标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2：第二章 2.1 2.1.2 反证法

2．1.2反证法

预习课本P89～91，思考并完成下列问题

(1)反证法的定义是什么？有什么特点？

(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？

[新知初探]

1．反证法的定义及证题的关键

[点睛]对反证法概念的理解

(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．

(2)反证法属“间接解题方法”．

2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系

(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．

(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)反证法属于间接证明问题的方法．()

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()

答案：(1)√(2)×(3)√

2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()

①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论A．①②B．①②④

C．①②③D．②③

答案：C

3．如果两个实数之和为正数，则这两个数()

A．一个是正数，一个是负数

B．两个都是正数

C．至少有一个正数

D．两个都是负数

答案：C

4．用反证法证明“如果a＞b，那么3

a＞

3

b”，假设的内容应是________．

答案：3

a≤

3

b

[典例]已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．

[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，

即a＋c＋2ac＝4b.

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，

∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

1．用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

2．用反证法证明数学命题的步骤

[活学活用]

已知f (x )＝a x ＋x －2

x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．

证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0＜0且x 0≠－1，且ax 0＝－x 0－2

x 0＋1

， 由0＜ax 0＜1?0＜－

x 0－2

x 0＋1

＜1， 解得1

2＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立，

故方程f (x )＝0没有负数根．

[0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．

[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即： ????

?

(4a )2

－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0?

????

?

－32＜a ＜12

，a ＞13或a ＜－1，?－32＜a ＜－1，

－2＜a ＜0.

这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．

[一题多变]

1．[变条件，变设问]将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？

解：若方程没有一个有实根，则?????

16a 2

－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2

＜0，

4a 2＋8a ＜0，

解得?????

－32＜a ＜12

，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.

故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是?

?????

a ?

?

a ≥－1或a ≤－32. 2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．

解：假设三个方程都有实数根，则 ????

?

(4a )2

－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，

即?????

4a 2＋4a －3≥0，3a 2

＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，

解得?????

a ≤－3

2或a ≥1

2

，－1≤a ≤13

，a ≤－2或a ≥0.

即a ∈?.

所以实数a 的取值范围为实数R.

3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．

证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.

而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，

∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．

用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点

(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．

(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．

用反证法证明唯一性命题

[典例]求证：两条相交直线有且只有一个交点．

[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．

若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．

若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，

这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．

巧用反证法证明唯一性命题

(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．

(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．

(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．

[活学活用]

求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．

证明：已知：直线b∥a，A?a，A∈b，

求证：直线b唯一．

假设过点A还有一条直线b′∥a.

根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，

与b∩b′＝A矛盾，∴假设不成立，原命题成立．

层级一学业水平达标

1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：

①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()

A．①②③B．③①②

C．①③②D．②③①

解析：选B根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.

2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a不能被5整除

解析：选B“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.

3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是() A．三个内角中至少有一个钝角

B．三个内角中至少有两个钝角

C．三个内角都不是钝角

D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

解析：选B“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．

4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()

A．一定是异面直线B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线

解析：选C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.

5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：选B∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a ＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．

6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．

答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．

解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.

答案：a≠1或b≠1

8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB?α，CD ?α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．

答案：异面

9．求证：1，3，2不能为同一等差数列的三项．

证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，

则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m，n为两个正整数，

由上面两式消去d，得n＋2m＝3(n＋m)．

因为n＋2m为有理数，而3(n＋m)为无理数，

所以n＋2m≠3(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，

即1，3，2不能为同一等差数列的三项．

10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.

(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．

解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.

∵f(x)在R上是增函数，

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，

∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．

用反证法证明如下：

假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．

同理可得f(b)＜f(－a)．

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．

层级二应试能力达标

1．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax＝b(a≠0)()

A．无解B．有两解

C．至少有两解D．无解或至少有两解

解析：选D“唯一”的否定是“至少两解或无解”．

2．下列四个命题中错误的是()

A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角

B.17，13，11不可能成等差数列

C ．在△ABC 中，若a ＞b ＞c ，则∠C ＞60°

D ．若n 为整数且n 2为偶数，则n 是偶数

解析：选C 显然A 、B 、D 命题均真，C 项中若a ＞b ＞c ，则∠A ＞∠B ＞∠C ，若∠C ＞60°，则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°与∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°矛盾，故选C.

3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1

a ( )

A ．都不大于－2

B ．都不小于－2

C ．至少有一个不大于－2

D ．至少有一个不小于－2

解析：选C 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1

a ＞－6，但????a ＋1

b ＋????b ＋1

c ＋????c ＋1a ＝????a ＋1a ＋????b ＋1b ＋???

?c ＋1

c ≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 4．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定

解析：选B 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC ＞∠BAD ，∠ADC ＞∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π

2

时，才符合题意．

5．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________________．

解析：至少有一个实根的否定是没有实根， 故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根

6．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．

证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有

奇数＝________＝________＝0. 但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数． 解析：据题目要求及解题步骤，

∵a 1－1，a 2－2，...，a 7－7均为奇数， ∴(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7)也为奇数． 即(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)为奇数． 又∵a 1，a 2，...，a 7是1,2，...，7的一个排列， ∴a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0， 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)

7．设x ，y 都是正数，且x ＋y ＞2，试用反证法证明：1＋x y ＜2和1＋y

x

＜2中至少有一个成立．

证明：假设1＋x y ＜2和1＋y

x ＜2都不成立， 即

1＋x y ≥2，1＋y

x

≥2. 又∵x ，y 都是正数，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . 两式相加得到2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，

∴x ＋y ≤2.与已知x ＋y ＞2矛盾，所以假设不成立， 所以1＋x y ＜2和1＋y

x ＜2中至少有一个成立．

8．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )

1－a n ＋1

，a n a n ＋1＜0(n ≥1)；数列{b n }满足：

b n ＝a 2n ＋1－a 2

n (n ≥1)．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． 解：(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2

n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23

c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·????23n －1， 故1－a 2n ＝34·????23n －1?a 2n

＝1－34·????23n －1. 又a 1＝1

2

＞0，a n a n ＋1＜0，

故a n ＝(－1)n －

1

1－34·???

?23n －1.

b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝????1－34·????23n －1－34·????23n －1＝14·???

?23n －1. (2)用反证法证明．

假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为2

3

的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14·????23s －1＝14·????23r －1＋14·???

?23t －1

，

两边同乘以3t －

121－

r ，化简得3t －

r ＋2t －

r ＝2·2s －

r 3t －

s .

由于r ＜s ＜t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5：课时跟踪检测(二) 余弦定理

课时跟踪检测（二） 余弦定理 层级一 学业水平达标 1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1 2，∴A ＝60°. 2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝ 13 14 ，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17 D ．－18 解析：选C 由余弦定理，得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×13 14＝9， 所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3 ＝－1 7. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 2 2ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．是锐角或直角三角形 解析：选C 由c 2－a 2－b 2 2ab >0得－cos C >0， 所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形． 4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝4 3 .

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第三章概率 3．1 随机现象3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用 高中数学（B版）必修四 第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质 第二章平面向量 2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算 2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用 第三章三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积 高中数学（B版）必修五 第一章解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例 第二章数列 2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用

【三维设计】人教版高中数学选修1-1练习：1.1.1命 题(含答案解析)

课时跟踪检测（一） 命 题 层级一 学业水平达标 1．下列语句不是命题的有( ) ①若a>b ，b>c ，则a>c ；②x>2；③3<4；④函数y ＝a x (a>0，且a≠1)在R 上是增函数． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题． 2．下列命题是真命题的是( ) A ．所有质数都是奇数 B ．若a>b ，则a>b C ．对任意的x ∈N ，都有x 3>x 2成立 D ．方程x 2＋x ＋2＝0有实根 解析：选B 选项A 错，因为2是偶数也是质数；选项B 正确；选项C 错；因为当x ＝0时x 3>x 2不成立；选项D 错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实根. 3．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( ) A ．若a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，则a ⊥b C ．若a ，b 相交，则α，β相交 D ．若α，β相交，则a ，b 相交 解析：选D 由已知a ⊥α，b ⊥β，若α，β相交，a ，b 有可能异面． 4．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．－3 解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件． 5．已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18 ； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12 相切． 其中真命题的序号为( )

高中数学【北师大选修1-1】教案全集

第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；

为什么高一数学人教版分A版和B版

为什么高一数学人教版分 A版和B版 The final edition was revised on December 14th, 2020.

为什么高一数学人教版分A版和B版高中数学课程框架1．课程框架 高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；课程结构如图所示。 2．必修课程 必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。刚上高1的学生很快就接触到了函数知识，其实初中对函数的知识有一些初步的涉猎，但是涉及的内容较少，定义也不完整，高中阶段是学生第一次正式接触函数，此部分知识模块难度较大，大部分学生学到这个知识模块会出现比较多的问题，函数是高中知识最难的3个模块之1也是学生第一个遇到的难题，需要学生平和的心态去把握。花大量的时间学习掌握。也是期中考试的主题内容。很多学生学到这个部分问题教多会怀疑自己初中知识学的是否扎实，其实和初中关联的只有几个部分：（二次函数，一次函数，正比例函数，反比例函数，一元二次方程，和不等式的简单解法。）这几个知识要是没问题就是不会影响到高1初步的知识学习。 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。此部分知识讲解前需要学生做适当预习，不过知识不是很难，因为前面讲数列会花费比较多的时间，因此到解析几何的时候会显得时间紧张，应该提前注意避免影响成绩。

数学3：算法初步、统计、概率。此部分知识不是很难，只要学生紧跟学校老师应该问题不大，但是很多学生会因此放松导致影响后面的知识的学习。 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。此部分知识承接必修1的函数，是知识延续，如果函数学的不好会对这个部分有较多影响。开展课程前要先了解下必修1中函数知识的掌握情况。 数学5：解三角形、数列、不等式。解斜三角形和必修4的三角函数有部分练习，需提前复习，数列是一个很难的知识模块，需要花费比较多的时间学习掌握。 3．选修课程 对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。 系列1：由2个模块组成。 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 系列2：由3个模块组成。 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何； 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入； 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

高中数学三维设计必修4：(一)任意角

课时跟踪检测（一）任意角 层级一学业水平达标 1．－215°是() A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角． 2．下面各组角中，终边相同的是() A．390°，690°B．－330°，750° C．480°，－420°D．3 000°，－840° 解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同． 3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是() A．第一、三象限B．第一、二象限 C．第二、四象限D．第三、四象限 解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z， 当k＝2n＋1，n∈Z， α＝2n·180°＋180°＋45° ＝n·360°＋225°，在第三象限， 当k＝2n，n∈Z， α＝2n·180°＋45° ＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角． 4．终边在第二象限的角的集合可以表示为() A．{α|90°<α<180°} B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z} C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z} D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z} 解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确． 5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是() A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360° C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360° 解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选 B.

人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

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数学①必修 第一章集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的表示方法 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 1.2.2 集合的运算 第二章函数 2.1 函数 2.1.1 函数 2.1.2 函数的表示方法 2.1.3 函数的单调性 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图像（选学） 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质和图像 2.2.2 二次函数的性质和图像 2.2.3 待定系数法 2.3 函数的应用（I） 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法 第三章基本初等函数（I） 3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算 3.1.2 指数函数 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 3.2.2 对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 3.3 幂函数 3.2 函数的应用（II） 数学②必修 第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 1.2 点、线、面之间的位置关系

1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 1.2.3 空间中的垂直关系 第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的集中形式 2.2.3 两条直线的位置关系 2.2.4 点到直线的距离 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程 2.3.2 圆的一般方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3.4 圆与圆的位置关系 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式 数学③必修 第一章算法初步 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图 1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示 1.2 基本算法语句 1.2.1 赋值、输入和输出语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句 1.3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样 2.1.2 系统抽样 2.1.3 分层抽样 2.1.4 数据的收集 2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 2.3 变量的相关性 2.3.1 变量间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关 第三章概率

高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测(十四)

课时跟踪检测（十四） 三角函数模型的简单应用 层级一 学业水平达标 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过1 2周 期后，乙的位置将移至( ) A ．x 轴上 B ．最低点 C ．最高点 D ．不确定 解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定： s 1＝5sin ???2t ＋π6，s 2＝5cos ? ??2t －π3. 则在时间t ＝2π 3时，s 1与s 2的大小关系是( ) A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2 D ．不能确定 解析：选C 当t ＝2π 3 时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2.选C. 3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s) 满足函数关系式θ＝1 2sin ? ???2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) A ．12，1 π B ．2，1 π C ．1 2 ，π D ．2，π 解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π 2＝π，故单摆 频率为1 π ，故选A. 4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线 近似满足函数y ＝3sin ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：

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高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 体重. （分析思路→教师演示→学生整理）

第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机 =++，其中残差变量e中包含体重变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

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§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程， 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导：自主、合作、探究 四、知识链接 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何研究曲线与方程间的关系？ 五、学习过程 一．平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定

巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上） 问题1: 思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？ 思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？ 问题2：还可以怎样描述点P的位置？ B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？

小结：选择适当坐标系的一些规则： 如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横 坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

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数学①必修第一章集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的表示方法 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 1.2.2 集合的运算 第二章函数 2.1 函数 2.1.1 函数 2.1.2 函数的表示方法 2.1.3 函数的单调性 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图像（选学） 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质和图像 2.2.2 二次函数的性质和图像 2.2.3 待定系数法 2.3 函数的应用（I） 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点

2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法 第三章基本初等函数（I） 3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算 3.1.2 指数函数 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 3.2.2 对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 3.3 幂函数 3.2 函数的应用（II） 数学②必修 第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 1.2 点、线、面之间的位置关系

1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 1.2.3 空间中的垂直关系 第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的集中形式 2.2.3 两条直线的位置关系 2.2.4 点到直线的距离 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程 2.3.2 圆的一般方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3.4 圆与圆的位置关系 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式 数学③必修 第一章算法初步

【三维设计】高中数学 教师用书 模块综合检测 苏教版必修1

模块综合检测 (时间：120分钟 满分：160分) 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上) 1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(9，1 3)，则f (25)的值是________． 解析：设f (x )＝x α，将(9，13)代入得9α ＝13， 即32α＝3－1 ，∴2α＝－1，∴α＝－12， ∴f (x )＝x －12.∴f (25)＝25－12＝1 5. 答案：1 5 2．(2011·新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________． ①y ＝x 3 ②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2 ＋1 ④y ＝2 －|x | 解析：y ＝x 3 为奇函数，y ＝－x 2 ＋1在(0，＋∞)上为减函数，y ＝2－|x | 在(0，＋∞)上为 减函数．故只有②符合条件 答案：② 3．若集合A ＝{x |log 12x ≤1 2}，则?R A ＝________． 解析：由log 12x ≤12得x ≥(12)1 2＝2 2. ∴A ＝[ 22，＋∞)．∴?R A ＝(－∞，22 )． 答案：(－∞， 2 2 ) 4．试比较1.70.2 、log 2.1 0.9与0.82.1 的大小关系，并按照从小到大的顺序排列为________． 解析：log 2.10.9<0，1.70.2 >0，0.82.1 >0. ∵1.70.2 >1.70 ＝1，0.82.1 <0.80 ＝1， ∴log 2.10.9<0.82.1 <1.70.2 . 答案：log 2.10.9<0.82.1 <1.70.2 5．设集合M ＝{x |x －m ≤0}，N ＝{y |y ≥－1}，若M ∩N ＝?，则实数m 的取值范围是________．

人教版高中数学选修2-2教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-

高中数学教材新课标人教B版目录完整版

高中数学（B版）必修一 第一章集合 1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算 第二章函数 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数 2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数 3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ） 高中数学（B版）必修二 第一章立体几何初步 1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程 2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系 高中数学（B版）必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性

第三章概率 3．1 随机现象3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用 高中数学（B版）必修四 第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质 第二章平面向量 2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算 2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用 第三章三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积 高中数学（B版）必修五 第一章解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例 第二章数列 2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用

人教版高中数学选修1-1知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

人教A版高中数学三维设计必修4课时跟踪检测

阶段质量检测（一） 三角函数 (时间120分钟 满分150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．y ＝sin x 2 是( ) A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 解析：选A y ＝sin x 2为奇函数，T ＝2π 1 2 ＝4π，故选A. 2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18 D ．36 解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1×r . ∴r ＝6. ∴S ＝12lr ＝1 2 ×6×6＝18. 3．若－π 2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选B ∵－π 2＜α＜0， ∴tan α<0，cos α＞0， ∴点P (tan α，cos α)位于第二象限． 4．已知sin α＋3cos α 3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析：选A 由sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5，得12cos α＝6sin α， 即tan α＝2，所以sin 2 α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ＝2 5.

5．函数y ＝tan ????π2－x ????x ∈????－π4，π 4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[－1，＋∞) 解析：选B ∵x ∈????－π4，π 4且x ≠0， ∴π2－x ∈????π4，3π4且π2－x ≠π 2， 即π 2－x ∈????π4，π2∪????π2，3π4， 当π 2－x ∈????π4，π2时，y ≥1； 当π 2 －x ∈????π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 6．将函数y ＝sin ????x －π 3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π 3 个单位，得到的图象对应的解析式为( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin ???? 12x －π2 C ．y ＝sin ??? ?12x －π6 D ．y ＝sin ? ???2x －π 6 解析：选C 将函数y ＝sin ????x －π 3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ????12x －π3，然后将其图象向左平移π 3个单位，即将x 变为x ＋π 3 . ∴y ＝sin ??? ?1 2????x ＋π3－π3＝sin ??? ?12x －π6. 7．设函数f (x )＝sin ????2x ＋π 3，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π 3对称 B ．f (x )的图象关于点???? π4，0对称 C ．把f (x )的图象向左平移π 12个单位，得到一个偶函数的图象 D ．f (x )的最小正周期为π，且在??? ?0，π 6上为增函数 解析：选C 当x ＝π3时，2x ＋π 3 ＝π，f (x )＝sin π＝0，不合题意，A 不正确；

新课标人教A版高中数学选修1-1全套教案

高中数学教案选修全套 【选修1-1教案｜全套】 目录 目录 .................................................................................................................................................................... I 第一章常用逻辑用语 (1) 第一课时 1.1.1 命题及其关系（一） (1) 第二课时 1.1.2 命题及其关系（二） (1) 第一课时 1.2.1充分条件与必要条件（一） (2) 第二课时 1.2.2充要条件 (3) 第一课时 1.3.1简单的逻辑联结词（一） (4) 第二课时 1.3.2简单的逻辑联结词（二） (5) 1.4全称量词和存在量词及其否定 (6) 第二章圆锥曲线与方程 (6) 2.1.1椭圆及其标准方程 (6) 2.1.2椭圆及其标准方程 (7) 2.2椭圆的简单几何性质 (8) 2.2.1 双曲线及其标准方程 (9) 2.2.2双曲线的几何性质（一） (10) 2.2.2双曲线的几何性质（二） (11) 2.3 抛物线及其标准方程（一） (12) 2.3 抛物线及其标准方程（二） (12) 2.3.2 抛物线的简单几何性质(一) (13) 2.3.2 抛物线的简单几何性质（二） (14) 第三章导数及其应用 (16) 第一课时 3.1.1导数的概念（一） (16) 第二课时 3.1.1 导数的概念（二） (16) 第三课时几种常见函数的导数 (17) 第四课时导数的四则运算 (18) 第五课时复合函数的导数（理科） (19) 第六课时导数的计算习题课 (20)