专题18 圆的基本性质和圆的有关位置关系
学校:___________姓名:___________班级:___________
1.【辽宁阜新2015年中考数学试卷】如图,点A,B,C是⊙O上的三点,已知∠AOB=100°,那么∠ACB的度数是()
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】C.
【解析】
考点:圆周角定理.
2.【湖北襄阳2015年中考数学试卷】点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为()A.40° B.100° C.40°或140° D.40°或100°
【答案】C.
【解析】
试题分析:如图所示:∵O是△ABC的外心,∠BOC=80°,∴∠A=40°,∠A′=140°,故∠BAC的度数为:40°或140°.故选C.
考点:1.三角形的外接圆与外心;2.圆周角定理;3.分类讨论.
3.【2015届浙江省杭州市5月中考模拟】如图,A、D是⊙O上的两个点,BC是直径,若∠D=35°,则∠OAC
的度数是()
A.35° B.55° C.65° D.70°
【答案】B.
【解析】
考点:圆周角定理.
4.【2015届湖南省邵阳市邵阳县中考二模】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,EA是⊙O的切线.若∠EAC=120°,则∠ABC的度数是()
A.80° B.70° C.60° D.50°
【答案】C.
【解析】
试题解析:∵EA是⊙O的切线,AD是⊙O的直径,
∴∠EAD=90°,
∵∠EAC=120°,
∴∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠ADC=180°-∠A CD-∠DAC=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°(圆周角定理),
故选:C.
考点:切线的性质.
5.【辽宁沈阳2015年中考数学试题】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3cm为半径作⊙A,当AB= cm时,BC与⊙A相切.
【答案】6.
【解析】
考点:切线的判定.
6.【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,CD=6,则BE= .
【答案】.
【解析】
试题分析:连接OC,如图:
∵AB=8,CD=6,∴根据垂径定理(垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧)得出CE=ED=
12CD=3,∴
OC=OB=12
AB=4,在Rt △OEC 中,由勾股定理求出OE=2234 考点:1.垂径定理;2.勾股定理.
7.【2015届湖北省黄冈市启黄中学中考模拟】如图所示,经过B (2,0)、C (6,0)两点的⊙H 与y 轴的负半轴相切于点A ,双曲线y=x
k 经过圆心H ,则k= .
【答案】﹣83.
【解析】
考点:1.切线的性质;2.反比例函数图象上点的坐标特征.
8.【2015届山东省枣庄市滕州市中考二模】如图,在Rt△AOB中,OA=OB=4,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为.
【解析】
考点:切线的性质.
9.【辽宁盘锦2015年中考数学试题】如图1,AB为⊙O的直径,点P是直径AB上任意一点,过点P作弦CD⊥AB,垂足为P,过点B的直线与线段AD的延长线交于点F,且∠F=∠ABC.
(1)若CD=BP=4,求⊙O的半径;
(2)求证:直线BF是⊙O的切线;
(3)当点P与点O重合时,过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E,在其它条件不变的情况下,判断四边形AEBF是什么特殊的四边形?请在图2中补全图象并证明你的结论.
【答案】(1)19
8
;(2)证明见解析;(3)四边形AEBF是平行四边形,证明见解析.
【解析】
(2)∵∠A=∠C,∠F=∠ABC,∴△PBC∽△BFA,∴∠ABF=∠CPB,∵CD⊥AB,∴∠ABF=∠CPB=90°,∴直线BF是⊙O的切线;
(3)四边形AEBF是平行四边形;理由:
如图2所示:∵CD⊥AB,垂足为P,∴当点P与点O重合时,CD=AB,∴OC=OD,∵AE是⊙O的切线,∴BA ⊥AE,∵CD⊥AB,∴DC∥AE,∵AO=OB,∴OC是△ABE的中位线,∴AE=2OC,∵∠D=∠ABC,∠F=∠ABC,∴∠D=∠F,∴CD∥BF,∵AE∥BF,∵OA=OB,∴OD是△ABF的中位线,∴BF=2OD,∴AE=BF,∴四边形AEBF 是平行四边形.
考点:1.圆的综合题;2.三角形中位线定理;3.平行四边形的判定;4.综合题.
10.【2015届浙江省宁波市江北区中考模拟】已知:如图,△ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且BD=BA ,过点B 画AD 的垂线交AC 于点O ,以O 为圆心,AO 为半径画圆.
(1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)若⊙O 的半径为8,tan ∠C=3
4,求线段AB 的长,sin ∠ADB 的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)
10
103. 【解析】
试题解析:(1)连接OD ,如图:
∵BA=BD,BO⊥AD(已知),∴∠ABO=∠DBO(等腰三角形顶角三线合一),在△ABO和△DBO中,根据边角边判定△ABO≌△DBO,∴OD=OA.,∵OA为半径,∴OD也为半径,∴∠ODB=∠OAB=90°,∴BD⊥OD,∴BC是⊙O的切线;
考点:1.切线的判定;2.三角形全等的判定和性质;3.锐角三角函数.
8错误!未指定书签。?如图,方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 (结果保留n ) 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误!未指定书签。?如图,在O O 中,已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心,C 是AB 上一点,0C 丄AB ,垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误!未指定书签。?如图,AB 为O O 的直径,点 C , D 在O O 上, BAC 50°,则 ADC 4错误!未指定书签。?如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上,则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误!未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图,AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径,延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点,贝y D 的度数为 7错误!未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6,点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ,则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?(结果保留 ) 晶,点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。
9错误!未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6,现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚,当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时(如图所示),则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误!未指定书签。?如图,O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目, 她打算剪去部分扇形纸片后, 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),那么剪去的扇形纸片 的圆心角为( ). A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误!未指定书签。 .如图,两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ,那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误!未指定书签。 ?如图,在直角坐标系中,O O 的半径为 1,则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误!未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片,该扇形的半径为 40cm 小红同学
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
九年级圆测试题 一、选择题(每题3分,共30分) 1.如图,直角三角形A BC 中,∠C =90°,A C =2,A B =4,分别以A C 、BC 为直径作半圆,则图中阴影的面积为 ( ) A 2π- 3 B 4π-4 3 C 5π-4 D 2π-23 2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ( ) A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3.在直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 ( ) A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4.如图,两个等圆⊙O 和⊙O ′外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.在Rt △A BC 中,已知A B =6,A C =8,∠A =90°,如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S 1;把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为S 2,那么S 1∶S 2等于 ( ) A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6.若圆锥的底面半径为 3,母线长为5,则它的侧面展开图的圆心角等于 ( ) A . 108° B . 144° C . 180° D . 216° 7.已知两圆的圆心距d = 3 cm ,两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根,则两圆的位置关系是 ( ) A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8.四边形中,有内切圆的是 ( ) A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于D ,连结AD ,那么
圆的基本性质 一、选择题 1.(2019·嘉兴)如图,已知⊙O 上三点A ,B ,C ,半径OC =1,∠ABC =30°,切线PA 交OC 延长线于点P ,则PA 的长为( ) A .2 B . C . D . 【答案】B 【解析】连接OA ,因为∠ ABC=30°,所以∠AOC=60°,又因为PA 为切线,所以∠OAP=90°,因为OC=1,所以 2.(2019·杭州)如图,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点,若PA=3,则PB= ( ) A .2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切,根据切线长定理,可知: P A =PB =3,故选B . 3.(2019·烟台)如图,AB 是 O 的直径,直线DE 与O 相切于点C ,过点A ,B 分别作AD DE ⊥, BE DE ⊥,垂足为点D ,E ,连接AC ,BC .若AD =3CE =,则AC 的长为( ). A . 3 B .3 C .2 D .3 【答案】D 【解题过程】连接OC , 因为AD DE ⊥,BE DE ⊥, 所以90ADC CEB ∠=∠=? 所以90DAC ACD ∠+∠=? 因为AB 是 O 的直径, O D E B A
所以90ACB ∠=?, 所以90BCE ACD ∠+∠=?, 所以BCE DAC ∠=∠, 在△ADC 与△CED , 因为90ADC CEB ∠=∠=?,BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED , 所以 BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中,sin BC BAC AC ∠== 所以60BAC ∠=?, 又因为OA OC =, 所以△AOC 是等边三角形, 所以60ACO ∠=?, 因为直线DE 与 O 相切于点C , 所以OC DE ⊥, 因为AD DE ⊥,OC DE ⊥, 所以AD//OC , 所以60DAC ACO ∠=∠=?, 所以9030ACD DAC ∠=?-∠=?, 所以2AC AD ==, 所以△AOC 是等边三角形, 所以OA AC ==,60AOC ∠=?, 所以AC =. 4.(2019·威海) 如图,⊙P 与x 轴交与点A (—5,0),B (1,0),与y 轴的正半轴交于点C ,若∠ACB =60°,则点C 的纵坐标为 A. B . C . D . 2 【答案】D 【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ,PE ⊥OC ,垂足为F,E. 由题意可知:四边形PFOE 为矩形, ∴PE =OF ,PF =OE . ∵∠ACB =60°, ∴∠APB =120°. ∵P A =PB , ∴∠P AB =∠PBA =30°. ∵PF ⊥AB , ∴AF =BF =3.
九年级上册圆单元测试 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共计30分) 1.下列命题:①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形,其中真命题共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.同一平面内两圆的半径是R和r,圆心距是d,若以R、r、d为边长,能围成一个三角形,则这两个圆 的位置关系是( ) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若它的一个外角∠DCE=70°,则∠BOD=( ) A.35° B.70° C.110° D.140° 4.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围( ) A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5 5.如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=84°,则∠E等于( ) A.42 ° B.28° C.21° D.20° 6.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,AD=2cm,AB=4cm,AC=3cm,则⊙O的直径是( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7.如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,OA=3,OC=1,分别连结AC、BD,则图
中阴 影部分的面积为( ) A. B. C. D. 8.已知⊙O1与⊙O2外切于点A,⊙O1的半径R=2,⊙O2的半径r=1,若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相 切,则满足条件的⊙C有( ) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 9.设⊙O的半径为2,圆心O到直线的距离OP=m,且m使得关于x的方程有实数 根,则直线与⊙O的位置关系为( ) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 10.如图,把直角△ABC的斜边AC放在定直线上,按顺时针的方向在直线上转动两次,使它转到△A2B2C2的位置,设AB=,BC=1,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题,每小4分,共计20分) 11.(山西)某圆柱形网球筒,其底面直径是10cm,长为80cm,将七个这样的网球筒如图所示放置并包 装侧面,则需________________的包装膜(不计接缝,取3). 12.(山西)如图,在“世界杯”足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,同样乙已经被攻冲到B点.有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.仅
25题汇编 1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若OA=2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。 D C B A O C B
3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。 4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。 (1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,2 3 tan F ,求DE 的长。 M N E D C B A O
5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。 A
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知O 的半径为5,弦AB 的长度为m ,点C 是弦AB 所对优弧上的一动点. ()1如图①,若m 5=,则C ∠的度数为______; ()2如图②,若m 6=. ①求C ∠的正切值; ②若ABC 为等腰三角形,求ABC 面积. 【答案】()130;()2C ∠①的正切值为3 4 ;ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ,OB ,判断出AOB 是等边三角形,即可得出结论; ()2①先求出10AD =,再用勾股定理求出8BD =,进而求出tan ADB ∠,即可得出结 论; ②分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论. 【详解】 ()1如图1,连接OB ,OA , OB OC 5∴==, AB m 5==, OB OC AB ∴==, AOB ∴是等边三角形, AOB 60∠∴=,
1 ACB AOB 302 ∠∠∴==, 故答案为30; ()2①如图2,连接AO 并延长交 O 于D ,连接BD , AD 为O 的直径, AD 10∴=,ABD 90∠=, 在Rt ABD 中,AB m 6==,根据勾股定理得,BD 8=, AB 3 tan ADB BD 4 ∠∴= =, C ADB ∠∠=, C ∠∴的正切值为3 4 ; ②Ⅰ、当AC BC =时,如图3,连接CO 并延长交AB 于E , AC BC =,AO BO =, CE ∴为AB 的垂直平分线, AE BE 3∴==, 在Rt AEO 中,OA 5=,根据勾股定理得,OE 4=, CE OE OC 9∴=+=, ABC 11 S AB CE 692722 ∴=?=??=; Ⅱ、当AC AB 6==时,如图4,
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24. 2.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O). (1)求⊙M的半径; (2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH. (3)在(2)的条件下求AF的长. 【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4. 【解析】 【分析】 (1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长; (2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论; (3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】 (1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM, ∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径, ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ; (2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB, ∴∠HBC+∠BCH=90°
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 B . C . 一.选择 1. (2009 年泸州)已知⊙O 1 与⊙O 2 的半径分别为 5cm 和 3cm ,圆心距 020=7cm ,则两圆的位置关系为 A .外离 B .外切 C .相交 D .内切 2. (2009 年滨州)已知两圆半径分别为 2 和 3,圆心距为 d ,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是( ) A . 0 < d < 1 B . d > 5 C . 0 < d < 1或 d > 5 D . 0 ≤ d < 1 或 d > 5 3.(2009 年台州市)大圆半径为 6,小圆半径为 3,两圆圆心距为 10,则这两圆的位置关系为( ) A .外离 B .外切 C.相交 D .内含 4.(2009 桂林百色)右图是一张卡通图,图中两圆的位置关系( ) A .相交 B .外离 C .内切 D .内含 5.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ,圆心距为 6cm ,则这两圆的位置关系是( ) A .内切 B .相交 C .外切 D .外离 6(2009 年衢州)外切两圆的圆心距是 7,其中一圆的半径是 4,则另一圆的半径是 A .11 B .7 C .4 D .3 7.(2009 年舟山)外切两圆的圆心距是 7,其中一圆的半径是 4,则另一圆的半径是 A .11 B .7 C .4 D .3 8. .(2009 年益阳市)已知⊙O 1 和⊙O 2 的半径分别为 1 和 4,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距 O 1O 2 的 取值范围在数轴上表示正确的是 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A . D . 9. (2009 年宜宾)若两圆的半径分别是 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm ,则这两个圆的位置关系是( ) A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离 10.. (2009 肇庆)10.若⊙O 与 ⊙O 相切,且 O O = 5 ,⊙O 的半径 r = 2 ,则⊙O 的半径 r 是( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 A . 3 B . 5 C . 7 D . 3 或 7 11. .(2009 年湖州)已知⊙O 与 ⊙O 外切,它们的半径分别为 2 和 3,则圆心距 O O 的长是( ) 1 2 1 2 A . O O =1 B . O O =5 C .1< O O <5 D . O O >5 1 2 1 2 1 2 1 2
中考数学50个知识点专练26 圆的基本性质 一、选择题 1.(2011·上海)矩形ABCD中,AB=8,BC=3 5,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( ) A. 点B、C均在圆P外 B. 点B在圆P外、点C在圆P内 C. 点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B、C均在圆P内 2.(2011·凉山)如图,∠AOB=100°,点C在⊙O上,且点C不与A、B重合,则∠ACB 的度数为( ) A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130° 3.(2011·重庆)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的度数等于( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 4.(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB是( ) A.16 B.10 C.8 D.6 5.(2011·嘉兴)如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,则这条弦的弦心距为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 6.(2011·扬州)如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠BAD=50°,则∠ACD=__________度.
7.(2011·安徽)如图,⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直,垂足为E ,且AB =CD ,已知CE =1,ED =3,则⊙O 的半径是________________. 8.(2011·杭州)如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,CD 的度数等于84°,CA 是∠OCD 的平分线,则∠ABD +∠CAO =________. 9.(2011·威海)如图,⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ,若AE =5,BE =1,CD =4 2,则∠AED =___________. 三、解答题 11.(2011·上海)如图,点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上,且OA =3,AC =2,CD 平行于AB ,并与A B 相交于点M 、N. (1)求线段OD 的长; (2)若tan ∠C =1 2 ,求弦MN 的长. 12.(2011·江西)如图,已知⊙O 的半径为2,弦BC 的长为2 3,点A 为弦BC 所对优
圆的基本性质 |夯实基础| 1.[2019·凉山州]下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 图K26-1 图K26-2 图K26-3 图K27-2 2.[2019·宜昌]如图K26-1,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是() A.50° B.55° C.60° D.65° 3.[2018·威海]如图K26-2,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB ?的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为() A.1 2B.5 C.5√3 2 D.5√3 4.[2019·天水]如图K26-3,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连结AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为() A.20° B.25° C.30° D.35° 5.[2019·益阳]如图K27-2,P A,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是() A.P A=PB B.∠BPD=∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
6.[2018·成都]如图K28-2,在?ABCD中,∠B=60°,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是() A.π B.2π C.3π D.6π 7.[2018·杭州]如图K26-5,AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点 D作直径DF,连结AF,则∠DF A=. 图K28-2 图K26-5 图K26-6 图K27-4 图K27-5 ?所对的圆心角∠8.[2019·海南]如图K27-4,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BD BOD的大小为度. 9.[2019·大兴一模]将一块含30°角的三角板如图K28-6放置,三角板的一个顶点C落在以AB为直径的半圆上, ?的长为(结果保留π). 斜边恰好经过点B,一条直角边与半圆交于点D,若AB=2,则BD 图K28-6 10.[2019·台州]如图K26-6,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结 AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为. 11.[2019·黄石]如图K27-5,在Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C,D两点的☉O分别交AC,BC于点E,F,AD=√3,∠ADC=60°,则劣弧CD的长为. 12.[2018·绍兴]等腰三角形ABC中,顶角A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC 的度数为.
中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,
∵CD 是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B 为弧CD 中点, ∴BD=BC= , ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB , ∵∠DBE=∠DBA , ∴△DBE ∽△ABD , ∴ , ∴BE?AB=BD?BD= . 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点D 在BC uuu r 上,点E 在弦AB 上(E 不与A 重 合),且四边形BDCE 为菱形. (1)求证:AC=CE ; (2)求证:BC 2﹣AC 2=AB?AC ; (3)已知⊙O 的半径为3. ①若AB AC =5 3 ,求BC 的长; ②当 AB AC 为何值时,AB?AC 的值最大? 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2;② 32
圆的基本性质中考题 例1 (2009年四川省内江市) 如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=AD, ZBFC=Z BAD=2NDFC. 求证:(1) CD1DF;(2) BC=2CD. 例2 (2009年广州市) 如图,在。。中,ZACB=ZBDC = 60° , AC= 2^icm, (1)求ZB AC的度数;(2)求。0的周长 例3 (2009年中山) (1)如图1,圆心接△ ABC中,AB = BC = CA, OD、0/为。O 的半径,OD1BC 于点F, OEA.AC于点G, 求证:阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的上. 3 (2)如图2,若ZDOE保持120。角度不变, 求证:当ZDOE绕着。点旋转时,由两条半径和△ ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分) 面积始终是△A3C的面积的 3
1. (2009年广西钦州) 如图2, OOi与坐标轴交于A (1, 0)、B (5, 0)两点,点0的纵坐标为右,求。Oi的半 2. (2009年哈尔滨) 如图,在。。中,D、E分别为半径0A、0B上的点,且AD=BE? 点 C 为弧AB 上一点,连接CD、CE、CO, ZA0C=ZB0C.求证:CD=CE. 3. (2009年株洲市) 如图,点A、B、C是。。上的三点,AB//OC. (1)求证:AC平分ZOAB. (2)过点。作OEA.AB于点E,交AC于点F.若AB = 2, ZAOE = 30°,求PE的长. 4. (2009年潍坊) 如图所示,圆。是△ ABC的外接圆,ABAC与ZABC的平分线相交于点/,延长A/交圆。于点。,连结8£>、DC. (1)求证:BD = DC = DI;
一.圆地概念 集合形式地概念:1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合; 2.圆地外部:可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合; 3.圆地内部:可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念: 1.圆:到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆; (补充)2.垂直平分线:到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线(也叫中垂线); 3.角地平分线:到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线; 4.到直线地距离相等地点地轨迹是:平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线; 5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线. 二.点与圆地位置关系 1.点在圆内?d r?点A在圆外; 三.直线与圆地位置关系 1.直线与圆相离?d r>?无交点; 2.直线与圆相切?d r=?有一个交点; 3.直线与圆相交?d r+; A
外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-; 图1 五.垂径定理 垂径定理:垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧. 推论1:(1)平分弦(不是直径)地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧; (2)弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧; (3)平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2:圆地两条平行弦所夹地弧相等. 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六.圆心角定理 图2 图4 图5 B D
中考数学历年各地市真题 圆的基本性质 (2010哈尔滨)1.如图,AB 是⊙O 的弦,半径OA =2,∠AOB =120°,则弦AB 的长是( ).B (A )22 (B )32 (C )5 (D )53 (2010珠海)2.如图,⊙O 的半径等于1,弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积(结果保留π) 解:∵弦AB 和半径OC 互相平分 ∴OC ⊥AB OM=MC= 21OC=2 1OA 在Rt △OAM 中,sinA=2 1 =OA OM ∴∠A=30° 又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30° ∴∠AOB=120° ∴S 扇形= 3 3601120π π=?? (2010珠海)3.如图,△ABC 内接于⊙O ,AB =6,AC =4,D 是AB 边上一点,P 是优 弧BAC 的中点,连结PA 、PB 、PC 、PD. (1)当BD 的长度为多少时,△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形?并证明; (2)若cos ∠PCB= 5 5 ,求PA 的长. 解:(1)当BD =AC =4时,△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB =弧PC ∴PB =PC ∵BD =AC =4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD ≌△PCA ∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 (2)由(1)可知,当BD =4时,PD =PA ,AD =AB-BD =6-4=2 过点P 作PE ⊥AD 于E ,则AE =2 1 AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ∴cos ∠PAD=cos ∠PCB= 5 5 =PA AE
图2 D ∴PA=5 1. (2010红河自治州)如图2,已知BD 是⊙O 的直径,⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ,若 ∠AOD=60°,则∠DBC 的度数 (A ) A.30° B.40° C.50° D.60° (2010年镇江市)11.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,若AB=10, CD=8,则线段OE 的长为 3 . (2010年镇江市)26.推理证明(本小题满分7分) 如图,已知△ABC 中,AB=BC ,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ,过D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,连结OE ,CD=3,∠ACB=30°. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)分别求AB ,OE 的长; (3)填空:如果以点E 为圆心,r 为半径的圆上总存在不同的两点到点O 的距离为1, 则r 的取值范围为 . (1)∵AB 是直径,∴∠ADB=90° (1分)
数学中考圆综合题附参考答案 1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC = 32,tan ∠AEC =3 5 ,求圆的直径. 2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。 (1)求证:CD 为⊙0的切线; (2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度. 1. (1)证明:连接OC, ∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ,∵CD ⊥PA ,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE ,∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0的半径,∴CD 为⊙0的切线. (2)解:过0作0F ⊥AB ,垂足为F ,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD ,OF=CD. ∵DC+DA=6,设AD=x ,则OF=CD=6-x ,∵⊙O 的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x , 在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得:211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD 中考数学专项练习圆的基本性质 1.如图:四边形ABCD是⊙ O的内接梯形,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点E,求证:OE平分∠BEC。 2.在半径为5cm的⊙O中,AB=6cm,CD =8cm,且AB∥CD,求AC和CD之间的距离。 A B C D A B C D O O 3.如图是一个弓形零件的截面图。已知弓形高为9cm,弦长为6cm,求弓形所在圆的半径。 4.如图,O为ADB弧的圆心,120 AOB ∠=?,弓形高ND=2cm,矩形EFGH的顶点E,F在弦AB上,H,G在AB弧上,且EF=4HE.求EF的长。 5.已知在以O为圆心,直径分别为10cm和16cm的两个同心圆中有点P,OP=4cm,过点P分别作大圆的弦AB,小圆有弦CD,求AB的最大值与CD的最小值的和。 6.一条弧所对的圆心角有几个,圆周角有几个?一条弦呢?若一条弦把圆周分成1:5两部分,则该弦所对的圆心角度数?圆周角度数?所对的劣弧所含的圆周角的度数? 7..如图,圆内角、圆外角与它所对弧的关系? (1)若AC=35?,CD=25?,求∠AEB; (2)若∠P=40?,AB=BC=CD,求∠ACD 8.如图,已知在⊙O中,弦AB⊥CD于E,AE=2,EB=8,CAD弧的度数为120?,求⊙O的半径。 9.如图,在⊙O中,A B弧的度数为100?,把弦AB绕圆心旋转60?,得到线段A B'',交AB于 D.画OC⊥AB,OC A B ''' ⊥,C,C'分别为垂足,连结C C'。 (1)求证:OCC OC C '' ∠=∠; (2)求证:Rt AOC Rt A OC '' ?; (3)求ADA' ∠的度数和A B'的度数 10.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE//AB,求证:EC=2EA. 11.已知BC为半圆O的直径,AB=AF,AC交BF于点M,过A点作AD⊥BC于D,交BF于E,则AE与BE的大小有什么关系?为什么? 12.如图,等边△ABC内接于⊙O,D是BC弧上一点,连结AD、CD、BD,并在AD上截取AE=CD,连结BE,求证: B C A F M D E 一、选择题 1. (2019滨州,6,3分)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的 大小为() A.60°B.50°C.40°D.20° 【答案】B 【解析】如图,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B. 【知识点】圆周角定理及其推论 2. (2019聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE, 如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 A.35° B.38° C.40° D.42° 第8题图 【答案】C 【解析】∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故选C. 【知识点】三角形角和定理,圆周角定理 3. (2019省潍坊市,11,3分)如图,四边形ABCD接于⊙O,AB为直径,AD=CD.过点D作DE⊥AB 于点E.连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=3 5 ,DF=5,则BC的长为() A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】C 【思路分析】连接BD,先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE,从而可得AF=DF=5,根据sin∠CAB=3 5 ,求 得EF和AE的长度,再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB,根据sin∠CAB=3 5 求得BC的长度. 【解题过程】连接BD. ∵AD=CD, ∴∠DAC=∠ACD. ∵AB为直径, ∴∠ADB=∠ACB=90°.∴∠DAB+∠ABD=90°.∵DE⊥AB, ∴∠DAB+∠ADE=90°.∴∠ADE=∠ABD. ∵∠ABD=∠ACD, ∴∠DAC=∠ADE. ∴AF=DF=5. 在Rt△AEF中, sin∠CAB= 3 5 EF AF ∴EF=3,AE=4.∴DE=3+5=8. 九年级数学圆测试题 一、选择题 1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ,最小距离为b (a>b ),则此圆的半径为( ) A .2b a + B .2b a - C .22b a b a -+或 D .b a b a -+或 2.如图24—A —1,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是( ) A .4 B .6 C .7 D .8 3.已知点O 为△ABC 的外心,若∠A=80°,则∠BOC 的度数为( ) A .40° B .80° C .160° D .120° 4.如图24—A —2,△ABC 内接于⊙O ,若∠A=40°,则∠OBC 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .70° 5.如图24—A —3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O 点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( ) A .12个单位 B .10个单位 C .1个单位 D .15个单位 6.如图24—A —4,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠B=60°,则∠A 等于( ) A .80° B .50° C .40° D .30° 7.如图24—A —5,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,CD 切⊙O 于点E ,分别交PA 、PB 于点C 、D ,若PA=5,则△PCD 的周长为( ) A .5 B .7 C .8 D .10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m ,母线长为3m ,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是( ) A .26m B .26m π C .212m D .212m π 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 与小圆相切于点P ,大圆的弦CD 经过点P ,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( ) A .16π B .36π C .52π D .81π 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4中考数学专项练习 圆的基本性质
2019年中考数学试题分类汇编28:圆的基本性质
九年级数学圆测试题及答案