Quora：历史上最残忍痛苦的死法
Quora：历史上最残忍痛苦的死法
Twyla Naythias我能想到的是处死Giles Corey。在萨勒姆巫蛊案中，一位无辜的81岁有钱农夫被处死。按照当时的法律，只有他提出抗辩后他才能被审判。如果他选择有罪抗辩，那么他会失去他所有的财产，他的家庭会一贫如洗。如果他选择无罪抗辩，他将会在私设法庭接受审判，然后被判有罪，没收财产。但是如果他拒绝抗辩，那么法庭将无法审判。为了促使他主动提出抗辩，法院对他施行了踏刑。石头将被堆积在受害者的胸膛上，让他逐渐无法呼吸，直到受害者承受不住主动提出抗辩为止。但是Giles没有屈服，每次法官询问他是否提出抗辩的时候，他只回了一句话：“再来一点！”赤身躺在冰冷的土地上，他只能靠一点点的面包和水生存。在两天的折磨后，他终于以一种可怖的死法离开了这个世界。(据说他的内脏像喷泉一样从嘴里喷了出来)
这张图上的是Grigori Yefrimovich Rasputin，来自莫斯科的疯狂僧侣，王室因为他搞出来的各种破事而决定刺杀他。在1916年12月17日晚，大公Dmitri Romanov，驸马Felix Yussupov，议员Vladimir Purishkevich和医生Lazaret邀请Rasputin来到尤苏波夫宫以治疗Felix的妻子Irina。在到达之后Rasputin被请到地下的宴会厅稍作休息，在那里他吃了一点下了毒的糕点和葡萄酒，然而他似乎没有中毒的迹象，
甚至还要求Felix弹唱吉他，并逼他唱了整整两个小时。然后他开始打嗝，分泌了很多唾液。最后Felix终于忍不住而抄起了左轮打中了Rasputin的后背。大公和医生去车上准备销毁Rasputin的鞋子和大衣，而Felix则去检查尸体。尸体仍然是温热的，血从伤口里不断的冒出来，当驸马把尸体翻过来的时候，他发现尸体的左眼开始睁开，接着是右眼，本该死去的Rasputin突然从地上跳了起来并开始一边吼叫一边攻击Felix。Felix挣开了束缚而Rasputin再次倒地。Felix 飞奔着去找他的手枪，而当他返回时，他发现Rasputin已经逃离，在雪中大叫着要将这一切告诉沙皇。在恐惧中议员打空了两枪，他不得不咬住自己的手腕让自己集中精神。Rasputin的背部再次中枪，最后一发命中了头部。在他倒下后，驸马开始用橡胶警棒疯狂的击打Rasputin。然而当他们检查尸体时，他们发现Rasputin仍然活着。他喘息着，用仅剩的一只眼睛盯着凶手。之后大公与医生选择将他直接丢入涅瓦河。两天后尸体被发现，死之前Rasputin还在尝试爬出冰河。在中毒，被打了三枪以及警棒殴打后，他终于被溺死了。这就是Grigory Yefrimovich Rasputin传奇的一生。Shivprasad ShettarDEA特工Kiki Camarena的死亡。Kiki 是一名墨西哥裔的美国DEA特工。根据Kiki得来的情报，墨西哥政府摧毁了一间每年生产80亿美元大麻的种植园。当毒枭们得知这些事后，他们通过贿赂警方绑架了Kiki，并
折磨了他30个小时。他的头骨，下巴，颧骨和气管都被压碎了，肋骨断裂，丧心病狂的毒贩还用螺丝刀把他的脑袋开了个洞。他被注射了安非他命以及其他毒品，这使他在这些酷刑中仍然保持清醒。毒贩还公开了记录这一切的录影带。Luka Jovicic这条问题下有很多不错的回答，但它们要么是来自纯粹的巧合或者是古代的刑罚。最近欧洲有一件性质恶劣的谋杀案，这也许并不是那么的残忍或是血腥，但是它会让你思考，到底是什么让这些人变得如此丧心病狂？这是Sophie Lancaster。她刚刚从文法学校毕业，有一个21岁的男朋友。在2007年8月11日，一群青年(15-17岁)袭击了她的男朋友并且将他打昏。她试图保护他但是很快那群人开始踢打她。最后她的男朋友苏醒了，虽然带着永久脑损伤，而在2007年8月24日，Sophie的亲属选择关闭了生命支持系统，因为很显然她再也无法醒来了。袭击他们的人中，Ryan Herbert和Brendan Harris被判谋杀，Joseph兄弟，Danny Hulme和Daniel Mallett被判蓄意严重人身伤害罪。让我难过的是这些凶手都是未成年，而他们犯罪的理由仅仅是这个女孩的画的哥特妆。他们就这样把一个活生生的人踢死了。Shubham Sharma我读完了95个答案，我想说说Vladimir Komarov。Vladimir Komarov，是第一个在联盟一号多次进入外太空的俄罗斯宇航员。他和Gagarin是最好的朋友。背景知识：Komarov是联盟一号的船长，而Gagarin
是备用飞行员。这次任务非常复杂，非常危险。而Komarov 原定于4月23日随联盟一号出发。在24日联盟二号将升天。联盟一号将与二号对接。两名宇航员将穿着太空服从二号走到一号。剩下的人将返回轨道。唯一的问题是联盟号并不能容下这么多人。许多工程师与宇航员都不认可计划的安全性与准时性，当时他们还有203条错误等待处理。在无人试验中他们发现了很多严重问题，而且有过很多足以杀死人类宇航员的失败案例。而他们的上峰，Leonid Brezhnev，想在5月1日劳动节发射飞船。工程师和宇航员们曾写了一个10页长的报告来劝说高层延后计划，而他们得到的答复是高层将不会再听取任何有关的报告。那天：到达预定轨道后，两个太阳能板只有一个能顺利打开，使得飞船只能以一半的动力运行，联盟二号的发射宣布取消了。当飞船重回大气层的时候，事情变的更加凄惨，因为只有一个展开的太阳能板，飞船开始疯狂的旋转。Komarov无法调整飞船的飞行姿态，飞船的底部无法对准地面，使得缓冲火箭无法发挥作用。在联盟一号的坠毁过程中，总理Alexei Kosygin哭着说Komarov是个英雄。他的妻子与他说完了最后一段话，并说了再见。最后的最后是他愤怒的呐喊，这将是他最后的遗言。联盟一号像一块2.8吨的陨石一样冲向了地面。航天舱在一瞬间就被压平了，剩余的废物在火焰中燃烧。在Komarov
的葬礼上，他的遗体被展示出来，能够辨别的是他的脚后跟。
Stiv Sherko拜福海豚号钻探机，1983年11月。在一次下潜后，两个人(Hellevik和Bergersen)准备进入减压舱回到地面。减压舱有两个房间，连接处各有一扇门，一号室还有一扇门通往潜水钟，之间的通道处也是各有一扇门。一号室和二号室被加压到9个大气压，在二号室里面已经有两位潜水员(Lucas和Coward) 等着，在潜水钟对接完成后，Hellevik
和Bergersen关闭了潜水钟的门，开始前往一号室，船长将潜水钟的气压稍微加了一点以保证门是密封的，而这就是悲剧的开始。一般来说一号室和潜水钟之间的通道应该保持紧闭，使得通道可以降压至1个大气压。然而一个新手潜水员Crammond错误的在一号室与潜水钟的门未彻底关闭时就
打开了连接潜水钟与解压舱的螺丝钳。一秒不到舱内的气压就从9个大气压降到了1个大气压。空气疯狂的从潜水钟的通道中冲了出来，把潜水钟推的远远的，杀死了里面的新手潜水员Crammond并将另一位潜水员Saunders重伤。处于减压舱的4位经过了爆炸性的失控减压后立刻死亡。位于
D4位置的Hellevik则受到了最大的冲击，他的身体从一个60厘米直径的洞中冲了出来，胸腹腔一分为二，所有的内脏都冲了出来(除了气管，小肠以及脊柱)。最远的一部分甚至
到达了10米远的地方。据称这种死法虽然看上去很恐怖但
是毫无痛苦，眨一下眼你就挂了。
https://www.wendangku.net/doc/ab4880597.html,/forum/f237/pictures-by
ford-dolphin-diving-bell-accident-148999/这条帖子有一些相关的资料以及图片，请在自己的清醒决策下打开。
世界十大数学难题
难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 难题”之二：霍奇(Hodge)猜想 难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想 难题”之四：黎曼(Riemann)假设 难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 难题”之八：几何尺规作图问题 难题”之九：哥德巴赫猜想 难题”之十：四色猜想 美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设
初一几何难题_练习题(含答案)
1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1 求证：DE ＝ 分析：由?ABC 连结CD ，易得CD = 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F
AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF ===∴?∴∠=∠==∴=，，，??() 在?BCE 和?DAF 中， BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F =∠=∠=??? ? ?∴?∴∠=∠??() 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。 求证：KH ∥BC
世界经典数学名题
鸡兔同笼 《孙子算经》卷下第31题叫?鸡兔同笼?问题，也是一道世界数学名题。?有一群野鸡和兔子关在同一个笼子里，头数是35，脚数是94。问野鸡和兔子的数目各是多少？?这个题目编得很有趣，如果35只动物全是鸡，就应该有70只脚；如果全是兔，就应该有140只脚，而题中却说共有94只脚，给人一种左右为难的印象。其实，解题关键也正在这里，假设35只动物全是鸡，则共有70只脚，与题中?脚数是94?相比较，还差24只脚，将1只兔看作是鸡，脚数就会相差2，有多少只兔被看作是鸡了呢？24 2=12。算到这里，答案也就呼之欲出了。 清朝时，作家李汝珍把这类问题写进了小说《镜花缘》中。书中有这样一个情节，一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。一位才女把大灯看作是头，小灯看作是脚；把一种灯球看作是鸡，把另一种看作是兔，运用?脚数的一半减头数得兔数，头数减兔数得鸡数?的算法，很快就算出了一大二小的灯是120盏，一大四小的灯是240盏，赢得了一片喝彩声。伴随古代中外文化交流，鸡兔同笼问题很快就漂洋过海流传到了日本。不过到了日本之后，鸡变成了仙鹤，兔变成了乌龟，鸡兔同笼变成了赫赫有名的?鹤龟算?。 狗跑与兔跳 行程问题是中小学里常见的一类数学应用题，也是一类很古老的数学问题。在我国古代数学名著《九章算术》里，收集了很多这方面的题目如书中第6章第14题：?狗追兔子。兔子先跑100步，狗只追了250步便停了下来，这时它离兔子只有30步的距离了。问如果狗不停下来，还要跑多少步才能追上兔子？?这道追及问题编得很有趣，它没有直接告诉狗与兔的?速度差?，反而节外生枝地让狗在追及过程中停了下来，数量关系显得扑朔迷离。2000年前，我们的祖先解决这类问题已经很有经验了，所以书中只是简单地说，用（250 30）作除数，用（100-30）作被除数，即可算出题目的答案。 世界各国人民都很喜爱解答这类问题，一本公元8世纪时在欧洲很流行的习题集中，也记载了一个狗与兔的追及问题：?狗追兔子，兔子在狗前面100英尺。兔子跑7英尺的时间狗可以跑9英尺，问狗跑完多少英尺才能追上兔子？?相传
初中数学经典几何题及答案
4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 N F E C D
P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E
初中几何教学一直是薄弱环节,学生学习几何比较难,甚至有
初中几何教学一直是薄弱环节，学生学习几何比较难，甚至有个别学生学了三年的几何最后还是连动笔写都不敢，甚至有个别学生看到几何题都怕，这种惧怕的心态存在很多学生的心里，但我国要培养学生分析和解决问题的能力，既要减轻学生的负担，还要激发学生的学习兴趣，更是要培养学生探索和创新能力，这就要在初中几何起步。 初中几何的教学内容是： 1、 使学生了解有关相交线与平行线，三角形，四边形、圆有关的概念和性质，掌握用这些概念和性质，判定对简单图形进行论证和计算的方法，了解轴对称，图形的平移、旋转、图形的相似。理解勾股定理和锐角三角函数、解直角三角形。 2、 会尺规作图。 3、 培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，使学生掌握简单的推理方法，从而提高学生的逻辑思维能力。 4、 通过论证与画图，培养学生严谨的科学思想。 我在教学中的体会如下： 1、 几何知识具有直观性，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明形象，可以帮助学生直观的理解数学，这就需要我们要多观察，多对比实物，多动手动脑来共同探索与合作交流，从而也必须加强对图形语言和符号语言的运用，从而直观形象地理解数学理论的本质。 2、 在几何教学中要抓住特殊元素，例如：公共角，对顶角、公共边、三角形的高、中线、中位线、线段垂直平分线等，这些都是证题时常用的元素，要特别注意它们在题中的位置，往往是解题的关键。 3、在讲解几何教学时，最好的思路要学会嵌入点，引导学生从问题出发去找条件是一种很好的学习几何的方法。例如：如图，已知a ∥b ，求证：∠ 1=∠3 分析：要证∠1=∠3，需证∠1=∠2，需找a ∥b （已知），又加上∠2=∠3（对顶角相等），从而可证。 4、在教学中，要重视基础教学，利用直观图形把每一个定理和定理的证明方法弄明白，从而联想到相关的知识点，上课也要 勤做笔记，记住每一个解题的思路。 总而言之，几何图形的教学既要重视学生规范化的表达和书写 能力的培养，精心设计好每一节课，教会学生解题的技能，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。 32b a 1
惊奇的发现——几个有趣的几何结论
令人惊奇的发现 ——几个有趣的几何结论 数学世界是令人惊奇的世界，几何世界更是常让人拍案叫绝。 前面我们已经见到一些几何中令人惊奇的结论，如三角形的外心、重心、垂心共线；三角形中的九个点共圆；四心共线；八点圆等等。下面再举出一些例子，与读者共同欣赏。 法国皇帝拿破伦一世（1769年～1821年）在历史上不仅是一位杰出的军事家和政治家，而且还是一位业余数学爱好者。据说，他在统治法国之前，曾与著名数学家拉普拉斯、拉格朗日等人一起研究和讨论过数学问题，甚至还在巴黎科学院报告过他所发现的一个有趣的定理。他在数学上的高深造诣和独到见解，使拉普拉斯和拉格朗日也感到十分吃惊！拿破伦所描述的定理如下：在已知三角形ABC的三边上，向外作出三个等边三角形，分别记为△A’BC，△B’CA，△C’AB。它们的中心为X、Y、Z，于是 △XYZ是一个等边三角形。 拿破伦对这个定理的证明既简单又优美。他把 X、Y、Z与离它们较近的△ABC的顶点连结起来， 然后以Y、Z为旋转中心，把所得的二个三角形△ XYC和△XZB旋转上去，直至YC与YA重合，ZB 与ZA重合，这时，C与A重合，B也与A重合， X与X重合。所得的新三角形XYZ与原来的三角 形XYZ是一样的，但它的每个内角都不难算出等 于60°，所以△XYZ是等边三角形。后人称这个三 角形为拿破伦三角形。 读者可以考虑：如果三边上的等边三角形不是向外作，而是向内作，这时以三个中心为顶点的三角形还是等边三角形吗？ 读者还可以考虑拿破伦三角形有些什么有趣的性质。 早在公元二世纪时，希腊天文学家托勒密就发现：圆内接四边形中，两条对角线长度的积等于它的两组对边乘积的和！这个定理被称为托勒密定理，托勒密当年曾利用这个定理解决了不少天文学上的计算。 无独有偶，著名数学家、物理学家牛顿爵士却对圆外切四边形有非常有趣的发现。他注意到如果任意作圆的外切四边形，那么这个圆的圆心将永远落在四边形两条对角线中点的连线上。你说奇怪不奇怪！ 我们可以随意画出两个大小不等的外离的 圆，从每个圆的圆心向另外一个圆作两条切线。 如果把不是切点的交点连结起来，得到的一个 四边形竟然是矩形！对它的证明并不难。这真 有点意外，不知道是谁最先发现了这件奇事。
初中几何证明很简单
几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等 2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。 五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。 以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明的思路。 对于证明题，有三种思考方式： （1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 （2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推
江苏2010年高考+(世上最难+最牛试卷)+数学
一、2010年江苏高考数学考卷解读 2010年高考已经落下帷幕，本次数学试题突出数学学科特点，考查基础与考查能力并重，有创新题、题目梯度明显，区分度较高。考生的评价集中为一个字“难”，许多题目看似简单，但要真正解决得分却很难。运算量很大，甚至部分同学的最后两题都没来得及看。接下来我们来具体分析试题。 1、基础题 试题第1题、第2题、第3题、第4题、第5题、第6题、第7题分别考查考纲中的集合的性质与集合的运算、复数的运算、古典概型、频率直方图的运用、函数的奇偶性、双曲线的标准方程与集合性质、算法流程图，基本集中在对A、B级要求的考查。难度与计算量均不大。大多数考生都应该能顺利解决。 第9题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离的计算，只要判断准确接下来的计算也不成问题。 第11题主要考查分段函数、函数的单调性以及不等式，难度虽不大，但分情况讨论对于部分函数基础较薄弱的考生稍有难度。 第15题主要考查向量，并与平时常用的解析法结合，在处理过程中需要稍加小心，容易出现计算上的失误。 第16题以四棱锥为模型，主要考查立体几何中线线、线面垂直以及多面体的体积，需要证明过程完整、理由充分，有部分考生虽然会做，但论证过程写的不够完善而导致失分。 总体看以上列举的考题考查的考点明确，难度与平时练习相当，
考生的失分会较少。 2、中档题 第8题、第10题、第12题主要考查导数的集合意义、数列的概念、三角函数的图像、不等式的解法与不等式的性质中比较容易的考点，只要平时的基本功扎实，解决这几个问题应该不难。重点在与考题与平时练习题的联系。 第17题测量电视塔的高度，本题的原型在苏教版数学必修5第11页第3题，它进行了改编，并添加了初中的相似三角形、解直角三角形这些知识的运用，在此基础上，考查了解斜三角形、基本不等式的运用。题目本身难度不大，但在这些知识点的融合中，有部分考生往往会失去方向，似乎有很多途径来解决问题，但要找到一个真正适合的方法不容易。 第19题主要考查等差数列的概念和通项公式与不等式的证明，本题主要是难下手，许多考生就在这一环节上缺少有效的突破，最终无功而返。 3、难题 第13题主要考查三角变换与运用解三角形知识进行三角运算，综合性较高，边、角、三角函数名称错综复杂，处理这类问题在运算、代换等运用方面需要恰当。否则导致运算量偏大，却得不到最后结果。第14题构造等腰梯形，求其周长的平方与面积的比值的最小值，将几何图形与函数模型相结合，具有高度的综合性，有想法，当深入解决问题时发现对于函数知识的要求相当高。
简单几何证明
简单几何证明与计算 一、课前复习．①计算： 201402-15-2-3-12-21）（）（）（-+?π ②先化简，再求值：a a a a a a 2)2396(22÷+--+-，其中a 是方程0132=--x x 的一个根． 二、例题讲解 例1.如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相 等吗？请说明理由. 例2、如图 ,小明在A 处看见前面山上有个气象站,仰角为15°,当笔直向山行4千米时,小明看气象站的仰角为30°.你能算处这个气象站离地面的高度CD 吗？是多少？ 三、当堂检测 1、在Rt ACD ?中，90,135,30,6C ABD A BD ∠=∠=∠==，求AD 的长度。
2．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长． 3、如图，在Rt ABC ?中，90,30ABC ACB ∠=∠=，过C 作CD BC ABC ⊥∠交的解平分线于点D ，且BD ABC ?的周长。 4、如图，在ABC ?中，E 是AC 上一点，且,//AE BC AD BC =， AED CBE ∠=∠。求证：AD EC =。 5、已知：如图，同一直线上有四点B 、E 、C 、F ，且 AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE=CF ． 求证：AB=DE ． 6、如图，D 是△ABC 的边AB 上一点， DF 交AC 于点E ， DE =FE ，FC ∥AB ，求证：AD =CF ． E A D C
7-简单几何体习题精选精讲
A B C D E A 1 B 1 C 1 简单几何体 （1）棱柱——最常见的多面体 空间直线与平面的只研究位置关系，没有大小和形状的研究；而具体的几何体除位置关系外，还有大小和形状的区别. 几何体按形状分两大类：一是由平面围成的多面体，如正方体；二是由曲面围成的旋转体，如球. 棱柱是常见的多面体，它有两个本质属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行. 棱柱在高考中是常考的一种载体，除考查空间线面关系（空间角和距离）外，还有面积、体积计算问题的考查. 【例 1】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ， D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小． 【解析1】（Ⅰ）设O 为AC 中点，连接EO ，BO ， 则EO ∥＝12C 1C ，又C 1C ∥＝B 1B ，所以EO ∥＝DB ， EOBD 为平行四边形，ED ∥O B ． ∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ， 又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，BO ? 面ABC ， 故BO ⊥平面ACC 1A 1， ∴ED ⊥平面ACC 1A 1，BD ⊥AC 1，ED ⊥CC 1， ∴ED ⊥BB 1，ED 为异面直线AC 1与BB 1的公垂线． （Ⅱ）连接A 1E ，由AA 1＝AC ＝2AB 可知，A 1ACC 1为正方形， ∴A 1E ⊥AC 1，又由ED ⊥平面ACC 1A 1和ED ?平面ADC 1知平面 ADC 1⊥平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥平面ADC 1．作EF ⊥AD ，垂足为F ，连接A 1F ，则A 1F ⊥AD ，∠A 1FE 为二面角A 1－AD －C 1的平面角． 不妨设AA 1＝2，则AC ＝2，AB ＝2ED ＝OB ＝1，EF ＝AE ×ED AD ＝23， tan ∠A 1FE ＝3，∴∠A 1FE ＝60°． 所以二面角A 1－AD －C 1为60°． 【解析2】（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O －xyz ，其中原点O 为AC 的中点． 设A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，B 1(0，b ，2c )． 则C (－a ，0，0)，C 1(－a ，0，2c )，E (0，0，c )，D (0，b ，c )． ED →＝（0，b ，0），BB 1→ ＝(0，0，2c )． ED →·BB 1→＝0，∴ED ⊥BB 1． 又AC 1→ ＝(－2a ，0，2c )， ED →·AC 1→＝0，∴ED ⊥AC 1， 所以ED 是异面直线BB 1与AC 1的公垂线． （Ⅱ）不妨设A (1，0，0)，则B (0，1，0)，C (－1，0，0)，A 1(1，0，2)， BC →＝(－1，－1，0)，AB →＝(－1，1，0)，AA 1→ ＝(0，0，2)， BC →·AB →＝0，BC →·AA 1→＝0，即BC ⊥AB ，BC ⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ， ∴BC ⊥平面A 1A D ． A B C D E A 1 B 1 C 1 O F C
简单的几何图形
直线、射线、线段 1、直线公理：经过两点有一条直线，一条直线。简述为： . ·两条不同的直线有一个时，就称两条直线相交，这个公共点叫它们的。 ·射线和线段都是直线的一部分。 2、直线、射线、线段 根据下列语句画图 ①延长线段AB与直线L交于点C.②连接MP.③反向延长PM. ④在PC的方向上,截取PD=PM. 3、线段的中点——把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。 类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫线段的三等分点。 把线段分成相等的n条线段的点，叫线段的n等分点。 4、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。简述为：之间，最短。 ·两点之间的距离的定义：连接两点之间的，叫做这两点的距离。 角 1、角的表示方法(4种) 2、角的度量 ●1个周角=2个平角=4个直角=360° ●1°=60′=3600″ ●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍。 3、角的平分线 ——从一个角的出发，把这个角分成的·如图，射线OB是∠AOC的平分线，则有两个角的，叫做这个角的平分线。∠AOB=__________ 或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC用符号语言表示就是： ∵OB平分 ∴∠AOB=_____________ （或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC） 4、角的比较与运算 计算。 ①用度、分、秒表示37.26°= .②用度表示52°9′36″= 。 ③45°19′28″＋26°40′32″④ 98°18′－56. 5°⑤27°47′×3＋108°30′÷6⑥36°15′27″×3 练习 直线、射线、线段 1．判断下列说法是否正确 （1）直线AB与直线BA不是同一条直线（） （２）用刻度尺量出直线AB的长度（） （3）直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表示（） （4）线段AB中间的点叫做线段AB的中点（） （5）取线段AB的中点M，则AB-AM=BM （） （6）连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离（） （7）一条射线上只有一个点，一条线段上有两个点（） 2．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC=_________ 3．电筒发射出去的光线，给了我们的形象 4．如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=______，BC=______，CD=_ ___ . . . .
常见的几何图形
七年级数学学科电子备课 教学内容 （课题） 常见的几何图形第几课时 1 课型新授 教学目标知识技能目标 观察生活中的实物或图片，认识以生活中的事物为原 型的几何图形； 认识一些简单几何体的基本特性，能识别这些简单几 何体． 过程与方法目标 能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实 物形状；初步理解立体图形与平面图形． 情感态度价值观目标 能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实 物形状；初步理解立体图形与平面图形． 教学重点识别简单几何体． 教学难点从具体事物中抽象出几何图形．。 教具准备PPT 教学过程策略与意图一、自学指导：（自己完成） 欣赏章前图“2008年北京奥林匹克公园”，请和同学们交流一下： 图片中有哪些我们熟悉的图形？ 小结：叫几何图形（理解 并记忆） 二.合作探究，生成总结 （1）出示问题由学生自己交流讨论发现结论.
三、应用 1、请你把相应的实物与图形用线连接起来. 2、你能说出下列图形中有哪些平面图形吗 3.指出下列立体图形的名称，并指出图中的各立体图形的表面中包 含哪些平面图形 练习巩固.温故知新.
作业设计 （一）选择题 1.下列说法错误的是（） A.长方体和正方体都是四棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形 C.柱体的上下底面形状相同 D.圆柱只有底面为圆的两个面 2.下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方 体；④圆柱；⑤圆锥；其中属于立体图形的 是（） A. ①②③； B. ③④⑤； C. ③⑤； D.④⑤ （二）填空题 3.几何图形根据是否在同一平面内分为 ___________图形和_________图形。 4.我们所学的常见的立体图形有体， 体，体. 5.柱体包括圆柱和，锥体包括棱锥 和 . （三）图中的一些物体与我们学过的哪些图形 相类似？把相应的物体和图形连接起来. 板书设计 常见的几何图形 定义: 常见的几何图形: 常见的平面图形: 上课时间11 月28 日
未解决的世界数学难题
一、千年难题。 "千僖难题"之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算 法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最
突出的问题之一。它是斯蒂文〃考克（StephenCook）于1971 年陈述的。 "千僖难题"之二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 "千僖难题"之三：庞加莱(Poincare)猜想
简单几何图形练习题
一．选择题（共14小题） B． B．个顶点A沿表面爬行到顶点G处，最短路线为（） B． （）
B ． B ． ． 那么正面的数字是（ ） B ． 二．填空题（共10小题） 15．圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球，在这些几何体中，表面是平面的有 ；表面没有平面的有 ；只有两个面的有 ． 16．如图，正方形ABCD 的边长为a ，以直线AB 为轴将正方形旋转一周，所得圆柱如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是 ． 18．已知一个圆柱的侧面积展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的半径为 ． 19．圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，直棱柱的侧面展开图是 ．
20．如图，是正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣4的面与它对面的数字之积是． 21．）一个多面体有12条棱，6个顶点，则这个多面体是面体． 22．观察图中的立体图形，分别写出它们的名称． 23．如图，这个几何体的名称是；它有个面组成；它有个顶点；经过每个顶点有条边． 24．一个n棱柱有18条棱，一条侧棱长10cm，底面每条边长都是5cm，则它是棱柱，侧面积 为，所有棱长的和为． 三．解答题（共6小题） 25．某包装盒的展开图，尺寸如图所示（单位：cm）． （1）这个几何体的名称是； （2）求这个包装盒的表面积． 26．用边长为1的小正方块粘合成如图所示的模型，要在模型表面上涂油漆，如果除去粘合部分不涂外，求模型的涂漆面积． 27．（2006秋?邹城市期末）如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成一正方体的表面展开图．（填出两种答案） 28．下列图形是一些几何体的平面展开图，写出这些几何体的名称．
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题看似侮辱智商，实则智商压制 这是一篇最近很火的文章。一个常见题目，貌似易解的题目出发，发现背后竟然蕴藏了深奥的大道理。这其实是很多问题，尤其是数论题目的特点：很容易理解，但很难做。 在我碰到这道题之前，它已经被某人心怀恶意地发布在网络上，成为流行的朋友圈图片，肆意捉弄那些老实人（Scridhar，这个人是不是你？）。我根本没意识到我偶然看到的这道题到底是个什么样的怪物。它长这个样： 你可能已经在朋友圈看到过很多这样的图了，它们一般都是标题党的垃圾：什么“95%的麻省理工毕业生无法解决的问题”，这个“问题”要么很空洞，要么偷换概念，要么就是不重要的脑筋急转弯。 但这个问题不是。这张图片就是一个精明的，或者说阴险的圈套。大概99.999995%的人根本没有任何机会解决它，甚至包括一大批顶 级大学非数论方向的数学家。它的确是可解的，但那真的真的不得了的难。
（顺便说一句。发布的人实际上不是Scridhar，或者说不能怪他。） 你可能会这样想，如果所有的尝试都失败了，我们还可以直接用电脑计算大力出奇迹。这年头，写个电脑程序解决这种形式简单的方程真是太容易了，只要它真的有答案，那电脑最终一定会找出来。但很抱歉，大错特错。用电脑暴力计算在这里毫无用处。 如果不把Quora的读者都当作椭圆曲线的入门者的话，我不知道怎么才能写出适合的答案。我在这能做的只是一个简要的概览。主要参考文献是最近Bremmer和MacLeod2014年在《数学和信息学年鉴（Annales Mathematicae etInformaticae）》上发表的一篇名为《一个不一般的立体代表性问题（An unusual cubic representationproblem）》的精彩论文。 让我们开始吧。 我们求解的是这个方程的整数解： (为了与论文的变量名相适应，我把苹果、香蕉和菠萝修改过来了) 面对任何方程，你需要做的第一步是尝试并确定问题背景。这到底被划归到哪一类问题？嗯，我们被要求找到整数解，所以这是一个数论问题。就题而言，方程涉及有理函数（多项式除多项式的函数形式），但很显然我们可以用通分移项的方法化成一个多项式函数，所以我们实际上解得是一个丢番图方程（Diophantine equation）。
初二几何经典难题集锦(含答案)
初二几何经典训练题 1、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm. ⑴求证：四边形ABFE是等腰梯形; ⑵求AE的长. 2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点． （1）求证：△ADE≌△BCF； （2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF和OF的长。 3、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm2．（1）求A D的长及t的取值范围；（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律。
4、如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G,若CF=15cm,求GF 之长。 5、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE =∠C。（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）。 6、如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA ＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm， 我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。 7、如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q， （1）若AB=6，求线段BP的长； （2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．
中考数学解答重难点题型突破题型一简单几何图形的证明与计算试题
专题二 解答重难点题型突破 题型一 简单几何图形的证明与计算 类型一 特殊四边形的探究 1．(2017·开封模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边BC 的中点D ，并与边AC 相交于另一点F. (1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)若BC ＝23，E 是半圆AGF ︵ 上一动点，连接AE 、AD 、DE. 填空： ①当AE ︵ 的长度是__________时，四边形ABDE 是菱形； ②当AE ︵ 的长度是__________时，△ADE 是直角三角形. 2．(2017·商丘模拟)如图，已知⊙O 的半径为1，AC 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线BC ，E 是BC 的中点，AB 交⊙O 于D 点． (1)直接写出ED 和EC 的数量关系：； (2)DE 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3)填空：当BC ＝__________时，四边形AOED 是平行四边形，同时以点O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是__________.
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝5 cm，点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)． (1)连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF； (2)填空： ①当t为__________s时，△ACE的面积是△FCE的面积的2倍； ②当t为__________s时，四边形ACFE是菱形. 4．(2017·新乡模拟)如图，AC是?ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)连接AF，CE. ①当EF和AC满足条件__________时，四边形AFCE是菱形； ②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是__________． 类型二几何问题的证明与计算 1．(2017·周口模拟)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E. (1)求证：AC∥DE； (2)连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．
尺规作图三大几何难题
安溪六中校本课程之数学探秘 尺规作图三大几何问题 一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？ 二、问题背景 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。 三、问题探秘 1.立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个
双曲线的简单几何性质(优秀教案)
教案 普通高中课程标准选修2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时） 教材的地位与作用 本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。 二、教案目标 （一）知识与技能 1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。 2、理解双曲线的渐近线。 （二）过程与方法 通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。 （三）情感态度与价值观 让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 三、 教案重点难点 双曲线的渐近线既是重点也是难点。 四、 教案过程 (一)课题引入 1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。 【板书】：双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的性质 2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。） 3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论）
（二）双曲线的性质 1、范围： 把双曲线方程12222=-b y a x 变形为22 221b y a x +=。 因为022≥b y ，因此122≥a x ，即2 2a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。 又因为022 ≥b y ，故R y ∈。 【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。 2、对称性： 下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线122 22=-b y a x 的标准方程， 判断它的对称性？ 在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。 【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是x 轴、y 轴，原点是它的对称中心。 3、顶点： 提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？ 在标准方程122 22=-b y a x 中，令0=y 得a x ±=；令0=x ，则y 无解。 这说明双曲线有两个顶点，)0,(),0,(21a A a A -。 （2）如图，对称轴上位于两顶点间的线 12 2 22=-b y a x 的实轴，其段21A A 叫做双曲线长度为a 2。尽管此双曲线与y 轴无公共 点，但y 轴上的两 个特殊的点 ),0(),,0(21b B b B -。 我们称线段21B B 为双曲线的虚轴，其长 度为b 2。 【板书】：3、顶点：)0,(),0,(21a A a A -，称21A A 为实轴，21B B 为虚轴，其中),0(),,0(21b B b B -。