随机过程2012B卷及答案
河北科技大学2012——2013 学年第一学期
《应用随机过程》试卷（B ）
学院 理学院 班级 姓名 学号
一．概念简答题（每题5分，共40分）
1.设随机变量12X ,,,n X X 相互独立且服从同一正态分布2(,)N μσ，试求
=1
1=
n
k
k X X n
∑
的分布。
2.设更新过程 {}(),0N t t ≥的更新时间距k T 的概率密度函数为2(),0t f t te t λλ-=≥ 求证：均值函数
211()(1)2
4
t
N m t t e
λλ-=-
-，并求其更新强度()t λ。
3.简述Poisson过程的随机分流定理
4.简述Markov链与Markov性质的概念
5. 简述Markov状态分解定理
6．简述HMM要解决的三个主要问题
7. 已知随机过程{}
Xω∈∞∞，其中X为随机变量，服从正态分布
(t)=Xsin t,t(-,+)
2
Nμσ。
(,)
(1)按物理结构分，(t)
X属哪一类随机过程；
(2)按概率结构分，(t)
X又属哪一类随机过程。
8．什么是时齐的独立增量过程？
1.设随机过程{}
XΦ∈，其中Φ是服从区间(0,2)π上均匀分布随机变
(t)=cos t,t T
量，试证：
（1）当{}
X t t T
∈为平稳序列。
(),
==±± 时，{}
T n n
|0,1,2,
（2）当{}
∈不是平稳过程。
X t t T
T t t
|(,)
=∈-∞+∞时，{}
(),
2. 已知随机变量Y 的密度函数为47,01
(),0,Y y y f y ?<<=??其他而且，在给定Y=y 条件
下，随机变量X 的条件密度函数为2|3,01
(|),0,X Y x x y f x y ?<<<=?
?其他
试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数(,)f x y .
3. 二阶矩过程{}(t),0t<1X ≤的相关函数为 2
121212
(t ,t )=
,0,<11-X R t t t t σ
≤
此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求12(t ,t )X R '和12(t ,t )XX R '。
4．如果(0),(1),,(),X X X n 是取整数值且相互独立的随机序列。 （1）试证{}(),0X n n ≥是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？
（2）设{}0
(),0,1,2,,()()n
i k P X n i p n Y n
X k
=====∑ ，试证{(),0}Y n n ≥是齐次马
尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。
5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg ，标准差为5kg ，若用最大载重量为5000kg 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772.
6．设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P=
11
00
22
1000
12
00
33
11
00
22
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
，试画出状态传递图，
对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。
河北科技大学2012——2013 学年第一学期
《应用随机过程》试卷（B ）答案
一．概念简答题（每题5分，共40分）
1. 设随机变量12X ,,,n X X 相互独立且服从同一正态分布2(,)N μσ，试求
=1
1
=
n
k
k X X n
∑的分布。
答:由2~(,)i X N μσ可知
22
-
2
(t)=e
,=1,2,,i
t
i t X i n σμ?
由于12X ,,,n X X 相互独立，根据特征函数的性质可得，=1
=(
)n
k k X X n
∑的特征函数
为
22
22
-
-
22
(t)=((
))=(e
)=e
i
t
t
i t i t n
n
n
X X t n
σσμμ??
上式即为正态分布2
(,
)N n
σ
μ的特征函数，所以有唯一性可知
2
=1
1
=
~(,
)n
k k X X N n
n
μ
μ∑
2．设更新过程 {}(),0N t t ≥的更新时间距k T 的概率密度函数为2(),0t f t te t λλ-=≥ 求证：均值函数211()(1)2
4
t
N m t t e
λλ-=
-
-，并求其更新强度()t λ。
答：因为更新间距~(2,)k T λΓ，故更新时刻1
~(2,)
n
n k
k T
n τλ==Γ∑ ，其概率密度函
数与分布函数分别为
21(),0(2)
()0,0n n t
t e t n f t t λτλλ--?>?
Γ=??≤? 210
(),0(2)()0,0n t n s
s e ds t n F t t λτλλ--?>?Γ=??≤?
?
21
21
1
1
()
()()()
()(2)
(21)!
n
n t t n s
s
N n n s m t F t s e
ds e
ds n n λλτ
λλλλ-∞
∞
---===
=
=
Γ-∑∑
?
?
220
1()(1)(1)2
2
2
4
t t s
s
s
s
t
t
e
e
e ds e
ds e
λλλλλλ
λ
λ----=
-=-=
-
-?
?
21()()(
(1))
2
4
t
N d d t
t m t e
dt
dt
λλλ-=
=
-
-
注：21
1
()
1()(21)!
2
n t
t
k t e e
n λλλ-∞
-==
--∑
3简述Poisson 过程的随机分流定理
答：设t N 为强度为λ的poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把他归入第二类。对i=1,2,记 ()i t N 为t 前到达的第i 类顾客数，那么
(1)
(2)
{:0},{:0}t
t
N t N t ≥≥分别为强度为p λ与（1-p ）λ的poisson 过程，而且这
两个过程相互独立。
4简述Markov 链与Markov 性质的概念
答：如果随机变量是离散的，而且对于0n ?≥及任意状态
01111001,,,,,(|,,,)(|)
n n n n n n n i j i i p j i i i p j i ξξξξξξ-+--+======= 都有 ，该随
机序列为Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。 5. 简述Markov 状态分解定理
答：(1) Markov 链的状态空间S 可惟一分解为 12S T H H =??? ，其中T 为暂态的全体，而i H 为等价常返类。
（2）若Markov 链的初分布集中在某个常返类k H 上，则此Markov 链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为k H 的不可约Markov 链。
6．简述HMM 要解决的三个主要问题
答：(1)从一段观测序列{,}k Y k m ≤及已知的模型(,,)A B λμ=出发，估计n X 的最佳值，称为解码问题。这是状态估计的问题。
(2) 从一段观测序列{,}k Y k m ≤出发，估计模型参数组(,,)A B λμ=，称为学习问
题。这是参数估计问题。
(3) 对于一个特定的观测链{,}k Y k m ≤，已知它可能是由已经学习好的若干模型之一所得的观测，要决定此观测究竟是得自于哪一个模型，这称为识别问题，就是分类问题。
7．已知随机过程{}(t)=Xsin t,t (-,+)X ω∈∞∞，其中X 为随机变量，服从正态分布
2
(,)
N μσ。
(1)按物理结构分，(t)X 属哪一类随机过程； (2)按概率结构分，(t)X 又属哪一类随机过程。
答：（1）因为随机过程(t)X 的参数空间=(-,+)T ∞∞为连续集合，而X 服从正态分布，亦在(-,+)∞∞上取值，即(t)X 的状态空间=(-,+)E ∞∞为连续集合，故此随机过程(t)X 属于参数空间为连续集，状态空间为连续集的随机过程。
（2）因为2222
(t)=(X sin t )<+i E X E ωσ??≤∞
??，所以 (t)X 为二阶矩过程。 由于X 服从正态分布， (t)X 中任意多个随机变量(t )=Xsin t ,=1,2,,i i X i n ω
的线性组合=1
=1
(t )=(t )X n
n
i i i i i i X ααω∑∑服从正态分布，故1((t ),,(t ))n X X 服从n 维正
态分布，所以{}(t)=Xsin t,t =(-,+)X T ω∈∞∞ 还是正态随机过程。 8 .什么是时齐的独立增量过程？
答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ??≤<<< 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。 二．综合题（每题10分，共60分）
1. 设随机过程{}(t)=cos t,t T X Φ∈，其中Φ是服从区间(0,2)π上均匀分布随机变量，试证：
（1）当{}|0,1,2,T n n ==±± 时，{}(),X t t T ∈为平稳序列。 （2）当{}|(,)T t t =∈-∞+∞时，{}(),X t t T ∈不是平稳过程。
证：（1）当参数空间为{}|0,1,2,T n n ==±± 时 ①[][]20
1,0
1
()cos()cos()0,02t E X t E t xt dx t ππ=?=Φ=
=?≠??
(1分)
②[][]
121212211(t ,t )=E cos()cos()cos(())cos(())2
X R t t E t t t t ΦΦ=Φ++Φ-
当120t t ==时，12(t ,t )=1X R 当1t 与2t 不全为零时，有
[]221
1212210
21
1
,0
11
(t ,t )=
cos(())cos(())22
20,0
X t t R x t t x t t dx t t ππ?-=?++-?=??-≠??
即12(t ,t )X R 只与21t t -有关。 (2分)
③21,0|()|(t,t)1,02
X t E X t R t =????==???≠?
?，即2
|()|E X t ??<+∞?? 故当{}|0,1,2,T n n ==±± 时，{}(),X t t T ∈为平稳序列。 (2分) （2）当参数空间为{}|(,)T t t =∈-∞+∞时，由于
[][]20
1,
01
()cos()cos()12sin(2),02t E X t E t xt dx t t πππ=??
=Φ=
=?≠?
??
(5分) 为t 的函数，不是常数，故当{}|(,)T t t =∈-∞+∞时，{}(),X t t T ∈不是平稳过程。
2. 已知随机变量Y 的密度函数为47,01
(),0,Y y y f y ?<<=?
?其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为2|3,01
(|),0,X Y x x y f x y ?<<<=?
?其他
试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数(,)f x y .
答：(,)f x y =42|73,01
()(|)0,Y X Y y x x y f y f x y ??<<
(5分)
=4221,01
0,y x x y ?<<
（5分）
3．二阶矩过程{}(t),0t<1X ≤的相关函数为 2
121212
(t ,t )=
,0,<11-X R t t t t σ
≤
此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求12(t ,t )X R '和12(t ,t )XX R '。 答：
2
2
2
1
12122
2
1
122
12(t ,t )=
,
(t ,t )=
(1-t t )(1-t t )
X X t t R R t t σσ????
2
2
1212123
12
12(1+t )
(t ,t )=
,0,<1(1-t t )X t R t t t t σ?
≤?
由对称性知，
2
1212
(t ,t )X R t t ?
?存在且等于
2
1221
(t ,t )X R t t ?
?，显然
在任意点
2
2
1212123
12
12(1+t )
(t ,t )=
,0,<1(1-t t )
X t R t t t t σ?
≤?{}121
2(t ,t ):0
t ,
<1≤上
连续，故12(t ,t )X R '广义二阶可微，即{}(t),0t<1X ≤是均方可微的随机过程，从而均方
连续。
[]2
2
121212123
1212(1+t )
(t ,t )=E (t )X (t )=
(t ,t )=
(1-t t )
X X t R X R t t σ'?
''?
(5分) []2
1
1212122
2
12(t ,t )=E (t )X (t )=
(t ,t )=
(1-t t )
XX X t R X R t σ'?'? (5分)
4．如果(0),(1),,(),X X X n 是取整数值且相互独立的随机序列。 （1）试证{}(),0X n n ≥是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？
（2）设{}0
(),0,1,2,,()()n
i k P X n i p n Y n
X k
=====∑ ，试证{(),0}Y n n ≥是齐次马
尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。
答：（1）(0),(1),,(),X X X n 是独立随机变量序列，故为马尔可夫过程，其状态集
{}0,1,2,E =±± ，所以()X n 是马尔可夫链。其一步转移转移概率
{}()(1)|(){(1)}ij p k P X k j X k i P X k j =+===+=与k 有关，
所以()X n 一般情况下是非齐次马尔科夫链，仅当{(1)P X k j +=与绝对时刻k 无关，即()X k 同分布时，()X n 为齐次马尔可夫链。 (5分) （2）0
()()n
k Y n X k ==
∑
为独立增量的随机过程，状态集{}0,1,2,E =±± ，故为马
尔科夫链，一步转移概率
{}()(1)|(){(1)},ij j i
p k P Y k j Y k i P X k j i p i j E -=+===+=-=∈
与绝对时间k 无关，故{(),0}Y n n ≥是齐次马尔科夫链。 (5分) 5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg ，
标准差为5kg ，若用最大载重量为5000kg 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772.
答：记i X 表示第i 箱的重量，12i = ，，，则12X ,,,,n X X 独立同分布，且
(X i E
设汽车可装m 箱符合要求，即=150000.9772
m k k P X ??
≤≥????
∑
而=1
=1
=1
=1
()=()=50m,D ()=D ()=25m m
m
m
m
k k k k k k k k E X E X X X ∑∑∑∑
根据列维中心极限定理可知
=1
-505000=m k m
k k X m P X P ??
????≤≤≈Φ????????∑∑
(5分)于是
(
0.9772Φ≥，而(2)=0.9772Φ，故
5000-50210+0m
m ≥?≤
所以
10
10
解得
2
0<<=98.0199
10
m
?
??
(5分)
即每辆车最多可装98箱。
6．设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P=
11
00
22
1000
12
00
33
11
00
22
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
，试画出状态传递图，
对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。
答：
因为对一切()
4444
1,0,01,
n
n f f
≥==<
所以从而知道状态4是非常返态。（1分）
(1)()
333333
222
2,,1,
333
n
n f f f
≥===<
时,所以从而知道状态3也是非常返态。（1分）
而(1)(2)
111111
11
1,
22
f f f
=+=+=（2分）
(1)(2)2
222222
...01/21/2...1,
f f f
=++=+++=（2分）所以状态1和状态2都是常返态。又由于
()
111
1
113
12,
222
n
n
nf
μ
∞
=
==?+?=<+∞
∑（2分）
()
2222
1
11
1023...3,
22
n
n
nf
μ
∞
=
==?+?+?+=<+∞
∑而其周期均为1，故状态1与状态2是正常返态，且为遍历态。（2分）
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
(完整版)答案应用随机过程a
山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？
答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p --------------------------------------装----------------------------------------订 ---------------------------------------线-------------------------------------- 第 - 1 - 页 共 -3- 页 2005-2006学年秋季学期《 随机分析 》课程期末考试试题B 说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。学生可随身携带计算器。 一、填空题（每小题3分，共计10×3＝30分） 1）随机变量()2~,X N μδ，则其矩母函数()=t g 。 2）(){}0,≥t t N 为以参数2=λ的Possion 过程，则()()}{=2211＝且＝N N P 。 3）设Poisson 过程(){}0,≥t t N 的强度为3，n X 表示过程第1-n 次与第n 次事件的 时间间隔，则}{=n X E ， }{=n X D 。 4）设某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的Poisson 过程，订阅1年、2年、3年的概率分别21， 31和6 1，且相互独立。订阅一年时，可得1元手续费。以()t X 记在[]t ,0得到的总手续费。则()}{=t X E ＝ ，()}{= t X D ＝ 。 5）考虑状态0，1，2的一个Markov 链{}0,≥n X n ，其一步转移概率矩阵为 ????? ??=1.08.01.04.02.04.06.03.01.0P ，初始分布为2.0,5.0,3.0210===p p p ，则 ()====1,0,1210X X X P 。 6）已知状态为1，2，3，4的齐次Markov 链{}0,≥n X n 及其一步转移概率矩阵为 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n = 通信原理试卷(A ) 02.12.22 一 填空题：（每个空0.5分，共15分） 1. 基带传输系统的总误码率依赖于信号峰值 和噪声均方根值 之比。 2. 调制信道对信号的干扰分为乘性干扰 和加性干扰 两种。 3. 若线形系统的输入过程()t i ξ是高斯型的，则输出()t o ξ是高斯 型的。 4. 通断键控信号（OOK ）的基本的解调方法有非相干解调（包络检波法） 及相干解调（同步检测法） 。 5. 随参信道的传输媒质的三个特点分别为对信号的耗衰随时间而变 、 传输的时延随时间而变、多径 传播 。 6. 根据乘性干扰对信道的影响，可把调制信道分为恒参信道 和随参信道 两大类。 7. 包络检波法的系统误码率取决于系统输入信噪比 和归一化门限值 。 8. 起伏噪声又可分为 热噪声、散弹噪声 及宇宙噪声 。 9. 数字基带信号()t S 的功率谱密度()ωS P 可能包括两部分即连续谱 和离散谱 。 10. 二进制振幅键控信号的产生方法有两种，分别为 模拟幅度调制法和键控法 。 11. 模拟信号是利用 抽样、量化 和编码 来实现其数字传输的。 12. 模拟信号数字传输系统的主要功能模块是 A/D 、数字传输系统和D/A 。 13. 设一分组码（110110）；则它的码长是 6 ，码重是 4 ，该分组码与另一分组码（100011）的码距是 3 。 二 判断题：（正确划“√”，错误划“ ×”；每题0.5分，共5分） 1. 码元传输速率与信息传输速率在数值上是相等的。（ ×） 2. 一般说来，通过键控法得到二进制移频建控信号（2FSK ）的相位（n ?、n θ）与序列n 无关。（√ ） 3. 任何一个采用线性调制的频带传输系统，总可以由一个等效的基带传输系统所替代。（ √） 4. 白噪声是根据其概率密度函数的特点定义的。（ ×） 5. 基带传输系统的总误码率与判决门限电平有关。（√ ） 6. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道， B 与N S 可以互换。（× ） 7. 恒参信道对信号传输的影响是变化极其缓慢的，因此，可以认为它等效于一个时变的线性网络。（× ） 8. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道，若增加信道带宽B ，则信道容量C 无限制地增加。（× ） 9. 小信噪比时，调频系统抗噪声性能将比调幅系统优越，且其优越程度将随传输带宽的增加而增加。（ ×） 10. 一种编码的检错和纠错能力与该编码的最小码距的大小有直接关系。（ √） 三 选择题：（每题1分，共10分） a) 一个随机过程是平稳随机过程的充分必要条件是 B 。 （A ） 随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数与时间间隔无关； （B ） 随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数仅与时间间隔有关； （C ） 随机过程的数学期望与时间有关，且其相关函数与时间间隔无关； （D ） 随机过程的数学期望与时间有关，且其相关函数与时间间隔有关； b) 下列属于线性调制的是 C 。 （A ） 相移键控； （B ）频移键控； （C ）振幅键控； （D ）角度调制。 c) 采用同步解调残留边带信号时，只要残留边带滤波器的截止特性在载频处具有 C 特性，就能够准确地 恢复所需的基带信号。 （A ）互补 （B ）对称 （C ）互补对称 （D ）没有特殊要求 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24 ，共 12 小题，每空 1 分） 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。 6 、信道容量是指：信道传输信息的速率的最大值，香农公式可表示为： C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f（t）载波为cos c t，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t，频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m （t ）分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息， DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的码间串 扰，二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时， A 律对数压缩特性采用13折线 近似，律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题（总分18 ，共 4 小题） 1 、随参信道传输媒质的特点？（ 3 分） 答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系？（ 6 分） 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻；对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定；图的阴影区的垂直高度，表示信号幅度畸变范围；图中央横轴位置对应判决门 限电平；抽样时刻上，上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。（ 3 分） 一个频带限制在（ 0，f H）内的时间连续信号m(t) ，如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样，则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ，试编为 AMI 码和 HDB 3 码（第一个非零码编 为 +1 ），并画出相应波形。（6 分） 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 习题一 1、设人民币存款利率为5%，每年计息一次，那么大约要多少年时间才能使存款额变为原来的4倍？如果利率变为4%，又要多少年？ 解：设初始投入资金为Q 元，大约需要n 年，其中的利率为r 。 依题意，可得： 公式计算法：Q ?5%?n =Q 1?Q 【PS: Q 1为存款后的利息+本金，Q 为本金】 1) 当r=5%的时候：Q ?5%?n =4Q ?Q 所以：n =35%=60 2) 当r=4%的时候：Q ?5%?n =4Q ?Q 3) 所以：n =34%=75 答：当利率为5％的时候，大约60年可以达到4倍。 利率为4％的时候，大约75年可以达到4倍。 2、如果利率为年复合利率r ，请给出一个公式，用它来估计要多少年才能使存款额变为原来的3倍。 解：【推导过程】当利率为r ，则一年之后存放余额为Q+rQ=(1+r)Q 之后连本带息存款，二年之后存放余额 Q (1+r )+Q (1+r )r =Q(1+r)2 ······ 依次类推n 年后存款达到Q(1+r)n 依据上述公式和P3的(1—4)，可以得到： Q(1+r)n =3Q 且(1+r)n =e nr =>(1+r)n =3且(1+r)n =e nr 且当n 充分大时=>(1+r)n ≈e nr ，则由题意得到Q(1+r)n =3Q =>(1+r )n =3且(1+r )n ≈e nr ,近似e nr ≈3 n ≈ln3r =ln3r 3、考虑期权定价C 问题，设利率为r ，在t=0时刻，某股票价格为100元，在t =1时刻，该股票的价格为200或50，即 100(t =0)↗↘20050 (t =1) 试证明：若C ≠100?50(1+r )?13，则存在一个购买组合，使得在任何情况下都能 带来正的利润现值，即套利发生。【本题默认执行价格为150】期末随机过程试题及标准答案
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