2010-2012年三年全国各地中考数学真题分类汇编:直角三角形与勾股定理

2012年全国各地中考数学真题分类汇编

第24章直角三角形与勾股定理

一.选择题

1.(2012?广州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是()A.B.C.D.

考点:勾股定理;点到直线的距离;三角形的面积。

专题:计算题。

分析:根据题意画出相应的图形,如图所示,在直角三角形ABC中,由AC及BC的长,利用勾股定理求出AB的长,然后过C作CD垂直于AB,由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求,也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求,两者相等,将AC,AB及BC的长代入求出CD的长,即为C到AB的距离.

解答:解:根据题意画出相应的图形,如图所示:

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在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,

根据勾股定理得:AB==15,

过C作CD⊥AB,交AB于点D,

又S△ABC=AC?BC=AB?CD,

∴CD===,

则点C到AB的距离是.

故选A

点评:此题考查了勾股定理,点到直线的距离,以及三角形面积的求法,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

2.(2012毕节)如图.在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E式垂足,连接CD,

若BD=1,则AC 的长是( ) A.23

B.2

C.43

D. 4

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解析:求出∠ACB ,根据线段垂直平分线求出AD=CD ,求出∠ACD 、∠DCB , 求出CD 、AD 、AB ,由勾股定理求出BC ,再求出AC 即可.

解答:解:∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=180°-30°-90°=60°,

∵DE 垂直平分斜边AC ,∴AD=CD ,∴∠A=∠ACD=30°,∴∠DCB =60°-30°=30°, ∵BD=1,∴CD=2=AD ,∴AB=1+2=3,

在△BCD 中,由勾股定理得:CB=3,在△ABC 中,由勾股定理得:AC=

22BC AB =32,故选A .

点评:本题考查了线段垂直平分线,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要考查学生运用这些定理进行推理的能力,题目综合性比较强,难度适中.

3.(2012湖州)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900

,AB=10,CD 是AB 边上的中线,则CD 的长是( ) A.20 B.10 C.5 D.

2

5

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【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故CD=21AB=2

1

×10=5. 【答案】选:C .

【点评】此题考查的是直角三角形的性质,属于基础题。

4.(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个

三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2、4、3,则原直角三角形纸片的斜边长是( )

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A.10

B.54

C. 10或54

D.10或172

解析:考虑两种情况.要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.

解答:解:如下图,54)44()22(22=++?,1054)44()32(2

2=++?

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故选C .

点评:在几何题没有给出图形时,有的同学会忽略掉其中一种情况,错选A 或B ;故解决本题最好先画出图形,运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答,避免出现漏解.

5. (2012?荆门)下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )

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A .

B .

C .

D .

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D

解析:根据勾股定理,AB==2,

BC==, AC=

=

所以△ABC 的三边之比为:2

:=1:2:, A 、三角形的三边分别为2,=

=3

,三边之比为2:

:3

=

:3,

故本选项错误;

B 、三角形的三边分别为2,4,=2,三边之比为2:4:2=1:2:,故本选项正确;

C 、三角形的三边分别为2,3,=,三边之比为2:3:,故本选项错误;

D 、三角形的三边分别为=

=

,4,三边之比为

:4,故本选项错误.

故选B .

6. ( 2012巴中)如图3,已知AD 是△ABC 的 BC 边上的高,下列能使△ABD≌△ACD 的条件是( ) A.AB=AC B.∠BAC=900

C.BD=AC

D.∠B=450

【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边” 可判定△ABD≌△ACD,其它条件均不能使

△ABD≌△ACD,故选A

【答案】A

【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用.

二.填空题

7.( 2012巴中)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长,且满足关系c 2

-a 2

-b 2

+|a-b|=0,则△ABC 的形状为______ 【解析】由关系c 2

-a 2

-b 2

+|a-b|=0,得c 2

-a 2

-b 2

=0,即a 2

+b 2

= c 2,且a-b=0即a=b,∴△ABCJ 是等腰直角三

角形. 应填等腰直角三角形.

【答案】等腰直角三角形

【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆

定理的应用.

8(2012泸州)如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=6cm ,则BC= .

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解析:在直角三角形中,根据30°所对的直角边等于斜边 的一半,所以BC=21AB=2

1

×6=3(cm ). 答案:3cm.

点评:30°所对的直角边等于斜边的一半,是直角三角形性质, 要注意前提条件是直角三角形.

9.(2012青岛)如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm ,底面周长为18cm ,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴

蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

【解析】将圆柱展开,15.

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【答案】15

【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形,关键是在矩形上找出A 和B 两点的位置,据“两点之间线段最短”得出结果.“化曲面为平面”,利用勾股定理解决.要注意展开后有一直角边长是9cm 而不是18 cm.

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10.(2012河北)如图7,AB CD ,相交于点O ,AC CD ⊥于点C ,若B

O D

∠=38,则A ∠等于 .

52?

对顶角相等,直角三角形两锐角互余

观察图形得知BOD ∠与AOC ∠是对顶角,AOC BOD ∴∠?=∠=38,又在Rt ACO ?中,两锐角互余,52A ∴∠??=?=90-38

11.(2012南州)如图1,矩形ABCD 中,AB=3,AD=1,AB 在数轴上,若以点A 为圆心,对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ,则点M 的坐标为( )

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A 、(2,0)

B 、1,0)

C 、)

D 、)

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解析:在A B C Rt ?中,13==BC AB ,,所以1013222=+=+=

BC AB AC ,所以

10==AC AM ,故),0110(-M . 答案:C.

点评:本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识,是一道综合性的题目,比较简单,难度较小.

12.(2012临沂)在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2cm ,CD⊥AB,在AC 上取一点E ,使EC=BC ,过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F ,若EF=5cm ,则AE= cm .

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考点:直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质。 解答:解:∵∠ACB=90°, ∴∠ECF+∠BCD=90°, ∵CD⊥AB, ∴∠BCD+∠B=90°, ∴∠ECF=∠B, 在△ABC 和△FEC 中,,

∴△ABC≌△FEC(ASA ), ∴AC=EF,

∵AE=AC﹣CE ,BC=2cm ,EF=5cm , ∴AE=5﹣2=3cm . 故答案为:3.

13.(2012陕西)如图,从点()02A ,发出的一束光,经x 轴反射,过点()43B ,,则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 .

【解析】设这一束光与x 轴交与点C ,作点B 关于x 轴的对称点'B ,过'B 作'B D y ⊥轴

于点D .由反射的性质,知'A C B ,,这三点在同一条直线上.再由轴对称的性质知'=B C BC .则

+=''AC CB AC CB AB +=.

由题意得=5AD ,'=4B D

,由勾股定理,得AB

C A CB +.

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【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、

轴对称性质以及勾股定理等.难度中等

14.(2012?资阳)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 10或8 .

考点: 三角形的外接圆与外心;勾股定理。 专题: 探究型。

分析: 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点,那么半径为斜边的一半,分两种情况:①16为斜边长;

②16和12为两条直角边长,由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长,进而可求得外接圆的半径.

解答: 解:由勾股定理可知:

①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8; ②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长=

=20,

C D

'B

因此这个三角形的外接圆半径为10.

综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.

故答案为:10或8.

点评:本题考查的是直角三角形的外接圆半径,重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长的一半为半径的圆.

15.(2012无锡)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于 3 cm.

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考点:直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质;平移的性质。

分析:利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm;然后由平移的性质推知GH∥CD;最后根据平行线截线段成比例列出比例式,即可求得GH的长度.

解答:解:∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点,

∴AD=BD=CD=AB=4cm;

又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的,

∴GH∥CD,GD=1cm,

∴=,即=,

解得,GH=3cm;

故答案是:3.

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点评:本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质.运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键.

16.(2012黔西南州)如图6,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,则四边形ACEB的周长为______________.

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【解析】由于∠ACB=90°,DE⊥BC,所以AC∥DE.又CE∥AD,所以四边形ACED是平行四边形,所以DE=AC=2.在Rt△CDE中,由勾股定理CD=CD2―DE2=23.又因为D是BC的中点,所以 BC=2CD=43.

在Rt△ABC中,由勾股定理AB=AC2+BC2=213.

因为D是BC的中点,DE⊥BC,所以EB=EC=4,所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+213.

【答案】10+213.

【点评】本题是一个几何的综合计算题,尽管难度不大,但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定,理清思路,找准图形中的相等线段,并不难解决.

三.解答题

17.(2012菏泽)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:

(1)试证明三角形△ABC为直角三角形;

(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;

(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明).

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考点:作图—相似变换;勾股定理的逆定理;相似三角形的判定。

解答:解:(1)根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5;

显然有AB2+AC2=BC2,

根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形;

(2)△ABC和△DEF相似.

根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,

DE=4,DF=2,EF=2.

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===,

∴△ABC∽△DEF.

(3)如图:连接P2P5,P2P4,P4P5,

∵P2P5=,P2P4=,P4P5=2,

AB=2,AC=,BC=5,

∴===,

∴,△ABC∽△P2P4 P5.

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2011年全国各地中考数学真题分类汇编

第24章直角三角形与勾股定理

一、选择题

1.(2011山东滨州,9,3分)在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)

()

A.9.1

B.9.5

C.3.1

D.3.5

【答案】C

2. (2011山东烟台,7,4分)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是()

A2m B.3m

C.6m

D.9m

【答案】C

3. (2011台湾全区,29)已知小龙、阿虎两人均在同一地点,若小龙向北直走160公尺,再向东直走

80公尺后,可到神仙百货,则阿虎向西直走多少公尺后,他与神仙百货的距离为340公尺?

A . 100

B . 180

C . 220

D . 260 【答案】C

4. (2011湖北黄石,7,3分)将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上,

另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图(3),则三角板的最大边的长为

A. 3cm

B. 6cm

C. 32cm

D. 62

cm

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【答案】D

5. (2011贵州贵阳,7,3分)如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则

AP 长不可能是

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(第7题图)

(A )3.5 (B )4.2 (C )5.8 (D )7 【答案】D

6. (2011河北,9,3分)如图3,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在AB,AC 上,将△ABC 沿DE 折叠,使点A 落在点A ′处,若A ′为CE 的中点,则折痕DE 的长为( )

A .

2

1 B .

2 C .

3 D .4

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图3

A '

【答案】B 7. 8.

二、填空题

1. (2011山东德州13,4分)下列命题中,其逆.命题成立的是______________.(只填写序号) ①同旁内角互补,两直线平行; ②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;

④如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形. 【答案】① ④

2. (2011浙江温州,16,5分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3. 若S 1,S 2,S 3=10,则S 2的值是 .

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【答案】

10

3

3. (2011重庆綦江,16,4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为

2米,坡角∠A =30°,∠B =90°,BC =6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE = 米时,有

DC =AE +BC .

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【答案】:

3

14

4. (2011四川凉山州,15,4分)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,那

么222

a b c +=”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:

【答案】如果三角形三边长a ,b ,c ,满足

2

22a b c +=,那么这个三角形是直角三角形

5. (2011江苏无锡,16,2分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中

点,若CD = 5cm , 则EF = _________cm .

【答案】5

6. (2011广东肇庆,13,3分)在直角三角形ABC 中,∠C = 90°,BC = 12,AC = 9,则AB = ▲ . 【答案】15

7. (2011贵州安顺,16,4分)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6cm ,AC =8cm ,按图中所示方法将△

BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C ′点,那么△ADC ′的面积是 .

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【答案】6cm 2

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8. (2011山东枣庄,15,4分)将一副三角尺如图所示叠放在一起,若AB =14cm ,则阴影部分的面积是________cm 2.

【答案】49

2

9. 10.

A

C E

B

第16题图

A

C

E

F

D (第16题)

三、解答题

1. (2011四川广安,28,10分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m 、

8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形...........求扩建后的等腰三角形花圃的周长.

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【答案】由题意可得,花圃的周长=8+8+2. (2011四川绵阳23,12)

王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长;

(2)问第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由,并求出a 的取值范围;

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.

【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-(2a+2)=28-3a

(2)不可以是7,∵第一条边为7,第二条边为16,第三条边为7,不满足三边之间的关系,不可以构成三角形。13

2

>a >5

(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形

4. (2011四川乐山25,12分)如图,在直角△ABC 中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G,EF⊥BE 交AB 于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系.

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1. 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是 证明:

2. 如图(14.3),当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 证明

3. 如图(14.1),当m,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 (写出关系式,不必证明)

5. (2011四川乐山18,3分)如图,在直角△ABC 中,∠C=90,∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ,若DE 垂直平分AB ,求∠B 的度数。

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【答案】 解:∵AD 平分∠CAD ∴∠CAD=∠BAD

∵DE 垂直平分AB ∴AD=BD,∠B=∠BAD ∴∠CAD=∠BAD=∠B ∵在Rt ΔABC 中,∠C=90o ∴∠CAD+∠DAE+∠B=90o ∴∠B=30o

6. (2011山东枣庄,21,8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:

(1)画线段AD ∥BC 且使AD =BC ,连接CD ;

(2)线段AC 的长为 ,CD 的长为 ,AD 的长为 ; (3)△ACD 为 三角形,四边形ABCD 的面积为 ; (4)若E 为BC 中点,则tan ∠CAE 的值是 .

解:(1)如图; ……………………………1分

A

B

C

E

(2

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)2

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5; ………………4分

(3)直角,10; ……………………6分 (4)1

2

. ……………………………8分

2010年全国各地中考数学真题分类汇编

第24章 直角三角形与勾股定理

一、选择题

1.(2010 浙江台州市)如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,点P 是边BC 上的动点, 则AP 长不可能...是(▲)

A .2.5

B .3

C .4

D .5 【答案】A

2.(2010山东临沂)如图,ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形,点B 、C 、E 在同一条直线上,连接BD ,则BD 的长为

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(第3题)

A

B

C

E

第21题图

D

(A

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B

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)C

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)D

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)【答案】D

3.(2010 四川泸州)在△ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,则该三角形为( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C . 钝角三角形

D .等腰直角三角形

【答案】B

4.(2010 广西钦州市)如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC =6 cm 、BC =8 cm , 现将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE ,则BE 的长为 (A )4 cm (B )5 cm (C )6 cm (D )10 cm

【答案】B

5.(2010广西南宁)图1中,每个小正方形的边长为1,ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式: (A )b c a << (B )c b a <<

(C )b a c << (D )a b c << 图1

E

D

C

B

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A A

第15题

B

C

D

E

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【答案】C

6.(2010广东湛江)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 【答案】C 二、填空题

1.(10湖南益阳)如图4,在△ABC 中,AB =AC =8,AD 是底边上的高,E 为AC 中点,则DE = .

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【答案】4

2.(2010辽宁丹东市)已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形,以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边,画第

二个等腰Rt △ACD ,再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Rt △ADE ,…,依此类推,第n 个等腰直角三角形的斜边长是 .

【答案】n )2(

3.(2010 浙江省温州)勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4.作△PQR 使得∠R=90°,点H 在边QR 上,点D ,E 在边PR 上,点G ,F 在边_PQ 上,那么APQR 的周长等于 .

A

B C

D E F

G

第15题图

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【答案】

4.(2010四川宜宾)已知,在△ABC 中,∠A = 45°,AC = 2,AB = 3+1,则边BC 的长为 .

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【答案】2

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5.(2010湖北鄂州)如图,四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,E 是CB 的中点,AE =EC ,∠BAC =3∠DBC ,BD =则AB = .

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【答案】12

6.(2010河南)如图,Rt △ABC 中,∠C=0

90, ∠ABC=0

30,AB=6.点D 在AB 边上,点E 是BC 边上一点(不与点B 、C 重合),且DA=DE ,则AD 的取值范围是 .

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【答案】2≦ AD < 3

7.(2010四川乐山)如图(4),在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,∠ACD=40°,则∠EBC=______.

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