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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设,0,

0,1cos )(=≠?????=x x x

x x f 若若λ

其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.

（3）设

a>0，

，

x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤??

?==而D 表示全平面，则

??-=D

dxdy x y g x f I )()(=_______.

（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a

E B αα1

=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.

（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.

（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，

则当∞→n 时，∑==n

i i n X n Y 1

21依概率收敛于______.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.

[ ] （3）设2

n n a a p +=

，2

n n a a q -=

， ,2,1=n ，则下列命题正确的是

(A) 若

∑∞

n n

条件收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

都收敛.

(B) 若

∑∞

n n

绝对收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

都收敛.

∑∞

=1n n

条件收敛，则

∑∞

=1n n

与

∑∞

=1n n

敛散性都不定.

(D) 若

∑∞

n n

绝对收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

敛散性都不定. [ ]

（4）设三阶矩阵????

??????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.

(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则

s ααα,,,21 线性无关.

(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有

.02211=+++s s k k k ααα

(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件

(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.

三、（本题满分8分）设

).1,2

1[,)1(1sin 11)(∈--+=

x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,2

[上连续.

四、（本题满分8分）

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12

222=??+??v f u f ，又)](21,[),(22

y x xy f y x g -=,求.222

x g ??+?? 五、（本题满分8分）

计算二重积分 .)sin(22)

(22

dxdy y x e I D

y x +=

??-+-π

其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x

六、（本题满分9分）

求幂级数∑∞

=<-+1

2)1(2)1(1n n n

x n x 的和函数f(x)及其极值.

七、（本题满分9分）

设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+

(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf

九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组

?????

????=+++++=+++++=+++++=+++++,

0)(,0)(,0)(,

0)(332211332211332211332211n

n n

n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中

.01

≠∑=n

i i

试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）设二次型

)0(222),,(312

32221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，

中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；

(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为

;],8,1[,0,31

)(32其他若∈??

??=x x x f

F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

十二、（本题满分13分）

设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为

???

??7.03.021~X ，

而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).

2003年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设,0,

0,1cos )(=≠?????=x x x

x x f 若若λ

其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

【详解】当1>λ时，有

,0,

0,0,1sin 1cos )(21

=≠??

???+='--x x x

x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0

f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.

（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a . 【分析】曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.

【详解】由题设，在切点处有

03322=-='a x y ，有 .22

0a x =

又在此点y 坐标为0，于是有

030023

0=+-=b x a x ,

故 .44)3(6422

202202a a a x a x b =?=-=

【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤??

?==而D 表示全平面，则??-=D

dxdy x y g x f I )()(=

2a .

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】 ??-=D

dxdy x y g x f I )()(=

dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1

0,102

=.])1[(21

a dx x x a dy dx a

x x

=-+=??

【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数

不为零的区域的公共部分上积分即可.

（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a

E B αα1

+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .

【分析】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】由题设，有

)((T T a E E AB αααα+

-= =T T T T a a E αααααααα?-+-1

=T T T T a a E αααααααα)(1

1-+-

=T T T a a E αααααα21

-+-

=E a

a E T =+--+αα)1

21(,

于是有 01

21=+--a

a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.

（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为

0.9 .

【分析】利用相关系数的计算公式即可. 【详解】因为 )4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =

于是有 cov(Y ,Z)=

DY Z Y ),cov(=

.9.0),cov(==XY DY

DX Y X ρ

【评注】注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+

（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，

则当∞→n 时，∑==n

i i n X n Y 1

21依概率收敛于 21 .

【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量

n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：

).(111

1∞→→∑∑==n EX n X n n

i i p

n i i

【详解】这里

2221,,,n

X X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==

)21(412=+，因此根据大数定律有 ∑==n i i n X n Y 1

1依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0

)

0()(lim )(lim

)(lim 00

f x f x f x x f x

g x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=

0,0,1=≠??

?=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三

项，故应选(D).

【评注2】若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()

(lim

000

A x f x f A x x x f x x ='=?=-→.

（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知

0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).

【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '

【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).

（3）设2

n n a a p +=

，2

n n a a q -=

， ,2,1=n ，则下列命题正确的是

(A) 若

∑∞

n n

条件收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

都收敛.

(B) 若

∑∞

n n

绝对收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

都收敛.

∑∞

=1n n

条件收敛，则

∑∞

=1n n

与

∑∞

=1n n

敛散性都不定.

(D) 若

∑∞

n n

绝对收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

=1n n

敛散性都不定. [ B ]

【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】若

∑∞

n n

绝对收敛，即

∑∞

n n

收敛，当然也有级数

∑∞

n n

收敛，再根据

n n a a p +=

，2

n n a a q -=

及收敛级数的运算性质知，

∑∞

n n

与

∑∞

n n

都收敛，故应选(B).

（4）设三阶矩阵????

??????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.

0))(2(2

=-+=b a b a a

b b b a b b

b a ，即有02=+b a 或a=b.

但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).

【评注】 n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：

.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==??

??=n A r n A r n A r n A r

（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是

(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则

s ααα,,,21 线性无关.

(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有

.02211=+++s s k k k ααα

(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.

【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有

02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则

存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.

(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.

(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.

综上所述，应选(B).

【评注】原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，

使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件

(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.

再检验是否相互独立.

【详解】因为

21)(1=

A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，4

1)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，4

)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，

可见有

)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，

)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.

故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).

【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.

三、（本题满分8分）设

).1,2

1[,)1(1sin 11)(∈--+=

x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,2

[上连续.

【分析】只需求出极限)(lim 1

x f x -

→，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】因为

)(lim 1

x f x -→=])1(1

sin 11[lim 1

x x x x --+-

→πππ =

x x

x x ππππ

sin )1(sin )1(lim 1

---+

→

x x x

x πππππππ

cos )1(sin cos lim 1

-+---+

→

x x x x

x ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 1

221----+-

→ =

由于f(x)在)1,2

[上连续，因此定义

)1(=

f ，

使f(x)在]1,2

[上连续.

【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.

四、（本题满分8分）

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12

222=??+??v f u f ，又)](21,[),(2

2y x xy f y x g -=,求.2

222y g

x g ??+?? 【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(2

1,22

y x v xy u -=

=，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22u

v f

v u f ???=???

【详解】

f x u f y x

g ??+??=??， .v

f y u f x y

g ??-??=?? 故 v

f v f x v u f xy u f y x

g ??+

??+???+??=??2222222222， .222

2222222v

f v f y u v f xy u f x y

g ??-??+???-??=??

所以 22

2222222222)()(v

f y x u f y x y

g x g ??++??+=??+?? =.22y x +

【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五、（本题满分8分）计算二重积分 .)sin(22)

(22

dxdy y x e I D

y x +=

??-+-π

其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x

【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.

【详解】作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I D

y x )sin(22)

(22

+=??+-π

=.sin 20

dr r re d e r ?

-π

令2r t =，则 tdt e e I t sin 0

-=π

π.

记 tdt e A t sin 0

，则

t t de e A --?

=int 0

=]cos sin [0

?----π

tdt e t e t t

cos t tde

=]sin cos [0

tdt e t e t t ?--+-π

=.1A e -+-π

因此 )1(2

π-+=

e A ， ).1(2

)1(2

πππ

πe e e I +=

【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.

六、（本题满分9分）

求幂级数∑∞

=<-+1

2)1(2)1(1n n n

x n x 的和函数f(x)及其极值.

【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数

后，再按通常方法求极值.

【详解】

.1)1()(1

12∑∞

=-+-

=-=

'n n n x x

x x f 上式两边从0到x 积分，得

).1ln(2

11)0()(202

x dt t t f x f x

+-=+-=-? 由f(0)=1, 得

).1(),1ln(2

1)(2<+-

=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于

1(1)(2

x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，

可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.

【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.

七、（本题满分9分）

设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：

)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+

(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.

【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.

【详解】 (1) 由

)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='

=)()(22x f x g +

=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为

.4)(2)(2x e x F x F =+'

(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx x

dx +???=?

=]4[42C dx e e x x +?

=.22x x Ce e -+

将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是

.)(22x x e e x F --=

【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.

八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf

【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于

)

2()1()0(=++f f f ，

问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.

【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是

M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故

)

2()1()0(M f f f m ≤++≤

由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使

.13

)

2()1()0()(=++=f f f c f

因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(?∈c ξ，使.0)(='ξf

【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.

九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组

?????

????=+++++=+++++=+++++=+++++,

0)(,0)(,0)(,

0)(332211332211332211332211n

n n

n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中

.01

≠∑=n

i i

试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.

【详解】方程组的系数行列式

a a a a a

b a a a a a b a a a a a b a A n n

n n ++++=

321

321321321

=).(1

∑=-+n

i i n a b b

(1) 当0≠b 时且01

≠+

∑=n

i i

b 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.

(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01

≠∑=n

i i

可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系

为

T a a )0,,0,1,(1

1 -

=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α

当∑=-

i i

b 1

时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为

????????????

?????????

----∑∑∑∑====n i i n n

i i

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 13

113213121321

（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-

i i

倍）

→ ???

----∑=100

101010011321

1 n n

i i

a a a a a

（将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）

→ .0000100101010011

???

????

????????---

由此得原方程组的同解方程组为

12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T =α

【评注】本题的难点在∑=-

i i

b 1

时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为

n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.

十、（本题满分13分）

设二次型

)0(222),,(312

32221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，

中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.

(3) 求a,b 的值；

(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.

【详解】（1）二次型f 的矩阵为

.200200????

??????-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有

1)2(2321=-++=++a λλλ，

.12242

002002321-=--=-=b a b b

a λλλ

解得 a=1,b= -2.

(2) 由矩阵A 的特征多项式

)3()2(2

2+-=+----=

-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ

对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ

对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ

由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得

T )5

0,5

1=η，T )0,1,0(2=η，.)5

2,0,5

3T -

=η

令矩阵

[]??????????

???

==5205

1010510

5232

1ηηηQ ，

则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有

?????-=300020002AQ Q T ，

且二次型的标准形为

.3222

32221y y y f -+=

【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：

二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为

)].2()2()[2(2

0022b a a b

A E +----=+----=

-λλλλλλλ 设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得

1)2(2321=-+=++a λλλ，

.12)2(22321-=+-=b a λλλ

解得a=1,b=2.

十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为

;],8,1[,

0,31

)(32其他若∈???

??=x x x f

F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

【分析】先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.

【详解】易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有 .131)(31

-==

x dt t x F x

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0

})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+

于是，Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤

??=y y y y y G 若若若

【评注】事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;

当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =- 十二、（本题满分13分）

设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ???

??7.03.021~X ，

而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).

【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.

【详解】设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+=

=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见

G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P

=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F 由此,得U 的概率密度

)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g =).2(7.0)1(3.0-+-u f u f

【评注】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.

2017年高考大纲的说明(理科数学)

2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科数学）根据教育部考试中心《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》（以下简称《大纲》），结合基础教育的实际情况，制定了《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》（以下简称《说明》）的数学科部分．制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程方案（实验）》的要求，符合教育部考试中心《大纲》的要求，符合本省（自治区、直辖市）普通高等学校招生全国统一考试工作指导方案和普通高中课程改革试验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革． Ⅰ．命题指导思想 1．普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试． 2．命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求． 3．命题注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性．既要考查考生的共同基础，又要满足不同考生的选择需求．合理分配必考和选考内容的比例，对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，力求难度均衡． 4．试卷应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度． Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．二、试卷结构全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为12个选择题，全部为必考内容．第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．必考部分题由4个填空题和5个解答题组成；选考部分由选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若多做，则按所做的第一题给分． 1．试题类型

高考理科数学考试大纲

理科数学 Ⅰ．考核目标与要求根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

小学数学特岗考试大纲

云南省特岗教师招聘《小学数学教师专业课考试大纲》一、考试性质和要求《招聘小学数学教师考试大纲》是专门针对小学选拔合格数学教师的考试大纲。主要是为教师命题和数学教育专科以上学历毕业就业的学生备考提供依据，此考纲既可作为招聘小学数学特岗教师的指导用书，还可作为招聘小学数学教师考试的指导用书。《大纲》主要考查应试者大学专科小学数学教育专业应具备的数学基础知识和基本能力，同时，考查担任小学数学教师必备的基础知识和基本技能。 1.知识要求，依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次 (1)了解：要求对所列知识的含义及其背景有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能(或会)在有关的问题中识别它。 (2)理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。 (3)灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。二、考试范围全日制普通高中数学：简易逻辑、数列、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线方程、直线、平面、简单几何体。数学归纳法、概率与统计。高等数学：集合、函数、极限、导数、积分、向量代数。初等数论：数的整除I生。不定方程。小学数学教材教法研究：小学数学知识的相关基础理论知识、小学数学教学法。三、考试内容 (一)基础知识部分 1．简易逻辑考试内容：逻辑联结词。四种命题。充分条件和必要条件。考试要求：理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。理解四种命题及其相互关系。掌握充分条件、

必要条件及充要条件的意义。 2．数列考试内容：数列。等差数列及其通项公式。等差数列前n 项和公式。等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。考试要求： (1)理解数列的概念，理解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 (3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 3．不等式考试内容：不等式。不等式的基本性质。不等式的证明。不等式的解法。含绝对值的不等式。考试要求： (1)理解不等式的性质及其证明。 (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 (3)了解分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 (4)掌握简单不等式的解法。 4．直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率。直线方程的点斜式和两点式。直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件。两条直线的交角。点到直线的距离。曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。圆的标准方程和一般方程。考试要求： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。掌握直线方程

省教师招聘考试小学数学考试大纲

2016年福建省中小学新任教师公开招聘考试小学数学学科考试大纲一、考试性质福建省中小学新任教师公开招聘考试是符合招聘条件的考生参加的全省统一的选拔性考试。考试结果将作为福建省中小学新任教师公开招聘面试的依据。招聘考试应从教师应有的专业素质和教育教学能力等方面对考生进行全面考核，择优录取。招聘考试应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度。二、考试目标与要求着重考查考生的数学专业知识、教学技能，要求考生比较系统地理解和掌握从事小学数学教学工作必须具备的数学专业知识、教学技能和小学数学教学论等。在考查数学专业知识的同时，注重考查专业能力，突出灵活运用数学专业知识解决实际问题的能力。 1.数学专业知识的要求分为了解、理解、掌握三个层次。 ⑴了解：要求对所列知识的含义及其背景有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中识别它。 ⑵理解：要求对所列知识内容有较深刻的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。 ⑶掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。 2.专业能力包括思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力、创新能力。 ⑴思维能力：能对问题或资料进行观察、比较、分析、综合抽象与概括；能用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。 ⑵运算能力：能根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。 ⑶空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析图形元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；能运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

2020管综数学大纲解析

2020管综数学大纲解析各位2020年考生好，2020年研究生考试大纲公布，管综大纲没有任何变化。各位可以安心地好好备考。今天请跨考初数名师张亚男老师为各位讲解大纲情况。管综考试大纲数学考查目标 1、具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力。数学考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为200分，考试时间为180分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。不允许使用计算器。三、试卷内容与题型结构数学基础75分，有以下两种题型：问题求解15小题，每小题3分，共45分条件充分性判断10小题，每小题3分，共30分考查内容一、数学基础综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，通过问题求解和条件充分性判断两种形式来测试。试题涉及的数学知识范围有：（一）算术 1.整数（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数 2.分数、小数、百分数 3.比与比例 4.数轴与绝对值

（二）代数 1.整式（1）整式及其运算（2）整式的因式与因式分解 2.分式及其运算 3.函数（1）集合（2）一元二次函数及其图像（3）指数函数、对数函数 4.代数方程（1）一元一次方程（2）一元二次方程（3）二元一次方程组 5.不等式（1）不等式的性质（2）均值不等式（3）不等式求解一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式。 6.数列、等差数列、等比数列（三）几何 1.平面图形（1）三角形（2）四边形(矩形、平行四边形、梯形)（3）圆与扇形 2.空间几何体（1）长方体（2）柱体（3）球体 3.平面解析几何（1）平面直角坐标系（2）直线方程与圆的方程（3）两点间距离公式与点到直线的距离公式（四）数据分析 l.计数原理（1）加法原理、乘法原理（2）排列与排列数（3）组合与组合数 2.数据描述（1）平均值（2）方差与标准差（3）数据的图表表示，直方图，饼图，数表。 3.概率

高考文科数学考试大纲

20XX年高考文科数考试大纲(新课标) 二、考试范围与要求本部分包括必考内容和选考内容两部分。必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列Ⅰ的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题。（一）必考内容与要求 1.集合（1）集合的含义与表示（2）集合间的基本关系（3）集合的基本运算 2．函胜概念与基本初等函效Ⅰ（指致函做、对数函致、幂函数) （1）函数（2）指数函数(3)对数函数（4）冥函数(5)函数与方程(6)函数模型及其应用 3.立体几何初步 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构. (2)点、直线、平面之间的位工关系 ①理解空间直先、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推 ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。理解以下判定定理. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空空间图形的位置关系的简单命题。 4．平面解析几何初步 (2)圆与方程（3）空间直角坐标系 5.算法初步 6.统计 (1)随机抽样(2)用样本估计总体(3)变量的相关性 7.概率 (1)事件与概率 (2)古典概型 (3)随机数与几何概型 8.基本初等函数Ⅱ（三角函数）（1）任意角的概念、弧度制（2）三角函数 9.平面向. (I)平面向量的实际背景及基本概念（2）向量的线性运算（3）平面向量的基本定理及坐标表示 (4)平面向量的数量积 (5)向量的应用 10.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

小学数学教学大纲年级修订稿

小学数学教学大纲年级 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

一年级小学数学教学大纲一年级教学内容(每周4课时) (一)数与计算 (1)20以内数的认识。加法和减法。数数。数的组成、顺序、大小、读法和写法。加法和减法。连加、连减和加减混合式题。 (2)100以内数的认识。加法和减法。数数。个位、十位。数的顺序、大小、读法和写法。两位数加、减整十数和两位数加、减一位数的口算。两步计算的加减式题。 (二)量与计量钟面的认识(整时)。人民币的认识和简单计算。 (三)几何初步知识长方体、正方体、圆柱和球的直观认识。长方形、正方形、三角形和圆的直观认识。 (四)应用题比较容易的加法、减法一步计算的应用题。

(五)实践活动选择与生活密切联系的内容。例如根据本班男、女生人数，每组人数分布情况，想到哪些数学问题。教学要求 1.通过数不同物体的个数，逐步抽象出数。会区分几个和第几个。掌握10以内数的组成。会正确、工整地书写数字。 2.认识计数单位“一”和“十”，初步理解个位、十位上的数表示的意义。熟练地数100以内的数，会读、写100以内的数。掌握100以内的数是由几个十和几个一组成的。掌握100以内数的顺序，会比较100以内数的大小。 3.知道加、减法的含义，加、减法算式中各部分的名称，加法和减法的关系。熟练地口算一位数的加法和相应的减法，比较熟练地口算两位数加、减整十数和两位数加、减一位数。会计算加减法两步式题。 4.认识符号“＝”、“＞”、“＜”，会使用这些符号表示数的大小。

5.认识钟面，会看整时。认识人民币。知道1元＝10角，1角＝10分。要爱护人民币。 6.会根据加、减法的含义解答比较容易的加、减法一步计算的应用题。知道题目中的条件和问题，会列出算式，注明得数的单位名称，口述答案。 7.培养学生认真做题、计算正确、书写整洁的良好习惯。 8.通过实践活动，使学生体验数学与日常生活的密切联系。二年级小学数学教学大纲二年级教学内容(每周5课时) (一)数与计算 (1)两位数加、减两位数。两位数加、减两位数。加、减法竖式。两步计算的加减式题。 (2)表内乘法和表内除法。乘法的初步认识。乘法口诀。乘法竖式。除法的初步认识。用乘法口诀求商。除法竖式。有余数除法。两步计算的式题。

2019年度高考文科数学考试大纲

-* 文科数学 Ⅰ．考核目标与要求根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1 和系列4 的内容,确定文史类高考数学科考试内容. 一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1 和系列4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例，经过分析提炼，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

2020小学数学教师招聘试题大纲

2020教师招聘小学数学考试大纲考试范围与内容㈠数学专业知识 1.数的认识考试内容：整数、分数、小数、百分数、有理数、实数。考试要求： ⑴掌握整数、分数、小数和百分数的意义，按照要求进行数的改写和求近似数；掌握数位和数级的顺序、名称及计数单位间的关系；运用灵活的方法比较分数、小数和百分数的大小。 ⑵理解小数的性质、分数的基本性质，运用分数的基本性质约分和通分；理解分数、小数和百分数之间的关系，运用灵活的方法进行互化。 ⑶理解有理数的意义；了解无理数和实数的概念。 ⑷理解平方根、算术平方根、立方根的概念。 2.数的运算考试内容：四则运算、开方与乘方运算、整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、

算术基本定理。考试要求： ⑴理解四则运算的意义；掌握运算法则；理解加、减、乘、除算式各项之间的关系；掌握口算、笔算、估算的基本方法，理解相应算理。 ⑵理解积变化的规律，商不变的性质，小数点位置移动引起的变化规律；掌握加法运算定律、乘法运算定律和有关运算的性质，灵活运用定律和性质进行整数、小数、分数的简便运算。 ⑶掌握比和比例的各部分名称及相互关系，理解正比例和反比例的意义；理解比、比例的意义和基本性质，求比值、化简比和解比例的有关问题。 ⑷熟练掌握小学阶段所要求的数学问题的数量关系，重点理解实际问题中的工程问题、行程问题、分数和百分数问题、几何形体问题等，综合运用知识和方法解决实际问题，体现运用数学解决问题的思考方法。 ⑸掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，运用有理数的运算解决简单的问题。 ⑹理解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，用它进行有关实数的简单四则运算。 ⑺了解整数对加、减、乘的封闭性，利用整数对加、减、乘的封闭性讨论问题。

2020年新课标高考数学大纲解析

2020年新课标高考数学大纲解析由教育部考试中心编写的《2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲》已新鲜出炉。此次出炉的新考试大纲与去年相比是否有变化?兰州一中、西北师大附中、兰大附中的高三老师对大纲进行解读为考生支招。据介绍，今年《考试大纲》与去年相比，变化较小，高考命题将保持稳定。数学：提高解题准确性和速度兰大附中教师刘瑞平李虎【大纲解析】 2014年新课标全国卷高考数学考试大纲和2013年《考试大纲》对比，在内容，能力要求，时间(分值)，题型,题量，包括考试说明后面的题型示例等都没有发生变化，考生可正常复习，不用注意增减知识点。【备考建议】一是整合、巩固。一轮复习刚刚结束，但二轮复习要注意回归课本，浓缩课本知识，进一步夯实基础，掌握方法，凝练思想，提高解题的准确性和速度。二是查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，根据自己的实际作出合理的安排，每天进步一点。三是提高运算能力，加强训练。历年高考中运算题型都占很大比例，高考中的三角函数题，立体几何题，解析几何题，函数与导数题，都要求很强的运算能力。在二轮复习中一定要重视运算技巧，粗中有细，提高运算准确性和速度。

四是解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，多想少算，一旦方法选定，解题动作要快要自信，立足一次成功，平时要注意积累错误，特别是易错点纠正要认真，更重要的是寻找错误原因，及时总结。取人之长补己之短，把问题解决在高考之前。五是重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。尽量灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

(新课标)2020年高考数学考试说明文

2020年高考文科数考试大纲(新课标) I.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩.按己确定的招生计划。德、智、体全面衡量.择优录取.因此.高考应具有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试内容根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2020年颁布的《普通搞好总课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考察考生对中学的基础知、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考察考生进入高等学校继续学习的潜能。一、考核目标与要求 1.知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以卜简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法期、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步孩进行运其。处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 (1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识.知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识.知道知知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象。比较、判断，初步应用等。 (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析.推导、证明.研究、讨论、运用、解决问题等. 2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 (1)空间想象能力:能根据条件作出正确的图形。根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志. （2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；该开始至把仅仅

安徽考编小学数学考试大纲

小学数学学科考试大纲三、考试范围与内容 (一) 学科专业知识 1.数的认识 ⑴整数、分数、小数和百分数的意义，数的改写和求近似数；数位和数级的顺序、名称及计数单位间的关系；比较分数、小数和百分数的大小。 ⑵小数的性质、分数的基本性质，约分和通分；分数、小数和百分数之间的关系。 ⑶有理数的意义、大小。 ⑷平方根、算术平方根、立方根、无理数和实数的概念。 2.数的运算与性质 ⑴四则运算的意义、运算法则和运算定律；口算、笔算、估算的基本方法和相应算理。 ⑵积的变化规律、商不变的性质和小数的性质。 ⑶比和比例的各部分名称及相互关系；比、比例的意义和基本性质；正比例和反比例的意义，解决比例的有关问题。 ⑷常见的数量关系。 ⑸实数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。 ⑹整除、约数、倍数的定义，用定义证明整除问题。 ⑺带余除法的意义、带余除法表达式。 ⑻奇数、偶数的定义和性质，奇偶分析法。 ⑼被2，3，5整除的数的特征。 ⑽因数（约数）、倍数、质数（素数）、合数、质因数、最大公因数（最大公约数）和最小公倍数以及互质数的概念；分解质因数；最大公因数、最小公倍数及其应用。 3.常见的量 ⑴常用的时间单位、长度单位、质量单位和面积单位以及体积与容积单位。 ⑵用单位间的进率进行单位换算。 4.代数式与方程

⑴用字母表示数的意义，列代数式，求代数式的值。 ⑵整数指数幂的意义和基本性质；整式，整式的加法、减法和乘法运算。 ⑶分式的概念、基本性质和运算。 ⑷二次根式，二次根式的性质及其加、减、乘、除运算法则。 ⑸等式的性质；方程、方程的解。 ⑹一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程(组)、分式方程的概念、解法及其应用，检验方程的解是否合理。 5.不等式 ⑴不等式的概念与基本性质，简单不等式的解法。 ⑵一元一次不等式（组）及其简单应用。 ⑶用比较法、综合法、分析法等证明简单的不等式。 ⑷基本不等式：()0,2 ≥≥+b a ab b a 。 6.集合 ⑴集合，元素与集合间的关系，集合的表示方法。 ⑵集合之间的包含和相等关系；全集与空集的含义。 ⑶并集、交集和补集的含义、运算；用韦恩图表示简单集合间的关系与运算。 ⑷区间及其表示方法。 7.函数 ⑴映射与函数的概念；求简单函数的定义域和值域；反函数，求简单函数的反函数。 ⑵常量、变量；一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的概念、性质和应用。 ⑶函数的奇偶性、单调性和周期性；判断简单函数的奇偶性、周期性。 ⑷复合函数的概念，将复合函数分解成几个简单函数。 ⑸分数指数幂的概念、运算及性质；对数的概念和运算性质。 ⑹初等函数的概念；幂函数、指数函数、对数函数的概念、图像和性质。 ⑺角、弧度制、任意角的三角函数、三角函数线等概念，同角三

2020高考数学考试大纲文

2020高考数学考试大纲文 I.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试内容根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2020年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容. 数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养. 数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能. 一、考核目标与要求 1.知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. (1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力 . 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判断，初步应用等. (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等. 2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. (1)空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象

高考理科数学考纲

从网上下载的高考理科数学考试大纲，在此分享 2011年高考理科数学考纲——新课标版根据教育部考试中心《2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准试验版）》（以下简称《大纲》），结合基础教育的实际情况，制定了《2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科·课程标准实验版）》（以下简称《说明》）的数学科部分。制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程方案（实验）》的要求，符合教育部考试中心《大纲》的要求，符合本省（自治区、直辖市）普通高等学校招生全国统一考试工作指导方案和普通高中课程改革试验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革。 Ⅰ．命题指导思想 1．普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试． 2．命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求．3．命题注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性．既要考查考生的共同基础，又要满足不同考生的选择需求．合理分配必考和选考内容的比例，对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，力求难度均衡． 4．试卷应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度． Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．二、试卷结构全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为12个选择题，全部为必考内容．第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．必考部分题由4个填空题和5个解答题组成；选考部分由选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若多做，则按所做的第一题给分． 1．试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比约为：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右． 2．难度控制试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题界定为难题．三种难度的试题应控制合适的分值比例，试卷总体难度适中． Ⅲ．考核目标与要求一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还

小学数学教学大纲1-6年级

选择与生活密切联系的内容。例如根据本班男、女生人数，每组人数分布情况，想到哪些数学问题。教学要求 1.通过数不同物体的个数，逐步抽象出数。会区分几个和第几个。掌握10以内数的组成。会正确、工整地书写数字。 2.认识计数单位“一”和“十”，初步理解个位、十位上的数表示的意义。熟练地数100以内的数，会读、写100以内的数。掌握100以内的数是由几个十和几个一组成的。掌握100以内数的顺序，会比较100以内数的大小。 3.知道加、减法的含义，加、减法算式中各部分的名称，加法和减法的关系。熟练地口算一位数的加法和相应的减法，比较熟练地口算两位数加、减整十数和两位数加、减一位数。会计算加减法两步式题。 4.认识符号“＝”、“＞”、“＜”，会使用这些符号表示数的大小。 5.认识钟面，会看整时。认识人民币。知道1元＝10角，1角＝10分。要爱护人民币。 6.会根据加、减法的含义解答比较容易的加、减法一步计算的应用题。知道题目中的条件和问题，会列出算式，注明得数的单位名称，口述答案。 7.培养学生认真做题、计算正确、书写整洁的良好习惯。

高考文科数学考试大纲

文科数学 Ⅰ．考核目标与要求根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1 和系列4 的内容,确定文史类高考数学科考试内容. 一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1 和系列4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例，经过分析提炼，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析

2017年高考大纲的说明(理科数学)

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小学数学特岗考试大纲

最新全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲汇总

最新全国新课标高考理科数学考试大纲

省教师招聘考试小学数学考试大纲

2020管综数学大纲解析

高考文科数学考试大纲

小学数学教学大纲年级修订稿

2019年度高考文科数学考试大纲

2020小学数学教师招聘试题大纲

2020年新课标高考数学大纲解析

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