数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题

一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题4分,

共32分)

1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是( b ) A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数

2、函数)(x f 是奇函数,且在[-a,a ]上可积,则( b ) A 、?

?=-a

a

a dx x f dx x f 0

)(2)( B 、

0)(=?

-a

a dx x f

C 、

??

-=-a a

a

dx x f dx x f 0

)(2)( D 、)(2)(a f dx x f a

a

=?-

3、 下列广义积分中,收敛的积分是( a ) A 、

?

1

1dx x

B 、 ?

+1

1dx x

C 、 ?+∞

sin xdx D 、?

-1

13

1

dx x 4、级数

∑∞

=1

n n

a

收敛是

∑∞

=1

n n

a

部分和有界且0lim =∞

→n n a 的( c )

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充分必要条件

D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是( a ) A 、

1

0arcsin xdx ?

B 、1

1

ln e

e

dx x x ? C 、

1

-?

数学分析第二学期期末考试题及答案

D 、10sin x dx x ? 6、下面结论错误的是( b )

A 、若)(x f 在],[b a 上可积,则)(x f 在],[b a 上必有界;

B 、若)(x f 在),(b a 内连续,则

)(dx x f b

a

?

存在;

C 、 若)(x f 在],[b a 上可积,则)(x f 在]

,[b a 上必可积;

D 、 若)(x f 在],[b a 上单调有界,则)(x f 在],[b a 上必可积。 7、下列命题正确的是( d ) A 、

)(1x a

n n

∑∞

=在[a ,b ]绝对收敛必一致收敛

B 、

)(1

x a

n n

∑∞

=在[a ,b ] 一致收敛必绝对收敛

C 、 若0|)(|lim =∞

→x a n n ,则

)(1

x a

n n

∑∞

=在[a ,b ]必绝对收敛

D 、

)(1x a

n n

∑∞

=在[a ,b ] 条件收敛必收敛

8、

∑∞

=++-0121

21

)1(n n n x n 的和函数为( c ) A 、x

e B 、x sin C 、)1ln(x + D 、x cos

二、计算题:(每小题7分,共28分)

9、

?

=9

1

4)(dx x f ,求?+2

2)12(dx x xf 。

10、计算

?

++0

2

221

dx x

x 。 11、计算∑∞

=11n n x n 的和函数,并求∑∞

=-1

)1(n n

n 。

12、计算

?x x dx

22cos sin

三、讨论题与应用:(每小题10分,共20分)

13、讨论

∑∞

=+-2

21

sin 2)

1(n n n n n

x

的敛散性 14、抛物线x y 22

=把圆82

2

≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比。 四、证明题:(每小题10分,共20分)

15、设f(x)是以T 为周期的函数,且在[0,T]上可积,证明

??

=+T

T

a a

dx

x f dx x f 0

)()(

16、设)(x f 在[a ,b ]连续,证明

?

?=

π

π

π

)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,并求

?

2cos 1sin dx x

x

x

参考答案

一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、

??

++=

+20222

2)12()12(2

1)12(x d x f dx x xf (3分)令122

+=x u ,??

==+9

1

2

2

2)(21)12(du u f dx x xf (3分)

2、

?

++0

2221dx x x =4

)1arctan(lim )1()1(11lim 002π

=

+=+++∞→∞→?A A A A x x d x (6分) 3、解:令)(x f =∑∞

=11n n x n ,由于级数的收敛域)1,1[-(2分),)('

x f =x x n n -=∑∞

=-111

1,

)(x f =)1ln(110x dt t x

-=-?(2分),令1-=x ,得2ln )1(1

=-∑∞

=n n

n 4、解:两边对x 求导02232=--x x xz z z z (3分)x z z z x 2322-=(2分)2

)

1,1,1(=??x z

(1分)

5、解:x y

x y

x ≤+≤||0222(5分)0lim 2

220

0=+→→y x y x y x (1分) 由于x =-2,x =2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分)

三、1、解、?????=+≠++-+=0

00)(4),(22222

222

224y x y x y x y y x x y

y x f x (2分)

??

???=+≠++--=0

00)(4),(22222

222

224y x y x y x y y x x x

y x f y (4分)

1)0,0(),0(lim )0,0(02-=?-?=???→?y f y f x y z

x x y

1)0,0()0,(lim )0,0(02=?-?=???→?x

f x f y x z

y y x (6分)

2、解:由于x n

x n n n n n 221

sin 2|sin 2)

1(|lim =-+∞

→(3分)

,即1sin 22

x 级数发散(7分)

所以原级数发散(2分)

四、证明题(每小题10分,共20分)

1、证明:因为)(1x f 在[a ,b ]上可积,故在[a ,b ]上有界,即0>?M ,使得]),[()(1b a x M x f ∈?≤,

(3分)从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f x

a -≤≤?一般来说,若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n (5分)则)()!

1()()(1

∞→--≤-n n a b M x f n n ,所以

)}({x f n 在[a ,b ]上一致收敛于0(2分)

???

=+++=+a

a T

a T

dt t f T t d T t f t T x dx x f 0

)()()()((2)

(4分) 将式(2)代入(1)得证(2分)

2、 y e x z y x 1=??,2y x e y z

y x -=??,

(7分)则012=-=??+??y

x ye y xe y z y x z x y x

y x (3分) 3、 证明:令t x -=π

???

?-=---=π

ππ

π

πππ0

)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证(7

分)

8cos 1sin 2cos 1sin 2020

2ππππ

=+=+??

dx x x dx x

x x (3分)

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