正则化参数的确定方法
1. 拟最优准则
Tikhonov 指出当数据误差水平δ和η未知时，可根据下面的拟最优准则：
0min opt dx d ααααα>????=??????
（1-1） 来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数α以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。
2. 广义交叉验证
令
22(())/()[(())]/I A y m
V tr I A m δααα-=- （2-1）
其中，*
1*()A (A A I)A h h h h A αα-=+，1(I A())(1())m
kk k tr ααα=-=-∑，()kk αα为()A α的
对角元素。这样可以取*
α满足 *()min ()V V αα= （2-2）
此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS 准则，但比它更稳健。
3. L_曲线法
L 曲线准则是指以log-log 尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则 参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L 曲线。
运用L 曲线准则的关键是给出L 曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数α。Hanke 等[64]建议定义L 曲线的偶角为L 曲线在log-log 尺度下的最大曲率。令log b Ax αρ=-
，log x αθ=，则该曲率作为参数α的函数定义为
''''''
3
'2'22()(()())c ρθρθαρθ-=+ （3-1）
其中“'”表示关于α的微分。
H.W.Engl 在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L 曲线准则可通过极小化泛函
()x b Ax ααφα=-来实现。即,选取*α使得
{}
*0arg inf ()ααφα>= （3-2） 这一准则更便于在数值计算上加以实施。
但到目前为止,还没有相关文献获得过关于L 曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L 曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L 曲线准则与GCV 一样,具有很强的适应性。
4. 偏差原理:
定理4-1:(Morozov 偏差原理)[135]如果()φα是单值函数,则当0(,)U z A u ρδ>时存在这
样的()ααδ=,使得:
()
(,)U z A u αδρδ= （4-1） , 式中 {}
10|[]i n f []F z z z γγ∈∈Ω=Ω。 事实上，令 2()()αφαδ?=-，由()φα的单调性和半连续性，可知()α?也是单调和半连续的，并且
0lim ()0ααδ→?=-<，
同时，由0z 的定义以及()φα的半连续性，对于给定的δ，可以找到这样的00()ααδ=，使得：
()0
00(())(())(,)U z A u αδαδφαδδρδ?=-=>， 由()φα的单值性可导出()α?的单值性，从而必定存在0()[0,]ααδα=∈满足方程（4-1）。
根据上述定理，若方程
,Az u = u F ∈， u U ∈ （4-2）
的准确右端项()u R A γ∈,而u γ的近似s u U ∈且满足条件：(,)U u u γδρδ<；(0,)u δρδ>，则正则化参数()ααδ=存在且唯一。
5. 误差极小化准则
Arcangeli 主张由下式来确定正则参数
0Ax y α
ηδ-= （5-1） 注意到对于每个固定的0δ>，函数
()y αηδρα=- （5-2）
对α是连续的，单调递增的，且有
0lim ()0,lim ()ααραρα→→∞
==∞ （5-3） 故存在唯一的一个()ααδ=满足方程（5-1）。
6. 无偏差预测风险估计
正则化全参数地确定方法.doc
实用标准文案 1.拟最优准则 Tikhonov 指出当数据误差水平和未知时，可根据下面的拟最优准则： min dx opt （1-1 ） 0 d 来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。 2. 广义交叉验证 令 ( I A( 2 / m )) y V ( ) A( ))]2 （2-1 ） [tr ( I / m 其中， A( ) A h (A *h A h I) 1 A *h，tr (I m A( )) k 1 (1 kk ( ))， kk ( )为 A( ) 的 对角元素。这样可以取* 满足 V( *) min V ( ) （2-2 ） 此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS 准则，但比它更稳健。 3. L_曲线法 L 曲线准则是指以log-log尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则 参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L 曲线。 运用L 曲线准则的关键是给出L 曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数。Hanke 等[64]建议定义L 曲线的偶角为L 曲线在log-log尺度下的最大曲率。令log b Ax，log x，则该曲率作为参数的函数定义为 ' '''' ' c( )3（3-1） ((')2( ')2)2 其中“ '”表示关于的微分。 H.W.Engl在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L 曲线准则可通过极小化泛函 精彩文档
( ) x b Ax 来实现。即,选取* 使得 * arg inf ( ) （3-2 ） 这一准则更便于在数值计算上加以实施。 但到目前为止 ,还没有相关文献获得过关于L 曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L 曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L 曲线准则与 GCV 一样 ,具有很强的适应性。 4.偏差原理 : 定理 4-1:(Morozov 偏差原理 )[135] 如果( ) 是单值函数,则当U ( A z0, u) 时存在这样的( ),使得: U ( A z ( ) , u) （4-1 ） , 式中z0 z | [ z] inf F1 [ ] 。 事实上，令( ) ( ) 2 ，由( ) 的单调性和半连续性，可知( ) 也是单调和半连续的，并且 lim ( ) 0 ， 同时，由 z0的定义以及( ) 的半连续性，对于给定的，可以找到这样的0 0( )，使得： (0()) (0()) U ( A z 0 ( ), u) ， 由 ( ) 的单值性可导出( ) 的单值性，从而必定存在( ) [0, 0 ] 满足方程（4-1 ）。 根据上述定理，若方程 Az u,u F ，u U （4-2 ） 的准确右端项u R(A) , 的近似 u s U 且满足条件： U (u ,u ) ； (0, u ) ，而 u 精彩文档
大地测量中不适定问题的正则化解法研究
大地测量中不适定问题的正则化解法研究 摘要：为了解决大地测量中的不适定问题，人们提出了正则化解法，并期望通 过对正则解法的不断研究从而彻底解决大地测量中的不适定问题。论文对大地测 量中不适定问题的正则化解法研究进行详细论述，给相关人士提供参考。 关键词：大地测量;?不适定问题;?正则化解法;?系统误差; 大地测量是一项对地球的相关数据进行测量的活动。大地测量活动的开展不 但可以有效提升地形测图以及工程测量的精准度，同时还可以促进国家空间科学 以及国防建设的发展。此外，随着大地测量的不断深入，人们可以对地壳运动以 及地震等地质活动进行预测，从而降低地震等自然灾害对于人类的危害。然而在 大地测量中，时常会遇到一些不适定问题。例如，测量中所存在的控制网平差、GPS无法快速定位等。这些大地测量中的不适定问题虽然表现形式不同，但却有 着一些相同点。首先，这些不适定问题一般解均不唯一。再者，这些不适定问题 有时还会出现无解的状况。此外，这些不适定问题常常还会出现解不稳定的现象。这些不适定问题的出现严重影响了大地测量的进行与发展，因此，为了解决大地 测量中的不适定问题，对其解决方法进行了深入的研究，并将其逐步演变为正则 化解法。通过正则化解法，可以有效地解决大地测量中的不适定问题，并针对病 态性的算法进行改进，从而促进大地测量的快速发展。 1 推导了大地测量不适定问题解的统一表达 为对大地测量中不适定问题开展正则化解法研究，最初研究推导了大地测量 中不适定问题解的同意表达。旨在分析大地测量中不适定问题常用的一些数学模型，研究表明在该阶段常见的数学模型主要有拟合推估模型、自由网平差模型、 病态模型和半参数模型等。经计算显示，这些数学模型的解可以用某个数学关系 式统一表达，而令研究者所震惊的是这些数学模型都能够在TIKHONOV正则化原 理下推导出。实际推导过程中，为保证计算结果的准确度，研究者要把握好这些 数学模型之间的共性问题，尽可能地分析出他们的个性，求解时既要考虑数学模 型的基本计算理论，又要寻求合适的优化求解方案，以此来深化研究。 2 克服病态性的改进算法研究 在克服病态性的改进算法研究中，从以下3步展开论述：首先，针对一些难 以确定的岭参数，系统会主动选择研究确定的岭参数L曲线。为使L曲线的效果 能够更加清晰地展现出来，该算法研究采用对比法，将L曲线法同传统的岭迹法 相比较，以此来得出全新的结论。其次，研究还提出了克服病态性的两步解法， 需重点研究了两步解法的计算原理和相关数据性质以及相应的计算适应条件等。 同常规的克服病态性改进算法研究方案相比，该方案更为优异。最后，研究提出 了一种新的奇异值修正方案，该方案的核心是将奇异值分为2个部分进行分别修 正处理。实践证明这种方案是很有研究效果的，同其他克服病态性的改进算法相 比该方案的结算结果更为精准。 3 单频GPS快速定位中减弱病态性的新方法研究 本次研究，主要论述了单频GPS快速定位中减弱病态性的新方法，能够在较 短的时间内实现快速GPS定位。为此，首先分析了关于GPS快速定位的矩阵的结 构特性。在正则化原理的前提下，有针对性地提出了以下2种正则化矩阵的构造 方法。利用这2种新的方案，可以在很大程度上减弱传统法矩阵的病态性，利用 较短的时间就可以得出较为准确的结论。为此，对这2种新型的减弱矩阵病态性
正则化方法
3.2正则化方法的概念 从数学角度来分析，CT 中的有限角度重建问题相当于求解一个欠定的代数方程组，属于不适定问题研究范畴，解决这类问题通常需要引入正则化方法]27,26[。 3.2.1不适定的概念 设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，记 P Ax = (3.9) 在经典意义下求解(3.9)，就存在下述问题： (1)(3.9)式的解是否存在； (2)(3.9)式的解如果存在，是否唯一； (3)(3.9)式的解是否稳定或者说算子A 是否连续：对于右端的P 在某种意义下作微小的变动时，相应的解童是不是也只作微小的变动。 只要这些问题中有一个是否定的，就称(3.9)的解是不适定的。 3.2.2正则化方法概念的引入 设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，二者满足(3.9)式。设A 的逆算子1-A 不连续，并假定当右端精确值为r p 时，得到经典意义下的解为r x ，即满足 r r P Ax = (3.10) 现在的问题是，如果右端受到扰动后变为δp ，且二者满足关系 δδ≤-r p p (3.11) 其中，?为某范数。则由于1-A 的不连续性，我们显然不能定义r p 对应的解为： δδp A x 1-= (3.12)
因此，必须修改该逆算子的定义。 定义：设算子),(αp R 映p 成x ，且依赖一个参数α，并具有如下性质： (1)存在正数01>δ，使得对于任意0>α，以及r p 的)(1δδδ≤邻域中的p ，即满足 10,δδδ≤<≤-p p r (3.13) 的p ，算子R 有定义。 (2)若对任意的0>ε，都存在),0(1δδ∈及依赖于δ的参数)(δαα=，使得算子),(αp R 映r p 的δ邻域到r x 的ε领域内，即 εδαδδ≤-=r x x x p R ,))(,( (3.14) 则称),(αp R 为方程(3.14)中A 的正则逆算子；δx 称为方程(3.14)的正则解，当0→δ时，正则解可以逼近我们所要求的精确解；α称为正则化参数。这样的求解方法就称为正则化方法。
正则化参数的确定方法
1. 拟最优准则 Tikhonov 指出当数据误差水平δ和η未知时，可根据下面的拟最优准则： 0min opt dx d ααααα>????=?????? （1-1） 来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数α以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。 2. 广义交叉验证 令 22(())/()[(())]/I A y m V tr I A m δααα-=- （2-1） 其中，* 1*()A (A A I)A h h h h A αα-=+，1(I A())(1())m kk k tr ααα=-=-∑，()kk αα为()A α的 对角元素。这样可以取* α满足 *()min ()V V αα= （2-2） 此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS 准则，但比它更稳健。 3. L_曲线法 L 曲线准则是指以log-log 尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则 参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L 曲线。 运用L 曲线准则的关键是给出L 曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数α。Hanke 等[64]建议定义L 曲线的偶角为L 曲线在log-log 尺度下的最大曲率。令log b Ax αρ=- ，log x αθ=，则该曲率作为参数α的函数定义为 '''''' 3 '2'22()(()())c ρθρθαρθ-=+ （3-1） 其中“'”表示关于α的微分。 H.W.Engl 在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L 曲线准则可通过极小化泛函 ()x b Ax ααφα=-来实现。即,选取*α使得 {} *0arg inf ()ααφα>= （3-2） 这一准则更便于在数值计算上加以实施。 但到目前为止,还没有相关文献获得过关于L 曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L 曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L 曲线准则与GCV 一样,具有很强的适应性。 4. 偏差原理: 定理4-1:(Morozov 偏差原理)[135]如果()φα是单值函数,则当0(,)U z A u ρδ>时存在这 样的()ααδ=,使得:
地质参数确定方法
水文地质参数确定方法 水文地质参数，反映含水层或透水层水文地质性能的指标。如渗透系数、导水系数、水位传导系数、压力传导系数、给水度、释水系数、越流系数等，都是基本的水文地质参数。水文地质参数是进行各种水文地质计算时不可缺少的数据。一般是通过勘探试验测求水文地质参数。表征岩石(土)的水文地质性能的数量指标。是供水水文地质勘察中进行水文地质计算和地下水资源评价的数据。表征岩土储存、释出和输运水、溶质或热的特性的定量指标。 水文地质参数主要包括渗透系数、导水系数、释水系数、压力传导系数、越流系数、降水入渗系数、给水度、影响半径和弥散系数等。 常用的水文地质参数有下列各种： 1、渗透系数，又称水力传导系数，是水力坡度为1时，地下水在介质中的渗透速度。为表征介质导水能力的重要水文地质参数。渗透系数不仅与介质性质有关，还与在介质中运动的地下水的粘滞系数、比重及温度等物理性质有关。根据达西定律：V＝－KH／I式中，V为渗透速度；H为地下水水头；I为渗透距离；K为介质的渗透系数，量纲为（L／T）。其与渗透率的关系为K＝r?k／μ（K为渗透系数；k为渗透率；r为地下水的比重；μ为地下水动力粘滞系数）。从关系式中可知渗透系数与水的粘滞系数成反比，而后者随温度的升高而减小，因此，渗透系数随温度的升高而增大。在地下水温度变化较大时，应作相应的换算。在地下水矿化度显著增高时，水的比重和粘滞
系数均增大，渗透系数则随之而变化。在这种情况下，一般采用与液体性质无关的渗透率较为方便。 渗透系数是水力坡度为1时，水在介质中的渗透速度(以m／d表示)。是描述地下水在岩石(土)中导水性能的重要参数。又称水力传导系数。渗透系数的大小由岩石(土)中连通的孑L隙大小决定。岩石(土)中的孔隙大，则其渗透系数也大。同时渗透系数还与地下水在岩石(土)中运动时所溶物质、粘滞度、密度和温度等物理性质有关。由于地下水的密度和粘滞度等变化极小，对这些因素的变化常忽略不计。 渗透系数和渗透率渗透系数是表征在水力坡度作用下岩土输运地下水的能力的参数，又称水力传导系数（见达西定律）。因此，其数值不仅取决于岩土的特性，同时也与通过岩土的地下水的物理性质有关，即 式中K为渗透系数；k为岩土的渗透率；γ为地下水的重率；μ为地下水的动力粘滞系数。 渗透率也称渗透度，表征岩土本身输运流体能力而与流体的性质无关的参数，它仅仅取决于岩土的空隙性(空隙的大小、空隙率、空隙的形状和空隙的曲折性等)。因此，对于同一种岩土，渗透率是个定值；渗透系数则随水的物理性质的差异而不同。 在各向同性的岩土中，渗透率与渗流方向无关；对于各向异性的岩土，渗透率则随渗流方向而变。 在非饱和岩土中，渗透系数K和渗透率k为含水率的函数，不是
正则化参数λ
正则化参数λ或者α如何选择？ 1Tikhonov （吉洪诺夫）正则化 投影方程Ax=b （1） 在多种正则化方法中，Tikhonov 正则化方法最为著名，该正则化方法所求解为线性方程组众多解中使残差范数和解的范数的加权组合为最小的解： （2） 式中22. 表示向量的 2 范数平方；λ 称为正则参数，主要用于控制残差范数22 Ax b 与解的范数22Lx 之间的相对大小； L 为正则算子，与系统矩阵的具体形式有关。 Tikhonov 正则化所求解的质量与正则参数λ 密切相关，因此λ 的选择至关重要。确定正则参数的方法主要有两种：广义交叉验证法和 L-曲线法。 （1）广义交叉验证法（GCV ，generalized cross-validation ） 广义交叉验证法由 Golub 等提出，基本原理是当式Ax=b 的测量值 b 中的任意一项i b 被移除时，所选择的正则参数应能预测到移除项所导致的变化。经一系列复杂推导后，最终选取正则参数λ 的方法是使以下 GCV 函数取得最小值。 （3） 式中T A 表示系统矩阵的转置； trace 表示矩阵的迹，即矩阵中主对角元素的和。 （2）L-曲线法（L-curve Method ） L-曲线法是在对数坐标图上绘制各种可能的正则参数所求得解的残差范数和解的范数，如图1所示，所形成的曲线一般是 L 形。 图1 L 曲线示意图 L 曲线以做图的方式显示了正则参数变化时残差范数与解的范数随之变化的情况。从图
中知道当正则参数λ 取值偏大时，对应较小的解范数和较大的残差范数；而当λ 取值偏小时，对应较大的解范数和较小的残差范数。在 L 曲线的拐角（曲率最大）处，解的范数与残差范数得到很好的平衡，此时的正则参数即为最优正则参数。 另外一种方法 Morozov 相容性原理 是一种应用非常广泛的选取策略，它是通过求解非线性的Morozov 偏差方程来得到正则化参数。 投影方程 Kx=y 考虑有误差的右端观测数据 y Y δ∈ 满足y y δδ-≤，Tikhonov 正则化方法是通过极小化Tikhonov 泛函。 来得到正则化解，其中，α为正则化参数。当0α>时，泛函()J x α 在空间X 上存在唯一的极小元,x αδ，且该极小元恰为方程 的唯一解，其中，*K ：Y X → 为算子K 的伴随算子。 Morozov 相容性原理选取正则化参数()ααδ=是通过保证正则化解,x αδ满足方程 来实现的。