g 从而当.0)(,0)()ln ,0(<<∈x f x g a x 即时

综合得a 的取值范围为].1,(-∞ 22、[解析]:

(1) '()ln 1f x x =+,当1

(0,)x e ∈,'()0f x <,()f x 单调递减,

当1(,)x e

∈+∞,'()0f x >,()f x 单调递增.

① 102t t e

<<+<,t 无解;

② 102t t e <<<+,即10t e <<时,min 11()()f x f e e ==-; ③ 12t t e ≤<+,即1

t e

≥时,()f x 在[,2]t t +上单调递增,min ()()ln f x f t t t ==;

所以min 1

10()1ln t e e f x t t t e ?-<

?≥??

, ,.

(2) 22ln 3x x x ax ≥-+-,则3

2ln a x x x

≤++,

设3()2ln (0)h x x x x x =++>,则2

(3)(1)

'()x x h x x +-=,(0,1)x ∈,'()0h x <,()h x 单

调递减,(1,)x ∈+∞,'()0h x >,()h x 单调递增,所以min ()(1)4h x h ==.

因为对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,所以min ()4a h x ≤=.

(3) 问题等价于证明2

ln ((0,))x x x x x e e

>-∈+∞,由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的

最小值是1e -,当且仅当1

x e =时取到.

设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞,则1'()x x

m x e

-=,

易得max 1()(1)m x m e ==-,当且仅当1x =时取到,从而对一切(0,)x ∈+∞,都有12

ln x x e ex

>-成立.

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