欧氏空间
9. 欧氏空间
Subsections
?9.1 内积与欧氏空间
?9.2 标准正交基
?9.3 欧氏空间的同构
?9.4 正交变换与正交矩阵
?9.5 正交补空间
?9.6 对称矩阵的对角化
?9.7 酉空间与酉变换
9.1 内积与欧氏空间
定义 1内积：是一个两元实函数 , 满足条件
当当且仅当
定义 2具有内积的实数域上的线性空间称为欧氏空间.
例子 1通常所定义的那样,定义二元函数
例子 2如通常所定义的那样,定义二元函数
那么为欧氏空间。
有关内积的两个不等式.
性质 1设为欧氏空间的一个内积, 则
1.柯西不等式：;
2.三角不等式：
一些名词术语:
1.向量长度：;
2.非零向量的夹角：
3.单位向量与单位化：; .
欧氏空间的基、坐标与任意两个元素的内积的关系
定理 1设, , , 则
上面的矩阵称为基的度量矩阵.
基的度量矩阵有着良好的性质.
性质 2度量矩阵是正定的.
性质 3不同基础下的度量矩阵是合同的.
9.2 标准正交基
定义 1欧氏空间的一组非零向量 , 如果他们两两正交的 , 就称为正交向量组 .
因为有性质
性质 4正交的向量组一定是线性无关的.
所以引入
定义 2欧氏空间的一组基 , 如果他们两两正交的 , 就称为标准正交基 .
出了上面的联系, 线性无关的向量组和正交向量组之间可以互化.
先来了解转化过程--- 有名的 Schimidt 正交化方法. 然后再给出主要定理的证明.
例子 1已知线性无关的向量组,求一组向量
,使得
解：设存在一系列未知数使得
代入条件,依次求出这些未知数这些关系是用矩阵来可以看得很清楚
定理 1维欧氏空间中任一个正交向量组都可以扩充为一组正交基.
定理 2对于维欧氏空间中任一组基都可以找到一组正交基, 使得
定义 3阶实矩阵称为正交矩阵, 如果.
9.3 欧氏空间的同构
定义 1实数域上欧氏空间与称为同构的, 如果由到
有一个1-1 的映上的映射, 适合
这里, 这样的映射称为到的同构映射.
9.4 正交变换与正交矩阵
定义 1正交变换：双射, 使得
1)
2)
3)
称为正交变换.
定理 1设是一个线性变换, 则以下四个结论等价(i) 是一个正交变换；
(ii) 是一个保长度的变换；
(iii) 是一个保标准正交基的变换；
(iv) 在一组标准正交基的矩阵是正交矩阵变换.
9.5 正交补空间
定义 1假设是的两个子空间,如果对任意的均有
则称是正交的,记为.
,
定理 1如果子空间两两正交,那么是直和
定义 2假设是的两个子空间,如果对任意的称为的正交补,如果
且
定理 2正交补的存在性
欧氏空间的每一个子空间均有唯一的正交补
证明唯一性
,那么
. 计算内积
所以
同理可证, 得
9.6 对称矩阵的对角化
已知的结论是：任意的一个对角矩阵,均有一个可逆的矩阵使得为对角形.利用欧氏空间的性质,可以将这一方法加强.主要结果是：
对于任意的实的矩阵,都存在一个阶的正交的矩阵,使得
为对角形.
为此引入
引理 1实的对称矩阵的特征值为实数.
引理 2设是实对称矩阵,且定义如下
则对任意,有
定义 1欧氏空间中满足上市的线性变换称为对称变换.
引理 3设是对称变换,是-子空间,则也是-子空间.
证明 ,均有
特别地,取,因为是子空间, 那么,最终有
所以有.
引理 4实的对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.
利用以上两点,我们可以将实对称矩阵化. 最终,我们得到
定理 1对于任意的实对称矩阵,都存在一个阶的正交的矩阵,使得
为对角形.
证明：利用归纳法来证明. 定理自然成立.
设时,定理也成立.
当时,设为的一个特征根,为与之相对应的特征向量. 则必有
再利用基扩充定理,知存在与构成标准正交基,令
,则
此时也是对称矩阵,由归纳假设得,使得为对角矩阵. 最后令
必有为对角矩阵.
本定理的证明不同于书本上的证明, 两者可以相互参考. 例子 1设
,那么
例子 2
例子 3
例子 4请用正交变换将下面的矩阵化为对角矩阵
例子 5
9.7 酉空间与酉变换
欧氏空间是定义在实数域上的内积线性空间.改实数域为复数域,欧氏空间也就变为酉空间. 酉空间上的正交变换为酉变换.这是本节的主要内容. 它可以使用对比方法
欧氏空间1
欧氏空间1 1．在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则||α= ，α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。 2．设η是n 维欧氏空间V 中的一个单位向量，定义V 上的变换σ如下：,()2(,)V ασααηαη?∈=-，其中(,)ηα表示η与α的内积，证明： （1） σ是V 上的正交变换； （2） V 中存在一组标准正交基12,,,n ηηη 使得1()1,()1,2.i i n σηση=-=≤≤ 3．已知矩阵126103114A --?? ?=- ? ?--?? ， （1）求A 的逆； （2）求A 的初等因子； （3）求A 的若当标准形。 4．设A 是可逆的n 阶方阵，求证：存在正交阵T 和对角线元素全是正实数的下三角阵U ，使得A=UT ；并且这个表达式是唯一的。 5．证明：奇数维欧式空间中的旋转变换（第一类正交变换）一定有特征值1。 6．设A 是欧氏空间n R 的一个变换.试证：如果A 保持内积不变，即对于n R 中任意两个向量,αβ都有 (,)(,)A A αβαβ=，那么，它一定是线性的，而且是正交的。 7．设1,,m αα 与 1,,m ββ 是n 维欧氏空间V 中两个向量组，满足 ,,,,1,,,i j i j i j m ααββ<>=<>= 这里<>，表示内积，试证存在正交变换, A 使,1,,.i i A i m αβ== 8．设 f 是n 维欧氏空间V 的对称变换（即f 是V 的线性变换，且对任意,V αβ∈都有((),)(,())f f αβαβ=），证明：f 的像子空间Im f 是f 的核子空间Kerf 的正交补子空间。 9．设n R 为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: . 10．在欧氏空间n R 中,向量[][]6,5,1,0,2,2==βα,则α与β的长度分别为 ,它们的 夹角为 . 11。已知[][][]2121 32121 21,,0,,,0,0,1,1-===ααα是欧氏空间3R 的一组标准正交 基,则[]2,2,1=β向量在这组基下的坐标为 .
第八章欧氏空间
第九章欧氏空间 ［教学目标］ 1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。 3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。 4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。 5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。 6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学重难点］ 欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。 ［教学时间］18学时。 ［教学内容］
欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程] §1 定义、性质 定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。 这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。 定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k = 单位向量：长度为1的向量。 α单位化： α α -Cauchy Буняковский不等式：βα,?，有 βαβα≤),( 等号成立当且仅当βα,线性相关。 在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子： 例1中，2 2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
线性空间与欧几里得空间
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
向量空间与线性变换
第7章向量空间与线性变换 7-1.下列向量组中，哪些是向量空间4R 的基，为什么？ （1）T )1,1,1,1(1=α，T )0,1,1,1(2=α，,)0,0,1,1(3T =αT )0,0,0,1(4=α； （2）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,2,0(2-=α，,)0,0,1,0(3T -=αT )1,0,3,1(4--=α； （3）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,1,1,1(4=α； （4）T )0,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,0,0,0(4=α.7-2. 把向量组T ),,(1101=α，T )1,0,1(2=α，T )0,1,1(3=α化为3R 的标准正交基.7-3.已知T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,1(3-=α是向量空间3R 的基，求向 量T )1,3,2(--=η在该基下的坐标． 7-4.已知T )1,0,1(1-=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,3(3=α与(),0,0,11T =ε(),0,1,02T =ε()T 1,0,03=ε都是向量空间3R 的基，求基321,,ααα到基321,,εεε的过渡矩阵．7-5.在向量空间3R 中取两组基 T )1,2,1(1=α，T )0,1,3(2-=α，T )0,0,1(3=α与 (),3,0,11T =β(),1,1,12T =β()T 4,1,13-=β. （1）求基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵； （2）设ξ在基321,,ααα下的坐标是T )1,3,2(-，求ξ在基321,,βββ下的坐标．7-6.令][3x F 表示数域F 上一切次数3≤的多项式连同零多项式所组成的向量空间. （1）求这个向量空间的一个基和维数； （2）证明微分运算D 是一个线性变换. 7-7.在上一题中，求微分运算D 在所取基下的矩阵.7-8.在3 R 中，T 表示向量投影到xOy 平面的线性变换，即()T xi yj zk xi yj ++=+ .
第一章 线性空间与线性变换概述
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
欧氏空间简介
批第八章欧氏空间 本节恒设为实数域。 定义1 设是上的向量空间。如果有一个规则，使得对于中任意向量都对应中唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。 1 2 3 4 若 则称为向量与的内积。而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。 第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。 又如，设是定义在闭区间上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任意二向量，对应 则便成为一个欧氏空间。这是因为对任意及实数，均有
同时，若不是零函数，则 故规定的对应是与的内积。 命题1 设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有： (1) (2) (3) 证明由定义1知 而由 知。证毕。 由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有
现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为 定义2 非负实数称为向量长度，记为。 由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。而由命题1的（3）知零向量的长度为0。除此之外，还有 命题2 对任意实数及，有 其中表的绝对值。 由此 即知。 定理1 对欧氏空间中的任意二向量恒有 而等号成立的充分必要条件是线性无关。 证明当线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设，于是由 知 当线性无关时，对任意负数均有，从而 并即
因此必有 这也就是，所以 这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。 定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量均有 证明由定理1得 故 把定理1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式 由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，恒有 因此
点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义
第二章 点 集 拓 扑 §2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念 定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，n R y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d n n →?: 为 ∑=-= n 1 2 )()y ,(i i i x d ηξ． 称d 为n R 上的Euclid 距离． 易证距离d 满足： 01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =； 03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n ∈x ． 定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →?: 满足： 01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =； 03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ． 称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ?，称)d ,(A 为距离子空间． 0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=； 闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=． 开集：X A ? ．A x ∈，?球 A x B ?)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集． 开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集． 记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论． 定理2.1.1．(1) τφ∈X ,； (2) ττ∈?∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈?Λ∈∈Λ ∈ )( G G ． 例：(1) 离散空间． φ≠X ，定义 ) X y x,( y x ,1y x ,0)y ,(∈?? ?≠==x d ． 称X 为离散距离空间． (2) ] ,[b a C 空间． } b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==， 定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤b t a x d ， d 是距离． (3) 有界函数空间)(X B ． φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =． 定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈X t x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距 离．称)(X B 为有界函数空间． 取 +=N X ，记} )( )( {)(有界 n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈N n x d ． 定义2.1.3．设 φ≠X ，)(X P ?τ 满足：
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间 §1定义与基本性质 教学目的：理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度 量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵. 教学重点：欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质. 教学难点：理解欧几里得空间的定义. 教学内容： 一、向量的内积 定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积 .),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间. 在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量
),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积 .2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间., 对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数 )(),(x g x f 定义内积 ?=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H 是一切平方和收敛的实数列 +∞<=∑∞ =12 21),,,,(n n n x x x x ξ 所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='. ),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α. 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3) 这里V R k ∈∈α,. 长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量
欧氏空间
第八章 欧式空间 基础训练题 1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量α，β，以下等式成立： (1) 222222βαβαβα＋＝－＋＋； (2) ?α，β ?＝2 24141βαβα－－＋. [提示：根据向量内积的定义及向量模的定义易证.] 2. 在欧氏空间R 4中，求一个单位向量与 α1＝(1, 1, 0, 0)，α2＝(1, 1, －1, －1)，α3＝(1, －1, 1, －1) 都正交. 解:ε=?? ? ??21,21,21,21－－. 3. 设a 1, a 2, …, a n 是n 个实数，证明: )(222211n n i i a a a n a ＋＋＋ ≤ ∑=. 证明: 令α=(1,1, …,1), β=(|a 1|,|a 2|,…, |a n |) ?α , β?=∑=n i i a 1≤|α|·|β |=)(2 2221n a a a n +++ . 4. 试证，欧氏空间中两个向量α, β正交的充分必要条件是：对任意的实数t ，都有 |α＋t β| ≥ |α|. 证明: ?α +t β,α +t β?=?α , α?+2t ?α , β?+t 2?β , β? 必要性: 设α与β正交, 对任意的实数t ,则 ?α +t β,α +t β?=?α , α?+t 2?β , β?≥?α , α? 所以 |α＋t β| ≥ |α|. 充分性: 当β=0时,结论成立.
当β≠0时,取t 0=2,ββα? ?-,则 ?α +t 0β,α +t 0β?=?α , α?22 ,ββα??-. 由已知 ?α +t 0β,α +t 0β?≥?α , α? 故 22 ,ββα??=0, 所以?α , β?= 0. 即α , β正交. 5. 在欧氏空间R 4中，求基{α1, α2, α3, α4}的度量矩阵，其中 α1＝(1, 1, 1, 1), α2＝(1, 1, 1, 0), α3＝(1, 1, 0, 0), α4＝(1, 0, 0, 0) . 解: 度量矩阵为?????? ? ??1111122212331234. 6. 在欧氏空间R 3中，已知基α1＝(1, 1, 1), α2＝(1, 1, 0), α3＝(1, 0, 0)的度量矩阵为 B ＝???? ? ??--321210102 求基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)的度量矩阵. 解: 度量矩阵为 ???? ? ??----343485353. 7. 证明 α1＝??? ??21,21,21,21， α2＝?? ? ??21,21,21,21－－ α3＝??? ??21,21,21,21－－，α4＝??? ??-21,21,21,21－ 是欧氏空间R 4的一个规范正交基. [提示:令u =(α1, α2, α3, α4),计算uu T 即可.] 8. 设{ε1, ε2, ε3}是欧氏空间V 的一个基, α1＝ε1＋ε2, 且基{ε1, ε2, ε3}的度量
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间 1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间. 2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且 ) ,(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈?有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈?有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数. 4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若 n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β 则j i n j n i j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====?=1111),(),(βα, 5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵. 6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.
7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式： ① Cauchy-Буняковский不等式： 对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。 ② 三角不等式：对任意向量V ∈βα,有222||||||,0),(|,|||||βαβαβαβαβα+=+=+≤+时当且仅当 3．向量的夹角：当是非零向量时，称| |||),(cos 1 βαβα-为βα,的夹角， 记为πβαβα>≤≤<><,0,,. 三、 标准正交基及性质 1．在欧氏空间V 中，如果0),(=βα，那么称βα与正交或互相垂直。 2．正交向量组（正交向量组必定线性无关） 3．正交基、标准正交基 4．关于标准正交基，有下述重要结论： ①n 维欧氏空间中标准正交基总是存在的，且不唯一； ②一个标准正交基到另一个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵，反之如果第一个基是标准正交基，过渡矩阵是正交矩阵，则第二个基也是标准正交基。 ③n 维欧氏空间中的一个基是标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是
第七章 线性变换(小结)
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .
第九章欧氏空间分析
第八章 欧氏空间练习题 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4 1 ||41,22ηξηξηξ--+= 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1(Λ=α与每一向量 )0,,0,1,0,,0() (ΛΛi i =ε,n i ,,2,1Λ= 的夹角. 3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 ) 4,5,2,3()2,2,1,1() 0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 222||||||ηξηξ+=+(勾股定理) 6．设βααα,,,,21n Λ都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21Λ的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1Λ=,那么0=β. 7．设n ααα,,,21Λ是欧氏空间的n 个向量. 行列式 > <><><> <><><><><> <= n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛ 叫做n ααα,,,21Λ的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G αααΛ=0,必要且只要
n ααα,,,21Λ线性相关. 8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: ><><ααβα,,2和> <> <βββα,,2都是0≤的整数. 证明: βα,的夹角只可能是 6 54 3,32,2π π ππ或 . 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21Λ, 2 3322211 (||n n i i a a a a n a ++++≤∑=Λ). 10．已知 )0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α 是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基． 11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组． 12．令},,,{21n αααΛ是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββΛ是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 ><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121ΛΛΛ 13．令n γγγ,,,21Λ是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令 },2,1,10,|{1n i x x V K n i i i i Λ=≤≤=∈=∑=γξξ K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少? 14．设},,,{21m αααΛ是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
第六章 线性空间与线性变换
第六章 线性空间与线性变换 柴中林 (A) 1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： （1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。 （2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。 （3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。a =0 . 2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。 3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间： （1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=, （2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=. 4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知： （1）α1（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， ξ=（1，2，1，1）。 （2）α1（1，1，0，1）， α2=（2，1，3，-1）， α3=（1，1，0，0）， α4=（1，1，-1，-1）， ξ=（0，0，0，1）。 5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。已知： （1）α1=（1，0，0，0）， α2=（0，1，0，0）， α3=（0，0，1，0）， α4=（0，0，0，1）， β1=（2，1，-1，1）， β2=（0，3，1，0）， β3=（5，3，2，1）， β4=（6，6，1，3）。 ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。 （2）α1=（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， β1=（1，1，0，1）， β2=（2，1，3，1）， β3=（1，1，0，0）， β4=（0，1，-1，-1）。 ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。 6. 向量α、β、γ满足0321=++γβαk k k ，且k 1k 2≠0, 求证向量组α、β和向量组β、γ生成相同的向量空间。 7. 判断下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是： （1）在线性空间V 中，T （ξ）=ξ+α，其中α∈V 是一已知向量, （2）在R 3 中， T T x x x x x x x T ),,()),,((233221321+=, （3）在R 3中，T T x x x x x x x x T ),,2()),,((13221321+-=, （4）在P[x]n 中，T(f (x ))=f (x +1). 8. 证明线性变换将一个子空间变为一个子空间。 9. 已知矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明： ???? ??C A 00与???? ??D B 00相似。 10. 设α1，α2，α3，α4是4维线性空间V 的一组基, 线性变换T 在这组基下的矩阵为: ??????? ??--------=7113102/52/92/1323133425T ,
高等代数欧几里得空间知识点总结
第九章 欧几里得空间（ * * * ） 一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。 二、考点精讲： 三、首师大真题： （一）欧氏空间 1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ= （3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； （4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2.α的长度，记为α。 3.非零向量的夹角,β规定为(,) ,arccos ,0,ααβαβπαβ =≤≤ 4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。 5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令 (,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ?= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。 （1）度量矩阵是正定的； （2）不同基底的度量矩阵是合同的。 6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 （1）施密特正交化 这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1, β2=α2- 11112) ,() ,(ββββα, β3=α3-11113),(),(ββββα-22223) ,() ,(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组. （二）同构 1.实数域R 上欧氏空间V 与' v 称为同构，如果由V 到' v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=
第八章欧氏空间欧氏空间的定义及基本性质.doc
第八章欧氏空间 计划课时：22学时 (P335—360) §8.1 欧氏空间的定义及基本性质（4学时） 教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。通过本节的学习，使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。 教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式 本节内容分为下面四个问题讲授： 一．内积及欧氏空间的定义 1. 内积及欧氏空间的定义 定义1（内积及欧氏空间的定义P336） 注意：(1) .通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。 (2). 让学生体会公理化定义的特点。 (3). 内积的定义是本章的难点之一。 例1 （P336） 例2 （P336） 例3 （P336） 例4 （P336） 2. 向量的长度 定义2（向量的长度P337） 例5 （P336） 例6 （P336） 例7 （P336） 长度的性质： | kα|＝|k||α|. 单位向量 二. 柯西一施瓦兹不等式 定理8.1.1 注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统一。 例8 （P338） 例9（P338） 三. 两向量的夹角、正交、距离 定义3（P338-339） 定义4 （P339） 作业：P356-P357习题八1（1），2，3，4，5.
§8.2 度量矩阵与正交基（4学时） 教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算 法与正交化方法 教学重点、难点：正交化方法 本节内容分为下面三个问题讲授： 一. 度量矩阵 (1). 内积的计算 (2).度量矩阵 定理8.2.1 （P 309） 例1 (P 341) 二. 规范正交基 (1). 规范正交基的定义 注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵. (2). 在规范正交基下内积、坐标的算法 (3). 规范正交基的求法—正交化过程. 定理8.2.3 注意：1.Schmidt 正交化方法肯定了)1(≥n n 维欧氏空间的规范正交基的存在性。 2. 在求欧氏空间的规范正交基时, 常常是已经有了空间的一个基{ε1, ε2, …, εn }, 这时我们首先将它化成正交基{β1, β2, …, βn }，再将每一个向量单位化 例2 （P 3４３） 三. 正交矩阵 注意：由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来, 如果一个基是规范正交的, 同时过渡矩阵是正交矩阵,那么另一个基也是规范正交基. 作业：P 357-358 习题八 7，9，11. §8.3 正交变换与对称变换（2学时） 教学目的及要求：理解正交变换、对称变换的定义，掌握有限维欧氏空间的正交变换、对称变换的等价命题 ，理解欧氏空间2V 的一个正交变换不改变平面上图形的大小和形状。 教学重点、难点：正交变换、对称变换的等价命题 本节内容分为下面二个问题讲授： 一. 正交变换 定义1 （P 3４６） 注意：正交变换不改变任意两个向量的夹角和向量的长度。 定理8.3.1 （P 346） 二. 对称变换
第九章_欧氏空间
第九章 欧氏空间 一. 内容概述 1. 欧氏空间的定义 设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈?βα.,定义了一个二元实函数.记作 ()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足 1) ()()2;,,αββα=)()()()()()(), 0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当 0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空 间. 常见的欧氏空间有: (1) 在 (){}R x x x x R i n n ∈=|,,2 1 里定义内积为()()1,2 2 1 1 y x y x y x n n +++= βα其 中()().,,,,,1 1 y y x x n n ==βα则称R n 为R 上的欧氏空间. (2) 设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为 ()()()()2,dx x g x f g f b a ?= (3) 设 R m n ?为一切m n ?矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '= 则称R m n ?为R 上的欧氏空间, 2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1) ()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V 的一组基,,,2 2 1 1 2 2 1 1 ε ε εεε εβαn n n n y y y x x x + ++=+++= 则()Ay x '=βα,其 中()()()()??? ? ? ??=?????? ? ??=? ? ????? ??=εεεεεεεεn n n n n n A y x y y y x x x 11 112121,. 3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤ 4. 标准正交基 施密特正交化的方法 正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基. 格拉姆矩阵()()( )()??? ?? ??=∈αααααααααααn n n n m G V V 11 1 121.,,,.
欧氏空间
欧氏空间
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９. 欧氏空间 Subsｅctionｓ ?9.1 内积与欧氏空间 ?9．2 标准正交基 ?９.3 欧氏空间的同构 ?9.4 正交变换与正交矩阵 ?9.5 正交补空间 ?9.６对称矩阵的对角化 ?9.7 酉空间与酉变换 9．1 内积与欧氏空间 定义 1内积：是一个两元实函数，满足条件 当当且仅当 定义2具有内积的实数域上的线性空间称为欧氏空间. 例子１通常所定义的那样,定义二元函数 例子2如通常所定义的那样，定义二元函数 那么为欧氏空间。 有关内积的两个不等式.
性质1设为欧氏空间的一个内积，则 1.柯西不等式: ; 2.三角不等式: 一些名词术语： 1.向量长度：; 2.非零向量的夹角: 3.单位向量与单位化：；. 欧氏空间的基、坐标与任意两个元素的内积的关系 定理 1设, , , 则 上面的矩阵称为基的度量矩阵． 基的度量矩阵有着良好的性质． 性质2度量矩阵是正定的. 性质 3不同基础下的度量矩阵是合同的. 9.2 标准正交基 定义 1欧氏空间的一组非零向量 , 如果他们两两正交 的 , 就称为正交向量组 . 因为有性质 性质４正交的向量组一定是线性无关的. 所以引入 定义２欧氏空间的一组基，如果他们两两正交的 , 就称为标准正交基. 出了上面的联系, 线性无关的向量组和正交向量组之间可以互化.
先来了解转化过程--- 有名的 Sｃhｉmidt 正交化方法. 然后再给出主要定理的证明． 例子 1已知线性无关的向量组,求一组向量 ，使得 解：设存在一系列未知数使得 代入条件,依次求出这些未知数这些关系是用矩阵来可以看得很清楚 定理 1维欧氏空间中任一个正交向量组都可以扩充为一组正交基. 定理 2对于维欧氏空间中任一组基都可以找到一组正交基, 使得
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向量空间 典型例题： 1 设12,,,n V ααα∈L 线性无关，问12231,,,n αααααα+++L 是否线性无关？ 解：设()()11210n n k k αααα+++=L 即()()11122n k k k k αα+++++L ()1n n k k -+0n α= 由12,,,n αααL 是线性无关知， 110 0n n n k k k k -+=?? ? ?+=?M 由()1 1001110 0 2 110 000 1n n A n +?? ?? ?==+-=? ?? ??? L L L L L L L L 为奇数为奇数，知 当12231,,,n n αααααα+++L 为奇数时，线性无关。 2 在n V 维线性空间中，设()1212,,,,0n n i a a a a αααα≠L L 关于基的坐标为，试求()100V αL 的一组基，使得关于这组基的坐标为，，，。 解：由()112,,n n a a a ααα?? ?= ? ??? L M ，设12,n βββL 为另一组基，则 ()111,0,,0n βαββ?? ? == ? ??? L M ，所以111n n a a βααα==++L 取22,,n n βαβα==L ，则12,n βββL 线性无关且满足题意。 3 证明：设n V n 维向量空间可以表示为个一维子空间的直和。 证明：设12,n αααL ， 是V 的一组基，令(),1,2,,i i w L i n α==L 则12n w w w V +++?L 显然成立，设11n n V k k αααα∈=++L ，则 又111,,n n n k w k w αα∈∈L ，所以12n w w w α∈+++L ，即12n w w w V +++?L