方法第1章

第一章税务检查基本方法

第一节账务检查方法

账务检查方法，是指对稽查对象的会计报表、会计账簿、会计凭证等有关资料进行系统审查，据以确认稽查对象缴纳税款的真实性和准确性的一种方法。账务检查方法按照查账顺序分为顺查法和逆查法，按照审查的详细程度分为详查法和抽查法，按照审查方法分为审阅法和核对法。本节重点介绍上述六种常用账务检查方法。

一、顺查法

顺查法，又叫正查法，是指根据会计业务处理顺序，依次进行检查的方法。顺查法适用于业务规模不大或业务量较少的稽查对象，以及经营管理和财务管理混乱、存在严重问题的稽查对象和一些特别重要项目的检查。

（一）审阅和分析原始凭证

审阅和分析原始凭证，就是按照一定的方法和程序，对原始凭证及其内容的真实性、合法性、合理性进行分析和判断，以确定其是否真实有效。

1．审查原始凭证上的要素是否齐全，手续是否完备。审查时应注意凭证上是否注明了填制单位名称、填制日期、填制人姓名、经办人签章、接受单位名称及其真实性，经济业务的内容、商品物资的数量、单价、金额等。

2．将原始凭证反映的经济业务内容与经济活动的实际情况进行比较，分析原始凭证上记录的经济内容与实际经济活动是否相符，包括原始凭证所反映的用于经济活动的货物、劳务等数量和规模，是否与企业真实经营状况一致；原始凭证记录货物或劳务的单位价值是否符合当时公允标准；货物或劳务的购入是否符合当时企业的经营需要等。

3．对比分析不同时期同类原始凭证上相关事项，查找相同事项之间的差异。如果分析发现来自同一外来单位、反映同类经济业务的原始凭证上的有关要素变动较大，又无合理解释时，则存在问题的可能性较大。

4．分析原始凭证上的有关要素。如反映的商品物资的数量及单价变动有无不合理现象，日期有无异常或涂改，出据单位的业务范围与凭证上所反映的业务内容是否相符，票据台头与受票单位是否一致、笔迹和印章是否正常、经办人的签章是否正常等等。

5．分析和比较原始凭证本身的特性。如比较票据纸面的光泽、纸张的厚度、印刷的规范性、纸质、底纹（水印）及其他防伪标记等。

6．复核原始凭证上的数量、金额合计，并对其结果进行分析比较，以判明有无问题。

（二）证证核对

证证核对，既包括原始凭证与相关原始凭证、原始凭证与原始凭证汇总表的核对，也包括记账凭证与原始凭证、记账凭证与汇总凭证之间的核对。

证证核对的方法如下：

1．将记账凭证注明的所附原始凭证的份数与实际所附的份数进行核对，以判明有无不相符的会计错弊。

2．将记账凭证上会计科目所记录的经济内容与原始凭证上所反映的经济内容进行核对，判明有无会计科目适用错误或故意错用会计科目。

3．将记账凭证所反映的数量与金额与所附原始凭证上的数量与金额合计数进行核对，以判明数量和金额是否相符。

4．将记账凭证上的制证日期与原始凭证上的日期进行核对，以判明是否存在通过入账时间的变化，人为调节会计收益和成本的现象。

5．查看记账凭证附件的规范性。一般情况下，除了结账（俗称转账）和更正错误的记账凭证外，其他所有的记账凭证都必须附有原始凭证。核对时应注意查看记账凭证有无应附而未附原始凭证的现象。

6．核对汇总记账凭证与记账凭证、科目汇总表与记账凭证。通常是按照编制汇总记账凭证和科目汇总表的方法，依据审阅无误的记账凭证由检查人员重新进行编制，将重新编制的汇总记账凭证和科目汇总表与企业原有的汇总记账凭证和科目汇总表进行对照分析，从中发现问题或线索，明确需进一步检查的重点和项目。

注意：应用证证核对法的基本前提是检查人员在审阅账户或其他会计资料时发现了疑点或线索，或有证据证明企业在某些方面存在舞弊嫌疑时，或者为了某些检查特定目的（如为了查清某些问题）的情况下，才对相关科目的账簿进行核对。

（三）账证核对

账证核对，就是将会计凭证和有关明细账、日记账或总账进行核对。通过账、证核对可以判断企业会计核算的真实性和可靠性，有助于发现并据以查证有无多记、少记或错记等会计错弊，帮助检查人员节约检查时间，简化检查过程，提高检查效率和正确性。值得注意的是，在进行账、证核对之前，首先应确定会计凭证的正确性，如果发现存在错误，必须先纠正后才能进行核对。

进行账证核对时，一般采用逆查法，即在查阅有关账户记录时，如果发现某笔经济业务的发生或记录存在疑问，可以将其与记账凭证及原始凭证进行核对，以求证是否存在会计错弊问题。

（四）账账核对

账账核对，就是将总账与相应的明细账、日记账进行有效性核对，其目的在于查明各总账科目与其所属明细账、日记账是否一致。验算总账与所属明细账、日记账的一致性是进行总账检查不可缺少的步骤。值得注意的是，在账账核对前，必须进行账簿记录正确性的审查和分析，借以发现有无不正常现象和差错舞弊行为。

通过账账核对，可以发现诸如利用存货账户直接转销的方式隐瞒销售收入的问题、在建工程耗用自产货物或外购货物未记销售或未作进项税额转出的问题、以物易物销售货物未记销售的问题等涉税问题。

进行账账核对，需要将存在对应关系账簿中的业务逐笔逐项进行核对，核对时不仅要核对金额、数量、日期、业务内容是否相符，还要核查分析所反映的经济业务是否合理、合法。

（五）账表核对

账表核对，是指将报表与有关的账簿记录相核对，包括将总账和明细账的记录与报表进行相符性核对，也包括报表与明细账、日记账之间的核对。其目的在于查明账表记录是否一致，报表之间的勾稽关系是否正常。但是，账表相符不表明不存在问题。例如，资产负债表中的成品资金占用，从理论上讲应与存货类（如库存商品、原材料等）总账余额相等，然而，即使相等也不能完全排除存在差错或舞弊行为的可能性，如对增值税应税企业而言，如果存在存货的虚进（虚假的购入）、虚出（虚假的销售）或多转销售成本等问题，都会造成成品资金占用不实，但是，这并不影响账表之间的相符性。值得注意的是，在账表核对之前，必须对报表本身进行正确性和真实性审查和判断。

（六）账实核对

账实核对，就是采用实物盘存与账面数量比较、金额计算核对的方法，核实存货的账面记录与实际库存是否一致，其目的在于查明实物是否安全、数量是否正确，实物的存在价值与账面记录是否一致相符，各种债权、债务是否确实存在。

账实核对是重要的检查方法之一。账实核对是以实物盘点与账项核对为前提和基础，既可以根据经审阅核对过的账簿记录与现存的实物进行核对，也可以根据检查人员实地盘点的结果与其账面记录进行核对。核对时，税务检查人员不仅要有计划，而且要有重点，应该将企业生产经营的主要和关键的财产物资作为盘点和核对的重点。通过核对发现的差异，还需要作进一步的核实和审查，并对产生差异的原因及可能产生的后果进行客观分析和判断，必要时，可以进行复盘。

（七）对会计年末结转数进行审查

审查会计年末余额结转数，就是对企业年末过新账的账户余额进行相符性审核，目的是防止企业利用年末过账隐瞒存在的问题，达到少缴税款的目的。审查时，主要是将上年年末会计账户余额、会计报表相关项目金额和新开账户年初余额进行比较，看是否一致，如果出现不一致的情况，应进一步查明原因。

二、逆查法

逆查法，亦称倒查法或溯源法，是指按照会计记账程序的相反方向，由报表、账簿查到凭证的一种检查方法。从检查技术上看，逆查法主要运用了审阅和分析的技术方法，在排疑的基础上根据重点和疑点，逐个进行追踪检查。逆查法主要适用于对大型企业以及内部控制制度健全、内部控制管理严格的企业的检查，但不适用于某些特别重要和危险项目的检查。

（一）审阅和分析会计报表

会计报表是总括反映纳税人一定时期经济活动和财务收支状况的书面报告。通过审阅和分析会计报表，掌握纳税人生产经营及变化情况，有利于从总体上把握纳税人在纳税方面存在的问题，以便确定稽查对象或确定账、证检查的重点。

审查、分析会计报表时应注意：

1．搜集的会计报表资料要齐全，以便进行纵向或横向比较。只有一个时期或某种报表，往往不便于分析，难以全面发现问题。

2．要搞清各种会计报表各个项目的具体核算内容，各项目数

据来源如何进行核算，以及与哪些税有关系。否则，难以通过会计报表分析出在纳税方面存在的问题。

3．要选择与税收有关的主要项目进行分析，以提高检查效率。会计报表的项目较多，但有些项目与税收无直接关系或关系不大，所以审查时应抓住与税收有关的主要项目进行分析。

4．可与实际调查研究搜集的相关纳税指标参数进行对比，以发现会计报表的各项指标有无异常问题。

（二）进行账表之间的核对，见顺查法。

（三）进行账账核对，见顺查法。

（四）审查分析有关明细账、日记账

审查分析有关明细账、日记账，并在此基础上抽查核对记账凭证及其所附的原始凭证，是运用逆查法的必经步骤。逆查法为了弥补审查分析报表的不足，还可以运用审查分析明细账的方法，借以发现问题，并通过抽查记账凭证或原始凭证，或者其他资料（如成本计算单、企业购销合同等）来澄清问题。

（五）审查分析原始凭证

对企业任何经济业务的审查，最终都离不开对原始凭证的检查，在运用逆查法查明问题发生的过程和原因时，必然要审查和分析原始凭证，借以查明问题的来龙去脉。

（六）进行账实核对，见顺查法。

三、详查法

详查法，又称精查法或详细审查法，是指对稽查对象在检查期内的所有经济活动、涉及经济业务和财务管理的部门及其经济信息资料，采取严密的审查程序，进行周详的审核检查。

详查法适用于规模较小、经济业务较少、会计核算简单、核算对象比较单一的企业，或者为了揭露重大问题而进行的专案检查，以及在整个检查过程中对某些（某类）特定项目、事项所进行的检查。因而，详查法对于管理混乱、业务复杂的企业，以及税务检查的重点项目和事项的检查十分适用，一般都能取得较为满意的效果。详查法也适用于对歇业、停业清算企业的检查。

四、抽查法

抽查法，亦称抽样检查法。一般认为它是详查法的对称，单从方法上讲，它是一种独立的检查方法。抽查法不仅在检查的基础、环境、内容上与详查法不同，而且使用的基本方法也不同。

抽查法，是指从被查总体中抽取一部分资料进行审查，再依

据抽查结果推断总体的一种方法。抽查法具体又分为两种：一是重点抽查法，即根据检查目的、要求或事先掌握的纳税人有关纳税情况，有目的地选择一部分会计资料或存货进行重点检查；二是随机抽查法，即以随机方法，选择纳税人某一特定时期或某一特定范围的会计资料或存货进行检查。

抽查法的程序为：

1．制定抽查方案，确定抽查重点

在制定抽查方案时要尽量考虑到各种因素的影响，从而使方案尽可能的与实际情况相符合。抽查方案除要确定抽查的重点以外，还包括根据不同的抽查项目制定合理的抽查路线、确定抽查的时间、人员分工、复核等。

2．确定抽查对象

抽查重点确定以后，要按照抽查的要求合理确定抽查的对象和内容。当某一抽查重点存在多个对象时，要按照重要性原则确定具体的抽查对象。

3．实施抽查

实施抽查是对抽查方案的具体落实，在实施抽查时要把握好抽查时间，以免影响企业的生产经营。在抽查实物资产时，要选择资产流动量相对较小的时候进行，以免影响抽查结果的正确性。

4．抽查结果分析

分析抽查结果，目的是根据抽查的情况判断对总体的影响程度。分析时要注意准确性、可靠性的分析。

5．确定抽查结果对总体的重要程度

根据抽查结果对总体进行推断是抽查法的目的，但抽查结果只能作为对总体判断的参考，不能作为直接的定案依据。对于抽查结果与实际情况差异比较大的，要进一步查明原因，必要时可以扩大抽查范围，或者放弃抽查结果。

五、审阅法

审阅法，是指在对稽查对象有关书面资料的内容和数据进行详细审查和研究，以发现疑点和线索，取得税务检查证据的一种检查方法。审阅法适用于所有企业经济业务的检查，尤其适合对有数据逻辑关系和核对依据内容的检查。审阅法的审查内容主要包括两个方面，一是与会计核算组织有关的会计资料，二是除了会计资料以外的其他经济信息资料以及相关资料，如一定时期的内外部审计资料、购销和加工承揽合同、车间和运输管理等方面的信息资料。

（一）会计资料的审阅

1．原始凭证的审阅。

审阅原始凭证时，应注意有无涂改或伪造的现象和痕迹，记录的经济业务是否符合会计制度的规定，是否有业务负责人的签字。具体的可以从以下方面进行审阅和核查：

（1）审阅凭证格式是否规范、要素是否完整。

（2）审阅凭证上的文字、数字是否清晰，有无挖、擦、涂、改的痕迹。对于复写的凭证应该查看反面复写字迹的颜色是否一致、均匀；对于有更正内容的凭证，应该审查更正的方法是否符合规定、更正的内容是否反映了经济业务的真实情况、更正的说明是否符合逻辑等。

（3）审阅填制凭证日期与付款日期是否相近，付款与经济业务是否存在必然联系。

（4）审阅填制凭证的单位是否确实存在，以防止利用已经合并、撤销单位的作废凭证作为支付凭据，冒领、乱支成本、费用。

（5）审阅凭证的台头是否为稽查对象。

（6）审阅凭证的审批传递是否符合规定，相关责任人员是否已按规定办理了必要的签章手续。

（7）审阅收款、付款原始凭证是否加盖财务公章或收讫、付讫印鉴。

（8）审阅凭证所反映的经济业务内容是否合法、合规、合理。对这一类内容的审阅主要表现在支付性费用上面。

（9）稽查对象自制的凭证如果已交其他单位，应审阅其存根是否连续编号，存根上的书写是否正常、流畅。

（10）自制凭证的印刷是否经过审批，保管、领用有无手续。对这一类内容的审阅重点应放在自制和外购收据的使用和保管上，必要时可以采用限定定额法、最低（平均）消耗（成本或费用）定额法等方法测算稽查对象的应税收入或收益。

（二）记账凭证的审阅

审阅记账凭证时，应重点审查企业的会计处理是否符合《企业会计准则》及国家统一会计制度的规定，将审阅过的原始凭证与记账凭证上的会计科目、明细科目、金额对照观察，分析其是否真实反映了实际情况，有无错弊、掩饰的情形，记账凭证上编制、复核、记账、审批等签字是否齐全。

（三）账簿的审阅

审阅会计账簿，包括审阅稽查对象据以入账的原始凭证是否齐全完备，账簿记载的有关内容与原始凭证的记载是否一致，会计分录的编制或账户的运用是否恰当，货币收支的金额是否正常，成本核算是否符合国家有关财务会计制度的规定，是否符合检查目标的其他要求（如税金核算的正确性要求、税金的增减与企业经营能力变化的关系）等。

对账簿的审阅除了审阅总账与明细账、账簿与凭证的记录是否相符以外，重点应审阅明细分类账。

1．明细分类账记载的经济业务的内容是否合法、合规，有无将不应列支的成本、费用采取弄虚作假、巧立名目的手段记入成本、费用类科目核算的情况。2．账簿记录的小计数和合计数是否与发生数相符，借贷方登记的方向是否有误，是否登错栏目或栏次。3．账簿记录摘要栏所记载的内容是否真实，有无例外情况。4．账簿启用、期初、期末余额的结转、承前页、转下页、月结和年结是否符合会计制度的规定，是否存在利用年度过账的机会故意篡改结存余额数字的情况，账簿应登记的内容是否已按要求登记，是否根据更正错账的方法更正错账等。

（四）会计报表的审阅

审阅会计报表时不能仅仅局限于对资料本身的评价，更主要的是对资料所反映的经济活动过程和结果做出正确判断或评价。具体审阅方法见逆查法。

（五）其他会计资料的审阅。

对于会计资料以外的其他资料进行审阅，一般是为了获取进一步的信息。在实际工作中到底要审阅哪些其他方面的资料，则应视检查时的具体情况而定。根据工作需要可以审查以下几个方面的资料：

1．经济合同、加工收发记录、托运记录、产品或货物经营的计划资料，生产、经营的预算、统计资料等。审阅时要特别注意这些资料反映的内容是否真实、合法、合规、合理。2．对于计划、预算，除了审阅计划、预算本身的合法、合规、合理性外，还可以联系计划、预算执行情况和记录以及会计资料进行审阅。3．对于时间的逻辑关系，审核资料所反映的日期与经济业务发生日期、会计核算记录的日期是否存在前后矛盾的情况。4．企业一定时期的审计报告、资产评估报告、税务处理处罚决定等资料。5．有关

法规文件、内部控制制度、各类与生产、经营有关的协议书和委托书、考勤记录、生产记录、各种消耗定额（包括产品的行业单位消耗定额）、出车运输记录、税务机关的审批文件等。

六、核对法

核对法，是指对书面资料的相关记录，或是对书面资料的记录和实物进行相互核对，以验证其是否相符的一种检查技术方法。

核对法作为一种检查方法，在检查过程中用于证实有关资料之间是否相符是有一定限度的，在采用核对法对稽查对象的会计资料或其他资料进行核对和验证时，必须相应结合其他检查技术方法的运用，才能达到检查目标的要求。

（一）会计资料之间的相互核对

会计资料的核对，是核对法最基本，也是最核心的内容和步骤。通过会计资料之间的核对，可以发现会计核算过程中的疑点和问题的线索，有助于进一步拓展检查思路和方向。

1．证证核对：见顺查法。2．账证核对，见顺查法。

3．账账核对，见顺查法。4．账表核对，见顺查法。

5．表表核对。

表表核对，是指报表之间的核对。这里所称的报表，包括税务机关要求报送的各种纳税申报表及其附表。表表核对既包括不同报表之间具有勾稽关系项目的核对，又包括同一报表中有关项目的核对。

表表核对的重点是核对本期报表与上期报表之间有关项目是否一致，核对静态报表与动态报表之间有关项目是否相符，核对主表与附表的有关项目是否相符。通过表表核对，可以发现各报表之间有无不正常关系，相应的勾稽关系是否正常和存在，从而查证企业是否存在会计错弊，同时，也可以据以分析企业经营状况与财务状况。

（二）会计资料与其他资料之间的核对

通过查证和核对与经济业务相关联的其他资料，对会计记录进行必要的说明和补充，以全面、正确、客观反映经济业务的实质。

1．核对账单

核对账单，是指将有关账面记录与第三方的对账单进行核对，查明是否一致。比如，将企业的银行存款日记账与银行提供的对

账单进行核对；将应收或应付账款与外部其他企业提供的对账单进行核对等。

2．核对其他原始记录

核对其他原始记录，是指将会计资料与其相关的其他原始记录进行相互核对，以查证会计记录是否正确、真实。原始记录包括核准执行某项业务的文件、生产记录、实物的出入库记录、托运记录、出车记录、非生产性水、电、煤、物料消耗记录、在册职工名册、考勤记录以及有关人员的公务信函等。

3．核对审计报告

核对审计报告，是指将会计资料和其他资料与企业一定时期的审计报告（包括内部审计报告）进行核对，查明审计报告所披露的相关财务和涉税问题是否已在会计核算或会计报表中得到充分而正确的反映。充分分析和运用企业现有的审计报告，对于分析和发现企业可能存在的涉税问题具有十分重要的作用。

4．核对税务处理决定

核对税务处理决定，是指将会计资料和其他资料与企业某一时期接受税务检查的税务处理决定进行核对，以确定企业是否已经按照税务处理决定的要求进行了相应的会计处理，并对违法行为进行了纠正。

（三）账实核对（见顺查法）

第二节分析法

分析法，是指运用不同的分析技术，对与企业会计资料有内在联系的财务和管理信息，以及税收核算情况进行系统或有重点的审核和分析，以确定涉税线索和疑点，并进行追踪检查的一种方法。常用的包括控制计算法、比较分析法、推理分析法、技术经济分析法、经济活动分析法、因素分析法和趋势分析法等方法。本节重点介绍控制计算法、比较分析法和相关分析法的有关内容。

一、控制计算法

控制计算法，又称数学计算法或平衡分析法，是指运用可靠的或科学测定的数据，利用数学等式原理来推测、证实账面资料是否正确，从而发现问题的一种检查方法。常用的方法有：以产控耗、以耗控产、以产控销、以支控销等。

（一）控制计算法的基本程序

1．确定需要进行分析的事项或目标

需要进行分析的事项和目标，是指检查人员在检查过程中根

据检查目的和要求，以求证某些事项是否客观存在并正确的实际事件。如分析税收负担率的实际情况时，必须将企业一定时期履行纳税义务的具体事项确定下来，而这一具体事项可以是企业全部经营的税收负担率，也可以是增值税税收负担率，或者是所得税税收负担率。

2．确定事项分析的参考数据和采集进行事项分析的数据需要进行分析的事项或目标一经确定，就必须根据被分析事项的特征，确定相应的参数，同时采集供分析实体的相关数据。确定事项分析的参考数据，可以是企业同期比较值，也可以是行业平均值。如分析税收负担率时，必须获得企业同期比较值，或者行业平均值，同时，采集具有可比性的相关数据。

3．建立事项分析的数学模型

建立数学模型，是控制计算法的基本条件。对同一事项进行分析比较可以有多种不同的方法，也可以建立多种数学分析模型。如在分析企业增值税税收负担率时，为了求得销售对进项税额影响的足够支持，以一定时期企业实际缴纳的增值税和同期实现的销售收入为基本依据，考虑和分析同期存货购入、结存以及销售变动对进项税额的影响。这样，建立的数学模型更能反映企业真实的增值税税收负担率，更易于发现问题。

4．数据分析结果比较

建立数学模型，是正确运用控制计算法的关键。根据控制计算法所得到的数据，与企业实际数据进行比较而出现的差异，需要通过进一步检查和核实才能确定是否对税收构成实际影响。

（二）运用控制计算法应注意的问题

1．需要进行分析的事项或目标必须首先进行复核，确保其正确并符合会计核算原理。

2．需要进行分析的事项或目标，必须是可以建立事项分析的数学模型，即关键在于确定分析事项或目标之间是否存在内在的依存关系，如果不存在相互依存关系，运用控制计算法进行审查不可能达到预期目标。

3．运用控制计算法的目的，是为了检查和发现企业经济活动的不平衡状况，以帮助检查人员进一步发现涉税问题。因此，多数情况是对有关指标进行计算和测定，这就要求用于计算和测定的数学模型（关系公式）必须具有充分的科学性，计算过程也要进行认真演算和复核，以防结果有误，导致分析判断失误，影响检查结论的正确性。

4．为了提高控制计算法运用的正确性和工作效率，在确定进行审查前，检查人员必须了解企业生产经营常识和被审查事项或目标的特点和内在关系，掌握企业会计核算过程和规律，否则很难达到预期目的。

二、比较分析法

比较分析法，是指将企业会计资料中的有关项目和数据，在相关的时期之间、指标之间、企业之间及地区或行业之间进行静态或动态对比分析，从中发现问题，获取检查线索的一种分析方法。比较分析法的种类较多，常用的有绝对数比较分析法、相关比率比较分析法、构成比率比较分析法。

（一）绝对数比较分析法

绝对数比较分析法，是指通过经济指标绝对数的直接比较分析来衡量企业经济活动的成果和差异的方法。

绝对数比较，是通过对有关联关系的有关事项之间的总量或货币总额（数量或金额）进行对比，揭示和发现二者或多者之间存在的差异，并根据这些差异进行对比后判断问题的性质和程度。例如，对企业各个不同时期的货物运输费用或销售收入进行对比，对各个不同时期的库存商品（存货）的购销存数量进行对比，都属于绝对数比较分析。通过这种对比，可以揭示被查事项的增减变动是否正常，是否符合经营和核算常规，从而发现存在的问题。

在税务检查过程中，绝对数比较分析法适用于对资产负债表、损益表等会计报表中相关项目真实性的核查，以及成本计算表（单）、纳税申报表、有关账户余额和有关明细账户特定项目的检查。当这些项目的增减变动超出了正常的变化幅度和曲线值时，便可以认为这种变动存在某种涉税疑点或问题。

（二）相关比率比较分析法

相关比率比较分析法，又称相对数比较分析法，是指利用会计资料中有关两个内容不同但又相关的经济指标求出新的指标比率，再与这种指标的计划比率或上期比率进行比较分析，以观察其性质和大小，从而发现异常情况的方法。

相关比率比较法，是通过计算被查项目的百分比、比率或比值结构等相对数指标的比较，揭示其中存在的差异，并对这些差异进行对比，以判断问题的性质和程度。例如应收账款周转率、存货结构、税收负担率、存货（运输）费用比率等指标的计算与对比，就属于相关比率比较分析。

在税务检查中，有时运用相关比率比较分析法比绝对数比较分析法更容易发现问题。比如，检查人员在运用绝对数比较分析法对被查项目进行分析后，为了确保分析判断的客观和正确，可以运用相关比率分析法予以验证。

（三）构成比率比较分析法

构成比率比较分析法，是指通过计算某项经济指标的各个组成部分占总体的比重，分析其构成内容的变化，从中发现异常变化和升降情况的方法。

构成比率比较分析法，是通过有关联关系的经济指标各组成部分所占比率的计算，确定各组成部分的重要性是否符合常规，从而发现企业的涉税问题。比如，通过对企业外购货物构成比率是否与销售货物和期末存货的构成比率具有同一性的计算分析，可以发现企业是否存在虚假进货或隐瞒销售收入的情况。

（四）运用比较分析法应注意的问题

1．比较分析之前，应对用于对比分析的被查项目的有关资料所涉及内容的正确性予以确认，即企业提供和检查人员检查提取用于对比分析的数据资料在内容上是真实的，取数上是正确的。

2．运用对比分析的各项目之间必须具有可比性。可比性，是指进行相互比较的有关项目应该是同质（同一核算内容、范围、项目）、同一比较周期、同一价值取向（同一计算方法和计算依据）的，否则，各项目就失去了对比条件，比较的结果也就失去了价值。

3．比较的内容是由比较的目的确定的，而且这种目的是预置的，不是随机的。也就是说，在进行比较之前，首先必须明确需要比较的项目、内容以及所要达到的目的。不同的比较目的，数据的采集方向和运用的比较分析方法也是不同的。

4．比较分析的差异，只是一种抽象的、相对的检查结果，要在检查结论中予以采纳，还必须经过分析、验证和核实。

三、相关分析法

相关分析法，是指将存在关联关系的被查项目进行对比，揭示其中的差异，并且判明经济业务可能存在问题的一种分析方法。对于稽查对象而言，一项经济业务的发生，必然会引起一连串相关活动的变动，这既是由经济活动的相关性所决定的，同时，也是由经济活动的规律所决定的。相关分析法的基本程序是：

（一）分析判断经济活动是否涉及税务关系

企业的经济活动有些会涉及税收关系，有些不一定涉及税收关系；有些是在经济活动发生时就与税收相联系，而有些是在经济活动发生以后的一定时期内相联系。运用相关分析法进行涉税问题的检查时，首先必须分析企业的经济活动是否构成，或者将要构成税收关系。

（二）分析判断经济活动涉及的关联关系

分析经济活动涉及的关联关系，主要是分析经济活动事项之间在哪些方面有关联，属于什么关联，关联的程度如何。税务检查重点关注的是直接与税收相关联的事项，但是不能忽略或漠视间接与税收相关联的事项，而是要抓住主要矛盾和主要问题。

（三）找出经济活动事项之间的关联

一项经济业务，如果客观上肯定与税收相联系，而在会计处理上并不反映税收关系，也就是说经济活动事项之间并不表现为这种关联，那么必然存在税收问题。找出经济活动事项之间的关联，是运用相关分析法的关键，否则会导致分析后不能揭示出差异，或出现判断失误。

（四）从相关事项的异常现象中把握问题的本质

对经济活动事项分析的结果，只是提供了一个抽象的判断，是否确实存在税收问题，需要从异常现象中把握实质，并在检查中得到验证。因为，并不是所有的异常现象都构成税收问题，有些异常现象是无意中的笔误或疏忽造成的，可能构成税收问题，也可能并不构成税收问题。

第三节调查方法

调查方法，是指在税务检查过程中，采用观察、查询、外部调查等方法，对稽查对象与税收有关的经营情况、营销策略、财务管理等进行检查、核实的方法的总称。根据被调查对象和调查目的的不同，调查方法可分为观察法、查询法、外调法、盘存法。

一、观察法

观察法，是指检查人员通过深入检查现场，如车间、仓库（包括外部仓库）、营业场所以及基建工地等，对被查事项或需要核实的事项进行实地视察和了解，考察企业产、供、销、运各环节的内部管理状况，控制程序和各方面的实际情况，从中发现薄弱环节和存在的问题，获取相关证据的一种方法。

（一）制定调查方案

在实施观察调查以前，应全面了解稽查对象的生产经营情况和财务管理现状以及生产经营规模、组织管理结构、财务资料存放地、仓

库设置、计算机服务器等情况，制定调查方案，明确调查采用的主要方法、程序、组织和人员配备、实施的时间、被调查的重点部门和内容。

实地调查计划的主要内容包括：

1.根据工作量安排检查人员数量。

2.明确检查人员组织分工和每个人的任务，如对生产车间、财务部门、出库实施检查的人数，对人员进行分工。

3.制定应急措施。准备好提取证据的文书，如调取账簿通知书、清单、调取证据收据等，必要时携带录像、录音等有关设备。

（二）落实调查方案

按照既定方案，合理分配人员，对确定的重点观察部门和项目进行调查，除对账务检查中发现的问题和存在的疑点进行一一核实之外，对企业在注册地和核算地以外拥有的厂房、储存的物资，以及外借的生产经营场地等，也要予以核实和确认。

（三）比较观察结果

将采用观察法调查的结果，与通过账务检查发现的问题和的疑点进行比较分析，去伪存真，逐项进行落实，对通过比较发现的差异要进一步查明原因。

（四）收集和固定证据

对通过调查核实的问题，要及时采集和固定证据。对一时难以获得有效证据的要收集其他辅佐证据，作为违法疑点暂予固定，同时，进一步进行查证，待获取有效证据后作最终认定。

二、查询法

查询法，是指对审查过程发现的疑点和问题，通过调查和询问的方式，证实某些问题或取得必要的资料，以帮助进一步检查的一种调查方法。根据查询方式的不同，查询法可以分为面询法、函询法。

（一）面询法

面询法，又称询问法，是由检查人员向有关人员当面了解、核实情况的一种检查方法。

1．拟订需要询问的内容和问题

在面询前，检查人员必须根据账务检查发现的疑点和问题，以及询问所要达到的目的，拟订询问的详细内容和问题。2．发出询问通知作好询问准备后，适时发出询问通知。对询问时间、地点的选择要适当，尽量保证被询问人能在规定的时间内到场接受调查。

3．进行询问

询问时要注意以下几点：（1）选择适当的询问地点。询问地点可以选择在企业或税务机关，也可以根据被询问人的要求，在可能的情况下选择在双方认可的地点。选择的询问地点应能够避免外部因素的干扰。（2）营造恰当的询问气氛。检查人员进行询问调查时，被询问人和询问人应处在平等的地位上，营造和谐、轻松的询问气氛，使询问调查顺利进行。（3）选择适当的询问内容。询问时由于询问的环境、对象、情况等的变化，需要对询问前拟订的询问内容作适当的筛选和调整，选择最重要和关键的问题进行询问，对于通过其他途径能够获得的证据，不一定作为询问的内容。（4）灵活运用询问技巧。询问中，检查人员要善于运用各种询问技巧，采用多种设问技术，可以采取巧设问、指证、开门见山、傍敲侧击等策略，掌握询问的主动权。（5）详细记录询问内容。询问过程中，要由专人对询问的问题和被询问人的回答进行详细的记录，询问结束要将询问记录交由被询问人核对，被询问人不识字或者难以阅读的，可由记录人员进行宣读，记录有误的，要请被询问人复述有关内容，修改之处经被询问人核实无误后，加盖被询问人印章或手印。询问记录经被询问人核对无误的，由被询问人签字或按印，或者请被询问人当场提供书面证实材料，作为检查的依据；如果采用集体询问方式的，参加集体询问的所有人员均要在询问记录上签字。

4．核实询问结果

虽然面询法比较直接，但是，通过面询法获取的单一言词证据不能作为定案的依据。询问结束，要善于辨别真伪，对询问获得的言词证据和信息，要进行严格的核实，尤其是就同一事项（或问题）对同一人进行多次询问，多次询问的结果出现交叉或不同结果时，应作进一步的求证，只有在检查属实的情况下，言词证据才能作为证据予以固定和采纳。

（二）函询法

函询法，亦称询证法，是指根据检查需要，按照既定的函件格式，提出需要询证的问题或事项并制作成函件，寄给有关单位或人员，根据对方的回答来获取有关资料，或者求证某些问题是否存在和存在程度的一种检查方法。

在制作并发出询证函时，要注意函证过程的安全，保证函证的效果。对已收到的回函及附带的证据材料，在经过分析、鉴别后确认为真实可靠的，应作为检查证据予以固定，所有的函件都要记入税务检查工作底稿，对回函结果不满意的，也应在底稿中说明。同时，在税务检查报告中还要详细说明采用该回函作为证据的原因和依据，

对于不采用的回函，涉及到重大涉税问题函证的，也要作必要的说明。

三、外调法

外调法，是指对有疑点的凭证、账项记录或者其他经济业务，通过派出检查人员到稽查对象以外、与该项业务相联系的单位（或个人）的实地调查，或者委托发生地税务机关协查，以取得问题证据的一种检查方法。外调法主要用于外部证据的核实或取证。外调包括函调和派人外调。

根据检查的需要和外调的目的，确定外调的重点和内容，适当调配外调人员，保证外调工作的有效性。外调过程中获取的信息和材料，要进行适当的分类和分析，去伪存真，证据材料要注意印章齐全、内容具体。外调结束后，根据外调的结果及时组成案卷材料，并予以正确定性，为检查处理作好准备。委托对方税务机关调查的，获取的证据不仅要得到被调查单位的认可，同时要附对方税务机关的鉴定结论和说明。

四、盘存法

盘存法，是指通过对货币资产和实物资产的盘点与清查来确定其形态、数量、价值、权属等是否与账簿记录相符的一种检查方法。根据盘存的目的、做法、范围的不同，盘存法可以分为实地盘存法和其他盘存法（包括数学盘存法、账面盘存法、委托盘存法、全面盘存法等），下面重点介绍实地盘存法。

（一）实地盘存法实施程序

1.制定盘点计划，落实盘点责任

根据检查工作需要，对稽查对象进行实物盘点前要制定严格的盘点计划，明确盘点的时间、重点、要求、组织、人员配备，以及盘点的方式等。由于参与盘点的人员较多，也可借助企业人员进行盘点。对不同对象同时进行的的盘点，要求结束盘点的时间基本一致，而且要严格落实初盘和复盘时参与人员的责任。

2.实施盘点前的准备

（1）确定需要盘点的实物。如果稽查对象的实物种类繁多，不能进行全面盘点，可以根据检查确定的盘点重点，结合审查项目的具体情况，在盘点过程中作相应的调整。（2）计算一定时期的（如季度、月度）毛利率，并同以前年度或在各季、各月之间按照不同的生产经营项目或产品进行比较，检查期末存货价值是否存在高估或低估的情形。（3）计算季度或月度存货周转率，并同以前年度或在各季、各月之间按照不同的生产经营项目或产品

进行比较，检查是否存在存货储备过多或存在过时、呆滞存货的情形。（4）确定参加盘点的人员。在盘点成员中，至少要有两名税务检查人员、一名财务负责人和一名实物保管人，同时，还应有必要的工作人员。如果盘点的工作量大，可以分成几个盘点小组。（5）取得或编制存货明细表，通过审阅、账内复核，表、单、簿（账簿）等的核对，确定盘点日的账面结存数，如果发现存在账面记录和计算错误的进行账面调整，以保证盘点基准数的基本正确。（6）准备连续编号的实物盘点标签和盘点记录表格、检查的度量衡具。用于盘点的度量衡具，一定要经过严格的检查，对于特殊的度量衡具在使用前可以请专门的机构或部门检查并校正，以防弄虚作假导致盘点结果失真。（7）选择适当的盘点时间。盘点时间的选择，以不影响企业正常的生产经营为原则，一般选择在每天业务终了以后，或是业务开始以前。如果企业的生产经营是连续进行的，没有明显的开始或结束标志，可以选择在一次领料之后、下次领料之前进行盘点为保证存货数量的准确，盘点时各处存货应停止流动，并分类存放。（8）选择适当的盘点形式。根据检查的需要可以采用直盘法（即直接由检查人员对存在疑点的重点货物进行盘点）、监盘法（即主要由企业人员进行盘点，但盘点的组织和盘点的重点由检查人员负责，同时盘点时由检查人员监督进行）。

采用监盘形式的，税务检查人员要加强盘点现场和盘点过程的监督与管理，盘点结果要按照随机的原则进行抽盘，抽盘相符后，税务监盘人员、企业盘点人员、财务负责人、实物保管人均要在盘点记录上签字或盖章，同时要加盖稽查对象的印章。

3.进行实地盘点

对于一般货物的盘点，如果采用直接盘点形式以外的其他形式，税务检查人员主要在现场进行监督，了解工作人员是否办理了应该办理的手续，观察盘点的过程和有关物品的质量。对于特别重要的财物，检查人员除了监督、观察外，还要进行复点、复验，如现金的盘点、其他有价证券的盘点、贵重物品的盘点等。盘点人员要将实际盘点的情况（如品名、规格、性状、数量、重量、权属、质量等）一一在盘点表上作详细的记录，对实际结存的实物与实物卡片上不一致的，要作必要的说明。

某些存货，如化学制品、油品、水产品、冷冻产品、煤炭、原木等，由于其性质的特殊性，决定了难以对其进行实际盘点，这就要求检查人员运用一些非常规的创造性的方法验证存货的数量，如使用照相测量、单位面积数量推算、标尺测量、聘请专家

等。

4.确定盘点结果

盘点结束后，要对盘点明细表、汇总表进行复核，对尚未入账但已入库、发出的实物数量等进行调整，并与账面记录进行核对，对存在差异的向有关人员了解差异产生的原因，并作进一步的核实。

在具体运用盘存法时，应特别注意以下几点：（1）盘点结果确定后，应由所有在场人员（包括实物保管员、企业财务负责人、检查人员）在盘点表上签字，以明确责任。（2）采用监盘形式的，盘点工作结束后，检查人员应根据盘点情况，撰写盘点备忘录。备忘录的内容包括：企业偏离盘点计划的有关情况，抽查盘点的范围和发现的重要差异事项，有关盘点正确性和存货一般状态的结论，其他重大问题（3）注意任何性质的白条都不能用来冲抵库存实物。

5.评估盘点差异，分析差异原因根据盘点结果，推算出资产负债表

日的存货数量，与账面记录进行核对，分析账实是否相符，是否存在差异以及差异产生的原因。

6.检查认定差异，提出处理建议根据盘点结果，对存在差异以及差

异较大的存货，详细分析形成差异的主要原因，针对稽查对象提供的差异说明，结合盘点过程中发现的疑点进行检查和验证。

（二）采用盘存法应注意的问题

1.注意盘点方式的运用

盘点时应尽量采用突击盘点的方式，特别是对稽查对象重要的实物资产，或是存在重大税收疑点的实物资产进行检查时，更应注意突击盘点方式的运用。

实施突击盘点能取得攻其不备的效果，为保证这一效果，对同类实物资产的盘点应实施同步检查，对不能同步盘点的，应采取封存等暂时的保全方法，事后再进行盘点和比较。

2.使用临盘法时要加强监督在实物资产的盘点中，由于工作量大，同时受到专业技术、管理责任和工作效率的影响，税务检查人员常常采用临盘法完成对稽查对象实物资产的检查。

税务检查人员要与稽查对象有关人员商议盘点的计划、组织准备和分工，由检查人员提出盘点清单，交稽查对象执行，同时静观其反应，对稽查对象反应强烈或冷淡的盘点对象（实物资产），检查人员要特别注意盘查和监督。在监督盘点中发现异常的实物资产，而稽查对象又有意回避或企图转移视线的，应及时改为检

查人员亲自盘点。监督盘点应有所侧重，对重要的物资、容易出现问题的物资以及存在重大涉税嫌疑的物资，要严格监督盘点过程，盘点结束后要适当抽样复盘，对一般的实物资产可适当放宽盘点的要求和监督程序。

3.充分考虑盘点资产的特点盘点不仅要清点实物，而且还要检查与其相关的其他物件，如白条、票据、其他抵押物等，这些物品往往与实物资产的变动相关。因此，在对实物资产进行盘点的过程中，检查人员要注意分析取证，发现异常的，要弄清事由，鉴别真伪；对实物资产的查证不仅要检查其数量、价值，还要判定其权属、质量和流动方向；对实物资产的权属要充分考虑其实物流、发票流、结算流、运输流和仓储流是否一致。

4.选择适当的盘点时间在选择盘点时间上，一是要考虑稽查对象的生产经营需要，以不影响正常的生产经营为基本点；二是要考虑盘点的正确性需要，以不影响有效盘点的连续性为基本点；三是要考虑盘点的效率需要，以结合企业正常盘点为基本点。因此，盘点的时间一般选择在上班前或下班后，或者选择在两次领料的中间进行。

5.有效组合盘点人员实物资产盘点必须由检查人员主导。参加盘点的人选最好要有两名以上的税务检查人员，至少要有一位稽查对象的财务人员、实物资产的保管人员，但是不宜让稽查对象安排过多人员介入。

对于实物资产众多、需要盘点的实物保管地又较多的企业，可以组成多个盘点小组，同时在不同的实物保管地进行盘点，每一个盘点小组至少要有一名税务检查人员监督盘点。检查人员亲自盘点时，稽查对象的有关人员可以适当参与协作，如负责被盘点实物资产的整理、盘点数量的二次复核、盘点的报盘记录等；在采用监盘方法时，检查人员应清楚盘点的程序，监督企业严格按照既定的盘点程序执行，任何改变程序、减少工作环节的举动，检查人员都应稽查对象的有关人员做出合理解释或说明。

6.正确调整盘点结果无论采用何种盘存方法，盘点结果只能反映盘点日当天的实物存在状态，而盘点日与被查所属日期大多数情况下是不一致的，因而，在被查账簿记录所属日期与盘点日不一致时，还应采用一定的方法进行调整，计算出被查账簿记录当日实际应有的实物数量，再与被查账簿记录进行核对，分析账实是否相符。调整时一般采用如下公式：

被查日账面应存数=盘点日账面应存数+被查日至盘点日发出数-被查日至盘点日收入数

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

数值计算方法大作业

目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）

1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）

计算方法与软件应用1

数学计算方法与软件的工程应用 第一章 MATLAB 软件基础介绍 MATLAB 是Matrix Laboratory （矩阵实验室）的缩写，最初是专门用于处理矩阵计算的软件。目前，它是集计算、可视化及编程等功能于一身的一个最流行的数学软件。其特点是： 1、功能强大 它不仅具有强大的数值计算功能，可以处理如：矩阵计算、微积分运算、各种方程的求 解、插值和拟合计算、完成各种统计和优化问题，最新的版本甚至可以进行数字图象处理、小波分析等；同时它还有方便的画图功能和完善的图形可视化功能。 2、使用方便 MATLAB 语言灵活，它将编译、连接和执行融为一体，是一种演算式语言。与其他语言不同，在MATLAB 中各种变量不需先说明变量的数据类型或定义向量或矩阵变量的维数。此外，MATLAB 的帮助系统使用也十分方便，用户可以通过演示和示例学习如何使用该软件。 3、编程容易效率高 MATLAB 具有结构化的控制语句，又具有面向对象的编程特性。它允许用户以数学形式的语言编程，比其他语言更接近书写计算公式的思维方式。MATLAB 程序文件是文本文件，它的编写和修改可以用任何字处理软件进行，程序调试也非常方便。 4、扩充能力强 MATLAB 软件是一个开放的系统，除内部函数外它的其他函数的源程序都是可以修改的；同时，用户自行编写的程序和开发的工具箱可以象库函数一样任意调用。MATLAB 也可以方便地与FORTRAN 、C 等语言进行对接，实现不同语言编写的程序、子程序之间的相互调用。 本章主要介绍MATLAB 的基础应用，在后面的各个部分中，我们将详细介绍MATLAB 在这一部分的调用，编程或计算。 一、数据和变量 1、表达式 在命令窗口做一些简单的计算，就如同使用一个功能强大的计算器，使用变量无须预先 定义类型。如 设球的半径为2=r ，求球的体积3 3 4r V π= ，则在命令窗口中输入：

数值分析第1章习题

一 选择题(55分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解,时,, m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算 B.计算 C.计算 D.计算 解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A． B. C. D. 解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为 二 填空题：(75分=35分)

1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。(有效数字) 解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当时, ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设 =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算） 解：因为，， 4.算法的计算代价是由 时间复杂度 和 空间复杂度 来衡量的。(算法的复杂度) 5.设的相对误差为2%，则的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差） 解：， 6.设>0，的相对误差为δ，则的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差） 解：，， 7.设，则=2时的条件数为 3/2 。(条件数) 解:， 三 计算题(220分=40分) 1.要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系） 解：设取n位有效数字,由定理由于知=4所以要使相对误差限小于0.1%,则，只要取n-1=3即n=4。所以的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。 2.已测得某场地长的值为，宽d的值为，已知试求面积的绝对误差限和

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值计算方法第一章

第一章 绪 论 本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题． §1.1 引 言 计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。 由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括 (1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法； (3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等 从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关． 计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差． 我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断， 从而产生截断误差． 如 +++=! 21 !111e 的计算是无穷过程，当用 ! 1 !21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了 截断误差e e n -．

计算方法作业第一章

习题二 1. 用二分法求方程0134=+-x x 在区间【0.3,0.4】内的根，要求误差不超过2102 1-?。 3.方程0123=--x x 在1.5附近有根，把方程写成4种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）231x x +=，32 11n n x x +=+ （2）211x x + =，=+1n x 211n x + （3）1 1 2 -= x x ，=+1n x 1 1-n x

（4）132-=x x ，= +1n x 13-n x 4.用迭代法求02.05 =--x x 的正根，要求准确到小数点后第5位 解：迭代公式:512.0+=+x x n 7.用迭代-加速公式求方程x e x -=在x=0.5附近的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：x n e x -+=1，n n x q q x q x ---= +1111 8用埃特金加速法求方程13 -=x x 在区间【1,1.5】内的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：13 1-=+x x n ，13 12-=++n n x x ，n n n n n n n x x x x x x x +--= ++-++122 1 212

9.用牛顿法求方程0133=--x x 在20=x 附近的根，要求准确到小数点后第3位 解：迭代公式：3 31 32 31 ----=+n n n n n x x x x x 11.分别用单点和双点弦截法求方程013 =--x x 在【1,1.5】内的根，要求 51102 1 ||-+?≤ -n n x x 解：单点：)111() 111()1(1 13 1--------- =+n n n n x x x x 双点：)1() 1()1(3 13 1311--------- =---+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x

计算方法第一章习题

第一章习题 2．按四舍五入原则，将下列各数舍入成5位有效数字： 816．9567 6。000015 17。32250 1．235651 93。18213 0。01523623 答案：816。96 6。0000 17。323 1．2357 93。182 0。015236 3．下列各数是按四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？ 81．897 0。00813 6。32005 0。1800 答案：5 3 6 4 4．若1/4用0。25来表示，问有多少位有效数字？ 答案：任意多位 5．若a=1.1062 , b=0.947 是经过舍入后得到的近似值，问：a+b, ab 各有几位有效数字？ 答案：3 ， 3 因为45110211021--?=?= da 33102 11021--?=?=db 31234102 1102110211021)(----?=?≤?+?=+=+db da b a d 4)15(102110121---?=??=a d r ，2)13(1018 110921---?=??=b d r 22410181101811021)(---?≈?+?=+=b d a d ab d r r r 6．设y 1=0.9863, y 2=0.0062是经过舍入后作为x 1和x 2的近似值，求1/y 1和1/y 2的计算值与真值的相对误差限及y 1y 2和真值的相对误差限。 答案： 53)14()1(*1*111*11*1*11*11*1*1 1106.51018 110921102111 11------?=?=??=?≤-=-=-=-n y y y y y y y y y y y y y y α也可用5)14(111 121111106.5109 21111)1(1---?=??====y dy y dy y y y d y d r 同理 31)12()1(*2*22*2*2 2103.81012 11062110211 11------?=?=??=?≤-==-n y y y y y y α 3 35*2*22)1*11*2*1*2*12*12*121*2*1*2 *121104.8103.8106.5---?≈?+?≤-+-=-+-=-y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。 * * e* x * _x 解：近似值x*的相对误差为:.=e* x* x* 1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e* x* 进而有；(ln x*)::. 2?设x的相对误差为2%求x n的相对误差。 解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1 n A. x nx . 又7 f '(x)= nx n」C p |=n n 又；；r((x*) n) ： C p ；,x*) 且e r (x*)为2 .；r((x*)n) 0.02 n 3 ?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0. 解：x；=1.1021是五位有效数字； X2 =0.031是二位有效数字； X3 =385.6是四位有效数字； x4 = 56.430是五位有效数字； x5 -7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4. * * * * 其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:

* 1 4 ；(x-| ) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1)；(为 X 2 X 4) =；(为)亠：(x 2)亠：(x 4) =1 10 4 1 10 J 丄 10^ 2 2 2 = 1.05 10” * * * (2)(X 1X 2X 3) * * * ** * ** * X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2) 1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10 (3) XX 2/X 4) X 4 0.031 1 10” 56.430 丄 10’ 2 2 56.430 56.430 =10° 5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 =1.1021汉 0.031 汉 * 汉 10」+ 0.215

数值分析第一章作业

数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设0x >,近似值*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =-+-在2x =处的值. 11.已知近似值 1.0000x *=的误差限4()110x ε*-=?,21()16 f x x = ,求(())f x ε*,并说明x *及()f x *的各有几位有效数字. 12. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=?的数值稳定性.

数值计算方法讲义-第一章 预篇

数值计算方法讲义-第一章预篇

前言 由于计算机的普及，科学计算已成为各学科领域的一项重要工作。学习和掌握数值计算方法的基本原理及应用已成为现代科学工作者不可缺少的一个环节。 用计算机解决科学计算问题需经历几个过程：由实际问题建立数学模型，根据数学模型提出求解的数值计算方法，编出程序、上机求出结果。通过以上过程，可以看出，数值计算方法是计算机、数学和应用科学之间的桥梁，是程序设计和对数值结果进行分析的依据，是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。目前，数值计算方法已经成为理工科院校（非数学专业）硕士学位研究生的学位课。在农业科学研究中，数值计算方法已经成为不可缺少的有力工具。 学生通过本课程的学习，能掌握科学计算中常用的算法，能独立地用学过的算法编程，测试。并能解决工作中遇到的实际问题。 本教材同时也适当增加一些只供阅读，而不在课堂教授的内容，这样在规定的课时内可完成基本内容的讲授，又可以作为今后科研的参考书。 各章节要点及授课时数

2.4 弦截法 第三章解线性方程组的直接法 3.1 Gauss 消去法 3.2 矩阵的三角分解及其在解方程组中的应用 3.3 解对称正定矩阵方程组的平方根解法 3.4 解三对角方程组的追赶法 3.5 向量和矩阵的范数 3.6 方程组的性态、条件数 第四章解线性方程组的迭代法 4.1 Jacobi 迭代法 4.2 Gauss-Seidel 4.3 SQR 方法 4.4 迭代法的收敛性 4.5 共轭梯度法 4.6 最小二乘法 第五章矩阵特征值问题的计算方法 5.1 矩阵特征值问题 5.2 乘幂法和反幂法 5.3 Household方法 5.4 QR方法 第六章函数插值 6.1 Lagrange 插值 6.2 Newton 插值 6.3 等距节点的插值 6.4 Hermite 插值 6.5分段低次多项式插值 6.6 三次样条插值 第七章最佳平方逼近 7.1 正交多项式 7.2 切比雪夫多项式 7.3 曲线拟合的最小二乘法

数值分析第1章习题

(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤ =-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式19992001-时，应该改为 199920012+计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于2001和1999相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D.计算11x x +- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减，D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：51021)(-?= a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?，如果a 具有3位有效数字，则a 的相对误差限为 ()（有效数字与相对误差的关系） A ． 35103- B. 33105- C. 53105- D. 5103 -2 解：因为40.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效 数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ

计算方法 数值分析 第一章考点总结 CH.1

第一章 绪论 数值分析－研究各种数学问题求解的数值计算方法及其理论也称计算方法。 数值计算——对已知数据进行有限次四则运算得到所需的数值结果。 一般算法设计：对已知数据进行有限次四则运算和初等函数运算得到所需的数值结果。 数值—用有限位小数表示的数。 特点 以数学问题位研究对象，具有高度抽象性与严密的科学性，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性。 用计算机解决实际问题的过程大致是： 数值计算古已有之，例如 1。初等函数函数值的计算，e.g. 357 sin 3!5!7! x x x x x =-+- 2。数学模型通常表现为函数，这个函数本身需要用数值分析的方法来确定 e.g.弹性力学问题 在垂直方向分布载荷为(,)q x y 作用下，周边固定的弹性平板弯曲问题可以表示为 4444224(2)(,)(,)0,0(,)u u u D q x y x y G x x y y u u x y G n ???++=∈?????==∈?的边界 可以证明，存在唯一的函数(,)u x y 满足上述方程，(,)z u x y =就是弹性平板曲

面的方程。但是(,)?u x y = 二、误差 误差的来源： 模型误差（“理想化”产生的误差） 观测误差（对模型中某些观测得来的物理量） 方法误差—数学模型精确解与数值近似解之间的差 舍入误差 初值误差 在本课程中，我们要研究如何控制和减小方法误差，对于其他的几类误差，一般不能控制，但要考虑它们的影响。第一 误差的类型： 设x 为精确值，* x 为x 的一个近似值，则称 **e x x =- 为近似值的绝对误差 ** r e e x = 为近似值的相对误差，通常也可认为* **r e e x = *e 的一个上界*ε 称为绝对误差限，*r e 的一个上界*r ε 称为相对误差限。 *x 的误差限为某一位的半个单位， 该位到*x 的第一位非0数字共有n 位，则称*x 有n 位有效数字。 数值方法的评价标准： 收敛性：一个方法当计算步骤充分多时，近似解是否能够任意接近精确解？能：收敛；不能：发散。只有收敛的方法才有意义。e.g. Taylor 展式的收敛半径 稳定性：舍入误差是否会积累？等价地，初始值有小的误差，当计算步骤充分多时，所有的计算结果是否也只有小的误差？ 不稳定的例 误差估计的理论分析、概率估计、后验估计、数值实验。 算法设计的几条原则： 1. 除数不能太小（与被除数相比而言） 2. 防止“大吃小”

计算方法_习题第一、二章答案

第一章 误差 1 问，，7 22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？ 分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π= 592 65… 记x 1=，x 2=，x 3=7 22. 由π- x 1= 59…= 40…知 34111 10||1022 x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。 由π- x 2= 59…= 59…知 223102 1||1021--?≤-

计算方法第一章作业

1.题目 (1)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=1，计算ln2的近似值； (2)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=-1/2，计算ln2的近似值； (3)将ln (1+x)/(1-x)进行Taylor展开，经过简单运算，求出ln2的近似值； (4)比较上述三种方法的计算精度，并给出简单的解释； (5)编写一段循环程序，对于(2) (3) 两种方法，使用累加和的方法求出ln2的近似值，循环结束的条件是累加和不再变化(使用双精度进行计算)，统计累加次数并比较精度。 2.编程计算 (1) 计算结果： Out[6]: ln(1+x)的Taylor展开式； Out[7]: x=1时，ln2的近似计算结果； Out[8]:计算误差。 (2) 计算结果： Out[14]: ln(1+x)的Taylor展开式； Out[15]: x=-1/2时，ln2的近似计算结果；

Out[16]:计算误差。 (3) 计算结果： Out[22]: ln (1+x)/(1-x)的Taylor展开式； Out[23]: x=1/3时，ln2的近似计算结果； Out[24]:计算误差。 (4)比较分析 从上述三种计算结果，可以看出方法（3）计算误差最小，即计算精度：方法（1）<方法（2）<方法（3）。原因：利用泰勒公式进行数值的近似计算，根据泰勒公式： 其中是n阶泰勒公式的拉格朗日余项： 可见近似计算的误差即为。对于方法（1），方法（2） ，方法（3），可见三 种方法下的大小关系是：方法（1）>方法（2）>方法（3），所以说方法（3）的计算误 差最小。 此外，方法（3）计算结果out[22]可看出，在相同阶数的导数下，收敛速度更快，在有限的展开项中，原函数的导数收敛越快，结果越精确。 (5)方法（2）累加求和

计算方法第1章习题 - 参考答案

答案： 1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 根据绝对误差计算相对误差的公式： *2121** .0105.010 .01021 r n n m n n m a a a a a a x x x ε=?≤??≤--- (1) 05.10,0498756.10101* 11===x x 5 * * **52310975.4102 1 1012437.005.10101---?<= =?< ?=-x r εεε (2) 2* 22109901.0,990099009900.0101 1-?=== x x 5 * * **528-10055.0102 1109909900.0990100.01011---?<= =?

位效数字 ，有，位效数字或精确值 ，有位效数字，有位效数字 ，有位效数字，有2101,1021 100.54101,102 1 ,5000410159.0,1021 ,50.31410166.0,1021 ,3015.0310159.0,1021 ,0315.02*24*3*5 4*44**44*42**34*40**23*31**1-----------?=?=?=?=?==?=?==?=?==?=?==r r r r r x x x x x εεεεεεεεεε 1.3 为了使 3 1 的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? %1.010105.1333.0105.03--* *=≤=?=?≤--n n x x x ，取n=4位有效数字 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确? (1) 2 sin )2 cos(2sin )sin(ε ε ε+=-+x x x (2) )1(11arctan arctan )1arctan(11 2 ++=-+=+? +N N N N x dx N N 或2)5.0(11 ++N 三个公式计算结果比较 1e+001 9.00876529e-003 9.00876529e-003 8.98876404e-003 1e+002 9.90000987e-005 9.90000987e-005 9.89976488e-005 1e+003 9.99000001e-007 9.99000001e-007 9.98999751e-007 1e+004 9.99899998e-009 9.99900000e-009 9.99899998e-009 1e+005 9.99991042e-011 9.99990000e-011 9.99990000e-011 1e+006 1.00010961e-012 9.99999000e-013 9.99999000e-013 1e+007 1.00944643e-014 9.99999900e-015 9.99999900e-015 1e+008 -4.33680869e-019 9.99999990e-017 9.99999990e-017 1e+009 7.80625564e-017 9.99999999e-019 9.99999999e-019 1e+010 -6.94973593e-017 1.00000000e-020 1.00000000e-020 (3) x x x x x x x x x x x cos 1sin sin )cos 1(sin sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin cos 12+= +=++-=- (4) o o o o o o o 21sin 21cos 11cos 11sin 1cos 11cos 11cos 1222=-+=+-=-或 (5) +?+?+ =-9-6-3-001 .01031 1021101！ ！e (6) ) 11010(1 ln ) 11010() 11010)(11010(ln )11010ln(8 4 8 4 848484-+=-+-+--=--