抽象函数定义域、值域、解析式
抽象函数的定义域
1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．
分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．
解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤
． 故函数(35)f x -的定义域为41033
??????
，． 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。
本题中令222u x x =-+，则2
(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．
解：由03x ≤≤，得2
1225x x -+≤≤．
令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，
例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域 解：先求的定义域 的定义域是， 即的定义域是，再求的定义域 的定义域是，故应选A
变式训练：
已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.
分析：先求2x 的值域为M 则log 2x 的值域也是M ，再根据log 2x 的值域求定义域。
解 ∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x ≤2.
∴函数y=f(log 2x)中21
≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.
故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］
例4 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域．
分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ?必有353255x x --??-+?，，
≤≤≤≤解得40x -≤≤．
所以函数()x ?的定义域为[]40-，．
变式训练： 已知函数的定义域是，求的定义
域。 分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。 解：由已知，有 ，即 函数的定义域由确定
函数的定义域是
例5 若函数f (x +1)的定义域为[－
2
1，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．
解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[2
1，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：
∴ 2
1＜x 2＜3，解得－3＜x ＜－22＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x 22＜x ＜3}．
的定义域由f (x )的定义域可得．
解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[2
1，3]，
再求f [h (x )] 的定义域：
∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x ＜－22或22＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x ＜－
22或22＜x ＜3}． 求函数值域常用的方法
1、直接法——从自变量x 的范围出发，推出y ＝f(x)的取值范围；
2、二次函数法(配方法)——配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
3、分离常数法——形如)0(≠++=a b ax d cx y 的函数，求出y 的取值范围；
4、换元法——形如d cx b ax y +±+=的函数 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域，要注意换元后自变量的取值范围。
5、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 点拨：先求出原函数的反函数再求出其定义域。
6、判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x 的二次方程f (x ，y )＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
7、不等式法。不等式法是利用基本不等式：a ＋b ≥2 (a 、b ∈R ＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。
8、单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。
类型一：一次分式型
1.y = (a 0)型
例１ 求函数y =的值域。
解法一：分离常数法。将y =转化为y =（k 1,k 2为常数），则y k 1
解：∵y==，
∴y 。
解法二：反函数法。通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
解：反解y=得x=，
对调y=(x)，
∴函数y=的值域为y 。
类型二：二次分式型
１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型
用判别式法：先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式≥0（=f(y)）,即可求出值域。
例2求函数y=的值域。
解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。
当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-≤y≤。
∵函数定义域为R，
∴函数y＝的值域为[-，] 。
说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。
2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。
例５求（x<）的值域。
分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。
解：∵x<，∴5-4x>0,>0。
∴=1-4x+
=[(5-4x)+ ]-4
≥2-4
=-2，
∴原函数的值域为。
例６求的值域。
错解：=≥2。
分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法
中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。
解：用单调性法
=，
令=t，显然t≥2，则y=t+(t≥2)，
任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，
f(t1)- f(t2)=( t1+)-( t2+)=( t1- t2)( 1-)，
∵2≤t 1≤t 2 ∴t 1- t 2<0, t 1· t 2≥4, 1->0，
∴f (t 1)- f (t 2)=( t 1- t 2)( 1-)<0 。
∴f (t 1)< f (t 2)，即函数y=t + 在t ≥2上单调递增。
∴当t =2、即=2、x =0时，y min =， ∴原函数的值域为
。
三．解析式的求法
1. 配凑法
例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)；
解因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f
65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以
例2、已知：221)1(x
x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x
x x x f ∴ )22(2
)(2-≤≥-=x x x x f 或
2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则
则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
所以)1(1)(2≥-=x x x f
例2、已知：11)11(2-=+x
x f ，求)(x f 。 解：设x t 11+=，则1≠t ，1
1-=t x ，代入已知得
t t t t t f 21)1(1111
)(222-=--=-??? ??-=
∴ )1(2)(2≠-=x x x x f
注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。 3待定系数法
例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。 解（1）设则)0(,)(2≠++=a c bx ax x f
∵3)0(,7)2(,3)2(-=-=--=f f f
∴?????-=-=+--=++3724324c c b a c b a 解理???
????-==-=3121c b a
∴32
1)(2-+-=x x x f 4.赋值（式）法
例1、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值；
(2)求)(x f 的解析式。
解：（1） 取0,1==y x ，则有
1)101()0()01(++=--f f
?2202)1()0(-=-=-=f f
（2）取0=y ，则有x x f x f )10()0()0(++=--.
整理得：2)(2++=x x x f
5、方程法
例1、已知：)0(,31)(2≠=??
? ??+x x x f x f ，求)(x f 。 解：已知：,31)(2x x f x f =??? ??+①