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概率与数理统计习题选1

第一章事件与概率

1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ?；

(4)BC A ?.

2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．

3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

4、证明下列等式：（1）13212

32-=++++n n n n n n n nC C C C ；（2）0)1(321321=-+-+--n

n n n n n

nC C C C ；（3）∑-=-++=r

a k r

a b

a k

b r k a C C C 0

. 5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。

7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有

)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

10、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

11、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。

12、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？

13、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r

14、袋中有n 只球，记有号码n ,,2,1 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。

15、袋中装有N ,,2,1 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。

16、甲有n+1个硬币，乙有n 个硬币，双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面多的概率。

17、一颗骰子投4次至少得到一个六点，与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事，哪一个有更多的机会遇到？

18、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。 19、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A 集中在一个人手中的概率。

20、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A 打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。

21、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。 22、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 23、设n A A A ,,,21 是随机事件，试用归纳法证明下列公式：

∑∑=≥>≥--++-=

i i j n n n j i

n A A A P A A

P A P A A A P 1

211

21)()

1()()()( 。

24、考试时共有N 张考签，n 个学生参加考试)(N n ≥，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。

25、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？

26、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,，求()AB P 及()B A P 。

27、已知：()()()B A C AB C B P A P AB P ??=,,，证明：)()()(C P A P AC P ≥。 28、（1）已知1A 与2A 同时发生则A 发生，试证：)()(≥)(21A P A P A P +－1

（2）若A A A A ?321，试证：≥)(A P 2-)()()(321A P A P A P ++ 29、利用概率论的想法证明下列恒等式：

A a

a A a A A A a A a A A a A =

+-?-+

+-----+

--+

)1()1(12)()

2)(1()1)((1

其中A ，a 都是正整数，且a A >。

30、证明Ω的一切子集组成的集类是一个-σ域。 31、证明：-σ域之交仍为-σ域。

32、向边长为 a 的正方形由任意投一点，求此点正好落在对正方形对角形上的概率?

33、在10只电子表中有2只是次品，现从中不放回的连续抽取两次，每次抽取一只，求正好抽到一个

是正品，一个是次品的概率? 34、在5双不同的鞋中任取4双，求至少能配成一双的概率? 35、在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?

36、两人相约于7点到8点间在某地相会，约定先到者等候另一人20分钟,过时离去，试求这两人能会

面的概率是多少? 37、有10个电阻，其电阻值分别为1,2,,10 ΩΩΩ ，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一个小于

5Ω,一个大于5Ω,另一个等于5Ω，问取一次就能达到要求的概率。

38、两船欲靠同一码头，设两船独立地到达，而且各自到达时间在一昼夜间是可能的，如果此两船在码

头停留的时间分别是1及2小时，试求一船要等待空出码头的概率。 39、任意取两个正的真分数，求它们的乘积不大于1/4的概率。 40、在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。 41、设3个事件A ，B ，C ，满足AB φ=，求()P A B C 。

42、某城市中发行2种报纸A ，B 。经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的

有35%，同时订阅2种报纸A ，B 的有10%。求：（1）只订A 报的概率；（2）只订1种报纸的概率。 43、从1,2,3,4,5五个数码中，任取3个不同数码排成三位数，求：（1）所得三位数为偶数的概率；（2）

所得三位数为奇数的概率。

44、电话号码由6个数字组成，每个数字可以是0,1,2,,9 中的任一个数（但第1个数字不能为0），求

电话号码由完全不相同的数字组成的概率。

45、袋中有5个白球和3个黑球。从中任取2个球，求：（1）取得的2个球同色的概率；（2）取得的2个球至少有1个是白球的概率。 46、证明： ()()-() ()P AB P AC P BC P A +≤

47、证明：包含一切形如),(x -∞的区间的最小-σ域是一维波雷尔-σ域。

第一章解答

1、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A C ?????=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。（3）A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。

（4）C B A BC A ???，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

2、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A

(或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．

3、解：（1）{至少发生一个}=D C B A .

（2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++. （3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB . （4）{都不发生}=D C B A D C B A =.

（5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++

CD BD BC AD AC AB =.

4、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得

211

1(--+++=+n n n n n n x

nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。

（2）在上式中令x=-1即得所欲证。

（3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。由于k

b b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于要证

∑=++-+≤≤=a

k r

b b a k

b b

r k a

a r C C C

0,.利用幂级数乘法可证明此式。因为

a b

x x x ++=++)

1()1()1(，比较等式两边r

b x

+的系数即得证。

5、解：15.033

5/3

111

6==

=A A A A P

6、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以

5/2!5/!42=?=p

（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，

剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=?=p

（3）p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁

边}=10

710

2=-+.

（4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P

（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=?=P

7、解：末位数吸可能是2或4。当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以

5/2/23

4=?=A A P

8、解：m

n m

n C C C C P 33/3

21=

9、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}

33.0625

20725

925152562572510253==?+?+?=.

10、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n 个号码必然全不相同，N n ≤。N 个不同号码可产

生!n 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有n

N C 种按严格上升次序的排列。总可能场合数为n

N ，故题中欲求的概率为

N N C P /=.

11、解：因为不放回，所以n 个数不重复。从}1,,2,1{-M 中取出m-1个数，从},1{N M +中取出

m n -个数，数M 一定取出，把这n 个数按大小次序重新排列，则必有M x m =。故

N m

n M N m M C C C C P /1

1----=。当11-<-m M 或m n M N -<-时，概率0=P .

12、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中

取出一只。所以欲求的概率为48.033

16/4

121

6==

=C C C C C C P

13、解：（1）有利场合是，先从n 双中取出2r 双，再从每双中取出一只。

)2(,

(2221

22n r C C C P r

n r

n <=

（2）有利场合是，先从n 双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的1-n 双中取出22-r 双，从鞭每双中取出一只。

n r n r r n r r n n C C n C C C C C P 222212

2222

212

(------==.

（3）r

n r n n r C C C P 22422242/2---=.

（4）r n r r n C C C P 2222/)(=r n r n C C 22/=.

14、解：（1）P{任意取出两球，号码为1，2}=2/1n C .

（2）任取3个球无号码1，有利场合是从除去1号球外的1-n 个球中任取3个球的组合数，故

P{任取3球，无号码1}3

/n n C C -=. （3）P{任取5球，号码1,2,3中至少出现1个}=P -1{任取5球，号码1,2,3不出现}5

/1n n C C --=. 其中任取5球无号码1,2,3，有利场合是从除去1,2,3号球外的3-n 个球中任取5个球的组合数。

15、解：（1）有利场合是，前1-k 次从1-N 个号中（除1号外）抽了，第k 次取到1号球， k

k k

k N N N

N P /)

1(/1)1(1

1---=?-=

（2）考虑前k 次摸球的情况，N A A P k

N k N /1/111=?=--。

16、解法一：设A={甲掷出正面数>乙掷出正面数}，B={甲掷出反面数>乙掷出反面数}。考虑A ={={甲

掷出正面数≤乙掷出正面数}。设A 发生。若乙掷出n 次正面，则甲至多掷出n 次正面，也就是说乙掷出0次反面，甲至少掷出1次反面，从而甲掷出反面数>乙掷出反面数。若乙掷出1-n 次正面，则甲至多掷出1-n 次正面，也就是说乙掷出1次反面，甲至少掷出2次反面，从而也有甲掷出反面数>乙掷出反面数，等等。由此可得

}{乙掷出正面数

甲掷出正面数

≤=A B =≤=}{乙掷出反面数甲掷出反面数

1)()()()(=+=+∴A P A P B P A P

显然A 与B 是等可能的，因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同，所以),()(B P A P =从

而2

1)(=A P 。

解法二：甲掷出1+n 个硬币共有12+n 个等可能场合，其中有01+n C 个出现0次正面，有1

1+n C 个出现

1次正面，…，11++n n C 个出现1+n 次正面。乙掷n 个硬币共有n 2个等可能场合，其中有0

n C 个出现0

次正面，1n C 个出现1次正面，…，n

n C 个出现n 次正面。若甲掷1+n 个硬币，乙掷n 个硬币，则共

有1

++=?=n n

n n 种等可能场合，其中甲掷出正面比乙掷出正面多的有利场合数有

++++++=+++)()(2

11n n n n n n n n n C C C C C C C C C m

)()(10111

101n

n n n n n n n

n n n n C C C C C C C C +++++++=++-+

利用公式

1-++=r n

n r

n C C C 及

n n C C =++11得

+++++++++= ))(())(()(2

1n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C m

)

())((101

101

n n n n n n n

n n n n n n

C C C C C C C C C ++++++++--

[]

??????++++=∑<21201210120)()(i n n n n n n C C C C C C C C +

???

???+++∑<3120122)(i n n n n n C C C C C

???++??????++++∑∑∑<<-<--n i n n n n n n i n n n n n n n n n C C C C C C C C 121111121)()( +

∑∑∑

≥>≥==?

??=+=

01110

212)(i j n n i n n n n

i n C C C C

所以欲求的概率为 2

2211=

==+n n

n m P .

应注意，甲掷出1,,1,0+n 个正面的2+n 个场合不是等可能的。

17、解：事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个六点”，后者有有

利场合为，除去六点外的剩下五个点允许重复地排在四个位置上和排列数，故，

P{一颗投4次至少得到一个六点}=-1{一颗投4次没有一个六点}=5177.06/5144=-. 投两颗骰子共有36种可能结果，除双六（6，6）点外，还有35种结果，故

P{两颗投24次至少得到一个双六}=-1{两颗投24次没有一个双六}=4914.036

/35124

=-.

比较知，前者机会较大。

18、解：0129.0/13

52213313313513==C C C C C P

19、解：0106.041352

431313

1326

1339

1352

2613

399

434

4=?=

C C

C C C C C C C C C P .

或解为，4张A 集中在特定一个手中的概率为13

5294844/C C C ，所以4张A 集中在一个人手中的概率

为 0106.0/413

52948=?=C C P .

20、解：（1）0000015.0/45

52==C P . 这里设A 只打大头，若认为可打两头AKQJ10及A2345，则答

案有变，下同。

（2）取出的一张可民由K ，Q ，…，6八个数中之一打头，所以

0000123.0/5

521

4==C C C P .

（3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点，再从剩下48张牌中取出1张，所以

.00024.0/5

524

13==C C C P

（4）取出的3张同点占有13个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余12个点中的一个点，

所以 .00144.0/5

522411234113==C C C C C P

(5)5张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中，5张牌占有13个点中5个点，所以

.00198.0/5

525

131

4==C C C P

(6){异花顺次五张牌}={顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}。顺次五张牌分别以A ，K ，…，6九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以

p = P{顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}[].0000294.0/)(5

52191451419=-=C C C C C

（7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点，所以

.0211.0/)(5

522

123

13==C C C C C P

（8）P{五张中有两对}=P{五张中两对不同点}+P{五张中两对同点}

.0475.0//5

521411244113552141112424212

=+=C C C C C C C C C C C （9）.423.0/)(5

5231431224113==C C C C C p

（10）若记（i ）事件为i A ，则94835251,,,A A A A A A A A ????而事件95,,A A 两两不

相容，所以∑===-=???

??-=9

95.506.0)(11i i

i i A

P A P p

21、解：设x ，y 分别为此二船到达码头的时间，则

240,240≤≤≤≤y x . 两船到达码头的时间与由上述

条件决定的正方形内的点是一一对应的（如图）

设A 表事件“一船要等待空出码头”，则Ａ发生意味着同时满足下列两不等式 4,3≤-≤-x y y x

由几何概率得，事件Ａ的概率，等于正方形ＣＤＥＦ中直线43≤-≤-x y y x 及之间的部分面积，与正方形CDEF 的面积之比，即

27.01152/31124/21212021242

222==?????

???? ???+?-=PA

22、解：设x ，y 分别为此二人到达时间，则 y 87,87≤≤≤≤y x 。显然，此二人到达时间 ),(y x 与由上述条件决定的正方形CDEF 内和点是一一对应的(如图)。 D 设A 表事件“其中一人必须等另外一人的

时间1/2小时以上“，则A 发生意味着满足如下 0 7 8 x 不等式 2

121>

-x y y x 或

。由几何概率得，

事件A 的概率等于ΔGDH 及ΔFMN 的面积之和与正方形CDEF 的面积之比，所以

1)11/()21212121(21)(=??+?=

A P

23、证：当2=n 时，)(212121A A A A A A -= ，1A 与212A A A -两者不相容，所以

)()()()()(212121221A A P A P A P A A A P A A P -+=-= .

此即当2=n 时原式成立。

设对1-n 原式成立，现证对n 原式也成立。

}{)(1111n n n n A A A P A A A P --=

}{)()(1111n n n n A A A P A P A A P ---+= }{)()(12111n n n n n n A A A A A A P A P A A P ---+=

对前后两项分别应用归纳假设得

)(1

1n n A A A P -?

?????-++-=--≥>≥--=∑∑)()

1()()(112

1111n n i j n j i i n n A A P A A P A P )(n A P + ?

???-++----≥>≥--=∑

∑)()

1()()(12

n n n j n i n i j n n j n i n i n i A A A A A A P A A A A P A A P )()

1()()(211

n n i j n j i i

i A A A P A A P A

P -≥>≥=-++-

∑

∑.

至此，原式得证。

24、解：设考签编号为N ,,2,1 ，记事件}{号考签未被抽到

第x A i =，则

i N N A P /)1()(-=， ),(/)2()(j i N N A A P n

j i ≠-=， 0/)()(21=-=n

N N

N N A A A P ；

诸i A 相容，利用第33题公式计算得

P={至少有一张考签未被抽到}}{21N A A A P =

∑∑=≥>≥--++-

i i j N N N j i

A A A P A A

P A

P 1

211

)

()

1()()(

1()2()1(1

21+-++---=--n

N N

N n

C N

n C

N C

∑-=---=

)()

1(N i n

n N

i N

i N C

25、解：这些比赛的可能结果，可以用下面方法表示：

,,,,,,,,,,,,aa acc acbb acbaa acbacc acbacbb bb bcc bcaa bcabb bcabcc bcabcaa

其中a 表甲胜，b 表乙胜，c 表丙胜。

在这些结果中，恰巧包含k 个字母的事件发生的概率应为k

1，如aa 发生的概率为1/4，acbb

发生的概率为1/16等等。则

[][] ++++=)()()()()(bcabcc P acbacc P bcc P acc P c p 7

122

129

= .

由于甲，乙两人所处的地位是对称的，所以)()(b p a p =，得

5)721(21)()(=

=b p a p .

26、解：)()()(B B A P B A P B A P -=-=

r B P B A P -=-=)()(

r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( .

27、证：设21)(,C B A C C BC =-=.由B A C ?可得，B

A C

?，

∴21C C C =，φ=21C C （1）

又AB

?∴AB BC A AC ==)(1 再由)()(1C P B P ≥得

)()()()()()(11C P A P B P A P AB P AC P ≥==

（2）

由A C ?2并利用1)(≤A P 得

)

()()()(222C P A P C P AC P ≥= （3）

由（1），（2），（3）可得

{})()()(2121AC AC P C C A P AC P ==)

()()()()()(2121C P A P C P A P AC P AC P +≥+=

[])

()()()()(21C P A P C P C P A P =+=

28、证：（1）21A A A ?，由单调性及1)(21≤A A P 得

)()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥1)()(21-+≥A P A P .

（2）321A A A A ?，两次利用（1）的结果得

1)()())(()(213321-+≥≥A A P A P A A A P A P

1)()(1)(213-++-≥A P A P A P 2

)()()(321-++=A P A P A P

29、证：设袋中有A 个球，其中a 个是白球，不还原随机取出，第k 次才首次取得白球的概率为

k A

k a A k A A A P 1

--=

)

1()2)(1()

2()1)((+---+-----=

k A A A A k a A a A a A a )1,,2,1(+-=a A k .

因为袋中有a 个白球，a A -个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为止，则至迟到第1+-a A 次一定会取到白球；也就是说，第一次或第二次…或至迟到第1+-a A 次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以

1211+-+++=a A p p p a

a A A a A a A A a A a A a )1()1(12)()

1()(+-?-+

+--+

等式两边同乘以a

A 得

A a

a A a A A A a A a A A a A =+-?-++-----+--+)1()1(12)()

2)(1()1)((1

1 .

30、证：记F={Ω的一切子集}

（i ）Ω是Ω的子集，所以F ∈Ω。

(ii) 若F A ∈，则A 是Ω的子集，A -Ω也是Ω的子集，所以F A A ∈-Ω=。

(iii)F i A i ∈=),2,1( ，当然有 ,2,1,=?Ωi A i 。任一 i

∈

。必有某一i A ，使i A ∈ω，所以Ω∈ω，从而i

i ?

Ω，即i i

A i 也是Ω的一个子集，故F

A i i

∈ 。

∴F 是-σ域。

31、证：设)(T t F t ∈是-σ

域，记 T

t t

F ∈=

(i) ∈Ω每一t F ，所以

t t

F ∈∈Ω，即F ∈Ω.

(ii) F A ∈，则∈A 每一t F ，由t F 是-

域得∈A

每一t

F ，所以t

t F A

∈∈，从而F

∈.

(iii) F i A i ∈=),2,1( ，则诸t A 必属于每一t F ，由于t F 是-

域，所以

i A ∈

每一t F ，即

F A

t T

t i

=∈∈ .

∴f 是-σ

域。

32、解：由于点落入正方形是等可能的，此属几何概型S a Ω=2,事件A={点落于两条对角线上了的测

度0A S =, 故P(A)=

S S A Ω

33、解: 由于此时样本点总数是90 ,有利场合数是32 ∴所求概率1645

P =

34、解：记 A ={选取的样品至少配成一双}，由于样品总数是C 104

A 的有利场合数是411

528()1()C C C p A P A ∴=- 813

()1

0.61921

P A =-=

≈

35、解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法. 其中有（4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7）种能成4位偶数. 故所求概率4987487987

4110987

P ???-??+??==???

36、解：以,X Y 分别表示两人到达的时刻,

则(,)X Y 可能取值范围是{}G X Y X Y =≤≤≤≤(,):,060060 则两人能会面的范围{}(,):||20,0,0g X Y X Y X Y =-≤≥≥ 故能会面的概率P=g G 的面积的面积

604060

37、解：从10个电阻中取三个电阻的取法有103??

???

种取法

满足要求的取法有 415111?????? ? ? ???????

种取法，故所求概率 415101

/11136P ????????== ? ? ? ?????????

38、解：设二船到达的时刻为,x y ，则 ,x y 一切可能取值

{}(,):024;024G x y x y =≤≤≤≤ (得2分)

所求值：{(,),1,2g x y G y x x y =∈-≤-≤

所求概率 p=

g G 的面积的面积

=0121.

39、解：设x 及y 为所取的正的真分数，则{}(,);01,01;x y x y Ω=<<<<

(,);,01,014A x y xy x y ??

=≤<<<

，故114

1114

4()ln 40.5971

P A +

40、解：设此二数为,,x y 则Ω=<<<<{(,);,}x y x y 0101 {(,):1.2,01,0A x y x y x y =+

故110.80.82

()0.681

P A -??=

在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。

41、解：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+

()()()()()()()P A P B P C P P AC P BC P φφ=++---+ ()()()()()P A P B P C P AC P BC =++--

42、解：（1）记事件A={订阅A 报}， B={订阅B 报}，则{只订阅A 报}可表示为A B A AB -=-。因

AB A ?，故()()()()P A B P A AB P A P AB -=-=-0.450.10.35=-=。

（2）{只订1种报}=()()A B B A A B B A --= ，要把,A B B A --分别表示为A A B -，

B A B -。又这2个事件是互不相容的，由概率加法公式，有

()()()()()()p P A AB P B AB P A P AB P B P AB =-+-=-+- 0.450.10.350.10.6=-+-=

43、解：（1）三位数总的排法是3

5A 种。排得偶数要求末位数是偶数，即2或4，余下的4个数任取2个

排列。因此，排得偶数的情况种数是2

2A 种，故2

4135

22430.4543

A p A

??=

=??。

（2）同（1）作类似的分析，知24235

33430.6543

A p A ??=

=??。

注：此题也可以这样分析：{所得三位数是偶数}={三位数末位数是偶数}，又{所得三位数是奇数}={三位数末位数是奇数}。从而12230.4,

0.65

p p =

44、解：因第1个数字不能为0，故6位电话号码的数字情况总数5

910N =?个，其中完全由不同数字

组成的情况数为998765136080M =?????=（个）。所以1360800.1512900000

p ==。

45、解：（1）从8个球中任取2个的取法总数为2828C =种。取得的2个球为同色，分为两种情况：2

个球皆为白色或2个球皆为黑色。这两种情况各有2253,C C 种，故取得2个球同色的情况数为

5313C C +=种，所以1130.464328

p ≈

≈。

此题也可以这样解：1A ={取得的2个球皆为白色}，2A ={取得的2个球皆为黑色}，A ={取得的2个同色}。12,A A 互不相容，且12A A A = ，而2

53122

103(),

()28

C C P A P A C

，

故

110313()0.464328

p P A ==

++≈

（2）令A ={取得的2个球至少有1个白球}，则A ={取得的2个球皆为黑球}，故

2322

325()1()110.892928

C p P A P A C ==-=-

≈

46、证：()()-()P AB P AC P BC +()()()p AB AC P ABC P BC =?+-

≤+-=P A P BC P BC P A ()()()()

47、证：一维波雷尔-σ域{}),[b a m B =是由左闭右开区间灶产生的-

σ域，{}),(~

x M B -∞=是由形如)

,(x -∞区间类产生的-σ

域。

因为 ),(),(),[a b b a -∞--∞=

等式左边是B ~

中两个集的差，由此知B ~

包含一切形如),[b a 的集，而B 是由一切形如),[b a 的集类产生的-σ

域，所以B

B ?~

。

又由于

∞

=+--=

-∞1

)

1,[),(n n x n x x ，

等式右边是B 中集的可列并，由此知B 包含一切形如),(x -∞的集，与上段同理得B

~?.

∴B

B =~.

概率论与数理统计试题

07试题一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分） 1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则() () P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为 4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2 4E X ??+=? ? 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得 {} 22P X -≥≤ . 6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时, ()()22 123422Y a X X a X X =++-~()22χ. 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分） 1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( ) ~ (A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( ) (A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续 4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤= ,5 {1}{1}9 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13 5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差 ()32D X Y -= ( ) - (A) 40; (B) 34; (C) ; (D) 6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~() 2,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是统计量的是( ) (A) 1max k k n X ≤≤; (B) 1min k k n X ≤≤; (C) X μ-; (D) 1 n k k X σ =∑ 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: ,,, (1) 求恰有2位同学不及格的概率； (2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.

第五章一元一次方程知识点总结和例题讲解

一元一次方程知识点及题型一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．四、去括号法则五、解方程的一般步骤 1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2. 去括号(按去括号法则和分配律) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号) 4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式) 5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a ). 六．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，写出答案【基础与提高】一．选择题 1．下列各式中，是方程的个数为（）（1）﹣4﹣3=﹣7；（2）3x ﹣5=2x+1；（3）2x+6；（4）x ﹣y=v ；（4）a+b ＞3；（5）a 2+a ﹣6=0． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列说确的是（） A ．如果ac=bc ，那么a=b B ．如果，那么a=b C ．如果a=b ，那么 D ．如果，那么x=﹣2y m ﹣2

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题 1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。 2、设3.0)(,1.0)(=?=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。 4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。 6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。 8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。 10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。 11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。 12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。 13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。 14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。 15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

概率论与数理统计期末考试试题及解答

《概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F =

《概率论与数理统计》习题二答案

《概率论与数理统计》习题二答案《概率论与数理统计》习题及答案习题二 1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3，4，5,在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】 3535 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 故所求分布律为２.设在1５只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取１只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求： (１） X 的分布律；（2）Ｘ的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<．【解】 3 1331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为

（２）当x <0时，F (x ）＝P (X ≤x )=０当０≤x <1时，F (x )＝P (X ≤x )=Ｐ（Ｘ=0)= 2235 当1≤x <２时，F （x ）=P (Ｘ≤ｘ）=P （Ｘ=0）＋P （X =1)=3435 当x ≥2时，F (x )=P （Ｘ≤x ）＝1 故X 的分布函数 0, 022 ,0135()34,12351,2x x F x x x

概率论与数理统计试题(A卷)

海南大学信息学院《概率论与数理统计》试题（A卷）得分阅卷教师 1、填空题（每小题3分，共18分） 1，将3个人随机地放入4个房间中，则每个房间至多只有一个人的概率为。 2，设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则。 3，设,，则 4，掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点的概率为 5，三个人独立破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。此密码被译出的概率为。 6，设X表示掷两颗骰子所得的点数，则EX= 二、单项选择题（每小题3分，共12分）得分阅卷教师 ( )7，设，则 A）=0.5 B）=0.5 C） D） ( )8，设事件A，B互不相容，P（A）=p P(B)=q 则（A）(1-p)q B） pq C） q D） p ( ) 9，则 C= A） 3 B） 2 C） 1 D） 0 ( ) 10，设Cov(X,Y)=0, 则以下结论中正确的为 A）X，Y独立 B）D（X+Y）=D（X）+D（Y） C）D（X－Y）=D（X）－D（Y） D）D（XY）=D（X）×D（Y）得分阅卷教师三，计算题（每小题10分，共60分） 11. 设某种电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度：现有一批此种电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少。 12.设随机变量（X，Y）的概率密度为求关于X的边缘概率密度及关于Y边缘概率密度 13.设X为总体X的样本，求的最大似然估计量及矩估计量。

14.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。 15.有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称其重量（以克计） 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体标准差的置信水平为0.95的置信区间。（） 16. 设某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布均末知，从中随机地抽取16只电子元件，算得平均寿命为241.5小时，修正的样本标准差为98.7259小时，问在显著性水平0.05下，是否可认为电子元件的平均寿命大于225小时？并给出检验过程。（） 17．设有两个口袋，甲口袋中有两个白球，一个黑球，乙口袋中有一个白球，两个黑球。由甲口袋任取一个球放入乙口袋，再从乙口袋中取出一个球，求最后取到白球的概率。

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

第五章有机质谱习题说课讲解

第五章有机质谱习题

第五章有机质谱一、判断题 [1]质谱图中质荷比最大的峰不一定是分子离子峰。但分子离子峰一定是质谱图中质荷比最大的峰。（T） [2]分子离子峰的强度与化合物的类型有关，一般含有芳环的化合物分子离子峰的强度最大。（T） [3]分子离子峰可以是奇电子离子，也可以是偶电子离子。（F） [4]当分子离子峰的稳定性较低时，可以通过增加轰击电压，使分子离子峰强度增大。（F） [5]双聚焦磁场分离器实现了能量和方向的双聚焦，所以分辨率较高。（T） [6]在目前的各种质量分析器中，傅立叶变换离子回旋共振质量分析器具有最高的分辨率。（T） [7]由于产生了多电荷离子，使质荷比下降，所以可以利用常规的质谱检测器来分析大分子质量的化合物。（T） [8]根据氮律，由C﹑H﹑O﹑N组成的有机化合物，N为奇数，M也一定是奇数；N为偶数，M也为偶数。（T） [9]当化合物分子中含有C=O基团，而且与这个基团相连的链上有γ-氢原子，该化合物的质谱出现麦氏重排离子峰。（T） [10]化学电离源属于软电离技术，因此在CI-MS中最强峰通常是准离子离子峰。（T） [11]由于不能生成带正电荷的卤素离子，故在质谱分析中无法确定分子结构中是否有卤元素存在。（F）

[12]在标准质谱图中，醇类化合物的分子离子峰很小或不出现。（T） [13]大气压化学电离源(APCI)适合分析中等极性的化合物，而且产生的碎片离子很少，主要是准分子离子。（T） [14]通过研究亚稳离子峰，可以找到某些离子之间的相互关系。（T ） [15]在EI-MS中，产生的碎片离子很少，分子离子峰通常是基峰。（F ） [16]含奇数个电子的离子重排断裂后产生的离子一定含有奇数个电子；而含偶数个电子的离子重排断裂后产生的离子一定含有偶数个电子。（T ） [17]奇数个离子断裂后产生的奇电子离子。也可以产生偶电子离子；偶电子离子断裂后只能产生的偶电子离子。（T ） [18]简单断裂仅有一个键发生开裂，并脱去一个自由基；而重排断裂同时发生几个键的断裂，通常脱去一个中性分子同时发生重排。（T ） [19]在质谱中，一般来说碳链越长和存在支链有利于分子离子峰裂解，所以分子离子越强。（F ） [20]在质谱中离子在断裂中若能产生H2O﹑C2H4﹑CO﹑CH2=C=O﹑CO2等点中性小分子产物，将有利于这种断裂途径的进行，一般产生比较强的碎片离子峰。（T ）二、单选题 [1]判断分子离子峰的正确方法是（D） A. 增加进样量，分子离子峰强度增加； B. 图谱中强度最大的峰； C. 质荷比最大的峰； D. 降低电子轰击电压，分子离子峰强度增加 [2]在质谱中，CH2Cl2的M:(M+2):(M+4)的比值约为（C）

概率论与数理统计习题二答案完整版

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《概率论与数理统计》习题及答案习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=34 35 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 4.（1）设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .

（2）设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知故 e a λ-= (2) 由分布律的性质知即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3, (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ = 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落) 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

概率论与数理统计(二)试题及答案

概率论与数理统计B 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12; (B) 225; (C) 4 25 ; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）(A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +，(a=0,b=1)则F (0)的值为（）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为() 5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξ η?的分布及()E ξη?；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A B 与 C 相互独立. 某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：

概率论与数理统计试题与答案

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概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<