专题四解析几何综合题型分析及解题策略规划
专题四：解析几何综合题型分析及解题策略
【命题趋向】
纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，如08年08年江西理7文7题(5分)是基础题，考查与向量的交汇、08年天津文7题(5分)是基础题，考查圆锥曲线间的交汇、08年08徽理22题(12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08年福建21题(12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与不等式的交汇、08年湖北理19题(12分)中等难度，考查直线、圆与圆锥曲线的综合题、08年江苏21题(12分)中档偏下题，考查解析几何与三角函数的交汇，等等.预计在09年高考中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.
【考试要求】
1．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．
3．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
4．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
5．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
6．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
【考点透视】
解析几何是高中数学的重要内容，包括直线和圆与圆锥曲线两部分，而直线和圆单独命为解答题较少，只有极个别的省市高考有出现，而圆锥曲线是解析几何的核心内容，每年在全国及各省市的高考中均出现.主要考查热点：
（1）直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程；
（2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等；
（3）圆锥曲线的定义及标准方程；
（4）与圆锥曲线有关的轨迹问题；
（5）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；
（6）与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.
【典例分析】
题型一直线与圆的位置关系
此类题型主要考查：（1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运用三种位置关系求参数的值或取值范围；（3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题.
【例1】若直线3x＋4y＋m＝0=0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是_____________.
【分析】 利用点到直线的距离来解决.
【解】 圆心为(1,－2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得 d ＝|3×1＋2×(－4)＋m|32＋42
＞r ＝1，即|m －5|＞5，m ∈(－∞,0)∪(10,＋∞).
【点评】 解答此类题型的思路有：①判别式法(即方程法)，②平面几何法(运用d 与r 的关系)，③数形结合法.由于圆的特殊性(既是中心对称图形又是轴对称)，因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式法，而利用平面几何法求解，即利用半径r 、圆心到直线的距离d 的求解.
题型二 圆锥曲线间相互依存
抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式，只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好，处理这类问题的困难不大.
【例2】 (2009届大同市高三学情调研测试)设双曲线以椭圆x 225＋y 2
9
＝1长轴的两个端点为焦点，其
准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
A ．±2
B ．±4
3
C ．±34
D ．±12
【分析】 根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程，由此得到关于双曲线关于a 、c 的值，进而得到b 的值，再进一步求得渐近线的斜率.
【解】 由椭圆方程知双曲线的焦点为(5，0)，即c ＝5，又同椭圆的焦点得a 2
c ＝4，所以a ＝25，
则b ＝c 2－a 2＝5，故双曲线渐近线的斜率为±b a ＝±1
2
，故选D.
【点评】 本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互关系.本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇，解答时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a 、b 、c 、p 之间的方程，再通过解方程求出相关基本量值，进而求取相关的问题.
题型三 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解.
【例3】 (2009届东城区高中示范校高三质量检测题)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），实轴长为23．(Ⅰ)求双曲线C 的方程；(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M （0，b ），求b 的取值范围．
【分析】 第(1)小题利用直接法求解；第(Ⅱ)小题将直线与双曲线方程联立消去y ，然后利用判别式及韦达定理求解；第(Ⅲ)小题须利用“垂直”与“平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b 关于斜率k 的表达式，结合第(Ⅱ)小题k 的范围求解.
【解】 (Ⅰ)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
由已知，得a ＝3，c ＝2，b 2
＝c 2
－a 2
＝1，故双曲线方程为x 2
3
－y 2＝1.
(Ⅱ)设A (x A ，y A )，B(x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 2
3
－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0．
由题意知????? 1－3k 2
≠0△＝36(1－k 2
)＞0x A ＋x B ＝62k 1－3k
2＜0x A x B ＝－91－3k 2
＞0
，解得，3
3＜k ＜1． ∴当
3
3
＜k ＜1时，l 与双曲线左支有两个交点． （Ⅲ）由（Ⅱ）得：x A ＋x B ＝62k
1－3k 2
，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋2 2 ＝
22
1－3k 2
． ∴AB 中点P 的坐标为（
32k 1－3k 2，2
1－3k 2
）． 设l 0方程为：y ＝－1k x ＋b ，将P 点坐标代入l 0方程，得b ＝42
1－3k 2．
∵
3
3
＜k ＜1，∴－2＜1－3k 2＜0，∴b <－22． ∴b 的取值范围为：(－?，－22)．
【点评】 本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识，以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑思维能力及运算能力.直线与圆锥曲线位置关系的主要涉及到交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等，解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决.特别地：(1)如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用“点差法”较为简单，但须注意对结果进行检验；(2)求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；(3)过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量.
题型四 圆锥曲线与三角函数的交汇
此类试题主要体现在以三角函数为直线方程、圆的方程或圆锥曲线方程的系数，或根据三角函数满足的等式求解解析几何问题，或利用三角为工具研究解析几何问题等，解答时一般要根据所涉及到的解析几何知识及三角知识，将它们有机的结合在一起进行解答.
【例4】 (08年高考新课标各地联考考场全真提高测试)已知?是三角形的一个内角，且 sin ?＋cos ?＝1
5，则方程x 2tan ?－y 2cot ?＝－1表示
（ ） A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．焦点在y 轴上的双曲线
C ．焦点在x 轴上的椭圆
D ．焦
点在y 轴上的椭圆
【分析】 首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值，进而具体化圆锥曲线方程，再根据方程进行判断.
【解】 由sin ?＋cos ?＝15及sin 2?＋cos 2?＝1，且0＜?＜π，解得sin ?＝45，cos ?＝－3
5，因此x 2tan ?－
y 2
cot ?＝－1就是4x 23－3y 2
4
＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线，故选A.
【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得sinα与cosα的值，以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力.
题型五 圆锥曲线与向量的交汇
圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题，以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力.在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等.
【例5】 (2009届湖南省高考模拟题)在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为
A(－1，0)、B(1，0)，平面内两点G ，M 同时满足下列条件：①→GA ＋→GB ＋→GC ＝→0；②|→MA|＝|→MB|＝|→MC
|：③→GM ∥→
AB.(Ⅰ)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(Ⅱ)过点P(3，0)的直线l 与(Ⅱ)中轨迹交于E ，F 两点，求→PE·→
PF 的取值范围.
【分析】 由于涉及到的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C 、G 、M 三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(Ⅰ)小题就可求解.第(Ⅱ)小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k 的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立→PE·→
PF 关于k 的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果.
【解】 （Ⅰ）设C(x ，y)，G(x 0，y 0)，M(x M ，y M )， ∵|→MA|＝|→
MB|，∴M 点在线段AB 的中垂线上.
由已知A(－1,0)，B(1,0)，∴x M ＝0，又∵→GM ∥→
AB ，∴y M ＝y 0， 又→GA ＋→GB ＋→GC ＝→
0，∴(－1－x 0,y 0)＋(1－x 0,－y 0)＋(x －x 0,x －y 0)＝(0,0)，
∴x 0＝x 3，y 0＝y 3，y M ＝y 3，
∵|→MB|＝|→
MC|，∴
(0－1)2＋(y
3－0)2＝
(0－x)2＋(y
3
－y)2，
∴x 2
＋y 23＝1(y≠0)，∴顶点C 的轨迹方程为x 2
＋y 2
3＝1(y≠0).
（Ⅱ）设直线l 方程为：y ＝k(x －3)，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，
由???
y ＝k(x －3)
x 2＋y 23
＝1
，消去y 得：(k 2＋3)x 2－6k 2x ＋9k 2－3＝0…①， ∴x 1＋x 2＝6k 2
k 2＋3，x 1x 2＝9k 2－3k 2＋3
，
而→PE·→PF ＝|→PE|·|→
PF|·cos0°＝|PE|·|PF|＝1＋k 2|3－x 1|·1＋k 2|3－x 2|
＝(1＋k 2
)|9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2|＝(1＋k 2
)|9k 2＋27－18k 2＋9k 2－3k 2＋3|＝24(k 2＋1)k 2＋3＝24－48
k 2＋3
，
由方程①知△＝(6k 2)2－4(k 2＋3)(9k 2－3)＞0，k 2＜3
8
，
∵k≠0，∴0＜k 2＜38，∴k 2＋3∈(3,278)，∴→PE·→PF ∈(8,889
). 【点评】 本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查“设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力.本题解答有两个关键：(1)对条件中的向量关系的转化；(2)建立→PE·→
PF 关于直线斜率k 的函数.解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大.
题型六圆锥曲线与数列的交汇
此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答.
例6(2009届渭南市高三教学质量检测)已知双曲线a n?1y2－a n x2＝a n?1a n的一个焦点为(0，c n)，一
条渐近线方程为y＝2x，其中{a n}是以4为首项的正数数列.(Ⅰ)求数列{c n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nc n 3}
的前n项和S n.
【分析】将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立c n与a n、a n?1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列{a n}为等比数列，由此可求得a n的表达式，进而求得{c n}的通项公式，由此
解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用第(Ⅰ)的结果确定数列{nc n
3}的通项公式，根据公式特点选择利用错位相
减法求解.
【解】(Ⅰ)∵双曲线方程y2
a n－
x2
a n?1
＝1的焦点为(0，c n)，∴c n＝a n＋a n?1，
又∵一条渐近线方程为y＝2x，即
a n
a n?1
＝2，∴
a n
a n?1
＝2，又a1＝4，
∴a n＝4·2n?1＝2n+1，即c n＝2n+1＋2n＝3·2n.
(Ⅱ)∵nc n
3＝n·2
n，∴S n＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ①
2S n＝1·22＋2·23＋3·24＋… ＋(n－1)·2n＋n·2n+1②由①－②得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1，
∴S＝－2(1－2 n)
1－2
＋n·2 n+1＝2－2 n+1＋n·2 n+1.
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法，同时考查转化思想及解答综合处理交汇试题的能力.本题是一道与数列相结合的一道综合题，但难度并不大.解答本题注意两点基本知识及方法的应用：（2）通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式；（2）利用错位相减法求解求和.
【专题训练】
一、选择题
1．设x，y∈R，且2y是1＋x和1－x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去x轴上点的（）A．一条直线B．一个圆C．双曲线的一支D．一个椭圆
2．已知△ABC的顶点A（0，－4），B（0，4），且4(sinB－sinA)＝3sinC，则顶点C的轨迹方程是
（）
A．x2
9－
y2
7＝1(x＞3) B．
x2
7－
y2
9＝1(x＞7) C．
y2
9－
x2
7＝1(y
＞3) D．y2
7－
x2
9＝1(y＜－7)
3．现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为（）
A．10平方分米B．20平方分米C．40平方分米D．41平方分米
4．设A(x 1，y 1)，B(4，95)，C(x 2，y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225＋y 2
9
＝1上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|
成等差数列”是“x 1＋x 2＝8”的
（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既非充分也非必要
5．直线l ：y ＝k(x －2)＋2与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切，则直线l 的一个方向向量→
v ＝
（ ） A ．（2，－2）
B ．（1，1）
C ．（－3，2）
D ．（1，1
2
）
6．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个
交点，若|PF 1|
|PF 2|
＝e ，则e 的值为 （ ） A ．
33
B ．
32
C ．
22
D ．
63
7．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点。若∠AF 1F 2
＝60 ，且→AF 1·→
AF 2＝0，则椭圆的离心率为
（ ）
A ．3＋1
B ．3－1
C ．2－ 3
D ．4－ 3
8．如图一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然
后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则点P 形成的图形是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆
9．如图，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，F 是椭圆的左焦点，且→OQ ＝12
(→OP ＋→OF)，|OQ →
|＝4，则点P 到该
椭圆左准线的距离为
（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．5
2
10． (理科)设x 1，x 2∈R ，a ＞O ，定义运算“*”：x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x≥O ，则动点P(x ，x*a)
的轨迹方程为
（ ）
A ．y 2＝4ax
B ．y 2＝4ax(y≥0)
C ．y 2＝－4ax
D ．y 2＝－4ax(y≥0)
11．设集合A ＝{(x ，y)|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部
分）是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在平面直线坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆
x 225＋y 29
＝1上，则sinA ＋sinC
sinB
＝
（ ） A ．45
B ．－45
C ．54
D ．－54
二、填空题
13．若抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点与椭圆x 28＋y 2
4
＝1的右焦点重合，则
p 的值为_____________.
14．若点(1，1)到直线x cosα＋y sinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是_______.
15．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.若∠AF 1F 2
＝60?，且→AF 1·→
AF 2＝0，则椭圆的离心率为______．
16．设A(1，0)，点C 是曲线y ＝1－x 2(0≤x≤1)上异于A 的点，CD ⊥y 轴于D ，∠CAO ＝θ(其中O 为原点)，将|AC|＋|CD|表示成关于θ的函数f(θ)，则f(θ)＝_________. 三、解答题
17．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x
轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求→PA·→
PB 的取值范围． 18．(08届麻城博达学校高三数学综合测试四)设⊙C 1，⊙C 2，…，⊙C n 是圆心在抛物线y ＝x 2上的一系
列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a 1，a 2，…，a n ，已知a 1＝1
4，a 1＞a 2＞…＞a n ＞0，⊙C k (k ＝1，
2，…n)都与x 轴相切，且顺次逐个相邻外切(Ⅰ)求由a 1，a 2，…，a n 构成的数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求证：a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＜14
. 19．（08年泰兴市3月调研）已知⊙O ：x 2＋y 2＝1和定点A(2，1)，由⊙O 外一点P (a ，b)向⊙O 引切线
PQ ，切点为Q ，且满足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求实数a ，b 间满足的等量关系；(Ⅱ)求线段PQ 长的最小值；(Ⅲ)若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径最小值时⊙P 的方程. 20．已知定点A(－2，－4)，过点A 作倾斜角为45?的直线l ，交抛物线
y 2＝2px(p ＞0)于B 、C 两点，且|BC |＝210． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D ，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1，2)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴
是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程；(Ⅱ)已知动直线l 过点P(3，0)，交抛物线于A 、B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l ?被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l ?的方程；若不存在，说明理由.
22．椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点
共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为5 2.(Ⅰ)求此时椭圆C 的方程；(Ⅱ)设斜率为k （k≠0）的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、
Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 【专题训练】参考答案 一、选择题
1．D 【解析】 由题意得(2y)2＝(1＋x)(1－x)，即x 2＋4y 2＝1.
2．C 【解析】 由条件c ＝|AB|＝8.由正弦定理：4(b －a)＝3c ＝24，b －a ＝6，即|CA|－|CB|＝6.点C 的
轨迹是焦点在y 轴的双曲线上支，∵a ?＝3，c ?＝4，b ?＝7，其方程y 29－x 2
7
＝1(y ＞3).
3．C 【解析】 设椭圆方程为x 225＋y 2
16
＝1，P(5cos ?，4sin ?)，Q(－5cos ?，4sin ?)，R(5cos ?，－4sin ?)是
矩形的三顶点，则S 矩形＝|10cos ?|·|8sin ?|＝40|sin2?|≤40.
4．S 【解析】 a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45，F(4，0)，由焦半径公式可得|AF|＝5－45x 1，|BF|＝5－45×4＝95
，
|CF|＝5－45x 2，故|AF|，|BF|，|CF|成等差数列?(5－45x 1)＋(5－45x 2)＝2×9
5
?x 1＋x 2＝8.
5．A 【解析】 圆C ：(x －1) 2＋(y －1)2＝2，圆心C(1，1)，半径r ＝2，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0，
由直线与圆相切的条件知|k －1－2k ＋2|
k 2＋1＝2，解得k ＝－1.
6．A 【解析】 过P 作抛物线的准线的垂线，垂足为H ，则抛物线准线为x ＝－3c ，
|PF 1|
|PF 2|
＝e ，又|PF 2|＝|PH|，∴|PF 1||PH|＝e ，∴x ＝－3c 也为椭圆E 的准线．∴－a 2c ＝－3c ?e ＝3
3
．
7．B 【解析】 Θ→AF 1·→
AF 2＝0，∴AF 1⊥A 2F,∵∠AF 1F 2＝60?,∴|F 1F 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＝3|AF 1|，∴2a
＝|AF 1|＋|AF 2|，2c ＝|F 1F 2|，e ＝c a ＝|F 1F 2|
|AF 1|＋|AF 2|
＝3－1.
8．椭圆 【解析】 |PO|＋|PF|＝|PM|＋|PO|＝R(半径)＞|OF|，根据椭圆定义知P 形成的图形 是以O 、F 为焦点的椭圆.
9．D 【解析】 由→OQ ＝12
(→OP ＋→OF)，得Q 是PF 的中点.又∵|OQ →
|＝4，所以P 点到右焦点
F'的距离为8，∴|PF|＝2×5－8＝2，又|PF|d ＝e ＝c a ＝4
5
(d 表示P 到椭圆左准线的距离)，∴d ＝52
.
10．B 【解析】 设P(x ，y)，则y ＝x*a ＝(x ＋a)2－(x －a)2＝4ax ，即y 2＝4ax(y≥0).
11．A 【解析】 由构成三角形的条件知??? x ＋y ＞1－x －y x ＋1－x －y ＞y y ＋1－x －y ＞x ，即??? 2x ＋2y ＞1
2y ＜12x ＜1
，易知选A.
12．C 【解析】 由双曲线方程及定义|BC|＋|AB|＝10，|AC|＝8，根据正弦定理知sinA ＋sinC
sinB
＝|BC|＋|AB||AC|＝5
4.
二、填空题
13．4 【解析】 抛物线的焦点为(p 2，0)，椭圆的右焦点为(2，0)，则由p
2
＝2，得p ＝4.
14．2＋ 2 【解析】 d ＝|cosα＋ysinα|＝|2sin(α＋?4)－2|，当sin(α＋?
4)＝－1时，d 的最大值是2＋ 2.
15．3－1 【解析】 Θ→AF 1·→
AF 2＝0，
∴AF 1⊥A 2F ，∵∠AF 1F 2＝60?，∴|F 1F 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＝3|AF 1|，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|，2c ＝|F 1F 2|，e ＝c a ＝|F 1F 2|
|AF 1|＋|AF 2|
＝3－1.
16．－2cos 2θ＋2cosθ＋1，θ∈(?4，?2) 【解析】 根据条件知∠COA ＝180?－2θ，且θ∈(?4，?
2
)，则点C(cos(180?
－2θ)，sin(180?－2θ))，即C(－cos2θ，sin2θ)，则|AC|＋|CD|＝(1＋cos2θ)2＋sin 22θ－cos2θ＝－2cos 2θ＋2cosθ＋1，θ∈(?4，?
2).
三、解答题
17．【解析】 (Ⅰ)依题知圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝
4
1＋3
＝2， ∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4．
(Ⅱ)不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，x 1＜x 2，由x 2＝4即得A(－2，0)，B(2，0)， 设P(x ，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2， →PA·→PB ＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y)＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，
由于点P 在圆O 内，故??? x 2
＋y 2
＜4x 2－y 2＝2
，由此得y 2＜1，
又∵y 2≥0，所以→PA·→
PB 的取值范围为?－2，0?．
18．【解析】 (1)设相邻两圆心为C k (x k ，x 2k )，C k+1(x k ，x 2
k+1)，相应的半径为r k ，r k+1，则
r k ＝x 2k ，r k+1＝x 2
k+1，r k ＞r k+1，
如图，作C k+1B k ⊥A k C k 于B k ，则|C k C k+1|2－|C k B k |2＝|A k A k+1|2， 即(r k ＋r k+1)2－(r k －r k+1)2＝(x k －x k+1)2，∴
1x k+1－1
x k
＝2， ∴{1x k }是首项为4，且公差为2的等差数列，∴x k ＝12(k ＋1)
.
(2)∵
1(k ＋1)2＜1k(k ＋1)＝1k －1
k ＋1
， ∴x 21＋x 22＋…＋x 2
n ＝14[122＋132＋1(n ＋1)2]＜14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＜14. 19．【解析】 （1）连OP ，∵Q 为切点，PQ ⊥OQ ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即a 2＋b 2－12＝(a －2)2＋(b －1)2， 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：2a ＋b －3＝0. (Ⅱ)由2a ＋b －3＝0，得b ＝－2a ＋3.
∴|PQ|＝a 2＋b 2－1＝a 2＋(－2a ＋3)2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －65)2＋4
5
，
故当a ＝65时，|PQ|min ＝255，即线段PQ 长的最小值为25 5.
(Ⅲ)设⊙P 的半径为R ，OP 设⊙O 有公共点，⊙O 的半径为1， ∴|R －1|≤|OP|≤R ＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1. 而|OP|＝a 2＋b 2＝a 2＋(－2a ＋3)2＝
5(a －65)2＋9
5
，
故当a ＝65时，|PQ|min ＝355，此时b ＝－2a ＋3＝35，R min ＝3
55－1，
得半径取最小值⊙P 的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(3
5
5－1)2.
20．【解析】 (Ⅰ)直线l 方程为y ＝x －2，将其代入y 2＝2px ，并整理，得
x 2－2(2＋p)x ＋4＝0…①， ∵p ＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，
设B(x 1,y 1)、C(x 2,y 2)，∴x 1＋x 2＝4＋2p ，x 1·x 2＝4， ∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k 2|x 1－x 2|，
∴22p 2＋4p ＝210，解得p ＝1，∴抛物线方程y 2＝2x ．
(Ⅱ)假设在抛物线y 2＝2x 上存在点D(x 3,y 3)，使得|DB|＝|DC|成立， 记线段BC 中点为E(x 0,y 0)，则|DB|＝|DC|?DE ⊥BC ?k DE ＝－1
k 1＝－1，
当p ＝1时，①式成为x 2－6x ＋4＝0，∴x 0＝
x 1＋x 2
2
＝3，y 0＝x 0－2＝1， ∴点D(x 3,y 3)应满足??? y 23＝2x 3y 3－1x 3－3＝－1，解得??? x 3＝2y 3＝2或??? x 3＝8
y 3＝－4．
∴存在点D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．
21．【解析】 (Ⅰ)设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，将点M (1，2)坐标代入方程得p ＝2，
所以抛物线方程为y 2＝4x .
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F 1（－1，0），F 2（1，0），所以c ＝1，c ?＝1，
对于椭圆，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝(1＋1)2＋22＋(1－1)2＋22＝22＋2，所以a ＝1＋2，
所以a 2＝(1+2)2＝3＋22，所以b 2＝a 2－c 2
＝2＋22，所以椭圆方程为x 23＋22＋y 2
2＋22＝1，
对于双曲线，2a ?＝||MF 1|－|MF 2||＝22－2，所以a ?＝2－1，所以a ?2＝3－22，
所以b ?＝c ?2
－a ?2
＝22－2，所以双曲线方程为x 23－22－y 2
22－2
＝1，
(Ⅱ)设AP 的中点为G ，l ?的方程为x ＝t ，以AP 为直径的圆交l ?于D 、E 两点，DE 中点为H ， 令A (x 1，y 1)，所以G(x 1＋32，y 12)，所以|DG |＝12|AP |＝1
2
(x 1－3)2＋y 12， |GH |＝|
x 1＋32－t|＝1
2
|(x 1－2t)＋3|， 所以|DH |2＝|DG |2－|GH |2＝14[(x 1－3)2＋y 12]－1
4
[(x 1－2t)＋3]2＝(t －2)x 1－t 2＋3t ，
当t ＝2时，|DH |2＝－4＋6＝2为定值，所以|DE |＝2|DH |＝22为定值，此时l ?的方程为x ＝2. 22．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四
点外接圆的圆心，故该椭圆中a ＝2b ＝2c ，即椭圆方程可为x 2＋2y 2＝2b 2. 设H （x,y ）为椭圆上一点，则
|HN|2＝x 2＋(y －3)2＝－(y ＋3)2＋2b 2＋18，其中－b≤y≤b ， 若0＜y ＜3，则y ＝－b 时，|HN|2有最大值b 2＋6b ＋9， 由b 2＋6b ＋9＝50，得b ＝－3±52(舍去)， 若b≥3，当y ＝－3时，|HN|2有最大值2b 2＋18. 由2b 2＋18＝50，得b 2＝16， 故所示椭圆的方程为x 232＋y 2
16
＝1.
（Ⅱ）设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，Q(x 0，y 0)，则
由x 1232＋y 1216＝1与x 2232＋y 22
16＝1二式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)32－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0， 又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，且k ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
，则x 0＋2ky 0＝0， 又直线PQ ⊥直线m ，∴直线PQ 方程为y ＝1k x ＋3
3，
将点Q(x 0，y 0)代入上式得，y 0＝1k x 0＋3
3……④，
由③④得Q(233k ，－3
3
)Q ，
而Q 点必在椭圆内部，x 0232＋y 0216＜1，由此得k 2＜47
2，
又k≠0，∴－942＜k ＜0或0＜k ＜942
， 故当k ∈(－
942，0)∪(0，942
)时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称.
(完整)高中数学解析几何解题方法
高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
第17—20课时 解析几何问题的题型与方法
第17－20课时： 解析几何问题的题型与方法 一．复习目标： 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θ θ=?? =? （θ为参数），明确各字母 的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二．考试要求： (一)直线和圆的方程 1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3．了解二元一次不等式表示平面区域。 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4．了解圆锥曲线的初步应用。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识．．．．．．．和向量的．．．．基本方法．．．． ，这一点值得强化。 (一)直线的方程 1.点斜式：)(11x x k y y -=-； 2. 截距式：b kx y +=； 3.两点式： 1 21121x x x x y y y y --= --；4. 截距式：1=+b y a x ；
解析几何七种常规题型及方法
解析几何七种常规题型及方法 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且3e =， 过椭圆C 的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得228a b +=，………① 又e =，即222 3 c a =，所以223a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y + =. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而125 x x -= = ， 由弦长公式，得12AB x =-==， 即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题： 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 22 1-=。 过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+--+-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --= --12121 2 ， 代入得24022x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是24022x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦的中点， 所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 112 28,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
解决平面解析几何问题的思维策略研究
解决平面解析几何问题的思维策略研究 成都市武侯区四川大学附属中学数学组简洪权 摘要 本研究把解决平面解析几何问题的思维过程划分为理解问题、转化问题、解答问题、反思问题四个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨了解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略：运用恰当的语句表述问题的条件、运用正确的方法指导解题的思路、运用基本的知识和技能简化运算过程、运用恰当的思维方法提炼解答过程中的一般规律。 关键词：问题解决，平面解析几何问题，思维过程，思维策略 1．问题的提出 学数学离不开解题。解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出问题的解的活动。小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术应用于实际构建出适当的模型等，都叫做解题。美国数学家保罗哈尔莫斯(Paul Halmos)认为：“数学家存在的主要理由就是解问题”，“数学的真正的组成部分是问题和解” [1]。数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题则是一个再创造或再发现的过程。 美籍匈牙利数学教育家乔治波利亚(George Polya) 在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就是意味着善于解题” [1]。他认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。在数学教学中，“解题”是一种最基本的活动形式，无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法与技能的获得，还是学生能力的发展与提高，都要通过解题活动来完成。同时，“解题”也是评价学生认知水平的重要手段。 为此，研究者把解决平面解析几何问题的思维过程划分为几个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略，旨在用以指导具体解题的方法。 2．解决平面解析几何问题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，乔治波利亚提出了四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾[2]。平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。坐标法是平面解析几何最基本的方法，它是利用“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个重要概念，借助于平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，用坐标表
(完整版)解析几何大题的解题技巧
目录 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (1) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (2) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在 抛物线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求 的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次 项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂 直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1
高中数学解析几何常考题型整理归纳
高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为
解析几何种技巧(终审稿)
解析几何种技巧 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。 陕西胡波 从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简. 2.活用平几 峰回路转 解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准
确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果. 【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标?水到渠成 【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路 … 更多有关解析几何的解题技巧详见《试题调研》第2辑—三角函数、平面向量、解析几何。本辑定会让你识得了三角、解得了几何、破得了向量，真正做到好题先体验，笑在百花前！
第二轮第14讲 解析几何问题的题型与方法doc
第14讲 解析几何问题的题型与方法 一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：2 2 2 )()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：02 2 =++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 cos sin x r y r θ θ =?? =?（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析 2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及． 1．选择、填空题 1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主 （1）对直线、圆的基本概念及性质的考查 例1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________． （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查 例2（04辽宁）已知点)0,2(1- F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当
高中数学解析几何解题方法总结
高中数学解析几何解题方法总结 老师在讲题的时候，经常如未卜先知一般，就知道已知条件里经常存在着一个自己完全不知道的信息；或者分析着分析着，就突然来句：“这道题可以用反证法/数学归纳法……”解法是很精妙，但换你来做，你就是没有意识到要采用这样的方法。我也曾经问过老师，为什么你们当时会想到用这种方法？得到的也往往是“不知道”、“题目做多了就明白了”。 高中数学解析几何解题方法我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势： (1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，占总分值的20%左右。 (2)整体平衡，重点突出：其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既留意全面，更留意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ① 求曲线方程(类型确定、类型未定); ②直线与圆锥曲线的交点题目(含切线题目);
③与曲线有关的最(极)值题目; ④与曲线有关的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数目特征; 高中数学解析几何解题方法： (3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但假如借助于数形结合的思想，就能快速正确的得到答案。 (4)题型新奇，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。 在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分： (1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类： ①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、间隔、平行与垂直、线性规划等)有关的题目; ②对痴光目(包括关于点对称，关于直线对称)要熟记解法; ③与圆的位置有关的题目，其常规方法是研究圆心到直线的间隔. 以及其他“标准件”类型的基础题。 (2)以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。 预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。
解析几何大题题型总结(1)
圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。
例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k
例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。
高考专题复习—解析几何的题型与方法(精髓版)
20XX 届高三数学题型与方法专题七：解析几何1【基础知识梳理】 班级： 姓名： ［例1］已知直线1l 的斜率是3 3 ，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则直线2l 的方程为＿＿＿x y 3= . ［例2］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，则直线l 的倾斜角大小为（ B ） A 、arctan a b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b . ［例3］与圆1)2()1(2 2=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ） A 、2条； B 、3条； C 、4条； D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x . ［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件. ［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]4 3, 2[π arctg . ［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为 ＿；)5 28,51( D . ［例8］抛物线C 1：x y 22 =关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)2 5, 2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆22 2 r y x =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系 是（ C ） A 、相离； B 、相切； C 、相交且不过圆心； D 、相交且过圆心. ［例10］若圆O ：22 2r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则 圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51<
高中最全数学解题的思维策略资料全
一、《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分
钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填
空题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(原卷版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动 点，过动点P 作的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF PQ PF ?+=u u u v u u u v u u u v ． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）若直线m 与（1）中的轨迹C 相切于点0(N x ，00)(0)y y >，且m 与圆心为M 的圆22 (3)16x y -+=， 相交于A ，B 两点，当AMB ?的面积最大时，求点N 的坐标. 【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】
如图，已知椭圆 22 221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点 的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B 、A 和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12· 1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得· AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图1C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右顶点与抛物 线2C ：()2 20y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为 1 2 ，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线 截抛物线所得的弦长为（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； （2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论. 【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线22441 3 x y -=的一个焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；
高三数学解析几何解题技巧
高三数学解析几何解题技巧 解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。 解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。 常见翻译方法： 距离问题：距离公式212212)()(||y y x x AB -+-= 几个特殊转换技巧： ①若一条直线上有若干点，如D C B A ,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BC CD AB =?则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2C B D C B A x x x x x x -=-?-当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。 ②利用向量求距离。 ③角度问题：若条件表述为所目标角A 是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即AC AB ?的值分别是小于零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即：| |||cos b a ?= θ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB ?中（O 是原点） )2 ())()((21sin 21c b a p c p b p a p p ah C ab S O ++=---=== ||2 1A B B A y x y x -== ⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆12 2=+b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 过左焦点直线交椭圆于),,(11y x A ),,(22y x B 则|||)||(|||2 121212121212y y c y y F F S S S F BF F AF ABF -=+=+=??? ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。 最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。 【例题训练】 1．（本小题满分14分）
高中数学解题思维策略一数学思维的变通性
高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。 例如，求和) 1(1431321211+++?+?+?n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。 （2）善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显
的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。 例如，解方程组? ??-==+32xy y x . 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根， 所以???=-=31y x 或???-==1 3y x .可见，联想可使问题变得简单。 （3）善于将问题进行转化 数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 例如，已知c b a c b a ++=++1111,)0,0(≠++≠c b a abc , 求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：0))()((=+++a c c b b a 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问
- 解析几何大题题型总结(1)
- 高考数学难点：解析几何题
- 高中数学解析几何问题的题型与方法
- 第14讲解析几何问题的题型与方法doc高中数学
- 第17—20课时 解析几何问题的题型与方法
- 高中数学解析几何题型(基础篇)
- 14高中数学解析几何问题的题型与方法
- 考生拿下高考数学解析几何题的方法_答题技巧
- 高中数学解析几何专题及典型例题
- 解析几何题型小结
- 第二轮第14讲 解析几何问题的题型与方法doc
- (完整版)解析几何七种常规题型及方法
- 解析几何知识点总结复习题
- 经典超级实用的解题方法之解析几何问题的题型与方法
- 解析几何七种常规题型及方法
- 高考复习资料：解析几何问题的题型与方法
- 高考专题：解析几何常规题型及方法
- 解析几何问题的题型与解题方法
- 解析几何问题的题型与解题方法
- 高中数学解析几何常考题型整理归纳