高数必修二知识点总结

高中数学必修2

第一章 立体几何初步

特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）

ch S =直棱柱侧面积

'21

ch S =正棱锥侧面积

')(2

1

21h c c S +=正棱台侧面积

rh

S π2=圆柱侧

()l r r S +=π2圆柱表

rl

S π=圆锥侧面积

()l r r S +=π圆锥表

l

R r S π)(+=圆台侧面积

()

22R Rl rl r S +++=π圆台表

柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱

13V Sh

=锥

'

1()3

V S S h =++台

2V Sh r h π==圆柱

h r V 23

1π=圆锥

'2211()()33

V S S h r rR R h π=++=++圆台

球体的表面积和体积公式：

V 球=3

43R π ； S 球面=24R π

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1

2 三个公理：

（1

符号表示为

A ∈L

B ∈

L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.

（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

L

A ·

α C ·

B

·

A · α P

· α

L

β 共面直线

a ∥

b

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 ——

有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

=>a ∥c

2

a α a∩α=A a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α

b β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

符号表示：

a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a ∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂

2

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3

1

第三章直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线

,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是

当直线l 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

当[)

90,0∈α时，0≥k ； 当()

180,90∈α时，0

90=α时，k 不存

在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

12

（5）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解

//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合

（6122),y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，

一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离

（8已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 第四章 圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为

圆的半径。

2（1

点00(,)M x y 与圆2

2

2

()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2

r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内

（2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为?

?

? ?

?

--2,2

E D ，半径为

F E D r 42

122-+= 当0422

=-+F E D

时，表示一个点； 当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距

离为

则有相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；r d <

k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，

k ，得到方程【一定两解】

(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当R d -=

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点