读《儿童心中的数学世界----数学日记》
读《儿童心中的数学世界----数学日记》
这本书精选了众多学生的数学日记，从“这就是我的数学、数学中有趣的故事、数学在我的生活中、我的数学课堂、我在活动中学数学、数学为我留下了印迹”等方面展示了学生们心中的数学世界。从一篇篇数学日记中，我们看到，孩子们尝试用数学的思维方式去感受生活、记录生活、思考生活。
一般教育类的书总会给人很枯燥，都是说教的感觉，而这本《儿童心中的数学世界----数学日记》却令人耳目一新。整本书大致可以分为两个部分：一部分是学生根据自己真实的感受，用稚嫩的语言说着心中的数学和老师；另一部分是教师对日记内容的点评。
学生的日记说出了不同年龄层学生心中的数学世界。有的孩子很喜欢数学，如《数学是游乐场》、《数学是城堡》等；有的孩子对有趣的数学故事有着浓厚的兴趣，如《酒桶上的加减号》、《古代的计时法》等；有的孩子尝试用数学的思维方式去感受生活、记录生活、思考生活，如《排队中的数学》、《做一个精明的消费者》等……别具一格的数学日记，充满了想象力、创意，把数学与自身的生活经验和课外知识紧紧地联系在一起。一字一句都是孩子用心的发现和深刻的感悟，有些引人发笑，有些引人深思。我自己也一度认为数学是机械枯燥却不可或缺的，但在一篇篇充满童真的、丰厚的、有血有肉的学生数学日记中，我体验到了当一个数学老师的幸福所在，突然发现学习数学也是很有意思的。
教师的点评，或者说看日记的心得则显得更专业，更书面文字化。给我的感觉更像是难题后出现的提示，或理论参考，特别容易接受和理解，不会像其他教育类说教类那么催眠。同时，字里行间透露出来的不仅仅是在文字或数学方面的造诣，更是教师对学生的理解和关怀。正如其中一位老师所说：“让我们和孩子们一起读懂生活，读懂生活中的数学，在发现中认识数学是丰富的、数学是有用的、数学是神奇的。”所以在我们的教学中也应该借鉴这种方式去引导学生发现生活中的数学，激发学生学习数学的兴趣，让学生爱上数学，更爱上数学生活。
这本书让我们尝试用学生的眼光看待数学，用孩子独特的方式学习数学，将抽象的数学具体、生动、形象、直观的展现出来，这正是学习数学的目的。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
高中数学答题卡模板版
试题 数学（文）答题卡 座位号：一、选择题（每小题5分，共60分）13、 14、15、 16、二、填空题（每小题5分，共20分）三、解答题（70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18、（本小题满分12分）19、（本小题满分12分）17、（本小题满分12分）班级姓名考号………………………………… ………密………… … ……………………封…… … ………………………………… 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）22、（本小题满分10分）（从22题、23题中任选一题作答，若两 题都做解，按第一题给分） 请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22题23题
“数学归纳法”中的三个问题
“数学归纳法”中的三个问题 https://www.wendangku.net/doc/a15139562.html,/gzsx/gxrz/200910/t20091002_604430.htm 绍兴市稽山中学孔莉群骆永明 参加课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。在听课和讨论的过 程中，想的最多的是以下三个问题： 1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？ 讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。我想“数学归纳法”也不会例外。 首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。 众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤： （1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真； 有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程： P(1)真? P(2)真? P(3)真?…? P(k)真? P(k+1)真?… 因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。 纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序， 从这个意义上讲，它是归纳的。 当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；…… 命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。 然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。举个例子，写记叙文，有“顺叙”和“倒叙”。把后发生的事情写在前面，把先
高中数学试卷答题卡模板
贴 条 形码 区 填涂说明 正确填涂： 错误填涂： [--] [√] [⊿] [ ] 注意事项： 1.答题前，使用条形码的考生先将条形码贴在“贴条形码区”，无条形码的考生把准考证号填涂在准考证号区。并将本人学校、班级、姓名、考场和座号填写在相应位置。 2.严格在题号所示的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效。 3.保持卡面清洁、完整、严禁折叠，严禁使用涂改液和修正带。 4.答题时，必须使用0.5亳米的黑色墨水签字笔书写；作图时，可用2B 铅笔，笔迹要清晰。 一、 选择题（每小题5分，共60分） (1).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (5).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (9).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (2).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (6).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (10).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (3).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (7).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (11).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (4).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (8).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (12).[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 请在各题目区域作答，超出黑色边框限定区域答案无效 请在各题目区域作答，超出黑色边框限定区域答案无效 数学答题卡 第2页（共6页） 请在各题目区域作答，超出黑色边框限定区域答案无效 请在各题目区域作答，超出黑色边框限定区域答案无效 数学答题卡 第3页（共6页） 18.(本题满分12分) 19.(本题满分12分) XXXXXXXXXXXXXXXXX 数学答题卡 班级 姓名 考号
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
高中数学答题卡模板word版
1 试题 数学（文）答题卡 座位号：一、选择题（每小题5分，共60分）13、14、15、16、二、填空题（每小题5分，共20分）三、解答题（70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18、（本小题满分12分）19、（本小题满分12分）17、（本小题满分12分）班级姓名考号………………………………… ………密………… … ……………………封…… … ………………………………… 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效20、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）22、（本小题满分10分）（从22题、23题中任选一题作答，若两 题都做解，按第一题给分） 请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效22题23题
答题卡模板
1 龙市中学2016年春期半期考试 高二政治 答题卷 第Ⅱ卷（共52分） 13.材料一：人类与环境的协调发展日益受到全世界的关注，1974年联合国将每年的6月5日定为世界环境日。2013年我国主要大城市的雾霾天气频繁发生，PM2.5超标天气数越来越多，空气污染相当严重。据环境保护部通报，2013年上半年，74个城市平均达标天数比例为54.8%，超标天数比例为45.2%，其中轻度污染占25.4%，中度污染占9.5%，重度污染占7.5%，严重污染占2.8%。按照环境空气综合质量指数评价，邢台、石家庄、邯郸、保定、唐山、济南、衡水、西安、郑州和廊坊的空气质量相对较差；海口、舟山、惠州、拉萨、福州、深圳、珠海、厦门、丽水和江门的空气质量相对较好。 京津冀地区空气质量平均达标天数比例为31.0%，低于74个城市平均值23.8个百分点，重度污染以上天数占26.2%，高于74个城市平均值15.9个百分点，主要污染物为PM2.5。 材料二：为唤起公众对环境与发展关系的情形认识和自觉行动，我国政府有关部门发布《全国环境宣传教育行动纲要（2011-2015年）》，提出每个公民都应该树立正确的生态环境道德观，成为生态文明建设的宣传者，实践者，推动者。 运用《文化生活》有关文化对人影响的知识，说明加强环境宣传教育的意义。（12分） 14.材料:结合广东文化建设实际，省政府决定以经济发展带动社会文化大发展、大繁荣;摸透全省文化建设面临的新情况新问题，全力解决文化发展中的突出问题，重点实施一批文化工程，加快推进文化强省跨越式发展;着力提炼、打造“广东精神”，推进文化民生工作，做大做强文化产业，擦亮、叫响广东文化品牌等工作;提升文化制造业发展水平，推动具有传统优势的文化制造业，提高文化创新能力，培育自主文化品牌，大力发展文化产业。 结合材料，用“思想方法与创新意识”的相关知识，简述广东省推进文化强省进程的举措。(16 分) 15. 中医药研究所于1969年开始抗疟研究，屠呦呦和团队经过大量的反复筛选工作后，1971年起工作重点集中于中药青蒿。以屠呦呦为代表的抗疟研究团队，为挽救数亿饱受疟疾折磨的患者，在极其艰苦的条件下十年如一日地展开研究，一方面从中医药古方中寻找灵感，一方面利用现代医学的提取手段和检验手段，终获成功，惠及了亿万患者。 运用“文化传承与创新”的知识并结合材料，分析屠呦呦及其团队成功的原因。(12分) 16. (12分)材料一：阅读《中华世纪坛序》中的一段话：大风泱泱，大潮滂滂。洪水图腾蛟龙，烈火涅凤凰。文明圣火千古未绝者，唯我独双；和天地并存，与日月同光。为什么说“文明圣火，千古未绝者，唯我独双”？ 注：许多国家电视节目中，美国节目占到60％－78％，有的占80％以上，而在美国，外国节目仅占1％－2％， 材料二：美国以强化“美国精神”为公民教育的重点，俄罗斯近年来先后制定了对全民特别是对青年进行爱国主义教育的大纲和方案，以求重振民族精神。 结合以上材料请回答： （1）上述材料给我们什么警示？（2分） （2）中华民族精神的内涵是什么？（2分） （3）根据材料，说明我们当前弘扬和培育民族精神的意义。（8分） 班级 姓名 考号
高中会考数学试卷标准的
高 中会考数学试卷 参考公式： 圆锥的侧面积公式Rl S π=圆锥侧，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长. 圆锥的体积公式S 3 1 V = 圆锥h , 其中S 是圆锥的底面面积，h 是圆锥的高. 第Ⅰ卷 （机读卷60分） 一、选择题：（共20个小题，每小题3分，共60分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前 的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—20题的相应位置上。 1. 设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则=N C M I （ ） A ．{1} B ．{2,3} C ．{0,1,2} D ．? 2. 在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( ) A. 4- B. 4± C. 2- D. 2± 3. 下列四个函数中，在区间(0,)+∞上是减函数的是 （ ） A ．3log y x = B ．3x y = C ．12 y x = D ．1y x = 4. 若5 4 sin = α，且α为锐角，则αtan 的值等于 （ ） A ． 5 3 B ．53- C ．34 D ．34- 5.在ABC ?中，,4 ,2,2π = ∠= =A b a 则=∠B （ ） A. 3π B. 6π C. 6π或65π D. 3π或3 2π 6. 等差数列{}n a 中，若99=S ，则= +65a a （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( ) A. b a 11< B.22b a > C.1 122 +>+c b c a D.||||c b c a > 8. 已知二次函数2()(2)1f x x =-+，那么 （ ） A ．(2)(3)(0)f f f << B ．(0)(2)(3)f f f << C ．(0)(3)(2)f f f << D ．(2)(0)(3)f f f <<
数学归纳法
骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程。 1.证明当n = 1 时命题成立。 2.证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1 时命题也成立。 （m代表任意自然数） 这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以： 1.证明第一张骨牌会倒。 2.证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒。 [编辑]例子 假设我们要证明下面这个公式（命题）：
其中n为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。 [编辑]证明 [编辑]第一步 第一步是验证这个公式在n = 1时成立。我们有左边 = 1，而右边 = 1(1 + 1) / 2 = 1，所以这个公式在n = 1时成立。第一步完成。 [编辑]第二步 第二步我们需要证明如果假设n = m时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。证明步骤如下。 我们先假设n = m时公式成立。即 （等式 1） 然后在等式等号两边分别加上m + 1 得到 （等式 2） 这就是n = m+1 时的等式。我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。通过因式分解合并，等式 2 的右手边 也就是说
这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。证明至此结束，结论：对于任意自然数n，P(n) 均成立。 [编辑]解释 在这个证明中，归纳推理的过程如下： 1.首先证明 P(1) 成立，即公式在n = 1 时成立。 2.然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。（这里实际应用的是演绎 推理法） 3.根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。 4.继续推导，可以知道 P(3)成立。 5.从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。 6.不断重复推导下一命题成立的步骤。（这就是所谓“归纳”推理的地方） 7.我们便可以下结论：对于任意自然数n，P(n) 成立。 [编辑]数学归纳法的变体 在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 [编辑]从 0 以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改： 1.第一步，证明当n = b时命题成立。 2.第二步，证明如果n = m (m≥b) 成立，那么可以推导出n = m+1 也成立。用这个方法可以证明诸如“当n≥ 3 时，n2 > 2n”这一类命题。 [编辑]只针对偶数或只针对奇数 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面： 1.第一步，证明当n = 1时命题成立。 2.第二步，证明如果n = m成立，那么可以推导出n = m+2 也成立。 偶数方面：
数学归纳法教学设计电子教案
数学归纳法教学设计
授课日期： 2016 年 4 月 8 日授课班级：高二年级2 班
【教学难点】 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性； （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确. 教法、学法分析 教法： 学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的，通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤，尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中，类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 学法： 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行： 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 教学资源 导学案、PPT 教学过程 教学环 节 教师活动学生活动设计意图 课前复习准备 1、布置导学案内容; 2、批改纠正学生出现的错误; 3、及时了解学生学习情. 完成学案内容 1、归纳推理： 2、回忆等差数列,等比数 列的通项公式；思考等 差、等比数列通项公式的 得出过程，你能证明该公 式吗？ 3、已知数列{}n a中， 1 1 = a, ) (* + ∈ + =N n a a a n n n2 2 1 ， 试猜想这个数列的通项公 式并证明你的猜想. 复习公式及 其得出过 程，为本节 学习做好铺 垫. 使学生发现 不能解决的 问题，激发 学生学习新 知的愿望. 创设问题情景，引出新课问题情景：引导学生共同回顾学案 第3小题数列{}n a通项公式的得出过 程，提问：你的猜测正确吗？如何证 明？ 学生回忆第3小题数列 {} n a通项公式的得出过 程，并思考老师的问题. 发现问题， 突出矛盾． 合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏. 引导学生共同探讨多米诺骨牌全 部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; 学生类比多米诺骨牌依顺 序倒下的原理，探究出证 明有关正整数命题的方 播放视频活 跃课堂氛 围，激发学 生的兴趣. 提 出 问 分 析 问 猜想与 置疑 论证 观察 情景 应用
关于数学归纳法
一、关于数学归纳法 1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？ 如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。我想“数学归纳法”也不会例外。 首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。 众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤： （1）证明p(1)为真； （2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真； 有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程： P(1)真P(2)真 P(3)真… P(k)真 P(k+1)真… 因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。 纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。 当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P（3)真；…… 命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。新教材特别重视思想方法的渗透，在学习数学归纳法方法的同时渗透和体验“归纳-猜想-证明”的思想方法。 2．学习数学归纳法的必要性在哪里？ 学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归纳法。 数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它能促进学生从有限思维发展到无限思维。如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办
数学归纳法优秀教学设计
数学归纳法 【教学目标】 1．进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点：特殊→一般 2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。 4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： )时命题成立，证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
5． 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n0，k ∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立。 6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）假设当n=k(k ∈N*，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。 由（1），（2）可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习： 1．用数学归纳法证明：().125312n n =-++++ 证明：（1）当1=n ，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当k n =时，等式成立，就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说，当1+=k n 时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2．用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时，左边应为_____________。 3．判断下列推证是否正确，并指出原因。 用数学归纳法证明：126422++=++++n n n 证明：假设k n =时，等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立， 所以*N n ∈时等式成立。
数学标准答题卡高考版
20XX 年XX 中学20XX 级第XX 期期中考试 数 学 答 题 卡 姓 名 此次填左侧指定位置（高考填此处）______________________ 准考证号 一、选择题 考 生 条 形 码 粘 贴 处 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条 形码； 2.选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整， 笔迹清楚； 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、 试题纸上的答案无效； 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破. 注 意 事 项 二、填空题 13. ________________________ 14. ________________________ 15. ________________________ 16. ________________________ 三、解答题 17. 解： (1) (2) 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.解： 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. 解： 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (3) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 班级： 姓名： 考号：
高中数学标准答题卡模板
2017年xx 中学高2018级第5期期中考试 数 学 答 题 卡 姓 名 此次填左侧指定位置（高考填此处）______________________ 准考证号 一、选择题 考 生 条 形 码 粘 贴 处 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条 形码； 2.选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整， 笔迹清楚； 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、 试题纸上的答案无效； 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破. 注 意 事 项 二、填空题 13. ________________________ 14. ________________________ 15. ________________________ 16. ________________________ 三、解答题 17. 解： (1) (2) 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.解： 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. 解： 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (3) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 班级： 姓名： 考号：
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
高中政治会考模拟试题
云南省2008年高中政治会考模拟试题（七） （全卷满分100分，考试时间120分钟） 姓名班级 学号得分 第Ⅰ卷选择题（共50分） (一)单项选择题（从每题的四个备选答案中选出一个最符合题意 的答案。并在答题卡的对应题号处用铅笔将其字母涂黑。每题 2分，共50分） 1.有些菜农在蔬菜大棚中安装了自控装置，它可以根据农作物的需求，自动给水、自动断水，向上进行喷灌，向下进行滴灌，既充分合理地利用了电源、水源，又提高了作物
的产量。这说明 A.人们能自觉地创造条件，改变自然规律起作用的方式 B.人们发挥主观能动性改变或创造规律 C.规律是人的主观能动性的产物 D.客观规律始终制约着主观能动性的发挥 2.下列选项中，主张发挥主观能动性的是 ①没有比人更高的山峰，没有比脚更长的道路②天行健，君子以自强不息③实事求是④学而不思则周 A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 2007年5月10日至11日，河南省人工影响天气办公室在豫西、豫北的8个市开展了人工增雨作业，增雨催化影响区普降小到中雨，部分缓解了早情。据此完成3～4题。 3.人们成功开展人工增雨作业体现的哲理是 A.人类活动决定着自然界的发展方向 B.人们能够根据自己的需要创造新的联系 C.客观规律和客观条件制约着人们主观能动性的发挥
D.人们能够利用对规律的认识，改造客观世界 4.人工增雨是有条件的，晴朗的天气不可能进行人工增雨作业。可见 A.客观规律是永恒不变的 B.主观能动性的发挥不是随心所欲的 C.主观因素制约着人们的行为 D.事物的联系是纷繁复杂的 5.“哈根达斯试验”，是个曾获得诺贝尔经济学奖的经典试验，说的是消费者在面对着一大、一小两杯冰淇淋的选择时，哪怕那个10盎司的杯里其实装着8盎司的冰淇淋，而那个5盎司的杯里，装着才不过6盎司冰淇淋，就因为消费者看到的是一个没装满，而另一个漫了出来，他的选择就会倾向于“小杯”的，甚至还往往会为这杯少的付出高价。上述实验结果表明 A.感性认识具有欺骗性，是假象 B.感性认识不是对事物的真实反映 C.理性认识比感性认识更可靠 D.理性认识不依赖于感觉 6.2007年5月16日《人民日报》载文指出，我们党通过实践探索深刻认识到，贫穷不是
数学归纳法(有答案)
数学归纳法 2015高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤； 2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做
1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用； 2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 一、知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法． [难点正本疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 小试牛刀 1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________. 答案π 解析易得f(k＋1)＝f(k)＋π. 2．用数学归纳法证明：“1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 2n－1
人教版高中数学《数学归纳法》教学案例
《数学归纳法》教学案例（第一课时） 一、设计思想： 根据新课程标准的基本理念-----倡导积极主动、勇于探索的学习方式，设置恰当的教学情景，并通过亲自动手做实验（多米诺骨牌实验），感受事实，发现本质，提高数学的学习兴趣，体会数学推理的严谨性，发展学生的数学思维能力。 二、教材分析： 本内容在选修2-2模块中的“推理与证明”这一章中，它的要求是：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。另外,数学归纳法内容抽象,思想新颖,通过对该部分的学习,对培养学生的逻辑思维能力与创新能力,全面提高学生的数学素质有十分重要的意义. 三、学情分析： 学生在此之前，已了解合情推理和演绎推理，并能用归纳和类比等进行简单的推理，他们虽然知道从特殊的几个事例推出一般结论不一定合理，但对如何为什么不一定明白。再就是数学归纳法原理的理解上有一定困难，这就要教师创设教学情景，让学生经历数学发现、实验、观察，共同交流合作，寻求解决问题的办法。 四、教学目标： （1）知识与技能：了解“归纳法”和“数学归纳法”的原理；体会用数学归纳法证明的合理性；学会用“数学归纳法”证明的“两个步骤一个结论”的书写格式；初步掌握用“数学归纳法”证明简单的恒等式的方法。 （2）过程与方法：通过列举具体事例，亲自操作并仔细观察多米诺骨牌实验，发现数学归纳法的基本原理，将感性认识上升到理性认识，类比归纳出“数学归纳法”的基本步骤。
（3）情感、态度与价值观：培养大胆猜想，严格论证的辩证思维素质，感受数学推理的严谨性，培养学生对于数学内在美的感悟能力，提高学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点： （1）重点：对“数学归纳法”的原理的理解，明白“两步一结论的重要性”，特别是第一第二步的辨证关系的理解。 （2）难点：如何理解用“数学归纳法”证题的可靠性和有效性。 六、教学策略与手段： 数学实验法，引导发现法、感性体验法，学生合作交流、自主探索，再配合教师适时的引导、点拨、启发，从而使学生获得知识和能力上的发展。 七、课前准备： 学生看书，复习回忆等差数列和等比数列通项公式的推导过程；上网查找多米诺骨牌游戏的有关资料，并拷入优盘有待上课时老师选用。 教师准备教具：制作幻灯片，多米诺骨牌尽可能多一些，还有各种颜色的乒乓球若干，一个有盖纸盒。 八、教学过程设计： 教师提出问题： 大家还记得以前学等差数列的时候它的通项公式=n a ()d n a 11-+是怎样得到的吗? 我现展示给大家看： d a a 011+= d a d a a 1112+=+= d a d a a 2123+=+= d a d a a 3134+=+= …… 由此可知： ()d n a a n 11-+=（)* ∈N n （这是书上的写法）