九年级数学上册专题突破19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程的关系(新版)北京课改版【含解

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系

方法归纳：

（1）由抛物线的对称性易求对称轴为直线x ＝x 1＋x 2

2

，且对称轴与x 轴交点恰为两交点间线段

的中点。

（2）可用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

（3）求两个函数的交点坐标，就是求出两个函数解析式组成的方程组的解。 总结：

1. 能根据一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴交点的个数及由交点个数判断根的情况。

2. 深入理解抛物线与坐标轴的交点、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系。

例题1 已知：二次函数y ＝x 2

＋2ax －2b ＋1和y ＝－x 2

＋（a －3）x ＋b 2

－1的图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，则a 与b 的值分别是（ ）

A. ???a ＝1b ＝0或???a ＝1b ＝2

B. ??

?a ＝1b ＝0

C. ??

?a ＝1b ＝2

D. 无法确定

解析：两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，将两个解析式转化为一元二次方程，比较两个方程的根与系数的关系，得出方程组，解方程组求a 、b 的值，再结合方程有两个不等根

进行讨论。

答案：依题意，设这两个不同点的坐标为M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2， 则x 1，x 2为方程x 2

＋2ax －2b ＋1＝0的两个实数根。 ∴x 1＋x 2＝－2a ，x 1?x 2＝－2b ＋1。

∵x 1，x 2又是方程－x 2

＋（a －3）x ＋b 2

－1＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝a －3，x 1?x 2＝1－b 2

，

∴???－2a ＝a －3－2b ＋1＝1－b 2，解得???a ＝1b ＝0或???a ＝1b ＝2

。 当a ＝1，b ＝0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a ＝1，b ＝0舍去； 当a ＝1，b ＝2时，二次函数为y ＝x 2

＋2x －3和y ＝－x 2

－2x ＋3符合题意， ∴a ＝1，b ＝2。选C

点拨：本题考查了二次函数解析式与一元二次方程的根与系数关系的联系，较难理解。解答这类问题时应注意两点：一是二次函数与一元二次方程的问题必然涉及抛物线与x 轴的交点；二是注意检验所得结果是否符合题意。

例题2 已知抛物线M 的解析式为y ＝ax 2

＋bx ＋c ，且抛物线M 经过（－5，0），（0，52），（1，6）

三点，直线l 的解析式为y ＝2x －3。

（1）求抛物线M 的解析式；

（2）求证：抛物线M 与直线l 无公共点；

（3）若与直线l 平行的直线y ＝2x ＋m 与抛物线M 只有一个公共点P ，求点P 的坐标。 解析：第（1）题可根据三点式确定抛物线的解析式；第（2）和（3）题应将函数问题转化成方程问题，由方程可求交点或证明有无交点。

答案：（1）∵抛物线M 经过（－5，0），（0，5

2

），（1，6）三点，∴?

??25a －5b ＋c ＝0c ＝52a ＋b ＋c ＝6，解得?

????a ＝

1

2

b ＝3

c ＝

5

2

，

∴抛物线M 的解析式为y ＝12x 2＋3x ＋5

2

。

（2）由?????y ＝2x －3y ＝12

x 2

＋3x ＋52消去y ，得12x 2＋x ＋112＝0，∵△＝1－4×12×11

2＝－10＜0， ∴方程无实根，即抛物线M 与直线l 无公共点。

（3）由?????y ＝2x ＋m y ＝12

x 2

＋3x ＋52消去y ，得12x 2＋x ＋5

2－m ＝0。∵抛物线M 与直线y ＝2x ＋m 只有一个公

共点P ，∴?＝1－4×12×（52－m ）＝0，解得m ＝2。把m ＝2代入12x 2＋x ＋5

2－m ＝0得x 1＝x 2＝－1，

当x ＝－1时y ＝12x 2＋3x ＋5

2

＝0，∴点P 的坐标为（－1，0）。

点拨：两个函数图象的交点是由这两个函数解析式所组成的方程组的解来确定的，当两个函数解析式组成的方程组中有二次函数或通过变形能转化成一元二次方程时，它们的交点个数可由判别式?的取值判断。

设二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1≤x 2，若抛物线开口向上，则ax 2

＋bx ＋c ＞0的解集为x ＜x 1或x ＞x 2，ax 2

＋bx ＋c ＜0的解集为x 1＜x ＜x 2；若抛物线开口向下，则ax 2

＋bx ＋c ＞0的解集为x 1＜x ＜x 2，ax 2

＋bx ＋c ＜0的解集为x ＜x 1或x ＞x 2。

例 如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c 都经过点A （1，0），抛物线与y 轴交点的纵坐标是2，则不等式x 2

＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为（ ）

A. x ＜1

B. x ＞3

C. x ＜1或

x ＞3

D. 1＜x ＜3

解：∵直线y ＝x ＋m 经过点A （1，0），所以0＝1＋m ，m ＝－1，所以y ＝x －1。因为抛物线y

＝x 2

＋bx ＋c 经过点A （1，0）且与y 轴交点的纵坐标是2，所以???1＋b ＋c ＝0c ＝2，解得b ＝－3，所以y

＝x 2

－3x ＋2。解方程组???y ＝x 2

－3x ＋2y ＝x －1，得???x 1＝1y 1＝0，???x 2＝3

y 2＝2

。所以直线与抛物线的交点坐标是（1，0）、

（3，2），根据图象可知，当x ＜1或x ＞3时二次函数值大于一次函数值，所以不等式x 2

＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜1或x ＞3。故选C 。

解析：本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是根据图象找出直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c 的交点，要具备一定的读图能力，能够从图象中找出符合题意的区域。

一、选择题

1. 若抛物线y ＝x 2

－2x ＋c 与y 轴的交点为（0，－3），则下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上

B. 抛物线的对称轴是x ＝1

C. 当x ＝1时，y 的最大值为－4

D. 抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）

2. 如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1m ，球所经过路线的最高点B （8，9），则小孩将球抛出了约（ ）

A. 16米

B. 16.5米

C. 17米

D. 17.5米

*3. 函数y ＝kx 2

－7x －7的图像和x 轴有交点，则k （ ） A. k ＞－74

B. k ≥－7

4

C. k ≥－74且k ≠0

D. k ＞－7

4

且k ≠0

*4. 如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于C 。如果OB ＝OC ＝12OA ，那么b

的值为（ ）

A. －2

B. －1

C. －12

D. 12

**5. 已知：二次函数y ＝x 2

－4x －a ，下列说法错误的是（ ） A. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 B. 若图象与x 轴有交点，则a ≤4

C. 当a ＝3时，不等式x 2

－4x ＋a ＜0的解集是1＜x ＜3

D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a ＝3

**6. 若二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）

A. a ＞0

B. b 2

－4ac ≥0

C. x 1＜x 0＜x 2

D. a （x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0

二、填空题

7. 已知二次函数y ＝x 2

－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2

－3x ＋m ＝0的两实数根是__________。

*8. 二次函数y ＝2x 2

＋mx ＋8的图象如图所示，则m 的值是__________。

**9. 若直线y ＝b （b 为实数）与函数y ＝︱x 2

－4x ＋3︱的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是_________。

**10. 若抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ），B （m ＋6，n ），则n ＝__________。 三、解答题

11. 已知二次函数y ＝－x 2

＋（m －2）x ＋m ＋1，试证明不论m 取何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点。

12. 抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的表达式。

*13. 已知二次函数y ＝x 2

－2kx ＋k 2

＋k －2。

（1）当实数k 为何值时，函数图象的顶点在第四象限内？ （2）当实数k 为何值时，图象过原点？

**14. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的交点坐标为（－1，0）、（3，0），当－2≤x ≤5时，y 的最大值为12，试求该抛物线的解析式。

**15. 已知抛物线y ＝x 2－mx ＋m 2

2与抛物线y ＝x 2

＋mx －34

m 2在平面直角坐标系x O y 中的位置如图所

示，其中一条与x 轴交于A 、B 两点。

（1）试判定哪条抛物线经过A、B两点，并说明理由；

（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足1

OB －

1

OA

＝

2

3

，求经过A、B两点的这条抛物线的解析

式。

一、选择题

1. C 解析：∵抛物线过点（0，－3），∴抛物线的解析式为：y ＝x 2

－2x －3。A 、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确。B 、根据抛物线的对称轴x ＝－b

2a ＝1，正确。C 、由A 知

抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x ＝1时，y 的最小值为－4，而不是最大值。故本选项错误。D 、当y ＝0时，有x 2

－2x －3＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），正确。

2. B 解析：根据题意，此抛物线的顶点坐标是（8，9），所以设二次函数的解析式为：y ＝a （x －8）2＋9，把A （0，1）代入得a ＝－18，∴y ＝－18（x －8）2

＋9，当y ＝0时，解得x 1＝8＋62≈

16.5，x 2＝8－62＜0（舍去）。∴小孩将球抛出了约16.5米。

*3. B 解析：当k ＝0时y 是一次函数，与x 轴有交点；当k ≠0时y 是二次函数，当（－7）2

－4k ×（－7）≥0时与x 轴有交点，即k ≥－74。综上所述，当k ≥－7

4时y 与x 轴有交点。

*4. C 解析：设OA ＝2m （m ＞0），则OB ＝OC ＝m ，所以A （－2m ，0）、B （m ，0）、C （0，m ），则?????4am 2

－2mb ＋c ＝0am 2

＋mb ＋c ＝0c ＝m

，解得b ＝－12。

**5. B 解析：二次函数为y ＝x 2

－4x －a ，对称轴为x ＝2，图象开口向上。则：A 、当x ＜1时，

y 随x 的增大而减小，故该选项正确；B 、若图象与x 轴有交点，即16＋4a ≥0，则a ≥－4，故该选

项错误；C 、当a ＝3时，不等式x 2

－4x ＋a ＜0的解集是1＜x ＜3，故该选项正确；D 、原式可化为y ＝（x －2）2

－4－a ，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y ＝（x ＋1）2

－3－a 。其图象过点（1，－2），代入解析式得到a ＝3。故该选项正确。所以说法错误的是B 。

**6. D 解析：抛物线与x 轴有不同的两个交点，则b 2

－4ac ＞0，与B 矛盾，可排除B 选项；剩下A 、C 、D 不能直接作出正误判断，我们分a ＞0，a ＜0两种情况画出两个草图来分析（见下图）。在图1中，a ＞0且有x 1＜x 0＜x 2，则a （x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0；在图2中，a ＜0且有x 0＜x 1＜x 2，则

a （x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0，所以正确选项为D 。