第十九讲 梯形

1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，平行的两边叫做底边，

其中长边叫做下底，短边叫做上底。不平行的两边叫做腰，

夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2.梯形特征：

（1）梯形内角和360°

（2）等腰梯形的两条对角线相等

（3）等腰梯形是轴对称图形

（4）梯形中位线=（上底+下底）÷2

3.面积：梯形面积=（上底+下底）×高÷2

1.一块梯形菜地上底是20米，下底是30米，高是28米。共收白菜4200千克，平均每平方米收白菜多少千克？

2．如图，梯形被分成两个三角形，大三角形的面积是80平方米，底是16米，小三角形的面积是60平方米，那小三角形的底是多少？

3.梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？

4. 有一个梯形，他的上底是5厘米，下底7厘米，如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5厘米。求原来梯形的面积。

5.在等腰梯形ABCD中，AD=12厘米，高DF=10厘米。三角形CDE的面积是24平方厘米。求梯形面积。

6.如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

7.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

8.下图的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？

9.下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？

1.用篱笆围城一个如图所示的栅栏，一边利用房屋墙壁，篱笆长70米，求栅栏围城的面积

2.如图，E 是梯形ABCD 的上底AD 的中点，已知长方形ABCE 的面积是48平方厘米，那梯形的面积是多少？

3.三角形ABO 的面积为9平方厘米，线段BO 的长度为OD 的3倍，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?

4.有一堆圆木堆成梯形，最上面一层有3根，最下面一层有7根，一共堆了5层，这堆圆木共有多少根。

5. 求下图中阴影部分的面积。

m 14A B C D

E

6.一种漏斗，它四面都是同样的梯形，每个高是12厘米，漏斗上口是边长为28厘米的正方形，下口是边长为8厘米的正方形，做这样的漏斗需要多少平方厘米的铁皮？

7.图中有多少个梯形？

【猿辅导】梯形的面积第3讲

梯形的面积 一、知识点汇总 知识点1：梯形的面积计算公式 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 知识点2：梯形的面积公式应用 根据梯形与三角形之间的关系解决问题 运用替换法求梯形的面积 灵活地运用平行四边形和三角形的面积公式，可以解决许多梯形的面积计算问题 二、练习 1、判断 （1）平行四边形的面积一定比梯形面积大（）（2）两个面积相等的梯形可以拼成一个平行四边形（）（3）梯形的面积等于梯形的上底加下底的和乘高（）（4）梯形的面积等于平行四边形面积的一半（） （5）计算一个梯形的面积，必须知道它的上下底和高（）

（1）若梯形的上底为1，下底为3，面积为2，则高为（）。 A.0.5 B.1 C.2 D.4（2）如图阴影部分面积是15平方米，则平行四边形的面积是 （）平方米。 A.15 B.30 C.45 D.60 （3）如图，阴影部分的面积是16，平行四边形的面积是（） A.64 B.48 C.32 D.16 3、填空 （1）一个梯形的面积是24平方厘米，它的上、下底的和为12厘米， 它的高是______厘米。 （2）已知四边形ABCD是长方形，四边形AEFG是梯形，且B是GF 的中点，已知长方形的面积是，那么梯形AEFG的面积为______。

（3）如图所示，已知阴影部分的面积是42平方分米，梯形的面积是_______平方分米。 （4）如图，一个平行四边形和一个三角形拼成一个梯形，若梯形的面积是30cm2，则三角形的面积是______。 （5）李奶奶在自家墙外用篱笆围了一个梯形的花园，如图所示。花园一边靠墙，篱笆全长15.5m，这个花园的面积是______。

中考数学专题复习讲座 第二十二讲 梯形

2013年中考数学专题复习第二十二讲 梯形 【基础知识回顾】 梯形的定义、分类、和面积： 1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的 2、分类：梯形 3、梯形的面积：梯形= 12 （上底+下底） X 高 【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】 二、等腰梯形的性质和判定： 1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等 ⑵等腰梯形的对角线 ⑶等腰梯形是 对称图形 2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等 ⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形 ⑶对角线 的梯形是等腰梯形 【名师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等 2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形 3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为 形式 常见的辅助线作法有 要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】 【重点考点例析】 考点一：梯形的基本概念和性质 例1 （2012?内江）如图，四边形ABCD 是梯形，BD=AC 且BD ⊥AC ，若AB=2，CD=4，则S 梯形ABCD = ． 思路分析：过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，过点B 作BF ⊥DC 于点F ，判断出△BDE 是等腰直角三角形，求出BF ，继而利用梯形的面积公式即可求解． 一般梯形 特殊梯形 等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形

解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6， 又∵BD=AC且BD⊥AC， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BF=1 2 DE=3， 故可得梯形ABCD的面积为1 2 （AB+CD）×BF=9． 故答案为：9． 点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般． 对应训练 1.（2012?无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（） A．17 B．18 C．19 D．20 1．考点：梯形；线段垂直平分线的性质． 分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案． 解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E， ∴DE=CE， ∵AD=3，AB=5，BC=9， ∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17． 故选A． 点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键． 考点二：等腰梯形的性质 例2 （2012?呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）

2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第1讲 直线与圆(小题)》

第1讲直线与圆(小题) 热点一直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式

(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2 (A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (A 2 ＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－32 答案 A 解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得??? －11＋m ＝－m 2， 2 1＋m ≠－2 解得m ＝1. 综上可得m ＝1. (2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0 答案 C 解析 如图所示可知A (2，0)， B (1,1)， C (0，2)， D (－1,1)，

【教育学考研外国教育史经典好资料、教学讲义】第二十二讲 马卡连柯的教育思想

第二十二讲马卡连柯的教育思想 本讲内容索引：导学概述教材重点练习答案 ▇导学（返回索引） 学习本章应首先学习马卡连柯献身教育事业的精神，在了解他的教育活动和理论的指导思想和教育目的论的基础上，着重研究马卡连柯的劳动教育、纪律教育、集体教育的理论和实践。 ▇概述（返回索引） 无论在前苏联教育史上，还是在世界教育史上，马卡连柯都是一位具有深刻影响的重要人物。他既是教育实践家，又是教育理论家。他热爱儿童，把教育看作一项极崇高的事业，以培养共产主义新人为己任。他以马列主义，尤其是辩证唯物主义为指导，坚持共产主义方向，在十月革命胜利的最初二十几年中对社会主义教育规律进行了开拓性的探索，他的教育实践活动和由此而产生的一整套社会主义教育理论因而具有革新的性质。马卡连柯的教育实践是成功的，3000多名少年违法者和流浪儿经过他所培育的集体的教育和锻炼，成为一代社会主义新人。马卡连柯的劳动教育与纪律教育与资产阶级的截然不同，特别是他的集体教育更是任何资产阶级教育家所未曾实行与论述过的。由于“工学团”和“公社”的教育对象和教育任务的特殊性，马卡连柯采用了不同于一般学校教育的教育途径与方法，作为实践经验的总结，马卡连柯的教育理论在一定程度上也具有特殊性。但是，由于马卡连柯培养的集体与苏维埃一般学校集体在本质上是一致的，加之马卡连柯以马列主义为指导，对教育实践活动作了高度的科学概括，因此他的教育思想的精华所在又具有普遍指导意义，在一定程度上揭示了社会主义教育规律，这是值得我们深入研究并根据我们自己的传统和条件大力加以发展的。我们虽然高度评价了马卡连柯的教育实践和教育理论，但是应该指出，马卡连柯实际上未能很好解决全部教育问题，这也是我们所不能苛求于他的（例如，不能说他将劳动与教学有机地结合起来）；在他的论述中，尽管他努力以辨证法为指导，仍存在某些片面性和绝对化的问题（例如，平行性原则过分强调通过集体进行教育，凡教育均需通过集体，这就流于形式了）。诚然，他勇于创新、敢于实践的精神是永远值得人们学习的。 ▇教材（返回索引） 张季娟、袁锐锷编著《外国教育史纲》，广东高等教育出版社，2002年5月修订版： 第二十七章马卡连柯的教育思想 苏联在1917年十月革命胜利至1956年的社会主义革命和社会主义建设时期，教育同其他事业一样发展很快，成绩也很显著。在这几十年的社会主义教育改革与建设中，苏联涌现出不少著名的教育家。马卡连柯就是在苏联早期教育改革事业中出现的一位优秀的教育革新家，他在把流浪儿和少年违法者改造、培养成为社会主义新人的实践基础上创立了他的崭新的教育理论体系。在马卡连柯整个教育理论体系中，或者说在他的成就中最主要、最切实的东西是他所进行的集体教育、劳动教育和纪律教育，他在这几方面的理论总结也最完整、最有创造性。

2019-2020年中考数学专题突破导学练第24讲梯形试题

2019-2020年中考数学专题突破导学练第24讲梯形试题 【知识梳理】 1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 2.特殊梯形的分类：直角梯形和等腰梯形. (1)直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 (2)等腰梯形的定义：两腰相等的梯形. 3. 特殊梯形的性质与判定： (1)等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 4.梯形中常规辅助线的添加方式: 本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究，要求学生在学习过程中多动手多动脑，把自己的发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特点，这样有利于学生对知识的把握。 【考点解析】 考点一：梯形的有关计算 【例1】如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（） A．2 B．2 C．D． 思路分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算． 解：∵CA是∠BCD的平分线， ∴∠DCA=∠ACB，

又∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， 如图，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E， ∵AB⊥AC， ∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质）， ∴点F是AC中点， ∴AF=CF， ∴EF是△CAB的中位线， ∴EF=AB=2， ∵=1， ∴EF=DF=2， 在Rt△ADF中，AF=， 则AC=2AF=8， tanB=． 故选B． 点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大． 考点二、等腰梯形的性质 【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路分析：由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．

2020第一讲直线和圆

第一讲：直线和圆 1、直线023cos =++y x α的倾斜角的范围是 2、过点P （6，－2）且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线的方程是 3、若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是 4、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于 5、点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'A 的坐标 6、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 7、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 8、点P 在直线0102=++y x 上，PA 、PB 与圆422=+y x 相切于A 、B 两点，则四边形PAOB 面积的最小值为 9、方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是 10、过两直线002457=-=-+y x y x 与的交点，且与点P （5，1）的距离为10的 直线的方程为 . 11、．与圆1)2(22=+-y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 . 12、过点M )23,3(--且被圆252 2=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 . 13、求与圆0222=-+x y x 外切且与直线03=+y x 相切于点 M （3，3-）的圆方程.

练习一 1、已知直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 2、过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为 3、直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0上的点的最近距离是 4、直线2x ＋3y －6＝0关于点M (1，－1)对称的直线方程是________ 5、已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 6、平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2 OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹方程是 7、圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) 8、与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( ) 9、若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 10、将圆x 2＋y 2＝1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是____________；若过点(3,0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是________ 11、已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 12、过点C (6，－8)作圆x 2＋y 2＝25的切线于切点A 、B ，那么C 到两切点A 、B 连线的距离为 13、设直线2x ＋3y ＋1＝0和x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A 、B ，则弦AB 所在直线的垂直平分线方程是________ 14、已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m ； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．

新《事业单位会计制度》讲解 第二十二讲

新《事业单位会计制度》讲解第二十二讲 三、财政补助收入支出表 财政补助收入支出表 会事业03表 编制单位：** 年度 单位：元

财政补助收入支出表编制说明 （一）本表反映事业单位某一会计年度财政补助收入、支出、结转及结余情况。 （二）本表“上年数”栏内各项数字，应当根据上年度财政补助收入支出表“本年数”栏内数字填列。 （三）本表“本年数”栏各项目的内容和填列方法： 1．“年初财政补助结转结余”项目及其所属各明细项目，反映事业单位本年初财政补助结转和结余余额。各项目应当根据上年度财政补助收入支出表中“年末财政补助结转结余”项目及其所属各明细项目“本年数”栏的数字填列。 2．“调整年初财政补助结转结余”项目及其所属各明细项目，反映事业单位因本年发生需要调整以前年度财政补助结转结余的事项，而对年初财政补助结转结余的调整金额。各项目应当根据“财政补助结转”、“财政补助结余”科目及其所属明细科目的本年发生额分析填列。如调整减少年初财政补助结转结余，以“-”号填列。 3．“本年归集调入财政补助结转结余”项目及其所属各明细项目，反映事业单位本年度取得主管部门归集调入的财政补助结转结余资金或额度金额。各项目应当根据“财政补助结转”、“财政补助结余”科目及其所属明细科目的本年发生额分析填列。 4．“本年上缴财政补助结转结余”项目及其所属各明细项目，反映事业单位本年度按规定实际上缴的财政补助结转结余资金或额度金额。各项目应当根据“财政补助结转”、“财政补助结余”科目及其所属明细科目的本年发生额分析填列。 5．“本年财政补助收入”项目及其所属各明细项目，反映事业单位本年度从同级财政部门取得的各类财政拨款金额。各项目应当根据“财政补助收入”科目及其所属明细科目的本年发生额填列。 6．“本年财政补助支出”项目及其所属各明细项目，反映事业单位本年度发生的财政补助支出金额。各项目应当根据“事业支出”科目所属明细科目本年发生额中的财政补助支出数填列。 7．“年末财政补助结转结余”项目及其所属各明细项目，反映事业单位截至本年末的财政补助结转和结余余额。各项目应当根据“财政补助结转”、“财政补助结余”科目及其所属明细科目的年末余额填列。 四、附注 事业单位的会计报表附注至少应当披露下列内容： （一）遵循《事业单位会计准则》、《事业单位会计制度》的声明； （二）单位整体财务状况、业务活动情况的说明； （三）会计报表中列示的重要项目的进一步说明，包括其主要构成、增减变动情况等； （四）重要资产处置情况的说明； （五）重大投资、借款活动的说明； （六）以名义金额计量的资产名称、数量等情况，以及以名义金额计量理由的说明； （七）以前年度结转结余调整情况的说明； （八）有助于理解和分析会计报表需要说明的其他事项。

第一讲：求直线和圆的方程方法总结

第一讲 求直线和圆的方程方法总结 ※求直线方程的若干方法： 直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程 方法 一、知识要点概述: 1、直线的方程、方程的直线概念； 2、直线方程形式 （1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线； （2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线； （3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：1 21 121x x x x y y y y --= --，它不包括垂直于坐标轴的直线； （4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程： 1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线； （5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. 直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点； 直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点. 如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 二、解题方法指导: 1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程 设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+； （2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =； （4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. （6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为： λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）. 2、具体方法有： ⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法 例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为 4 5 ，求直线l 的方程.

五年级上册数学第六单元梯形讲义(完整版)

梯形的面积 学生/课程年级学科 授课教师日期时段 核心内容梯形面积公式的推导及应用。课型一对一/一对N 教学目标掌握梯形面积的计算方法，并能灵活运用公式解决相关的数学问题 重、难点计算梯形的面积；梯形面积公式的推导。 知识导图 知识梳理 (1)梯形的认识。 ①只有一组对边平行的四边形叫梯形。梯形有无数条高。 ②说出下面各个梯形的上底、下底、腰和高。 (2)梯形面积公式的推导； 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，用字母表示是S=（a+b）h÷2

(3)梯形面积公式的应用。 ①根据梯形面积公式求梯形的面积。 ②根据梯形的面积，求梯形的高或上底、下底。 ③求包含梯形的组合图形的面积。 导学一：梯形面积的推导和算 知识点讲解 1：梯形面积的推导和计算方 法(1)将两个完全一样的梯形拼起来。 两个（）的梯形，可以拼成一个（）。这个（）的底等于一个梯形的（ ）与（）的和，高等于梯形的（）。一个梯形的面积等于拼成的（）面积的一半。 方法(2)将一个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 梯形面积 = 平行四边形面积 + 三角形面积 方法(3)将一个梯形分成两个三角形。 梯形面积 = 三角形面积 + 三角形面积 例 1. [单选题] 右边梯形面积计算正确的算式是（）。 A.（13+10）×8.5÷2 B.（8.5+12.5）×13÷2 C.（13+10）×12.5÷2 D.（8.5+12.5）×10÷2

我爱展示 1.求下列梯形的面积（单位：厘米）。 2.在下面的梯形中，剪去一个最大的平行四边形，剩下的面积是多少？有几种求法？ 3.已知一个梯形的上底是10cm，下底是25cm，它的面积是140cm2。它的高是多少厘米？ 4.已知一个梯形的面积是35平方厘米，上底是1.5厘米，高是10厘米。下底是多少厘米？ 5.判断题（对的在后面的括号里打√，错的打×）。 （1）两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。（） （2）平行四边形的面积是梯形面积的2倍。（） （3）两个完全一样的梯形一定能拼成一个平行四边形。（） （4）梯形的面积公式用字母表示是S=（a+b）h。（） （5）等底等高的两个梯形一定可以拼成一个平行四边形。（） （6）有一组对边平行的四边形叫做梯形。（） 6.一个甲鱼池形状如右图所示，如果每平方米放养甲鱼苗200只，这个甲鱼池能放养多少只甲鱼苗？

直线与圆基础知识

(一)直线 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率:两点的斜率公式:1122(,),(,)P x y Q x y ,则21 2121 ()PQ y y k x x x x -= ≠- (2)直线的倾斜角范围:) 0,180?? o o (3)斜率与倾斜角的关系:tan (90)k αα=≠o 注:(1)每条直线都有倾斜角,但不就是每条直线都有斜率; (2)特别地,倾斜角为0o 的直线斜率为0;倾斜角为90o 的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式:00()y y k x x -=-;适用于斜率存在的直线 (2)斜截式:y kx b =+;适用于斜率存在的直线 注:b 为直线在y 轴上的截距,截距不就是距离,截距可正,可负,可为零 (3)两点式: 11 12122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--;适用于斜率存在且不为零的直线 (4)截距式: 1x y a b +=;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线 (5)一般式:0Ax By C ++=(,A B 不同时为0) (6)特殊直线方程 ①斜率不存在的直线(与y 轴垂直):0x x =;特别地,y 轴:0x = ②斜率为0的直线(与x 轴垂直):0y y =;特别地,x 轴:0y = ③在两轴上截距相等的直线:(Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ)y kx = 在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ)y x b =+;(Ⅱ)y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线:(Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ)y x b =+;(Ⅲ)y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 (1)111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ ①平行:12k k =且12b b ≠(注意验证12b b ≠) ②重合:12k k =且12b b =

第30讲 梯形和等腰梯形的判定与性质

第30讲 梯形和等腰梯形的判定与性质 一、 中考考什么（知识梳理） 考点一：梯形及特殊梯形的定义： 1、 梯形： 2、 等腰梯形： 3、 直角梯形： 考点二： (1) 梯形的性质： ①两底平行 ②梯形的面积S= 1 2 (a+b)h （2）等腰梯形的性质 ①、等腰梯形在同一底上的两个角 。 ②、等腰梯形的对角线 。 ③、等腰梯形的对角 。 考点二：等腰梯形的判定 1、两腰相等的 是等腰梯形。 2、在同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形。 3、两条对角线 的梯形是等腰梯形。 二、 重庆怎么考（例题精讲） 例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。 例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90 ,∠C =45 ,AD =1,BC =4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长. B F C A D 图 2 E 图1

例3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，34tan =∠CAD ，CA =CD ， E 、 F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y . （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式； （3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值. 例4、如图4，在梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AD=6．BC=I6。E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动：点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发．沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动． 当运动时间t =_______ 秒时。以点P ，Q ．E ．D 为顶点的四边形是平行四边形． 例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ． （1）求证：AD=AE （2）若AD=8，DC=4，求AB 的长 三、课堂练兵（课堂训练） 1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD 的面积为 2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF 3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C E 是∠BCD 的平分线，且 CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ，若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为______． 4、如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个 六边形的周长等于______． 5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ． 若 第12题 B G

第23讲梯形(含答案)

第三节 梯形 【回顾与思考】 【例题经典】 与梯形有关的计算 例1．（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC 的长． 【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为解题创造必要的条件． 等腰梯形的判定 例2．（2005年南通市）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，?对角线AC ⊥BD 于F ，过点F 作EF ∥AB ，交AD 于点E ，CF=4cm ． （1）求证：四边形ABFE 为等腰梯形； （2）求AE 的长． 【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形ABFE 为梯形，再说明AE=BF ，?作DG ⊥AB 于G ，利用CD= 1 2 AB 解决AE=BF ．（2）问要利用Rt △BCF ∽Rt △ABF ，求出AF 长，再用BF 2=C F ·AF ，即可求出BF 长，进而得到AE 长． 梯形性质的综合应用 例3．（2006年河南省）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC ，E 为底边BC 的中点，且DE ∥AB ，试判断△ADE 的形状，并给出证明． 【解析】△ADE 是等边三角形． 理由如下：∵AB=CD ，∴梯形ABCD 为等腰梯形， ∵∠B=∠C ． ∴E 为BC 的中点，

∵BE=CE． 在△ABE和△DCE中， ∵ , , AB DC B C BE CE = ? ? ∠=∠? ?= ? ∴△ABE≌△DCE． ∵AE=DE． ∴AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴AB=DE ∵AB=AD， ∴AD=AE=DE． ∴△ADE为等边三角形． 【考点精练】 一、基础训练 1．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，?则等腰梯形的下底角为________度． 2．如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为________． (第2题) (第3题) 3．如图所示，图1中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图2． 4．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D重合，折痕为AE，则CE=________． (第4题) (第5题) (第7题) 5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，?如下四个结论： ①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC． 请把其中正确结论的序号填在横线上：________． 6．（2006年攀枝花市）若等腰梯形两底之差等于一腰的长，?那么这个梯形一内角是（） A．90° B．60° C．45° D．30° 7．（2006年温州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（）

(文理通用)2019届高考数学大二轮复习第1部分专题6解析几何第1讲直线与圆练习

第一部分 专题六 第一讲 直线与圆 A 组 1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( B ) A ． 2 B ．82 3 C ． 3 D ．833 [解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2 ≠18，求得a ＝－1， ∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2 3 ＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为 d ＝ |6－23| 12 ＋－1 2 ＝82 3 .故选B ． 2．(文)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2 ＋y 2 ＝4所得劣弧所对圆心角为( D ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 [解析] 弦心距d ＝|2| 2＝1，半径r ＝2， ∴劣弧所对的圆心角为2π 3 . (理)⊙C 1：(x －1)2 ＋y 2 ＝4与⊙C 2：(x ＋1)2 ＋(y －3)2 ＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2 ＋y 2 ＝4截得弦长为( D ) A ．13 B ．4 C ．43913 D ．83913 [解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0. 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝213 13 ，⊙O 的半径R ＝2， ∴截得弦长为2R 2 －d 2 ＝2 4－413＝83913 . 3．已知圆C ：x 2 ＋(y －3)2 ＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |

＝23，则直线l 的方程为( B ) A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0 B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0 D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0 [解析] 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3| k 2＋1＝1， 解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝4 3(x ＋1)，故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4 ＝0. 4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 [解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ， 即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2 ＋(y ＋2)2 ＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ． 5．直线l 与圆x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( A ) A ．x －y ＋5＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －5＝0 D ．x ＋y －3＝0 [解析] 设圆x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)的圆心为C ，弦AB 的中点为D ，易知C (－1,2)，又D (－2,3)， 故直线CD 的斜率k CD ＝3－2 －2－－1＝－1， 则由CD ⊥l 知直线l 的斜率k l ＝－ 1 k CD ＝1， 故直线l 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0. 6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2 ＋(y －2)2 ＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D ) A ．－53或－35 B ．－32或－2 3 C ．－54或－45 D ．－43或－34 [解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在

二年级下册数学讲义-奥数：第二十二讲 类型题拾遗(解析版)全国通用

第二十二讲拾遗 流水作业–效率最优 给6 块小木板涂漆，每一块有两个面都要涂漆。涂完一面要1 分钟，但 必须要经过5 分钟漆才能干，这时才能给另一面涂漆。那么全部漆完这6 块木板，最少要用（）分钟。 宝贝们，这道题目背后蕴含的道理，在实际生活中有很大的用途呢！现在的社会不比几百年前了，已经进入了工业时代。任何一家企业在市场上如果想立足，都得提高效率，效率提高了，就意味着用比较少的成本生产出比较多的产品，那自然就有优势了。 在生产中，流水作业是提高效率的基本方法。比如生产一个东西需要10 道工序，那么在工厂中不是把10 道工序都做完，完全做出这个东西后再从第一道工序开始做下一个，那样的话，10 道工序中任何时间都只有一道在做，其它9 道都空闲在那，非常浪费。因此正确的做法是：在一个东西完成第一道工序进入第二道工序时，下一个东西就该放到第一道工序上来加工了，依次类推，这样的话整个生产线上的每一个工序都忙碌起来了，产品就像水流一样经过每道工序被加工出来，生产效率就得到了大幅提高。 理解了流水作业能提高效率的道理，再来看看题目吧。宝贝们给小木板涂漆，要想提高涂漆的效率，再最短的时间内完成，那么宝贝就不能闲着，要让涂漆的工作像水一样流动起来，只能木板等人，不能人等木板。因此只要做到不停的在涂漆，就能在最短时间完成了。 因为漆要5 分钟后才能干，然后才能涂另外一面；那就先把它放在一边，抓紧时间涂剩下的木板，等其它5 块木板全部涂完了，是不是5 分钟已经过去了呀？第一块木板的漆刚好干了，于是可以再涂它的另外一面。涂好之后，第二块是不是也干了呀，于是就这样依次涂过去，就能保证不停歇的涂完所有的木板了。 因为没有停歇过，所以6 块小木板一共要涂12 面，总共需要12 分钟。所以最短要用 12 分钟。 数字之美–重叠与对称 数字看起来很枯燥，但有时候数字会以独特的方式展现出它的美丽来。 11×11 = 121，111×111 = 12321，1111×1111 = 1234321，11111×11111 = （）

第27讲 梯形 参考答案

1 第27讲 梯形 参考答案 二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分： 1.C 2．B 3．B 4．证明：∵ AD ∥BC ∠B=∠C ∴∠A+∠B=1800 ∴∠A+∠C=1800 5． （1）证明：∵AE ∥BD ，∴∠E=∠BDC ．∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADC=2∠BDC ． ∵∠C=2∠E ，∴∠ADC=∠BCD ．∴梯形ABCD 是等腰梯形． （2）解：由（1）可知，BC=AD=5 又∵∠C=2∠BDC=600 ∴∠CBD=1800-300-600=900 ∴CD=2BC=10 三、【知识要点梳理—知识链接】 1．不平行 两腰相等 直角 ()高下底上底?+=2 1S 2．平行 相等 两角 相等 轴对称 3. （1）两角；（2）相等；（3）两腰相等 4. （1）两底 两底边和 （2）另一腰 五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________ 1．4 2．3 3． 解：?ABC ≌?DCB 证明：∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ∴∠ABC =∠DCB 在?ABC 与?DCB 中 A B D C A B C D C B B C C B =??∠=∠??=? ∴?ABC ≌?DCB （注：答案不唯一） 六、【中考演练二----2010-2012年中考题】 得分___________ 1．2 2．80° 3．270 4．4 5．B 6．C 7．C 8．C 9. 解： 七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________ 1．6． 2．22 3．C 4．B 5.证明：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ∴AB=DC ∠A=∠D 又∵M 是AD 的中点 ∴AM=DM ∴△ABM ≌△DCM ∴BM=CM

直线与圆基础知识

（一）直线 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -= ≠- (2)直线的倾斜角范围：)0,180?? （3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式：1112122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ ①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合：12k k =且12b b =

第23讲_图形的分割与拼接(含答案)

“图形的分割与拼接”专项复习 本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼． 本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力． 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多． 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形． 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的． 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法． 【典型例题】 板块一图形的分割 【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ B A O 【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力． 这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴做长方形的两条对角线，设交点为O ⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块． 可见用线段平分长方形的分法是无穷多的． 【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条． 【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．