平方差和完全平方公式应用举例

F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 平方差公式、完全平方公式应用例说

例1 计算（1）)1)(1(+-ab ab ；（2）)32)(32(---x x ；（3）1022；（4）992.

【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.

（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.

（3）可将1022

改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算.

（4）可将992

改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算.

解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ；

（2）)32)(32(---x x = )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--；

（3）1022= 2)2100(+=104044400100002210021002

2=++=+??+；

（4）992=2)1100(-=98011200100001110021002

=+-=+??-.

例2 计算 （1）)1)(1(-+++b a b a ；（2）2)2(p n m +-.

【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，

符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.

（2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.

解：（1）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；

（2）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +?-?+-=+-

=2224244p np mp n mn m +-++-.

【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互

为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平

方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错

误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平

方公式.

例3 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?

【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.

解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x

即399622+=++x x x ，解得 x=5.

答:这个正方形的边长是5cm .

例4 当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a ---+=-=时，求的值.

【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果.

解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+

=2

222228484449b ab a b ab a b a -+=-+--；

当时，1,1=-=b a

222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42

-?-+=-4.

例5 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数.

【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数

倍.

证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n

=n n n n n 814414422=-+-++，

又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.

例6 解不等式 2)2(9)43)(43(->-+x x x .

【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化

成一元一次不等式的一般形式.

解：去括号，得 363691692

2+->-x x x ，

移项、合并，得 9

13>x . 例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?

【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法

先求出20052是7的多少倍数还余几天.

解：20052=93)2867(2)2867()32867(2

2+???+?=+?

=277)2866()2867(2

++??+?.

显然2005年12月1日是星期四，再过20052

天的后一天实际上要求星期四再过两天

后的一天是星期日.

例8 观察下列等式：

10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……

请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.

【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整

数).

例9 已知2294y Mxy x +-是一个完全平方式,求M 的值.

【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4

和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.

解：根据2)32(y x ±=229124y xy x +±得: 12±=-M .

∴12±=M

答:M 的值是±12.

例10 计算 158422

1)211)(211)(211)(21

1(+++++.

【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整

式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.

解:158422

1)211)(211)(211)(21

1(+++++ =158422121)211)(211)(211)(2

11)(21

1(+÷++++-

=1584222121)2

11)(211)(211)(211(+÷+++-

=158

442121)211)(211)(211(+÷++- =15882121)2

11)(211(+÷+- =15162121)211(+÷-=2-15152121+=2.

例11(泰州市)如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用

不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 ．

【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式,使学生学习数形结合的思想方

法.答案为:22))((b a b a b a -=-+或 22b a -= ))((b a b a -+.

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.

Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.

Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.

толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.

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