热传导公式

第二节传导传热

传导传热也称热传导，简称导热。导热是依靠物质微粒的热振动而实现的。产生导热的必要条件是物体的内部存在温度差，因而热量由高温部分向低温部分传递。热量的传递过程通称热流。发生导热时，沿热流方向上物体各点的温度是不相同的，呈现出一种温度场，对于稳定导热，温度场是稳定温度场，也就是各点的温度不随时间的变化而变化。本课程所讨论的导热，都是在稳定温度场的情况下进行的。

一、传导传热的基本方程式----傅立叶定律

在一质量均匀的平板内，当t1> t2热量以导热方式通过物体,从t1向t2方向传递,如图3-7所示。

图3-7 导热基本关系

取热流方向微分长度dn，在dt的瞬时传递的热量为Q，实验证明，单位时间内通过平板传导的热量与温度梯度和传热面积成正比，即：

dQ∝dA·dt/dn

写成等式为：

dQ=-λdA·dt/dn (3-2)

式中Q-----导热速率，w;

A------导热面积，m2；

dt/dn-----温度梯度，K/m；

λ------比例系数，称为导热系数，w/m·K；

由于温度梯度的方向指向温度升高的方向，而热流方向与之相反，故在式（3-2）乘一负号。式（3-2）称为导热基本方程式，也称为傅立叶定律，对于稳定导热和不稳定导热均适用。

二、导热系数λ

导热系数是物质导热性能的标志，是物质的物理性质之一。导热系数λ的值越大，表示其导热性能越好。物质的导热性能，也就是λ数值的大小与物质的组成、结构、密度、温度以及压力等有关。λ的物理意义为：当温度梯度为1K/m时，每秒钟通过1m2的导热面积而传导的热量，其单位为W/m·K或W/m·℃。

各种物质的λ可用实验的方法测定。一般来说，金属的λ值最大，固体非金属的λ值较小，液体更小，而气体的λ值最小。各种物质的导热系数的大致范围如下：

金属 2.3～420 w/m·K

建筑材料0.25～3 w/m·K

绝缘材料0.025～0.25 w/m·K

液体0.09～0.6 w/m·K

气体0.006～0.4 w/m·K

固体的导热在导热问题中显得十分重要，本章有关导热的问题大多数都是固体的导热问题。因而将某些固体的导热系数值列于表3-1，由于物质的λ影响因素较多，本课程中采用的为其平均值以使问题简化。

表3-1 某些固体在0～100℃时的平均导热系数

三、平面壁稳定热传导

1、单层平面壁

设有一均质的面积很大的单层平面壁，厚度为b，平壁内的温度只沿垂直于壁面的x轴方向变化，如图3-8所示。

图3-8 单层平壁稳定热传导

在稳定导热时，导热速率Q不随时间变化，传热面积A和导热系数λ也是常量，则傅立叶公式可简化为：

将此式积分，当x=0，t=t1;x=b时，t=t2,积分结果为：

若改写成传热速率方程的一般形式，则有：

(3-4)

式中b-----平面壁厚度，m；

△t-----平壁两侧温度差，即导热推动力，K；

R= b/λA------导热热阻，K/W。

此式说明，单层平面壁的导热速率，与推动力△t成正比，与热阻成反比。

例3-1 加热炉的平壁用耐火砖砌成，壁厚0.32m，测得壁的内表面温度为700℃，外表面温度为100℃，耐火砖的导热系数λ=1.05w/m·k,求每小时每平方米壁面所传递的热量。

解：这是一个平面壁稳定热传导的问题，将式（3-3）移项得:

将t1=700℃，t2=100℃，λ=1.05w/m·k,b=0.32m代入：

Q/A={1.05(700-100)}/0.32 = 1969w/m2 = 7088KJ/m2·hr

2、多层平面壁

在工业生产上常见的是多层平壁，如锅炉的炉墙。现以一个三层平壁为例，说明多层平面壁稳定热传导的计算。如图3-9所示。

图3-9 多层平面壁的热传导

设各层壁厚及导热系数分别为 b1,b2,b3及λ1,λ2,λ3.内表面温度为t1,外表面温度为t4,中间两分界面的温度分别为t2和t3。

对于稳定导热过程，各层的导热速率必然相等。将式（3-3）分别用于各层，可得：

即△t1=Q1R1………………(a)

即△t2=Q2R2………………(b)

即△t3=Q3R3………………(c)

(a)+(b)+(c)有：△t1+△t2+△t3=Q1R1+Q2R2+Q3R3

稳定热传导时：Q1+Q2+Q3=Q 故：

（3-5）

将式（3-5）推广到一个层数为n的多层平壁，有：

（3-6）

由于Q=△t1/R1=△t2/R2=△t3/R3,可得：

△t1：△t2：△t3=R1：R2：R3（3-7）

式（3-7）说明，多层平壁内各层的温度降与热阻成正比。

例3-2 有一炉壁由下列三种材料组成：

耐火砖λ1=1.4w/m·℃ b1=240mm

保温砖λ2=0.15w/m·℃ b2=120mm

建筑砖λ3=0.8w/m·℃ b3=240mm

今测得内壁面温度为930℃，外壁面温度为70℃，求每平方米面积的壁面的热损失和各层接触面上的温度。

例3-2 附图

解：由式（3-5）

由式(a),(b),(c)可得：△t1=Q·R1=667.17×0.17=115.1℃

△t1=t1-t2故t2=t1-△t1=930-115.1=814.9℃

同理△t2=Q·R2=667.17×0.8=541.7℃

△t2=t2-t3 t3=t2-△t2=814.9-541.7=273.2℃

△t3=Q·R3=677.17×0.3=203.2℃

由以上计算可知：保温砖的导热系数小，故热阻大，虽然厚度小，但经过保温砖的温度降也大，有利于保温。这与式（3-7）是一致的。

四、圆筒壁稳定热传导

化工生产中常用的容器、管道一般是圆筒形的，经过圆筒壁的稳定热传导与平面壁的区别在于圆筒壁的内外表面积不等。热流穿过圆筒壁的传热面积不象平面壁那样是固定不变的，而是随圆半径而改变。

1、单层圆筒壁

设有一圆筒壁，如图3-10所示。

图3-10 圆筒壁的热传导

圆筒的内半径为r1,外半径为r2，长度为L。若在半径为r处取一微分厚度dr，则传热面积A=2πrL 可以看成是常数。由傅立叶定律，通过这一微分厚度dr的圆筒壁的导热速率为：

将λ作常数处理，则可积分：

整理后得：

（3-8）

此式即为单层圆筒壁的导热速率方程式。若将此式改写成与平壁导热速率方程式类似的形式，则将分子、分母同乘以（r2-r1），有：

（3-9）

（3-10）

式中b=r2-r1------圆筒壁的壁厚，m；

------对数平均面积，m2。

对数平均值是化学工程中经常采用的一种方法，用此法计算结果较准确，但其计算比较繁杂，因此，当A2 /A 1≤2时，可用算术平均值代替，这时：

A m=（1/2）·（A1+A2)

当A2 / A1 = 2时，使用算术平均值的误差为4%，这样的结果，在工程计算中是允许的。

例3-3 蒸汽管外径48mm，包扎的石棉泥保温层的λ为0.15w/mK,保温层厚60mm。与蒸汽管子接触的石棉层内层壁面温度为120℃,与周围空气接触的外壁面温度为30℃。试求每米管长因传导而造成的热损失速率。若保温层加厚到120mm，这时外壁温度随之降至25℃。则热损失情况怎样？

解：将式（3-8）移项并代入数据得：

当保温层加厚到120mm时，求得：Q/L=47.3w/m

从式（3-8）可看出，对圆管壁而言，在其它条件相同时，（如△t相同，而λ随温度变化不大），传热速率与ln(r2/r1)成反比，因而绝热效果并不与绝热层厚度成正比地变化，本例就是很好的说明。

2、多层圆筒壁

与多层平面壁相同的推导方法，从单层圆筒壁的热传导公式可推得多层圆筒壁的热传导公式如下：

（3-11）