高考数学数列经典题及答案解析

高考数学数列经典题及答案解析 1.已知数列｛a n ｝满足：a 1=1， 1

12(2)n n n n n a

a a a ---=≥，求通项公式；

2．已知数列｛n a ｝中，已知a 1=1,n

n

1n 2a 1a a +=+，求数列｛n a ｝的通项公式。

3.数列{}n a 前n 项和记为,n

S 11,a =121,(1)n n a S n +=+≥.求{}n a 通项公式；

4．设数列{}n a 的前n 项和为22n

n n S a =-，

（1）证明：}2{1n n a a -+是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式

5、（2010福建）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

6、（2010辽宁理数 已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n

a n

的最小值为__________.

7、（2010湖北文数）已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22

a a 成等差数列，则

910

78

a a a a +=+

A.1

B. 1

C. 3+

D 3-

8、（2010北京理数）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 9.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)

n n a a n -

?

=≥，

则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -++

+=

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2

n D. 2(1)n -

10.等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ； （2）求1a －3a ＝3，求n s

11.已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，设1

21-+++=n n n q a q a a S

（Ⅰ）若15,1,131===S a q ,求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若3211,,,S S S d a 且=成等比数列，求q 的值。 12.已知点（1，

3

1）是函数,0()(>=a a x f x

且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.

（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{

}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >2009

1000的最小正整数n 是多少?

13.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2

n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．

（I ） 求1a 及n a ；

（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．

14.已知曲线22

:20(1,2,

)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为

(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

15、设12,,,,

n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与

直线y x =

相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，

已知{}n r 为递增数列. 证明：{}n r 为等比数列；

16、（2010四川理数）已知数列{a n }满足

a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都

有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2

（Ⅰ）求a 3，a 5；

（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *

)，证明：{b n }是等差数列；

（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q

n －1

(q ≠0，n ∈N *

)，求数列{c n }的前n 项和S n .

解答题前几道训练：

17.(2010陕西)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西 60°且

与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?

18.(2010陕西)为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数;

(2)估计该校学生身高在170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在165~180 cm 之间的女生．．中任选2人,求至少有1人身高在170~180 cm 之间的概率.

8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°的角，底

面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝

2

1

AD 1 （1）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；

（2）在棱PD 上是否存在一点E ，使异面直线AE 与PB 所成的角的 余弦值为

34

．

参考答案：

5.A

6.

21

2

7.C 8.C 9.C 10.解：（Ⅰ）依题意有 )(2)(2

111111q a q a a q a a a ++=++

由于 01≠a ，故 022

=+q q 又0≠q ，从而2

1－=q

（Ⅱ）由已知可得

3

2

12

11=--）（a a 故

4

1=a 从

而

）

）（（）

（）

）（（n n

n 211382

112114--=----=S 11. （1）解：由题设，15,1,1,)2()(312

1113===++++=S a q q d a q d a a S 将

代入解得4=d ，所以34-=n a n *N n ∈

（2）解：当3212

3211,,,32,2,,S S S dq dq d S dq d S d S d a ++=+===成等比数列，

所以312

2S S S =，即

)32222

dq dq d d dq d ++=+（）（，注意到0≠d ，整理得2-=q 12.解析（1）()113f a ==Q ,()13x

f x ??

∴= ???

()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---????????2

9

=-, ()()32

3227

a f c f c =---=-???????? . 又数列{}n a 成等比数列，2213421

81233

27a a c a ===-=-- ，所以 1c =；

又公比2113a q a ==，所以1

2112333n n

n a -??

??

=-=- ?

???

??

*n N ∈ ；

1n n S S --=

=Q ()2n ≥

又0n b >

0>

, 1=；

数列

构成一个首相为1公差为1

()111n n +-?= ， 2n S n =

当2n ≥， ()2

21121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*

n N ∈)；

（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()

1111133557(21)21n n =++++???-?+K

1111111111112323525722121n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?-+????????K 11122121

n

n n ??=-= ?

++??； 由1000212009n n T n =>

+得10009n >，满足1000

2009

n T >的最小正整数为112.

13.解析：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，

12)]1()1([,22

21+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）

经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42

2.=∴，

即)18)(12()14(2

+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，

对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或

14.解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立022

2=+-y nx x 得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则0)1(4)22(2

222=+--=?n n n k k n k ，∴

1

2+=

n n k n （1

2+-

n n 舍去）

222

2

2

)1(1+=+=n n k k x n n n

，即1+=n n

x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n 16. 解：(1)由题意，令m ＝2,n －1,可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6 再令m ＝3,n ＝1，可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20 (2)当n ∈N *

时，由已知(以n ＋2代替m )可得

a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8

即 b n ＋1－b n ＝8 所以{b n }是公差为8的等差数列

(3)由(1)(2)解答可知{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6,公差为8的等差数列 则b n ＝8n －2，即a 2n +=1－a 2n －1＝8n －2另由已知(令m ＝1)可得

a n ＝

2112n a a ++-(n －1)2

.那么a n ＋1－a n ＝21212

n n a a +-+－2n ＋1 ＝822

n -－2n ＋1＝2n 于是c n ＝2nq n －1

. 当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋……＋2n ＝n (n ＋1)

当q ≠1时，S n ＝2·q 0

＋4·q 1

＋6·q 2

＋……＋2n ·q

n －1

.

两边同乘以q ，可得qS n ＝2·q 1

＋4·q 2

＋6·q 3

＋……＋2n ·q n

. 两式相减得 (1－q )S n ＝2(1＋q ＋q 2

＋……＋q

n －1

)－2nq n

＝2·11n q q --－2nq n

＝2·11(1)1n n n q nq q +-++- 所以S n ＝2·

12

(1)1(1)n n nq n q q +-++-

17. 解:由题意知AB =5(3+3)海里,∠DBA =90°-60°=30°,∠DAB =90°-45°=45°, ∴∠ADB =180°-(45°+30°)=105°.在△DAB 中,由正弦定理得ADB

AB

DAB DB ∠=

∠sin sin , ∴DB =

60sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(5105sin 45sin )33(5sin sin +?+=?+=∠∠?ADB DAB AB 3102

13）

13（35=++=

又∠DBC =∠DBA +∠ABC =30°+(90°-60°)=60°,BC =203海里, 在△DBC 中,由余弦定理得CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos ∠DBC

=300+1 200-2×103×203×

21

=900, ∴CD =30(海里),则需要的时间t =30

30

=1(小时). 答:救援船到达D 点需要1小时.

18.解:(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

(2)由统计图知,样本中身高在170~185 cm 之间的学生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185 cm 之间的频率f =

70

35

=0.5, 故由f 估计该校学生身高在170~185 cm 之间的概率p =0.5.

(3)样本中女生身高在165~180 cm 之间的人数为10,身高在170~180 cm 之间的人数为4. 设A 表示事件“从样本中身高在165~180 cm 之间的女生中任取2人,至少有1人身高在170~180 cm 之间”.

则P (A )=1-).3

2C C C C )((32C C 2

1024

144621026=+?==A P 或

19.如图建立空间直角坐标系A xyz -∵PA ⊥平面ABCD .PA 与平面ABCD 成60角，

60PBA ∠

=(0,0,0),(1,0,0),

(1,1,0),(0,3),(0,2,0)A B C P D (1,1,0),(0,0,3),(1,1,0)AC AP CD ===-………4分.

1100AC CD =-++=，

0.AP CD =,,AC CD AP CD ∴⊥⊥CD

⊥平面.PAC (6)

又因为CD ?平面PCD ，平面PCD ⊥平面.PAC ………7分. （2）假设存在点E .不妨设PE PD λ=，

(1)(0,2,0)(1(0,2))

AE AD AP λλλλλλ=

+-=+-=-，………10分，

4AE λ=，(1,0,PB =，2PB =

34AE PB AE PB

=

，即34

=………13分， 解之得1.3

λ=即这样的点存在，为PD 的第一个四等分点. ………14分

.

15.

n n n n n n n+1n+1n+1n n n+1n+1n n n+1n

n n 11n n n n

n 121,332

r 1

2r 22r r r 2r 2r r 3r r q 3n

r 1q 3r 3n *3r 12.....r r x C θθλλλλλλλ--=====++====∏=====

+++解：（1）将直线y=

的倾斜角记为,则有tan =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理

，从而，将代入，

解得故为公比的等比数列。（）由于，，故，从而，记S 121n 121n

121n

11,r 12*33*3......*31*32*3......(1)*3*33

133...3*33

1333*3()*3,

2223

9139(23)*3()*34224

n

n

n n n n n n n n n

n n

n n n n n n n S n ----------------=+++=+++-+-=++++--=-=-+-+∴=-+=

则有S S ①②,得2S