无约束规划

第六章 随机规划

第六章 随机规划 第一节 问题的提出 随机规划所研究的对象是含有随机因素的数学规划问题。例如，我们熟悉的线性规划问题 CX X f =)(min 0≥=X b AX （6.1） 如果其中的A ，b ，C 的元素中部分的或全部的是随机变量，则称其为随机线性规划问题。 在数学规划中引入随机性是很自然的事情。在模型中的A ，b ，C 的元素常常代表价格、成本、需求量、资源数量、经济指标等参数。由于各种不确定性因素的影响，这些参数经常出现波动。例如，市场上对某种商品的需求量一般无法精确的预知，只能作出大致的预测，某种产品的生产成本往往受原材料价格、劳动生产率等各种因素的影响而经常变化，这些变化与波动，在许多场合可以用一定的概率分布去描述。因此，在数学规划中引入随机变量，能够使模型更加符合实际情况，从而是的决策更加合理。 例1 某化工厂生产过程中需要A ，B 两种化学成分，现有甲、乙两种原材料可供选用。其中原料甲中化学成分A 的单位含量为10/a ，B 的单位含量为3/a ；原料乙中化学成分A 的单位含量为10/1，B 的单位含量为3/1。根据生产要求，化学成分A 的总含量不得少于10/7个单位，化学成分A 的总含量不得少于3/4个单位。甲、乙两种原料的价格相同，问如何采购原料，使得即满足生产要求，又是的成本最低？ 显而易见，这个问题可以用线性规划模型来描述。根据题意，设原料甲的采购数量为1x ，原料乙的采购数量为2x ，容易得到如下线性模型： 21)(min x x X f += ,047 212121≥≥≥+≥+x x x bx x ax （6.2）

于是只要知道a 和b 的值，立即可以求得最优解。 但是，如果由于某种原因，原料甲中化学成分A 、B 的单位含量不稳定，其中T b a ),(=ξ是矩形}13 1,41{≤≤≤≤y x 内的均匀分布随机向量，则问题（7.2）就成为随机线性规划问题了。 由于引入了随机量，随机规划问题的分析与求解比普通数学规划问题要复杂大多。在处理随机规划问题时，人们最容易想到的方法也许是将模型中的随机变量用它们的期望值来代，从而得到确定性的数学规划模型，再去求解。事实上，过去许多确定性数学规划正是这样建立起来的，但是应当指出，这种处理方法在实际问题中并不总可行的。为了说明这一点，我们不妨用此方法试解例1中的问题。容易求得 T T b a E E )3/2,2/5(]),[()(==ξ， （6.3） 将此值代入问题（7.2），得到确定线性规划模型如下： 21)(min x x X f += ,043 272 5212121≥≥≥+≥+x x x x x x （6.4） 可以求得此问题的唯一最优解为 T T x x X )11/32,11/18(),(*2*1*==， （6.5） 于是以此*X 作为原随机线性规划问题（7.2）的最优解。可是，由于问题（7.2）中的T b a ),(是随机向量，我们自然希望知道，上述*X 是问题（7.2）的最优解这一事件的概率有多大？是问题（7.2）的可行解这一事件的概率有多大？然而，我们发现， 4/1}3/2,2/5),{(} 4,7),{(*2*1*2*1=≥≥=≥+≥+b a b a P x bx x ax b a P T T ， （6.6） 也即，*X 对问题（7.2）是可行解以0.75的概率是不可能的，只有0.25的可能性，这个解显然是不可用的。这个例子说明，用上述方法处理随机规

第四章 非线性规划1-约束极值问题

第四章 非线性规划 ???? ???? 无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划 ?? ?凸规划约束最优化问题非凸规划 ?? ?直接解法约束最优化问题求解方法间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法，且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题，因而在工程优化中得到了广泛的应用。 直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。 第一节 目标函数的约束极值问题 所谓约束优化设计问题的最优性条件．就是指在满足等式和不等式约束条件下，其目标函数值最小的点必须满足的条件，须注意的是，这只是对约束的局部最优解而言。 对于带有约束条件的目标函数，其求最优解的过程可归结为： 一、约束与方向的定义 一）起作用约束与松弛约束 对于一个不等式约束()0g X ≤来说，如果所讨论的设计点() k X 使该约束()0g X =(或 者说() k X 当时正处在该约束的边界上)时，则称这个约束是() k X 点的一个起作用约束或紧约 束，而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。

冗余约束 40g ≤ 当一个设计点同时有几个约束起作用时，即可定义起作用约束集合为 {}()()()|()0,1,2, ,k k u I X u g X u m === 其意义是对() k X 点此时所有起作用约束下标的集合。 二）冗余约束 如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影 响，或是约束面不与可行域D 相交，即此约束称为冗余约束。 三）可行方向 可行方向：一个设计点()k X 在可行域内，沿某一个方向S 移动，仍可得到一个属于可行域的新点，则称该方向为可行方向。 1）设计点为自由点 设计点() k X 在可行域内是一个自由点，在各个方 向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域，如图所示。 2）设计点为约束边界点 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，它的移动就会受到可行性的限制。此时，()k X 点的可行方向S 必满足条件： ()0T k i S g X ?≤ （解释：()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ?=??，,()90T k i S g X ?≥?）） 当,()90T k i S g X ?=?时，方向S 是约束函数i g 在()k X 点处的切线方向，即()0T k i S g X ?=。 当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如

第四章 约束非线性规划

第四章 约束非线性规划 § 4.3 可行方向法 作者：黄希勇 2013.5.28 引入： 对于非线性规划问题，如果不存在约束，从任一个初始点 )0(x 出发，沿)(x f 的负梯度方向进行一维收索，便可求得目标函数的无约束极小值；而对有约束的极小化问题来说，除要使目标函数在每次迭代有所下降之外，还要注意解的可行性问题，为此，在求解约束非线性规划迭代法的设计中，应在每个迭代点)(k x 出构造一个可行下降方向 )(k d 。 引入：有效约束和可行下降方向的概念 考虑非线性规划 ?? ???=≥==m i x g l j x h t s x f i j .....2,10)(......2,10)(.) (min （4.3.1） 其中，)(),(),(x g x h x f i j 均为实值连续函数，且具有二阶连续偏导数。 设)0(x 是非线性规划的一个可行解。现考虑某一不等式约束条件 0)(≥x g i 满足它有两种可能：其一为0)(>x g i ，这时，点)0(x 不是处于由这一约束条件形成的可行域边界上，因而这一约束对)0(x 点的微小摄动不起限制作用，从而称这个约束条件是)0(x 点的不起作用约束(或无效约束)；其二是0)(=x g i ，这时)0(x 点处于该约束条件形成的可行域边界上，

它对)0(x 的摄动起到了某种限制作用，故称这个约束是点的起作用约束(有效约束)。 显而易见，等式约束对所有可行点来说都是起作用约束。 1.1 D e f ： 设可行域是非空集，D x ∈，若对某非零向量n R d ∈，存在0>δ，使对任意),0(δ∈t 均有D td x ∈+,则称d 为从x 出发的可行方向。 若非线性规划的某一可行点)0(x ，对该点的任一方向d 来说，若存在实数't ，使对任意 ]',0[t t ∈均有 )()()0()0(x f td x f <+ 就称方向d 为)0(x 点的一个下降方向。 如果方向d 既是)0(x 点的可行方向，又是这个点的下降方向，就称它是该点的可行下降方向。 Eg 4.4: 略 现考虑非线性规划（4.3.1）式，设)(k x 是它的一个可行解，但不是要求的极小点。为了求它的极小点或近似极小点，根据以前所说，应在)(k x 点的可行下降方向中选取某一方向)(k d ，并确定步长k t ，使 ???<+=++) ()() ()1() ()()1(k k k k k k x f x f d t x x （4.3.2） 若满足精度要求，迭代停止，)1(+k x 就是所要的点。否则，从)1(+k x 出发继续进行迭代，直到满足要求为止。上述方法称为可行方向法； 其特点是：迭代过程中采用的搜索方向为可行方向，所产生的迭代

MAAB非线性规划及非线性约束条件求解

M A T L A B 非线性规划及非线性约束条件求解 【题1】求非线性规划问题：221212121min 262 f x x x x x x = +--- clear all clc f=@(x)((1/2)*x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-6*x(2)); A=[11;-12;21]; b=[2;2;3]; Aeq=[];beq=[]; lb=[0;0]; ub=[100;100]; x0=[11]'; intlist=[0;0]; [errmsg,Z,X]=BNB20_new(f,x0,intlist,lb,ub,A,b,Aeq,beq) 【题2】求非线性规划问题：123min f x x x =- clear all clc f=@(x)(-x(1)*x(2)*x(3)); A=[-1-2-2;122]; b=[0;72]; Aeq=[];beq=[]; lb=[];ub=[]; x0=[1;1;1]; intlist=[000]'; [errmsg,Z,X]=BNB20_new(f,x0,intlist,lb,ub,A,b,Aeq,beq) 【题3】求非线性规划问题：()12212122min 42421x f e x x x x x =++++ function [c,ceq]=nolic2(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+3/2; ceq=[]; end clear all clc f=@(x)exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2) +1); A=[];b=[];Aeq=[];beq=[]; lb=[-10-10]'; ub=[]; x0=[11]'; intlist=[00]';

求解带约束的非线性规划问题论文

求解带约束的非线性规划问题 罚函数法求解带约束的非线形规划问题的基本思想是：利用问题的目标函数和约束函数构造出带参数的所谓增广目标函数，把约束非线形规划问题转化为一系列无约束非线形规划问题来求解。增广目标函数由两个部分构成，一部分是原问题的目标函数，另一部分是由约束函数构造出的“惩罚”项，“惩罚”项的作用是对“违规”的点进行“惩罚”。罚函数法主要有两种形式。一种称为外部罚函数法，或称外点法，这种方法的迭代点一般在可行域的外部移动，随着迭代次数的增加，“惩罚”的力度也越来越大，从而迫使迭代点向可行域靠近；另一种成为内部罚函数法，或称内点法，它从满足约束条件的可行域的内点开始迭代，并对企图穿越可行域边界的点予以“惩罚”，当迭代点越接近边界，“惩罚”就越大，从而保证迭代点的可行性。 1. 外部罚函数法(外点法) 约束非线形规划问题 min f(x), s.t. g(x)>=0, 其中g (x) = (g 1(x),…,gm(x)), 将带约束的规划问题转化为无约束非线形规划问题来求解的一个直观想法是：设法加大不可行点处对应的目标函数值，使不可行点不能成为相应无约束问题的最优解，于是对于可行域 S= { x | g(x) >= 0} 作一惩罚函数 P(x) = 0, x∈S; K, else 其中K是预先选定的很大的数。然后构造一个增广目标函数 F (x) = f (x) + P (x) , 显然x∈S时，F（x）与f (x)相等，而x S 时，相应的F值很大。因此以F(x)为目标函数的无约束问题 minF x) = f(x) + P (x) （1） 的最优解也是原问题（NP）的最优解。 上述P(x)虽然简单，但因它的不连续性导致无约束问题（1）求解的困难。为此将P(x)修改为带正参数M（称为罚因子）的函数 P(x) =M ∑[min (0,gj(x))]2 则 min F(x,M) = f(x) + M∑[min (0,gj(x))]2 的最优解x(M) 为原问题的最优解或近似最优解。这时，若x (M) ∈S 则它必定是问题的最优解；若对于某一个罚因子M ，使得x (M) -∈S ，则加大M 的值，罚函数的“惩罚”

不确定规划现状与将来

中国运筹学会第六届学术交流会论文集 湖南长沙，２０００年１０月ｌ０１５日 （扎，ｂａｌ—Ｌｉｎｋ出版社（香港】．第＂２５５２６３页 不确定规划：现状与将来 赵瑞清 清华太学教学ｐ学糸．北京１０００８４ ｆ，ＪＪＨ￡，－ｒ二Ｊ…ｏ“ｕ Ｊｓｃ．（ｒ，？ｆｒ，ｔ 摘要、所渭的不砖定环境茹常是指髓机环境、模糊环境、模糊随机环境、随机模糊环境以厦粗糙环境．从规划论的角度来讲，除了运算法则不同之外，这些不确定性之倒并没有区别．鉴于这一事实，有必要为随机规划、模糊规划、模糊随机规划、随机摸糊规划以及粗糙规划提供统一的理论基础，即不确定规划理论．田此．不确定规划理论实际上是一种不确定环境下的优化理论．萍文首先介绍了不确定规划及建模思想，然后给出了不确定规划理论框架．最后． 为了求解这些模型，本文提供丁一系列混合智能算法． 关ｔｌｉｌ字：随机规划，模糊规訇Ｊ，模糊随机规划，遣传算法，神经元阿络 ＵｎｃｅｒｔａｉｎＰｒｏｇｒａｌｌｌｍｉｌｌｇ：ＰｒｅｓｅｎｔａｎｄＦｕｔｕｒｅ Ａｂｓｔｒａｃｔ ＢｙＵｌｌｆｔ－ｒｌａｉｔｌｐｒｏ，ｑｌａｍｍｉｎｇｗｅ】ｌｌ｛ａｌｌｌｈｅｏｐｔｉｎｄｚａｔｉｏｎ１．］ｌｅＯｌＴｉｌｌｇｅｎｅｌａｌｌｙ ＩＩｎｃｅＦｔｊｌｉｎｌＨｏｃｈⅢｌｉｃ，ｆｌｌｚ＇ｚｙ．ｆｕｚｚｙｒａｎｄｏｔｎ．１＆ｌｌｄｏｌｎｆｌｌｚｚｙ ｒｏｕｇｈｅｔｃ．｝ｅｌｌｌ，’ｉｒｏｎｍｅｎｔｓＦｈｃ。ｍａｉｎｐｌｔｌｐｏｓｅｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓ“ｌｎｌｅｓ，ｅＪｌｌａｈｉｉ?－ｒｉｎｔ］ｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｕｎｃｅｒｔａｉｎｐｒｏｇｒａｒｎｎｔｉｎｇ、１≮ ；ｄｓｏｉｎｌＰＥｌａｔｅｓｉｍｕｌａｌｉｏｎ，ｌ｜ｅｌｌｌａｌｌｌｅｌＷＯｌｋａ¨【ｌｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍＬｏｐｔｏｄｔｌｃｅ ａｈｙｈｔＳｄ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｌａｊｇ。Ｉｉｔｈｚｎ几Ｊｒ＾ｏｈｉｎｇｕ¨ｆＰｆｌａｉｎｐｒｏｇｒａｍｍｉｉｌｇｍｍｌｅｌｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｌ。ｇｌａｍｍｉｎｇ ｌｈｌｚｚ）ｐｒｏｇｔａｍｍｉｎｇ．Ｆｕｚｚｙｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｒｏｇｔａ．１ｎ—ｒｕｉｎｇ（－ｅｎｅ（ｉｃａｌｇｏｘｉｔｈｎｔＮｅｒｏａｌｌｔｅｔｗｏｔ ｋ§ｌ引言 在实际决策过程中通常面临着大量的不确定优化问题，这种不确定性主要表现为随机性、模糊性、模糊随机性、随机模糊性及粗糙性．传统的随机规划和模糊规划分别以随 ｆ 嬲∞，ｇ—Ｕｃ若ｙ㈣妇㈣嘴啪州｛三Ｒ ｉ旧Ⅲ｛ｒＺ乩４－罢＾矿Ⅵ口

第四章 非线性规划约束极值问题

第四章 非线性规划 ?? ?? ???? 无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划 ?? ?凸规划约束最优化问题非凸规划 ?? ?直接解法约束最优化问题求解方法间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法，且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题，因而在工程优化中得到了广泛的应用。 直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。 第一节 目标函数的约束极值问题 所谓约束优化设计问题的最优性条件．就是指在满足等式和不等式约束条件下，其目标函数值最小的点必须满足的条件，须注意的是，这只是对约束的局部最优解而言。 对于带有约束条件的目标函数，其求最优解的过程可归结为： 一、约束与方向的定义 一）起作用约束与松弛约束 对于一个不等式约束()0g X ≤来说，如果所讨论的设计点() k X 使该约束()0g X =(或 者说() k X 当时正处在该约束的边界上)时，则称这个约束是() k X 点的一个起作用约束或紧约 束，而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。

冗余约束 4 0g ≤ 当一个设计点同时有几个约束起作用时，即可定义起作用约束集合为 {}()()()|()0,1,2, ,k k u I X u g X u m === 其意义是对() k X 点此时所有起作用约束下标的集合。 二）冗余约束 如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影 响，或是约束面不与可行域D 相交，即此约束称为冗余约束。 三）可行方向 可行方向：一个设计点()k X 在可行域内，沿某一个方向S 移动，仍可得到一个属于可行域的新点，则称该方向为可行方向。 1）设计点为自由点 设计点() k X 在可行域内是一个自由点，在各个方 向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域，如图所示。 2）设计点为约束边界点 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，它的移动就会受到可行性的限制。此时，()k X 点的可行方向S 必满足条件： ()0T k i S g X ?≤ （解释：()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ?=??，,()90T k i S g X ?≥?）） 当,()90T k i S g X ?=?时，方向S 是约束函数i g 在()k X 点处的切线方向，即()0T k i S g X ?=。 当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如

第六章 非线性规划(管理运筹学,李军)

6 非线性规划 1、判断函数的凸凹性 （1）3 )4()(x x f -=，4≤x （2）2 2212132)(x x x x X f ++= （3）21)(x x X f = （1）解：' 2 f (x)3(4)0x =--<=， x<=4,故f(x)在（-∞，4]上是不减函数， ''f (x)6(4)0x =->=，故f(x)在（-∞，4]上是凸函数。 （2）解：f(x)的海赛矩阵22()26H x ?? =?? ?? ，因H （x ）正定，故f （x ）为严格的凸函数。 （3）解：取任意两点(1) 11(,)X a b =、),(22)2(b a X =，从而 (1)11().f X a b =，(2)22().f X a b =，(1)11()(,)T f X b a ?= 看下式是否成立： (2)(1)(1)(2)(1)()()().()f X f X f X X X >+?- 2211112121..(,)(,)T a b a b b a a a b b >+-- 2121().()0a a b b --> 1212,,,a a b b 是任意点，并不能保证上式恒成立，故 所以12()f X x x =既非凸函数，也非凹函数。 2、分别用斐波那契法和黄金分割法求下述函数的极小值，初始的搜索区间为]15,1[∈x ，要求5.0|)()(|1≤--n n x f x f 。 x x x x X f 1357215)(234-+-= 解：斐波那契法 已知δ = 0.5/(15-1)=1/28、a = 1、b = 15，有1 28n F δ≥ =，即8n =。

单纯形法解决无约束优化问题

分数: ___________任课教师签字：___________ 课程作业 学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号： 提交时间：

一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差，

用最速下降法求解无约束非线性规划问题

运 筹 学 实 习 报 告 姓名： xxxxxxxxxx 学号： xxxxxxxxxxx 专业班级： xxxxxxxxxxxx 2 0 1 3年 7 月 0 4 日

题目：用最速下降法求解无约束非线性规划问题 摘要： 无约束最优化问题的求解方法分为解析法和直接法两大类。解析法需要计 算函数的梯度，其中最速下降法就属于解析法中的一种。对于一个无约束非线性规划利用最速下降法求解，首先需要确定其优化方向，此优化方向应该选择为f 在当前点处的负梯度方向，利用一维搜索法找出沿此方向上的最小值及其对应点，此后将该点作为新的出发点重复上述过程，直到达到允许的误差为止。本文通过理论的计算方法，进一步分析，最后用c++编程实现求出允许误差内的最优解。此编程可用于计算符合下列形式的函数求最优解过程： f(x)=a[0]x1*x1+a[1]x2*x2+a[2]x1*x2+a[3]x1+a[4]x2+a[5]其中：a[i] (i=0,1,2,3,4,5) 为函数的系数。 本文以“ 李占利 主编，中国矿业大学出版社出版”的《最优化理论与方法》 第五章 “无约束最优化方法，5.1 最速下降法 ”例5—1为实例，首先利用上述迭代的方法，计算出各迭代点的函数值，梯度及其模。然后应用c++语言编程，得到在精度范围内的精确最优解。 C++编程计算的最优解为 : T x x ]0329218.0,00823045.0[)3(*-==。 即转化为分数结果为：?? ????-==412432) 3(*x x 。 满足精度要求的模为： 101 0736154.0||||)3(= <=εp 。 关键词：无约束非线性规划 解析法 最速下降法 梯度 模 最优解

求解非线性规划

求解非线性规划

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非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。 1.2 线性规划与非线性规划的区别 如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。 1.3 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 )(min x f ???????=≤=?≤0 )(0)(x Ceq x C Beq x Aeq B Ax , 其中)(x f 是标量函数，Beq Aeq B A ,,,是相应维数的矩阵和向量，)(),(x Ceq x C 是非线性向量函数。 Matlab 中的命令是 X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS) 它的返回值是向量x ，其中FUN 是用M 文件定义的函数)(x f ；X0是x 的初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束Beq X Aeq B X A =≤*,*，如果没有等式约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和UB 是变量x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x 无下界，则LB=-inf ，如果x 无上界，则UB=inf ；NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数)(),(x Ceq x C ；OPTIONS 定义了优化参数，可以使用Matlab 缺省的参数设置。 例2 求下列非线性规划问题

单纯形法解决无约束优化问题

分数: ___________ 任课教师签字：___________ 课程作业 学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号： 提交时间：

一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差，而且寻优的效率特别低下。

第九章非线性规划

1. 非线性规划 我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。 非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年H.W.库恩和A.W.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。 非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。 1.1 非线性规划举例 [库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。 我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为 Q A ,年订货成本为Q A F ?。由于平均库存量为 2Q ,所以,年持有成本为2 Q H ?,年库存成本可以表示为: Q H Q A F Q C ?+? =2 )( 将它表示为数学规划问题: min Q H Q A F Q C ?+? =2 )( ..t s 0≥Q 其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。 [数据拟合问题] 假设一年期国债利率在市场中的波动符合下述模型

无约束非线性规划求解方法及其实现

无约束非线性规划求解方法及其实现 作者：杨玲指导老师：陈素根 摘要: 非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划属于最优化方法的一种，是线性规划的延伸。非线性规划研究一个n元实函数在一组灯饰或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。非线性规划是20世纪50年代才形成的一门新兴学科。1951年H.W库恩和A.W塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正是诞生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程，管理，经济，科研，军事等发面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划在信赖域法、稀疏牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果，无约束非线性规划问题是非线性规划的一个重要内容，很多学者对非线性规划问题进行了深入且系统的研究，研究成果丰硕。

关键词最优化共轭梯度法非线性无约束 1 引言 1.1 无约束非线性规划问题是最基本的非线性规划问题，在1959~1963年幼三位数学家共同研究成功求解无约束问题的DFP变尺度法，该算法的研究成功是无约束优化算法的一个大飞跃，引起了一系列的理论工作，并陆续出现了许多新的算法。20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划在信赖域法、稀疏牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。无约束非线性规划问题是非线性规划的一个重要内容，很多学者对非线性规划问题进行了深入且系统的研究，研究成果丰硕。 1.2 本文主要研究无约束非线性规划问题，将文章分成四个部分，首先会具体介绍无约束非线性规划的相关概念，并在此基础上研究非线性规划的相关理论与基本算法问题，接着详细介绍无约束非线性规划的几种主要的求解方法，最后举例说明他在实际生活中的应用，并编程实现它。 2 正文 2.1主要介绍无约束非线性规划的相关概念 一个非线性规划问题的自变量x没有任何约束，或说可行域即是整个n维向量空间：n 错误！未找到引用源。,则称 x R

非线性规划小题

非线性规划 1．已知,x y 满足221 {1 0 x y x y y +≤+≥-≤，则z x y =-的取值范围是 （ ） A. ???? B. []-1,1 C. ?? D. ?? 2．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤??≤??>-? ，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 92 3．点(),a b 是区域40 {0 0x y x y +-≤>>内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2??+∞???? 上是增函数的概率为 A. 14 B. 12 C. 13 D. 23 4．若实数,x y 满足条件210{22030 x y x y x -+≥+-≥-≤，则432z x y =-+的最大值为（ ） A. 14- B. 4- C. 419 - D. 423- 5．设点(),P x y 在不等式组1 {2060 x x y x y ≥-≤+-≤所表示的平面区域内，则2299xy z x y = +的取值范围为（ ） A. 183,132?????? B. 453,342?????? C. 4518,3413?????? D. 1845,1334?? ???? 6．若实数,x y 满足1002x y x y -+≤??>??≤?，则221y x +的取值范围是（ ） A. 4[,4]3 B. 4[,4)3 C. [2,4] D. (2,4]

7．已知变量,x y 满足330, {1, 40,x y x x y -+≤≥+-≤则22x y xy +的取值范围是（ ） A. 102, 3?????? B. 2510,123?????? C. 410,33?????? D. 1302,63?????? 8．已知实数,x y 满足2102,|24|10x y x z x y x y -+≥??≤=+-??+-≥? ，则z 的最大值与最小值之差为（ ） A. 5 B. 1 C. 4 D. 73 9．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，若对任意的,x y R ∈， 等式(3)0f y f -+=恒成立，则y x 的取值范围是（ ） A. [22-+ B. [1,2 C. [2 D. [1,3] 10．已知实数,x y 满足230 {0 230x y x y x y --≥+≥-+≥，若()()22 41x y m ++-≥对任意的(),x y 恒成立，则实数m 的 取值范围为__________． 11．在平面区域20, {20, 30 x y y x y -+≥+≥++≤内取点M ，过点M 作曲线22 1x y +=的两条切线，切点分别为A ， B ，设AMB θ∠=，则角θ最小时， cos θ的值为__________． 12．设变量,x y 满足约束条件0,{20,22, x y x y x y -≥+≥-≤则目标函数2382x y z x +-=+的取值范围为__________． 参考答案 1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．C 10．(],29-∞ 11．910 12．14,2??-????

非线性整数规划的遗传算法Matlab程序

非线性整数规划的遗传算法Matlab程序（附图） 通常，非线性整数规划是一个具有指数复杂度的NP问题，如果约束较为复杂，Matlab优化工具箱和一些优化软件比如lingo等，常常无法应用，即使能应用也不能给出一个较为令人满意的解。这时就需要针对问题设计专门的优化算法。下面举一个遗传算法应用于非线性整数规划的编程实例，供大家参考！ 模型的形式和适应度函数定义如下： 这是一个具有200个01决策变量的多目标非线性整数规划，编写优化的目标函数如下，其中将多目标转化为单目标采用简单的加权处理。 function Fitness=FITNESS(x,FARM,e,q,w) %% 适应度函数 % 输入参数列表 % x 决策变量构成的4×50的0-1矩阵 % FARM 细胞结构存储的当前种群，它包含了个体x % e 4×50的系数矩阵 % q 4×50的系数矩阵 % w 1×50的系数矩阵 %%

gamma=0.98; N=length(FARM);%种群规模 F1=zeros(1,N); F2=zeros(1,N); for i=1:N xx=FARM{i}; ppp=(1-xx)+(1-q).*xx; F1(i)=sum(w.*prod(ppp)); F2(i)=sum(sum(e.*xx)); end ppp=(1-x)+(1-q).*x; f1=sum(w.*prod(ppp)); f2=sum(sum(e.*x)); Fitness=gamma*sum(min([sign(f1-F1);zeros(1,N)]))+(1-gamma )*sum(min([sign(f2-F2);zeros(1,N)])); 针对问题设计的遗传算法如下，其中对模型约束的处理是重点考虑的地方function [Xp,LC1,LC2,LC3,LC4]=MYGA(M,N,Pm) %% 求解01整数规划的遗传算法 %% 输入参数列表 % M 遗传进化迭代次数 % N 种群规模 % Pm 变异概率 %% 输出参数列表 % Xp 最优个体 % LC1 子目标1的收敛曲线 % LC2 子目标2的收敛曲线 % LC3 平均适应度函数的收敛曲线 % LC4 最优适应度函数的收敛曲线 %% 参考调用格式[Xp,LC1,LC2,LC3,LC4]=MYGA(50,40,0.3)

第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义

第四章 非线性规划 教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。 教学难点：约束最优化问题的最优性条件。 教学课时：24学时 主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。 第一节 基本概念 教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。 教学难点：无。 教学课时：2学时 主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。 1、非线性规划问题举例 例1 曲线最优拟合问题 已知某物体的温度? 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系： 3 12c t c c t e φ=++ （*） 其中1c ，2c ，3c 是待定参数。现通过测试获得n 组?与t 之间的实验数据),(i i t ?， i=1，2，…,n 。试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点 ),(i i t ?拟合。 ∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ? t ?

例 2 构件容积问题 通过分析我们可以得到如下的规划模型： ??? ????≥≥=++++=0 ,0 2 ..)3/1( max 212 121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ 基本概念 设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i α:,...,1),(;,...,1),();(==, 如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)： ?? ? ??===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..) ( min 约束集或可行域 X x ∈? MP 的可行解或可行点 MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划 令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1= T p x h x h x h ))(),...,(()(1=， 其中，q n p n R R h R R g αα:,:，那么(MP )可简记为 ?? ? ??≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。 否则，称为约束非线性规划或者约束最优化问题。 定义4.1.1 对于非线性规划(MP )，若X x ∈*，并且有 X ),()(*∈?≤x x f x f 设计一个右图所示的由圆锥和圆柱面 围成的构件，要求构件的表面积为S ， 圆锥部分的高h 和圆柱部分的高x 2之 比为a 。确定构件尺寸，使其容积最 大。 x 1 x 2 x 3

蒙特卡罗方法求解有约束的非线性规划问题的matlab程序

蒙特卡罗方法求解有约束的非线性规划问题的matlab程序 首先我们说明一下：观察函数f(x)，它恰好可以应用雅克比矩阵来计算得到： clear; syms x1 x2 x3 x4 x5; y=(1+(x1*x2+x3+x4^2)^(1/2)/(x5+x3^2))^(1/2); f=simple(jacobian(y)*[x1;x2;x3;x4;x5]); 然后将得到的f表达式前面加上@(x1,x2,x3,x4,x5)： f=@(x1,x2,x3,x4,x5)-1/4*x3*(2*x1*x2*x3+x5+3*x3^2+2*x4^2*x3)/(x5+x3^2)/((x5+x3^2+(x1 *x2+x3+x4^2)^(1/2))*(x5+x3^2))^(1/2)/(x1*x2+x3+x4^2)^(1/2); 作为下面程序中的f即可，已经验证过结果仍然差不多。 下面程序中的f仍为原程序所给的f。 matlab蒙特卡罗方法程序（相关原理参见附件文献）： clear; f=@(x1,x2,x3,x4,x5)-(x3*(3*x3^2 + 2*x3*x4^2 + 2*x1*x2*x3 + x5))... /(4*((x5 + (x4^2 + x3 + x1*x2)^(1/2) + x3^2)/(x3^2 + x5))^(1/2)*(x3^2 + x5)^2*(x4^2 + x3 + x1*x2)^(1/2)); MIN=inf; LIMIT=10000; while LIMIT>0 x(3)=4.5*rand+0.5;%将【0,1】区间上的随机数转化到【0.5,5】上的随机数，下面其余数类同 x(4)=2*rand+1; x(5)=3*rand+1; x(1)=4.5*rand+0.5; x(2)=4.5*rand+0.5; while x(1)+x(2)^2>=1&x(1)+x(2)^2<=10 x1=x(1);x2=x(2);x3=x(3);x4=x(4);x5=x(5); temp=f(x1,x2,x3,x4,x5); if temp