2006中国数学奥林匹克试题及详细解答
2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
每题21分
一、 实数12,,,n a a a 满足120n a a a +++= ，求证：
()1
2
2
111
max ()3
n k
i i k n i n
a a a -+≤≤=≤-∑．
证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可．
记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=- ，则
k k a a =，
1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=---- ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++ ，
把上面这n 个等式相加，并利用12
0n a a a +++= 可得
11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++= ．
由Cauchy 不等式可得
()2
211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------
11222111k n k n i i i i i i d ---===????≤+ ???????
∑∑∑
111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--??????
≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ???
∑， 所以 ()
1
2
211
3
n k
i i i n
a a a -+=≤
-∑ ．
二、正整数122006,,,a a a （可以有相同的）使得
200512
232006
,,,a a a a a a 两两不相等．问：122006,,,a a a 中最少有多少个不同的数？
解 答案：122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．
由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故122006
,,,a a a 中互不相同的数大于45．
下面构造一个例子，说明46是可以取到的． 设
1246,,,p p p 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a 如下：
11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p -- ， 14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p ，
这2006个正整数满足要求．
所以122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．
三、正整数m ，n ，k 满足：2
3mn k k =++，证明不定方程
22114x y m +=
和 22
114x y n +=
中至少有一个有奇数解(,)x y ．
证明 首先我们证明如下一个
引理：不定方程
22114x y m += ①
或有奇数解00(,)x y ，或有满足
00(21)(mod )x k y m ≡+ ②
的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．
引理的证明 考虑如下表示
(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,02
y ≤≤
，
则共有()
112m ??
?++> ??? ?
?
???个表示，因此存在整数12,0,x x ?∈?，
12,0,2y y ?∈???
，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且
1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，
这表明
(21)(mod )x k y m ≡+， ③
这里1221,x x x y y y =-=-。由此可得
2222(21)11(mod )x k y y m ≡+≡-，
故2
211x
y km +=，因为x y ≤≤
2211
11474
x y m m m +<+
<， 于是16k ≤≤．因为m 为奇数，2
2112x
y m +=，22116x y m +=显然没有整数解．
（1） 若2211x y m +=，则002,2x x y y ==是方程①满足②的解． （2） 若22114x y m +=，则00,x x y y ==是方程①满足②的解． （3） 若22113x y m +=，则()()2
2
2111134x y x y m ±+=? ．
首先假设3
m ，若x
0(mod3),y 0(mod3)，且x (mod3)y ，则
0011,33
x y x y
x y -+== ④ 是方程①满足②的解．若x y
≡0(mod3)，则
0011,33
x y y x
x y +-=
= ⑤
现在假设3m ，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
01012,2x x y y ==，则
()()22
221111111136511115x y m m x y y x +=?=±+ ．
因为11,x y 的奇偶性不同，所以11511x y ±，115y x 都为奇数． 若(mod3)x y ≡，则1111005115,33x y y x
x y -+==是方程①的一奇数解． 若
1x 1(mod3)y ，则1
111005115,33
x y y x
x y +-==是方程①的一奇数解． （4）2
2115x y m +=，则()()22
254311113m x y y x ?=+± ．
当5m 时，若1(mod5),2(mod5)x y ≡±≡ ，或2(mod5),1(mod5)x y ≡±≡±，
则
003113,55
x y y x
x y -+== ⑥ 是方程①满足②的解．
若1(mod5),2(mod5)x y ≡±≡±，或2(mod5),1(mod5)x y ≡±≡ ，则
003113,55
x y y x
x y +-=
= ⑦ 是方程①满足②的解．
当5m ，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
01012,2x x y y ==，则
22
1111,
x y m +=1x 1(m o d 2)y ，
可得
()()2
2
111110033113m x y y x =+± ．
若 110(mod5)x y ≡≡，或者 111(mod5),2(mod5)x y ≡±≡±，或者
112(mod5),1(mod5)x y ≡±≡ ，则1111
00333,55
x y y x x y -+=
=是方程①的一奇数解． 若 111(mod5),2(mod5)x y ≡±≡ ，或112(mod5),1(mod5)x y ≡±≡±，则
1111003333,55
x y y x x y +-=
=
引理证毕．
由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解00(,)x y ．令21l k =+，考虑二次方程
22
0010mx ly x ny ++-=， ⑧
则 00
2ly x x m
-±==
， 这表明方程⑧至少有一个整数根1x ，即
22
101010mx ly x ny ++-=， ⑨
上式表明1x 必为奇数．将⑨乘以4n 后配方得
()
2
20112114ny lx x n ++=，
这表明方程2
2114x
y n +=有奇数解0112,x ny lx y x =+=．
2006
中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第二天
每题21分
四、在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，△ABC 的内切圆O 分
别与边BC ，CA ， AB 相切于点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆O 相交于点P ，连接BP ，CP ，若90BPC ∠=?，求证：AE AP PD +=．
证明 设AE = AF = x ，BD ＝BF ＝y ，CD ＝CE ＝z ，AP ＝m ，PD ＝n ．
因为90ACP PCB
PBC PCB ∠+∠=?=∠+∠，所以ACP PBC ∠=∠．
C
B
延长AD 至Q ，使得AQC
ACP PBC ∠=∠=∠，连接BQ ，CQ ，则P ，B ，Q ，C 四点共圆，令
DQ ＝l ，则由相交弦定理和切割线定理可得
yz nl =， ①
2()x m m n =+． ②
因为ACP ?∽AQC ?，所以
AC AP
AQ AC
=，故
2()()x z m m n l +=++． ③
在Rt △ACD 和Rt △ACB 中，由勾股定理得
222()()x z z m n ++=+， ④ 222()()()y z z x x y +++=+． ⑤
③－②，得 2
2z zx ml +=， ⑥
①÷⑥，得
22yz n
z zx m
=+，
所以 212yz m n
z zx m
++=+， ⑦
②×⑦，结合④，得 22
2222
()()2x yz
x m n x z z z zx
+=+=+++， 整理得
22()2x y
z x z z x
=++． ⑧ 又⑤式可写为 2xy x z
y z
+=
+， ⑨
由⑧，⑨得
42x z
z x y z =
++． ⑩ 又⑤式还可写为 2xz y z x z
+=
-， ○11
把上式代入⑩，消去
y z +，得
223220x xz z --=，
解得
13
x
z =
， 代入○11得，
5)y z =，
将上面的x ，y 代入④，得
1)
3
m n z +=
，
结合②，得
21
6
x m z m n ==+，
从而
n z =
， 所以，x m n +=，即 AE AP PD +=．
五、实数列{}n a 满足：112
a =
， 112k k k
a a a +=-+
-，1,2,k
= ．
证明不等式
12121211111112()n n n n n a a a n a a a n a a a ????????+++??-≤--- ? ?
??? ?+++????????
?? ． 证明 首先，用数学归纳法证明： ,2,1,2
1
=≤
假设命题对)1(≥n n 成立，即有2 10≤ 设 ?? ? ???∈-+ -=21,0,21)(x x x x f ，则()f x 是减函数，于是 2 1 )0()(1= ≤=+f a f a n n , 111 ()()26 n n a f a f +=≥=0>， 即命题对n ＋1也成立． 原命题等价于 ()12 1212n n n n n n a a a a a a ????-≤ ? ? ?++++++???? 12111111n a a a ??????--- ? ????????? ． 设 11()ln 1,0,2f x x x ???? =-∈ ? ? ???? ，则 () f x 是凸函数，即对 121 0,2 x x << ，有 ()()121222f x f x x x f ++??≤ ??? ． 事实上， ()()121222f x f x x x f ++??≤ ??? 等价于 2 1212211111x x x x ?????? -≤-- ? ???+??????， () 2 120x x ? -≥． 所以，由Jenson 不等式可得 ()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++??≤ ??? ， 即 12121111111n n n n a a a a a a ????????-≤--- ? ? ???+++?????? ?? ． 另一方面，由题设及Cauchy 不等式，可得 ()1 1 11 1n n i i i i i a n a a ==+-=-+∑∑ 2 2 1 111 1() 2n n i i n i i i n n n n a a a a a ++==≥ -= -+-+∑∑ 2 11122n n i i i i n n n n a a ==?? ? ?≥-=- ? ? ?? ∑∑， 所以 1 1 11(1) 12n i i n n n i i i i i i a n n a a a ====?? - ? ?≥- ? ? ?? ∑∑∑∑， 故 ()1212 1212(1)(1)(1)12n n n n n n n a a a n n a a a a a a a a a ??????-+-++--≤ ? ? ? ?+++++++++??? ??? 12111 111n a a a ??????≤--- ? ????????? ， 从而原命题得证． 六、设X 是一个56元集合．求最小的正整数n ，使得对X 的任意15个子集，只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n ，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空． 解 n 的最小值为41． 首先证明41n =合乎条件．用反证法．假定存在X 的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集（否则在一些子集中添加一些元素， 上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为A ，至少含有256115??? +???? ＝8个元素，又设其它14个子集为1214,,,A A A ．考察不含A 的任何7个子集， 都对应X 中的41个元素，所有不含A 的7－子集组一共至少对应71441C 个元素．另 一方面，对于元素a ，若a A ?，则1214,,,A A A 中有2个含有a ，于是a 被计算 了771412C C -次；若a A ∈，则121 4,,,A A A 中有一个含有a ，于是a 被计算了77 1413 C C -次，于是 77777 141412141341(56)()()C A C C A C C ≤--+- 7777 1412131256()()C C A C C =--- 77771412131256()8()C C C C ≤---， 由此可得196195≤，矛盾． 其次证明41n ≥． 用反证法．假定40n ≤，设{}1,2,,56X = ，令 {},7,14,21,28,35,42,49,1,2,,7i A i i i i i i i i i =+++++++= ， {},8,16,24,32,40,48,1,2,,8j B j j j j j j j j =++++++= ． 显然，8(1,2,,7),0(17)i i j A i A A i j ===≤<≤ ，7(1,2,,8)j B j == ，0(18)i j B B i j =≤<≤ ，1(17,18)i j A B i j =≤≤≤≤ ，于是，对其中任何3个 子集，必有2个同时为i A ，或者同时为j B ，其交为空集． 对其中任何7个子集1212,,,,,,,(7)s t i i i j j j A A A B B B s t += ，有 1212s t i i i j j j A A A B B B 1212s t i i i j j j A A A B B B st =+++++++- 8787(7)(7)s t st s s s s =+-=+--- 2(3)4040s =-+≥， 任何3个子集的交为空集，所以41 n ．综上所述，n的最小值为41． 2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B 因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B 第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析 2016.03.17 严文兰数学工作室 由于IMO 试题比较困难，所以即使写了解答，同学们也不一定看得懂，或者理解试 的解法，为什么这样想呢？以及自己做时如何分析问题呢？本文尽量给予阐明清楚。 1. 如图，在圆内接六边形ABCDEF 中，AB=BC=CD=DE ，若线段AE 内一点K 满足 ∠BKC=∠KFE, ∠CKD=∠KFA ，证明：KC=KF 。 分析：圆中角的关系最为灵活也相对简单，由已知圆周角∠AFE=∠BKD 注意到弧BD=弧AE 的一半，所以又有∠AFE=∠BOD ，从而∠BKD =∠BOD ，B 、K 、O 、D 四点共圆， 注意到OC 为此圆对称轴，所以在直径上，所以OK 为∠BKD 线，这样分别延长BK 、DK 交圆O 于B ’,D ’,就可以得到对称性：B 、B ’;D 、D ’关于OK 对称，由此，联系所证，只要C 、F 也关于OK 对称，即得KC=KF ，故不妨设点C 关于OK 的对称点为点F ’，显然在圆上，下面设法证明F ’=F ，由已知，可想到先证∠BKC=∠KF ’E ， 首先由对称性有∠BKC=∠B ’KF ’,下面要证的是∠KF ’E=∠B ’KF ’,这两个角是“内错角”，所以除非直线B ’D ∥F ’E,除非弧B ’F ’=弧DE ，由已知及对称性确实有弧B ’F ’=弧DE ，从而得到∠BKC=∠KF ’E ，延长F ’K 交圆O 于C ’,当点F ’变化时，弧EC ’=2∠KF ’E 也跟着单调变化，所以使得∠BKC=∠KF ’E 的点F ’唯一，又∠BKC=∠KFE ，所以 F ’=F ，所以KC=KF 。 1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由． 5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可． 高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9：00-11：00) 注意事项：本试卷共18题，满分150分 一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则 (A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数 (C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c| ＋|2a ＋b|，则 (A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中，∠C ＝90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关 系中正确的是 (A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞2 1- (C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤2 1 6.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R 上的函数y ＝f(x)，它具有下述性质： (i)对任何x ∈R ，都有f(x 3)＝f 3(x)， (ii)对任何x 1、x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)， 2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B 又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B 2017-2018学年度莘县翰林学校 数学试卷 满分120分；考试时间：100分钟 一、单选题36分 1．某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩x及其方差S2如下表所示： 如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2．某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和众数分别是（） A. 94分，96分 B. 96分，96分 C. 96分，98分 D. 96分，94分3．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的( ) A. 最高分 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 4．下列说法正确的是( ) A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数 B. 8，9，9，10，10，11这组数据的众数是10 C. 如果x1，x2，x3的方差是1，那么2x1，2x2，2x3的方差是4 D. 为了了解生产的一批节能灯的使用寿命，应选择全面调查 5．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（） A. 3，2 B. 3，4 C. 5，2 D. 5，4 6．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（） A. 众数是100 B. 平均数是30 C. 极差是20 D. 中位数是20 7．九（2）班体育委员用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如图所示：则这40名同学投掷实心球的成绩的众数和中位数分别是（） 目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20) 2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进 第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌） 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 （2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌） 五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++） （）。 七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A 2018福建教综真题 1.十九大报告指出,推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教育,办好学前教育、特殊教育和网络教育,普及高中教育,努力让每个孩子都能享有()的教育。 A.均等而幸福 B.一流而有尊严 C.普及而有效 D.公平而有质量 2.2017年7月8日,在第41届世界遗产大会上,中国福建省的()获准列入世界文化遗名录。至此,中国拥有世界遗产52处。 A.土楼 B.鼓浪屿 C.武夷山 D.三坊七巷 3.2017年9月29日，世界首条量子保密通信干线一“京、沪干线”,正式开通。承担这一保密通信的量子卫星的是() A.墨子号 B.空号 C.天宫号 D.蛟龙号 4.2018年2月9日,第23届冬季奥林匹克运动会在（）开幕。 A.韩国平昌 B.中国北京 C朝鲜平壤 D.日本北海道 5.2018年3月5日,李克强总理在第十三届全国人大一次会议上作政府工作报告,报告中指出,2017年我国国内生产总值达到82.7万亿元,比上年增长（） A.6.5% B.6.7% C.6.9% D.7,1% 6.根据《中华人民共和国教育法》第十九条规定,国家实行义务教育制度年限是() A六年 B.八年 C.九年 D十二年 7.《中华人民共和国未成年人保护法》第十三条规定,应当尊重未成年人受教育的权利,必须使适龄未成年人依法入学,接受并完成义务教育,不得使接受义务教育的未成年人辍学。承担这一保护义务的主体是() A.司法机关 B.学校或老师 C.各级人民政府 D父母或其他监护人 8.《关于加强中小学劳动教育的意见》提出,义务教育阶段中切实开设综合实践活动中的劳动与技术教育课的年级是() A.三到六年级 B.七到九年级 C.六到八年级 D.三到九年级 9.《中小学教师违反职业道德行为处理办法》第三条规定,警告期限为() A.3个月 B.6个月 C.12个月 D.18个月 10.中国的学校教育形态最早出现在 A.夏代 B.西周 C.汉代 D.春秋时期 11.法国教育家卢梭的代表作是 A.理想国 B.爱弥儿 C.教育漫话 D.教育与文化 12.国家规定某一学科的课程性质、课程目标、内容标准和实施建议的教学指导性文件是() A.教科书 B.课程计划 C.课程标准 D.课程设计 13.教育中“拔苗助长”的现象违反了个体身心发展的(） A.顺序性 B.互补性 C.不均衡性 D.个别差异性 14.杜威认为:“学校课程中相关的真正中心不是科学、不是文学、不是历史、不是地理,而是儿童本身的社会活动”该观点体现的课程理论是() A.知识中心课程论 B.学生中心课程论 C.社会中心课程论 D.后现代主义课程论 15.“活到老,学到老”,体现的现代学校教育制度的发展趋势是（） A.延长义务教育年 B.终身教育体系的完善 C.加强教育的国际交流 第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+= 令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222 2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++. 第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中. 2020下教资笔试中学《综合素质》真题试题含答案 一、单项选择题（本大题共29小题，每小题2分，共58分） 1.开学了，为把素质教育落到实处，某中学语文老师为同学们确定了学期素质教育目标：“每个月读一本名著，识两位名人，听三首名曲，品四幅名画，背五首古诗。”（）。 A.干扰了学生学习的节奏 B.优化了学生学习的方法 C.窄化了素质教育的内涵 D.指明了素质教育的途径 2.入职工作刚满两年的教师在专业发展中需要解决的主要问题是（）。 A.适应数育教学环境 B.熟练掌握教育教学方法 C.凝练教育教学经验 D.系统学习基础理论知识 3.年轻的男老师王勇在课堂上与男生互动多，与女生互动很少，理由是“避免别人认为我与女生太亲近”。王老师的做法（）。 A.合理，体现教育智慧 B.合理，符合传统观念 C.不合理，违背因材施教的原则 D.不合理，有悖公平待生的理念 4..每次实施新的教学设计之后，彭老师都会问自己:“有没有必要?是不是最好?能不能改进?要不要调整?”这说明彭老师（）。 A.善于自我反思 B.善于自我激励 C.缺乏教育自信 D.缺乏学习方法 5.下列选项中，不属于我国宪法所规定的公民自由的是（）。 A.出版自由 B.纳税自由 C.宗教信仰自由 D.科学研究自由 6.沈某购买用于考试作弊的隐形耳机，以每副1000元的价格向参加高考的考生出售，累计获利1万元。依据《中华人民共和国教育法》，当地公安机关可对沈某处以罚款的金额是（）。 A.1千元以上，5千元以下 B.5千元以上，1万元以下 C.1万元以上，5万元以下 D.5万元以上，10万元以下 7.姜某前往一所初中的后勤部门求职，陈校长了解到姜某曾因故意犯罪被剥夺政治权利，拒 同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时， ，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7 时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7）“”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作： 2. 同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，，则（这称为同余的传递性） （4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果 那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 所以a最大是31。 例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即， 我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？ 小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案 (每题8分；总共120分) 一、选择.（将正确的答案填在相应的括号内） 1.找规律填数:（在横线上写出你发现的规律） 21 26 19 24 ( ) ( ) 15 20 . (1)15,34 (2)17,18 (3)17,22 (4)23,25 2.甲乙两个数的和是218,如果再加上丙数,这时三个数的平均数比甲乙两数的平均数多 5,丙数是( ). (1)124 (2) 122 (3)140 (4)127 3.设X和Y是选自前500个自然数中的两个不同的数,那么(X+Y)÷(X-Y)的最大值 是( ). (1)1000 (2) 990 (3)999 (4)998 4.选择: 8746×7576 的积的末四位数字是 ( ). (1) 6797 (2) 9696 (3) 7669 (4) 6769 5. 现有1分,2分和5分的硬币各四枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少 种不同的支付方法？ (1)4 (2) 5 (3)10 (4)8 6.右图中,所有正方形的个数是( )个. (1)10 (2)8 (3)11 (4)9 7.用0--4五个数字组成的最大的五位数与最小的五位数相差( ). (1)30870 (2)32900 (3)32976 (4)10000 8.用0、5、8、7这四个数字；可以组成（）个不同的四位数？ (1)10 (2)18 (3)11 (4)9 9. 学校进行乒乓球选拔赛；每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场；一共进 行了21场比赛；有多少人参加了选拔赛？ (1)7 (2)8 (3)11 (4)9 10 一个长方形的纸对折成三等份后变成了一个正方形；正方形的周长是40厘米；那么 原来长方形的周长是多少？ (1)70 (2)80 (3)100 (4)96 11.小明每分钟走50米,小红每分钟走60 米,两人从相距660米的两村同时沿一条公路 相对出发,8分钟后两人相距( )米. (1)75 (2)200 (3)220 (4)90 12甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码. 赵说：“甲是2号；乙是3号.” 钱说：“丙是4号；乙是2号.” 孙说：“丁是2号；丙是3号.” 李说：“丁是4号；甲是1号.” 又知道赵、钱、孙、李每人都说对了一半；那么丙的号码是几？ (1)4 (2)2 (3)3 (4)1 13有一根木材长4米,要把它锯成8段,每锯一段要用3分钟.共锯了( )分钟. (1)21 (2)24 (3)19 (4)20 14有一个两位数,这个两位数十位上的数字是个位上的数字的4倍,如果把它减去5,十位数字就与个数字相同,那么这个两位数减去10后是( ). (1)73 (2)82 (3)83 (4)72 15. 公园要建一个正方形花坛,并在花坛四周铺上2米宽的草坪,草坪的面积是96平方米,花坛和草坪的面积总和是( )平方米. (1)204 (2)190 (3)196(4)100 CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西·吉安 高一年级第一天 2019年7月30日 上午8：00-12：00 1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西·吉安 高一年级第二天 2019年7月31日 上午8：00-12：00 5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =L 的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){} ,,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，L ，n a ，L 满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +--=++L ． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有* n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32 (1)k b b -≤+即可． 初中一年级奥赛训练题(一)及解析 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是( D) A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是( C) A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有( B) A．2个B．3个C．4个D．无数个 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是( B) A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式D．都加上1 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。 一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版
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