高考总复习数学导数大题练习(详细答案解析)
1．已知函数
d
x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象
如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数
)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数
)(x f 的解析式；
（III ）在（II ）的条件下，函数
)(x f y =与m x x f y ++'=
5)(3
1
的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数
)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．
（I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）函数
)
(x f 的图象的在
4=x 处切线的斜率为
,2
3若函数
]2
)('[31)(23m
x f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值
范围． 3．已知函数
c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1
=x 处取得极大值．
（I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9
)
32()(2
+-
=a x f 恰好有两个不同的根，求
)(x f 的解析
式；
（III ）对于（II ）中的函数
)(x f ，对任意R
∈βα、，求证：
81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．
4．已知常数0>a
，e 为自然对数的底数，函数
x e x f x -=)(，
x a x x g ln )(2
-=．
（I ）写出
)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；
（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．
5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．
（I ）当1k
=时，求函数()f x 的最大值；
（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；
6．已知
2x =是函数2()(23)x
f x x ax a e =+--的一个极值
点（???=718.2e ）．
（I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2
3[∈x 的最大值和最小值．
7．已知函数
)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f
（I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；
（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．
8．已知函数
()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．
单调性． （I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2
2
()()6g x f x x '=+-，试证明：
对任意两个不相等正数12x x 、，不等式1
2
12
38|()()|||27
g x g x x x ->-恒成
立． 9．已知函数
.1,ln )1(2
1)(2
>-+-=
a x a ax x x f （I ）讨论函数
)(x f 的单调性；
（II ）证明：若
.
1)
()(,),,0(,,52
1212121->--≠+∞∈ 则对任意 10．已知函数 2 1()ln ,()(1),12 f x x a x g x a x a = +=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,]( 2.71828) a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???） ，()f x '表示 ()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值； （II ）对于曲线C 上的不同两点 11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证： 存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．定义),0(,,)1(), (+∞∈+=y x x y x F y ， （I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数 ()f x 的定义域； （II ）令函数322() (1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若 存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求 实数a 的取值范围； III ）当 ,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 答案 1．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= ………… （2分） （I ）由图可知 函数 )(x f 的图象过点（0，3） ，且0)1(' =f 得 ???==??? ?=--++=0 30 23233 c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3 )2('-=f 且 5)2(=f ? ? ?=+--+-=--+5346483 23412b a b a b a b a 解得6,1-==b a 所以3 96)(23++-=x x x x f …………（8分） （ III ） 9 123)(2+-='x x x f ． 可转化为： () m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实 根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g ， ()m g m g --=-=?? ? ??164,273． … ………（10分） 当且仅当()016402768 32<--=>-= ?? ? ??m g m g 且时，有三个交点， 故而，27 68 16< <-m 为所求． …………（12分） 2．解：（I ） )0() 1()('>-= x x x a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞ 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分） （ II ） 32ln 2)(,223 43)4('-+-=-==- =x x x f a a f 得 2 )4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m x x g （6分） 2 )0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间 ? ? ?><∴.0)3(', 0)1('g g （8 分）?? ???>-<∴,319 ,3m m （10分） )3,3 19 (--∈m （12分） 3．解 （I ）, 23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=?=320)1(--=?='a b f ),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f 由3 3 210)(+-==?='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极 大值， 所以313 3 2-+-a a ，所以 )3,(:--∞的取值范围是a ； 依题意得：9 )32()32(27622 +- =++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(2 3+-= （III ）对任意的实数βα,都有 ,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα 在区间[-2，2]有： 2 30368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f , 7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵ >a ，∴ 1 )0()(=>f a f ，∴ a a e a >+>1，即 a e a >． …………（4分） （II ）x a x a x x a x x g )22)(22(22)(-+ =- ='，由0)(='x g ， 得2 2a x =，列表 当2 2a x =时，函数 ) (x g y =取极小值 )2 ln 1(2)22( a a a g -=，无极大值． 由（I ）a e a >，∵?? ???> >2 2a a e e a a ，∴22a e a > ，∴2 2a e a > 1)1(>=g ， 0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a ………… （8分） （i ）当 12 2≤a ，
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