青岛理工大学概率论作业册答案

青岛理工大学

概率论 习题1-2

1. 选择题

(1) 设随机事件A ,B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生,则B 一定不发生.

解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).

(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”,C 表示“乙种商品滞销”,根据公式B C B C = ,

本题应选(D).

2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:

(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;

(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色; (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数; (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}; (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}; (3) {0,1,2};

(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品,则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.

3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件:

(1) 仅有A 发生;

(2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生;

(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ;

(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .

4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件: (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2-A 3; (5)23A A ; (6)12A A .

解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.

习题1-3

1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).

(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.

解 由文氏图易知本题应选(D).

(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).

(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C).

2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )=p ,求P (B ).

解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-

3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB . 解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是

()()()0.1.P AB P A P AB =-=

4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .

解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =. 5. 已知1

()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1

()()12

P AC P BC ==

, 求A , B , C 全不发生的概率.

解 因为ABC AB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤()=0, 即有()P ABC =0. 由概率一般加法公式得

()()()()()()()()

7.12

P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是

5()()1()12

P ABC P A B C P A B C ==-=

.

习题1-4

1. 选择题

在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7

为概率的事件是( ).

(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.

解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为

1

1

3225

C C C ?, 没有一等品的概率为

02

322

5

C C C ?, 将两者加起即为0.7.

答案为(D ).

2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.

解 (1) 恰有1件次品的概率是12545

3

50C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03

545

3

50C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545

3

50

C C C . 3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求: (1) 两个球均为白球的概率;

(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率; (3)至少有一个黑球的概率.

解 从9个球中取出2个球的取法有29C 种,两个球都是白球的取法有2

4

C 种,一黑一白的取法有1

1

54C C 种,由古典概率的公式知道

(1) 两球都是白球的概率是292

4

C C ;

(2) 两球中一黑一白的概率是1154

2

9C C C ;

(3) 至少有一个黑球的概率是129

2

4C C -.

习题1-5

1. 选择题

(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )

(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件.

(C) AB B =. (D)()()P AB P B =. 解 由条件概率定义可知选(D).

(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).

(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥. (B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.

(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件. 解 由条件概率的定义知选(B ).

2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}.

解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}

+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4} =

41×(0+21+31+41)=48

13. 3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5,

0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.

解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”. i B 为互斥的完备事件组. 于是

没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有一发击中目标概率为

1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=,

恰有两发击中目标概率为

2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=,

恰有三发击中目标概率为

3()0.40.50.70.14P B =??=. 又已知 0

123

(|)0,(|)0.2,(|

)

0.6,(|

)

1

P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到

3

0()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i i i P A P B P A B ===?+?+?=∑

4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球,

3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球. (1) 求取出的球是白球的概率;(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.

解 (1)以A 表示“取得球是白球”,i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=

13, i =1,2,3, 123115

(|),(|),(|)528

P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知

P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=

120

53

. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20

()()53

P AH P H P A H P A P A ==

5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的

40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.

(1) 求这件产品是次品的概率;

(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少?

解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且

122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===,12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.

(1) 由全概率公式可得

112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++

0.40.040.380.030.220.05

0.0384.

=?+?+?=.

(2) 由贝叶斯公式可得

111(|)()0.40.045

(|)()0.038412

P A B P B P B A P A ?===

, 222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ?==

=, 333(|)()

0.220.0555

(|)()

0.0384

192

P A B P B P B A P A ?=

=

=

.

习题1-6

1. 选择题

(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的

是( ).

(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.

(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).

(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.

解 因事件A 与B 独立, 故A

B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).

(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0

(A) (|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =. (C) A 与B 一定互斥. (D)

()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .

解 因事件A 与B 独立, 故A

B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).

2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件:

,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 且9

()16

P A B C = ,

求()P A .

解 根据一般加法公式有

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ .

由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =? 1()()()2

P A P B P C ==<

,

因此有 2

()()()[()],()()

0,

P A B

P A C P B C P A P A B C P ==

==?= 从而

29()3()3[()]16

P A B C P A P A =-=

,

于是3

()4P A =

或1

()4P A =

, 再根据题设1

()2P A <

, 故1

()4

P A =

.

3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求:

(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率; (2) 恰有一人命中目标的概率; (3) 目标被命中的概率.

解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是

(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?=

(2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?=

(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=

总 习 题 一

1. 选择题:设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).

(A)A B 与C . (B)AC 与C .

(C) A B -与C . (D) AB 与C .

解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..

2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.

解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为95519

10099396?=

?. (1) 抽得一件为正品,一件为次品的概率为95559519

.10099198

?+?=?

3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有2

1

的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产

4

1

. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.

解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=

21, P (B 2) =41

, P (B 3)=4

1,

P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=100

4

,

由全概率公式得

P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)

=

100

4

41100241100221?

+?+?=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为

90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少?

解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到

()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=?+?=.

由贝叶斯公式可得

()0.750.9

(|)0.9()

0.75

()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?=

=

==.

5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B

的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少?

解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”,以D 表示事件“将信息B 传递出去”,以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知

21

()0.02,()0.01,(),()33

P R D P R D P D P D ====.

由贝叶斯公式知

()()()196

()()197

()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D =

==+.

习题2-2

1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0

1,,0,A X A =???发生不发生.

写出随机变量X 的分布律.

解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者

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2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为

c

c c c 167

,

85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠

13571,24816c c c c

+++= 所以3716

c =

.

所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258168221

}0{}1{=

++=≠-=c

c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p

的二项分布, 若{P X ≥5

1}9

=, 求{P Y ≥1}.

解 注意p{x=k}=k k n k n C p q -,由题设5{9

P X =≥2

1}1{0}1,P X q =-==-

故2

13

q p =-=. 从而

{P Y ≥3219

1}1{0}1().327

P Y =-==-=

4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功

一次的概率为19

27

, 求每次试验成功的概率.

解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27

19,那么一次都没有成功的概率是

278. 即278)1(3

=-p , 故 p =3

1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ.

习题2-3

1. 设

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解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,

1.

x x x x <-??-

?

(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;

(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35.

2. 设随机变量X 的分布函数为

F (x ) = A +B arctan x -∞

试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.

解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知

()0112

,.2()1

2

A B A B A B πππ?

+-=???==?

?+=?? 于是 11

()arctan ,.2F x x x π

=+-∞<<+∞

(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤

1111

(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-

11111().24242

ππππ=+?---=

3. 设随机变量X 的分布函数为

F (x )=0, 0,

01,21,1,

,x x

x x <

≤ ≥ 求P {X ≤-1}, P {0.3

解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,

P {0.3

P {0

5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 1

1

{1},{1}84

P X P X =-=

==

; 在

事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .

解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =;

当1x =-时, 1(1)8

F -=

;

当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.

所以 115

{11}(1)(1){1}1.848

P X F F P X -<<=---==--=

易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为

{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,

取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =

12

. 因此 {1P X -<≤|11}1

2

x X x -<<=

+. 于是, 对于11x -<<, 有

{1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<

{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<<

5

1

55.82

16

x x ++=

?

=

对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而

0,1,57

(),

11,161,

1.

x x F x x x <-+=-<

7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16

p P X F P X F F F F =<=-==---=-=

习题2-4

1. 选择题

(1) 设2, [0,],

()0, [0,].x x c f x x c ∈=????

如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量

的概率密度函数. (A)

13. (B) 12. (C) 1. (D) 3

2

. 解 由概率密度函数的性质

()d 1f x x +∞-∞

=?

可得0

2d 1c

x x =?, 于是1=c ,

故本题应选(C ).

(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).

(A) 1. (B) 0. (C)

1

2

. (D) -1.

解 因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即

2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).

(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).

(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=???其它. (B) 1

,2,

()20,x f x <=?????其它.

(C) 22

()2,0,

青岛理工大学概率论作业册答案

()0,

0.≥x x f x x μσ--

=

解 由概率密度函数的性质

()1f x dx +∞-∞

=?

可知本题应选(D).

(4) 设随机变量2

~(,4)X N μ, 2

~(,5)Y N μ, 1

{X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ).

(A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数12,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数1

2,P P μ>. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有

1

2(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).

(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).

(A) 0

()1d ()∫a

F a x f x -=-

. (B) 0

1

()d 2

()∫a

F a x f x -=-

.

(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.

解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).

(6) 设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ,Y 服从正态分布2

22(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).

(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.

解 对μ1=μ2时, 答案是(A).

(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数

αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).

(A) 2

u α . (B) 2

-

u

. (C) 1-2

u α. (D) α-1u .

解 答案是(C).

2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使

1

{2}4

P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ?

解 因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为

1e ,0,

()0,0.≤x x F x x λ-->=???

由题意可知

221

{2}(2)()(1e )(1e )e e 4

k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-. 于是 ln 2

k λ

=.

3. 设连续型随机变量X 的分布函数为

20,

0,()01,1,

1,

,

≤≤x F x x x x <=>??

???

求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.

解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,

可得 2,01,()0,其它.x x f x <

?

(2) 2

2

{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.

4. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数

,

01,(),12,0,x x f x A x x <=-

???

≤≤其它.

求: (1) 常数A ;(2) X 的分布函数F (x ).

解 (1) 由概率密度的性质可得

12

2

20

1

1

2

1

111d ()d []

12

2

x x A x x x Ax x A =+-=

+-

=-??,

于是 2A =;

(2) 由公式()()d x F x f x x -∞

=

?

可得

当x ≤0时, ()0F x =;

当0x <≤1时, 201()d 2

x F x x x x =

=

?

;

当1x <≤2时, 21

1

()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=-

-??;

当x >2时, ()1F x =.

所以 22

0,0,

1()221, 2.

1,02

1,12x F x x x x x x x =->???

≤≤,

≤,

7. 设随机变量X 的概率密度为

1

(1),02,()4

0,x x f x ?????

+<<=其它, 对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.

解 根据概率密度与分布函数的关系式

{P a X <≤}()()()d b

a

b F b F a f x x =-=?,

可得

2

1

1

5

{1}(1)d 48

P X x x >=+=

?

.

所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为

223333535175

()()()888256

C C +=

. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程2

4420x Xx ++=有实根的概率.

解 随机变量X 的概率密度为

1

05,()50,

,x f x <=?????≤其它,

若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2

X ≥2. 故方程有实根的概率为

P {2

X ≥2}=2

1{2}P X -<

1{P X =-<<

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1d 5

x =-

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15=-

.

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9. 设随机变量)2,3(~2

N X .

(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ; (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满足{}0.9P X d >≥, 问d 至多为多少?

解 (1) 由P {a

33333

}()()2

2

222

a X

b b a ΦΦ-----<

=-≤

公式, 得到

P {2

{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-

=123(

)2

Φ--+23(

)2Φ--=0.6977,

}3{>X P =133

{3}1(

)1(0)2

P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 . (2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以

{}0.5P X c =≤

由(0)Φ=0推得

3

0,2

c -=于是c =3. (3) {}0.9≥P X

d > 即13(

)0.92

d Φ--≥, 也就是

3()0.9(1.282)2

d ΦΦ--

=≥,

因分布函数是一个不减函数, 故(3)

1.282,2

d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.

10. 设随机变量2

~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.

解 因为()~2,X N σ2

,所以~(0,1)X Z N μσ

-=. 由条件{04}0.3

P X <<=可知

02

2

42

220.3{04}{

}()()X P X P ΦΦσ

σ

σ

σσ

---=<<=<

<

=--,

于是22()10.3Φσ

-=, 从而2

()0.65Φσ=.

所以 {{

}2

020}P P X X σ

σ==--<<

22

()1()0.35ΦΦσσ

-=-=. 习题2-5

1. 选择题

(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ). (A) 11()33

F y -. (B) (31)F y +.

(C) 3()1F y +. (D)

1

1

33

()F y -. 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设()~01,X N ,令2Y X =--, 则~Y ( ).

(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N . 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).

2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.

解 若随机变量2

~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态

分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,μσ==

所以Z ~(5,8)N .

概率密度为

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()f z =

2

(5)16

,

x x --

-∞<<+∞.

3. 已知随机变量X 的分布律为

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(1) 解 (1)

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(2)

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4. 已知随机变量X 的概率密度为

()X f x =1

142ln 20x x <

???, , 

, 

其它, 且Y =2-X , 试求Y 的概率密度.

解 先求Y 的分布函数)(y F Y :

)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -

1{2}P X y =-<-=1-2()d y

X f x x --∞

?

.

于是可得Y 的概率密度为

()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?

<-

???

即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?

?

=???

5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率

密度.

解 由题意可知随机变量X 的概率密度为

()0,.

1

,22,4其它X f x x =?-<

因为对于0

(){Y F y P Y =≤2}{y P X =

≤}{y P =X

(X X F F =-.

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于是随机变量2

Y X =的概率密度函数为

()Y f

y (X X f f =+

0 4.

y =

<<

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()04,0,.其它f y y =<

总习题二

1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.

解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .

(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=2

3

3

58.02.0C . (2) 至多有3件次品的概率是

k k k k C

-=∑53

5

8.02.0.

2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少? (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少? (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少? (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少?

解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数,则X ~B (5,0.1),

P {X =k }=k

k

k

C -559

.01.0,k =0,1, (5)

(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03

22

5=C ;

(2) 所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5

=--; (3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;

(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 某产品的某一质量指标2

~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最大是多少?

解 由{120P ≤X ≤}200120160

160

200160

{

}X P σ

σ

σ

---=≤

=40

40

40

(

)(1(

))2(

)1ΦΦΦσ

σ

σ

--=-≥0.8,

得到40

(

)Φσ

≥0.9, 查表得

40

σ

≥1.29, 由此可得允许σ最大值为31.20.

习题3-1

1.

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而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律.

解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布

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于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

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(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04

P X P X =?==≠, 所以X 1

和X 2不独立.

2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为

(,)(6),02,24,

0,.f x y k x y x y =--<<<

其它

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