北京市东城区2018-2019学年第一学期期末九年级数学试题(含答案)

东城区2018—2019学年度第一学期九年级期末数学试卷 2019年1月

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）

2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（ ）

A ．35

B ．

34

C ．

43

D ．

45

3．反比例函数x

y 6

=

的图象位于（ ） A ．第一、第二象限 B. 第一、第三象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限

4．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若72AOB ∠=?，则ACB ∠的度数是（ ）

A ．18°

B ．30°

C ．36°

D ．72° 5.在平面直角坐标系xoy 中，△OAB 各顶点的坐标分别为：O （0，0），A （1，2），B （3，0），以原点O 为位似中心，相似比为2，将△OAB 放大，若B 点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A 点的对应点A′坐标为（ ）

A ．（﹣2，﹣4）

B ．（﹣4，﹣2）

C ．（﹣1，﹣4）

D ．（1，﹣4）

6. 如图，在 ABCD 中，点E 在DC 边上，连接AE ，交BD 于点F ，若DE ：EC=3：1，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）

7．将抛物线 2

112

y x =

+ 绕原点O 旋转180°

，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A ． 221y x =-+ B ．221y x =-- C ．2112y x =-+ D ． 21

12

y x =--

8.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：

下面有三个推断：

①当n 为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；

②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；

③若大豆粒数n 为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车.大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列.大桥全长近55km.汽车行驶完全程所需的时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的关系式为

10. 如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米

11. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是

12. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为 ．

13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为150°，AB 的长为18cm ，BD 的长为9cm ，

则

的长为 cm ．

14. 如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC=105°，则∠C= ?．

15. 如图，以等边△ABC 的一边AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若AB =4，则阴影部分的面积是______.

16.如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠= ，将ABC ?绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ?是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若BC=4,∠ABC=60°，则线段MN 的最大值为________.

三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.

计算：4sin30+2sin60?

?

?

?

18.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD.

.

求作：AE BC

⊥,垂足为点E.

作法：如图,

①分别以点A和点B为圆心，大于1

2

AB的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点；

②作直线PQ，交AB于点O;

③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E;

④连接AE.

所以线段AE就是所求作的高.

根据小明设计的尺规作图过程

（1）使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：AP=BP, AQ= ,

∴PQ为线段AB的垂直平分线.

∴O为AB中点.

AB为直径，⊙O与线段BC交于点E,

∴AEB

∠=?．（）(填推理的依据)

∴A E B C

⊥.

19. 如图，在△A BC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，

（1）求证：△A BC∽△ACD

（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．

D

20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式.京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运.如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回．．，重新洗匀后再从中随机抽取一张． 请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B ）

21. 已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠ 自变量x 的部分取值及对应的函数值y 如下表所示：

（1）写出此二次函数图象的对称轴； （2）求此二次函数的表达式

22.如图，一次函数y ＝x ＋4的图象与反比例函数x

k

y =

(k 为常数且k ≠0)的图象交于A (－1，a )，B 两点，与x 轴交于点C ．

（1）求a ，k 的值及点B 的坐标；

（2）若点P 在x 轴上，且S △ACP ＝2

3S △BOC ，直接写出点P 的坐标．

23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间近似满足函数关系20)y ax x c a =++≠（ （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度．

24. 如图，已知Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：AE ＝AF ;

（2）若AE ＝5，AC ＝4，求BE 的长．

25.有这样一个问题：探究函数1

3

x y x -=-的图象与性质． 小彤根据学习函数的经验，对函数1

3

x y x -=-的图象与性质进行了探究.

下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1) 函数1

3

x y x -=

-的自变量x 的取值范围是___________； (2) 下表是y 与x 的几组对应值:

则m 的值为________；

(3)如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

(4)观察图象，写出该函数的一条性质________________________； (5)若函数1

3

x y x -=

-的图象上有三个点A( ， )、B( ， )、C( ， )，且 <3< < ，则 、 、 之间的大小关系为________；

26 . 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的表达式为222422y x mx m m =-+-+，线段AB 的两个端点分别为A （1，2），B （3，2）

(1) 若抛物线经过原点，求出m 的值；

(2)求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；

(3)若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围.

27．如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且∠BMN ＝90°，MN ＝2MB ．点E 为MN 的中点，点P 为DE 的中点，连接MP 并延长到点F ，使得PF ＝PM ，连接DF ． （1）依题意补全图形； （2）求证：DF ＝BM ；

（3）连接AM ，用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明．

28. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 及以原点为圆心，1为半径的

O ，给出如下定义:

P 为图形M 上任意一点，Q 为O 上任意一点，如果P,Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到O 的“圆距离”，记作(M O)d -

(1) 记线段AB 为图形M,其中A(-1, 2), B(1,2),求(M O)d -;

（2）记函数y=kx+4（0k >）的图象为图形M ，且(M O)1d -≥，直接写出k 的取值范围;

(3)记△CDE 为图形M ，其中C(t 2)D(t 2),E(t,4)--+-，,且(M O)1d -=， 直接写出t 的值.

东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初三数学参考答案及评分标准 2019.1

9.55t v =

10. 6.4

11.

2

23,y x

=-+答案不唯一

12.5 13.

π

14. 45° 16. 6

三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分）

17.4sin 304530+2sin 601=4422325??????

分

分

18.(1)略 (2)

分

(2)BQ, 90°(直径所对的圆周角是直角) ……………..5分 19. 证明：

（1）∵∠ABC =∠ACD ，∠A =∠A

∴△A BC ∽△ACD ………………………2分 （2）解：△A BC ∽△ACD

∴AC AB

AD AC

=

…………………………………….4 分 Q AD =2, AB =5

∴52AC AC

=

∴AC= …………………………………5分 20. 解：画树状图为：

………………………..3分

由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P

（两张都是“红脸”）＝

4

9

．………………………..5分 答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是4

9

．

21. 解：（1）直线x=-1………………………..1分

（2）∵当x=0时，y=3 ，

∴这个二次函数的表达式为：y=a +bx+3

∵当x=-1时，y=2 ; 当x=1时，y=6,

………………………………3分 ∴

∴这个二次函数的表达式为：y= +2x+3………………………….5分

∴A (－1，3)

把A (－1，3)代入反比例函数y ＝

x

k ∴k ＝－3. ………………………………………………………………2分

∴反比例函数的表达式为y ＝－

x 3 联立两个函数的表达式得??

?

??=+=x y x y 34

解得???=-=31y x 或???=-=1

3y x

∴点B 的坐标为B (－3，1). ………………………………………………………………3分 （2）P (－6，0)或(－2，0) …………………………………………………………5分

23.解：（1）由题意可得，

抛物线经过（0，1.5）和（3，0），

2

21.5.330.

0.5,1.5.

13

.

22

c a c a c y x y x x =???++=?=-??

=?=-++解得:即与之间的函数表达式为………3分

（2）解：22

1311

+2.222

y x x x =-++=--（）………………………..5分 ∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2.，………………………..6分

答：水流喷出的最大高度为2米． 24.

证明：（1）连接OD ∵BC 切⊙O 于点D

∴OD ⊥BC …………………………………………………………1分 ∴∠ODC ＝90° 又∵∠ACB ＝90° ∴OD ∥AC

∴∠ODE ＝∠F …………………………………………………………2分 ∵OE ＝OD

∴∠OED ＝∠ODE. ∴∠OED ＝∠F .

（2）∵OD ∥AC

∴△BOD ∽△BAC …………………………………………………………4分 ∴

BO OD

AB AC

= ∵AE ＝5，AC ＝4

即

2.5 2.5

54

BE BE +=+………………………………………………………5分

∴BE ＝5

3

…………………………………………………………6分

25. 解：(1)x≠3；…………………1分 (2)

1

2

；…………………2分 (3)如图所示；

(4)当x>3时y 随x 的增大而减小等(答案不唯一)；…………………5分 (5) < < ．…………………6分

26.解：（1）∵抛物线经过原点,

2120220, 1.

2m m m m ∴=-+∴==分

（2）2

2

2(2)2y x mx m m =--++2

2()2x m m =--+

所以，顶点C 的坐标为(,2)m m ……………………4分

（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y=2x 上移动． 当抛物线过点A 时，m=2或1； 当抛物线过点B 时，m=2或5．

所以m=2时，抛物线与线段AB 有两个公共点，不符合题意．

结合函数的图象可知，m 的取值范围为15m ≤≤且2m ≠…………………6分

27.解：（1）…………………………………………………………1分

（2）∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP ＝EP

在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPE FPD EP DP =??

∠=∠??=?

∴△MPE ≌△FPD （SAS ）…………………………………………………………2分 ∴DF ＝ME

∵E 为MN 的中点 ∴MN ＝2ME ∵MN ＝2MB

∴MB ＝ME ＝D F ．…………………………………………………………3分

（3

）结论：AM = …………………………………………………………4分 连接AF

由（2）可知：△MPE ≌△FPD ∴∠DFP ＝∠EMP . ∴DF ∥ME.

∴∠FDN ＝∠MND.

在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝90° 又∵∠BMN ＝90°

∴∠MBA ＋∠MNA ＝180° 又∵∠MNA ＋∠MND ＝180° ∴∠MBA ＝∠MND

∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△F AD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =??

∠=∠??=?

∴△F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠F AD ＝∠MAB F A ＝MA

∴∠F AM ＝∠DAB ＝90°

∴△F AM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分

∴FM 又∵FM ＝2PM

∴

AM = …………………………………………………………7分

28.解：（1）

∵A （﹣1,2），B （1,2） ∴H （0,2）

(2)

∴0k <≤………………………………………………4分

12330,7t t t ===（）分