四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗

问题：四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗（第1章习题4）

模型假设对椅子和地面作如下假设：

1．椅子四脚一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。

2．地面高度是连续变化的，即地面视为连续曲面。

3．对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚与地面同时着地。

模型构成首先用变量表示椅子的位置，以长方形一对角线AC为X轴，BD为Y。设X 轴Y轴间夹角为θ。当椅子绕中心O旋转角度θ’后。长方形ABCD转至A‘B‘C’D‘的位置，所以对角线AC与X轴的夹角θ’表示了椅子的位置。

记A，C，两脚与地面的距离之和为f(θ’),B,D两脚与地面的距离之和为g (θ’)。(f(θ’)，g (θ’)>=0)。由假设2，f,g是连续函数。由假设3，椅子在任何时候至少有三只脚着地，所以对任何θ’，f(θ’)和g(θ’)中至少有一个为0。当θ’=0时不妨设f(θ’)=0，g(θ’)>0.

这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下命题:

已知f(θ’) 和g (θ’)是θ’的连续函数，对任意θ’，f(θ’) g(θ’)=0,且f(0)=0，g(0)>0.证明存在θ1，使f(θ1) =g(θ1)=0.

模型求解将椅子旋转θ，对角线AC与BD互换。由f(0)=0，g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。

令h(θ’)=f(θ’)-g(θ’),则h(0)<0,h(θ)>0。由f,g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必有θ1（0<θ1<θ）使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。

最后，因为f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0.

椅子能在不平的地面上放稳吗

椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。 一、模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的 连线呈正方形。 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有 像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。 3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 二、模型建立 示四只脚同时着地的条件、 结论。 首先用变量表示椅子的 位置，由于椅脚的连线呈正 方形，以中心为对称点，正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅

脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。 三、模型求解 将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。令()()()θθθf g h -=，则()()02,00<>πh h ，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。 四、评 注 模型巧妙在于用已元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转090并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。

最新数学建模椅子能在不平的地面上放稳吗

椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明. 一、 模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形. 2. 3. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面. 4. 5. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. 二、模型建立 中心问题是数学语言表 示四只脚同时着地的条件、 结论. 首先用变量表示椅子的 位置，由于椅脚的连线呈正 方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转 D '

角度θ这一变量来表示椅子的位置. 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数. 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g . 三、模型求解 将椅子旋转90?，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ?=，所以()()000==θθf g . 四、评 注 模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90?并不

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？ 【问题提出】 日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】 为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形． （2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件． （3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来． 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形． 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题． 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置． 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来． 我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数． 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记

椅子能在不平的地面上放稳吗

椅子能在不平的地面上放稳吗？ 模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。 3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 假设1显然是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅脚长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即连续变化的），致使三只脚无法同时着地。 模型建立 中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。 首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。 模型求解 将椅子旋转0 90，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。 令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以 ()()000==θθf g 。 四、模型的进一步讨论 Ⅰ.考虑椅子四脚呈长方形的情形 设A 、B 两脚与地面之和为()θf ，C 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，θ为AC 连线与x 轴正向的夹角（如图2所示）。显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、 ()θg 至少有一个为0。当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同 C ' D '

在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件

数学的实践与认识 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 1999　Vol.29　No.3 P.62-65 在不平地面上把椅子放稳的 充分必要条件 赵彦晖 摘　要：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地、放稳.本文指出，当且仅当椅子的四脚共圆时，才能在一般不平的地面上放稳，并对此建立了数学模型，给出了理论上的证明. 关键词：椅子：不平地面；放稳；充分必要条件；数学模型 The Sufficient and Necessary Condition to Make a Chair Steady on Uneven Ground Zhao Yanhui (Xi′an Univ. of Arch. & Tech., Xi′an　710055) Abstract：Under normal conditions, it is impossible to make a chair Steady on uneven ground. In this paper, a mathematical model on this question is established, and it is proved that a sufficient and necessary conditon to make the chair Steady on uneven ground is four feet of the chair is on the common circle. Keywords：Chair, Uneven Ground, Stendy, Sufficient and Necessary Condition, Mathematical Model▲ 在不平的地面上能否把椅子放稳问题已在文［1］、［2］中作过介绍，但这些文献中都只就四脚连线呈正方形(或长方形)的椅子进行讨论.众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形的椅子，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任意四边形的椅子是否也能在不平的地面上放稳?文［1］、［2］中并未讨论，也没有作出任何结论.对此，本文进行了全面的讨论，给出了完整的结论，使问题得到了圆满的解决. 1　模型假设 首先讨论四脚共圆的椅子，对此，我们作如下的必要假设： 假设1　椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，椅子四脚连线为圆内接四边形　即椅子四个脚共面且共圆. 假设2　地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的连续曲面. 假设3　对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. 上述假设显然是合理的［1］. 2　模型建立 将椅子放在地面上任一位置，并使至少三只脚同时着地.这时以椅子四脚共圆的圆心O为原点，四脚所在的平面为xoy坐标面，并使椅脚之一(如椅脚A)在x轴的正半轴上建立平面坐标系，如图1.

数学建模椅子问题

椅子能在不平的地面上放稳 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。 一、模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的 连线呈正方形。 2、地面高度是连续变化的，沿椅子的任何方向都不会出现间断 （没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。 3、对于椅脚的间距和椅子脚的长度而言，地面是相对平坦的， 使椅子在任何位置至少有三只同时着地。 二、模型建立 示四只同时着地的条件、结 论。 首先用变量表示椅子的 位置，由于椅脚的连线呈正 方形，以中心为对称点，正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅

脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只同时着地，就归结为如下命题： 命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。 三、模型求解 将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，则存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。 四、评 注 模型巧妙在于用已知的元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转090并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。

椅子放平稳问题-数学建模

椅子放平稳问题 所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题. 问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？ 1.模型假设 (文字转化为数学语言) (1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形； (2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面； (3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. 2.模型建立 （运用数学语言把条件和结论表现出来） 设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ. 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。 因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。则该问题归结为： 已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得： 0)()(00==θθg f 3.模型求解 （找出0θ） 证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2π θ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。则有0)2 (,0)2(>=π πg f

数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)

科学技术学院 上机报告 课程名称数学建模 上机项目长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗？ 专业班级）姓学号 一、问题提出 椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几 次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。 二、问题分析 该模型看似与数学与数学无关，但我们可以用数学语言给予表述，并用数学工具来 证实，经过分析，我们可以用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。 三、模型假设 为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假 设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形． （2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情 况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必 要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅 脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿 长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三 只脚是无法同时着地的． 符号说明 四、模型建立 （显示模型函数的构造过程） 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示

出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅 子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋 转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不 能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能 放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心 旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子 位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建 立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC 所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时 针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角 θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置． 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C 和B,D对换了．因此，记 A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g （θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。 数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f （θ）?g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成

椅子能否放稳

1 椅子在不平的地面上能放稳吗 （一）问题的分析与假设 由三点构成一个平面可知，通常情况下，在不平的地面椅子是三只脚着地，如果要达到放稳的要求，必须是四只椅脚同时着地。问题中，椅子四脚呈长方形，在以下建模过程中，为方便讨论，我们作出以下假设： （1）椅子的四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四角连线呈矩形； （2）地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面； （3）地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。（二）模型的建立与求解 问题的解决，是通过建立直角坐标系，利用矩形的对角线平分且相等，以AC所在直线作为X轴，以垂至于AC的直线作为为Y轴，以矩形的中心点为原点建立直角坐标系。如图所示： 错误! 用对角线AC与X轴的夹角α表示椅子当前的位置，此时，可设椅脚与地面的距离是α的函数。椅子的四脚与地面应有四个距离的函数，但由于矩形的对称性，对角上的两点距离之和可用一个函数表示。设A,C两脚与地面的距离之和为，B,D两脚与地面的距离之和为。 已知地面是连续曲面，椅子可在任意位置至少三只脚着地，把已知条件转化为数学问题为已知，是连续函数，即α为任意值，·=0总成立；且。现只需证明存在α0,使。

现给出证明方法： 开始α=0，将椅子旋转角度大小为∠AOB=a，此时对角线AC和BD互换。由，知,。 令, 则有。 因为，为连续函数，所以也为连续函数，根据连续函数的基本性质，必存在α0使=0，即，又因为·=0，所以可得，证毕。 由证明的结果看，在不平的平面上，椅子呈矩形四脚距离地面的距离能同时为零，即椅子能在不平的地面放平稳。 若椅子的四脚呈等腰梯形，同理可证这样的椅子也能在不平的地面上放稳。

长方形的椅子能在凹凸不平的地面上放稳吗

长方形的椅子能在不平的地面上站稳吗？ 一、问题提出 椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳,然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。以下用数学语言证明。 二、问题分析 该模型看似与数学与数学无关，但我们可以用数学语言给予表述，并用数学工具来证明，经过分析，我们可以一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅子同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。 三、模型假设 为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，做出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形． （2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面． （3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 四、模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来. 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．

椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题． 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置． 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来. 我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数. 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记 A，B两脚与地面竖直距离是之和为f（θ），C、D两脚与地面的竖直距离之和为g（θ），其中θ?[0，π],从而将原问题转化成数学问题，数学模型：已知f（θ）和g（θ）是非负的连续函数，对于任意的θ，有f（θ）·g（θ）=0. 证明存在某个θ0 ?[0，π]，使得f（θ0）= g（θ0）=0成立.

在不平的地面放稳椅子

在不平的地面放稳椅子 摘要 针对在不平的地面将椅子放平稳的问题，文章建立了三个模型来解决该问题。将椅子的四脚连线看作特殊的四边形进行求解。 对于问题1，正方形是最简单也是最特殊的一种情况，我们用连续函数零点存在定理，证明出一定可以使椅子放稳。 对于问题2，我们采用和问题1相同的方法与过程，证明出可以放稳。 对于问题3，等腰梯形和正方形、长方形有一些区别，它更加一般化，旋转的区间范围更大，在] 2,0[ 上进行旋转，也可以找出能放稳的点，方法与问题1、问题2相同。 文章在解决这些特殊化问题后，对一般性结论进行了猜想与论证，并最终得出结论，对一般的四边形，也能使它在不平的地面上放稳。 关键词：椅子；不平地面；放稳；数学模型；连续函数；零点存在 1.问题的重述 在不平的地面上，椅子通常只有三只脚着地，只需稍挪动几次，就能使四只脚同时着地，即放稳了。 问题1：椅子四脚连线呈正方形； 问题2：椅子四脚连线呈长方形； 问题3：椅子四脚连线呈等腰梯形。 2.问题的分析

当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距 离为零），用连续函数的零点存在定理，找出在某一范围内一定存在的点，能让四条腿同时着地。 3．模型的假设与符号说明 3．1 模型的假设 （1）假设一：椅子的四条腿一样长，将椅子与地面的接触看作一个点。 （2）假设二：将不平的地面看作连续的曲面，没有间断点。 （3）假设三：椅子在任何位置至少有三脚着地，才能保证椅子能放平稳。 3．2 符号说明 符号一：D C B A ,,,为四边形上四点，',',','D C B A 为旋转后四边形上四点。 符号二：O 为四边形的中心。 符号三：θ为旋转角度。 4．模型的准备 连续函数零点存在定理：对)(x F ?，若)(x F 在],[b a 上为连续函数，且 0)()(≤?b F a F ，则],[b a ∈?ξ，使得0)(=ξF . 5．模型的建立与求解 5．1 问题1的模型建立与求解

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗? 【问题提岀】 日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只 需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地?试从数学的角度加以解释. 【模型假设】 为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作岀如下假设： (1)椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形. (2)地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面?这个假设相当于给岀了椅子能放稳的必要条件. (3)椅子在任何位置至少有三只脚同时着地?为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的?因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的. 【建立模型】 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示岀来. 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动?生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换?然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的?于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形. 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地?把长方形绕它的对称中心0旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度9这一变量就表示了 椅子的位置?为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题. 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心0为原点，建立平面直角坐标系.椅子绕0点沿逆时针方向旋转角度9后，长方形ABCD专至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角9(0<9

(整理)长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗

长方形椅子能否在不平的地面上放稳？ 一、问题提出 在日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地，课本上已经证明了四条腿正方形连线的椅子能放平，现在建模说明长方形椅子的情况。 二、模型假设 首先对椅子和地面做一些必要的假设（同正方形椅子一致）： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形； （2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面； （3）地面相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地； 三、模型构成 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的，于是可将椅子就地旋转，并在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐标系来解决问题。 如下图1所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤2π）表示出椅子绕点O旋转θ后的椅子的位置。

图1 变量θ表示椅子的位置 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。由上述假设可知，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可，考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A、C和B、D对换了。因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，2π]，从而将原问题数学化。 数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）?g(θ)＝0，且g（0）=f（π）=0，,f（0）>0，g（π）>0. 证明：存在θ0，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0. 四、模型求解 如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。 如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD 绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0），而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0，f（π）＝0。 令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。 又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；

椅子在不平的地面上放稳模型

a.摘要 建立实物模型，解决椅子放在地面上能否平稳的问题，用数学分析中导数和零点存在定理对其问题进行求解。把椅子放在不平的地面上, 通常有三条腿着地, 一条腿不着地. 然而我们只需要围绕着凳子中心挪动几次,四条腿就同时着地了. 如何用数学工具来证实这一现象？ b.问题重述 在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们需要解决的问题是，怎样才能将椅子在不平的地面上放平稳。 c.模型假设. 为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设： 1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形； 2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数 学上的连续曲面； 3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地； 4．挪动仅只是绕一个定点的旋转 d.模型的建立与求解 1.模型分析 椅子问题在生活中是常见的，我们身边经常会出现，我们总会担心椅子能否放稳，因此建立一个模型来解决这个问题。 2模型的建立 首先, 椅子绕中心轴旋转一周. 显然的, 椅子与地面的接触点组成了三维空间中的一条封闭曲线. 下面主要考虑这条封闭曲线的性质。 其次, 选择一个水平面, 那么曲线中的每一个点与水平面都有一个距离, 并且这个距离是椅子位置变量a的连续函数. 记封闭曲线上关于中心轴对称的A、C两点与水平面的距离之和为f（x），而对称的B、C两点与水平面的距离之和为g（x）=f（x+c）. 由于假设3 知, f 和g都是连续函数. 显然, 四只脚同时着地也就是两个距离和相等。 最后, 把四只椅子脚同时着地的问题归结为如下的数学模型。 3.模型求解 用求导的方法和零点存在定理，来解决椅子是否能够放稳这个问题。 f(x),g(x)都是相互连续的函数，证明存在d使得f(d)=g(d)=0。设h(d)=f(d)-g(d),h(d)在对h（d）进行求导定义域内连续，则存在d1使得maxh’(d1)>0, 则存在d2使得minh’(d2)<0, 由零点存在定理，则存在d3使得h（d3）=0，因此存在d使得f(d)=g(d)=0。 则椅子能够放稳。

椅子在不平地面放稳问题

椅子在不平地面放稳问题 1、问题提出 有四条腿成长方形的椅子，往往不能一次就平稳的放在不平的地面上，有时甚至放很久也放不稳，只好在某一条腿下面垫一点东西。因此就产生这样一个问题，四腿椅子是否一定能在地面上放稳？ 2、模型假设 假设椅子四条腿一样长，且设地面光滑（即把地面看做一个光滑曲面），旋转椅子时，保持椅子中心不动。 设椅子的四条腿分别是D C B A 、、、四点，取对角线AC 为χ轴，AC 与BD 的交点为原点O 。用θ表示AC 绕O 点转动后与χ轴的夹角，用?（对每件椅子是常数）表示对角夹角中小于?90的角，如图2 3、符号说明 设()θg 表示为C A 、两点与地面距离之和，()θf 表示为D B 、两点与地面距离之和。因为地面光滑，椅子转动时，()θg 、()θf 均为转角的连续函数，而三条腿总能同时着地，则对任意θ，有()()0g =?θθf 。 4、建立模型 设0=θ时，()()0000g >=f ，，证明：存在??? ? ?<<2000πθθ，使()()0g 00==θθf 。 5、模型求解 证明：令()()()θθθf g h -=，显然它是连续函数，且()()()0<-=θθθf g h ，将椅子保持中心不动顺时针旋转?（即将AC 换成BD ），可得()()0g 0>=??，f 。 因而()()()0>-=???f g h ，由连续函数的介值定理知，必存在??? ? ?<<2000πθθ，

使得()()()0000=-=θθθf g h ，即()()00θθf g =。又因为()()000=?θθg f ，所以()()000==θθf g

椅子在不平的地面上放稳模型

椅子在不平的地面上放稳模型 通常有三条腿着地, 一条腿不着地、然而我们只需要围绕着凳子中心挪动几次,四条腿就同时着地了、如何用数学工具来证实这一现象？b、问题重述在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们需要解决的问题是，怎样才能将椅子在不平的地面上放平稳。c、模型假设、为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；4．挪动仅只是绕一个定点的旋转d、模型的建立与求解1、模型分析椅子问题在生活中是常见的，我们身边经常会出现，我们总会担心椅子能否放稳，因此建立一个模型来解决这个问题。2模型的建立首先, 椅子绕中心轴旋转一周、显然的, 椅子与地面的接触点组成了三维空间中的一条封闭曲线、下面主要考虑这条封闭曲线的性质。其次, 选择一个水平面, 那么曲线中的每一个点与水平面都有一个距离, 并且这个距离是椅子位置变量a的连续函数、记封闭曲线上关于中心轴对称的

A、C两点与水平面的距离之和为f（x），而对称的 B、C两点与水平面的距离之和为g（x）=f（x+c）、由于假设3 知, f 和g都是连续函数、显然, 四只脚同时着地也就是两个距离和相等。最后, 把四只椅子脚同时着地的问题归结为如下的数学模型。3、模型求解用求导的方法和零点存在定理，来解决椅子是否能够放稳这个问题。f(x),g(x)都是相互连续的函数，证明存在d使得f(d)=g(d)=0。设h(d)=f(d)-g(d),h(d)在对h （d）进行求导定义域内连续，则存在d1使得maxh’(d1)>0, 则存在d2使得minh’(d2)<0, 由零点存在定理，则存在d3使得h （d3）=0，因此存在d使得f(d)=g(d)=0。则椅子能够放稳。

数学建模椅子能在不平的地面上放稳吗

椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明. 一、 模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形. 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面. 3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. 二、模型建立 中心问题是数学语言表 示四只脚同时着地的条件、结论. 首先用变量表示椅子的 位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为 对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅 子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置. 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数. 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：

命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g . 三、模型求解 将椅子旋转90?，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ?=，所以()()000==θθf g . 四、评 注 模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90?并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.