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【数学高考】新课标2018数学高考二轮复习专题二函数与导数专题能力训练5基本初等函数函数的图象和性质

【数学高考】新课标2018数学高考二轮复习专题二函数与导数专题能力训练5基本初等函数函数的图象和性质
【数学高考】新课标2018数学高考二轮复习专题二函数与导数专题能力训练5基本初等函数函数的图象和性质

专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质

能力突破训练

1.(2017湖北六校联考)下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()

A.f(x)=-x|x|

B.f(x)=x sin x

C.f(x)=

D.f(x)=

2.已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()

A.c

B.c

C.b

D.b

3.函数y=的图象大致为()

4.(2017全国Ⅰ,理5)函数f(x)在区间(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()

A.[-2,2]

B.[-1,1]

C.[0,4]

D.[1,3]

5.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=()

A.-

B.-

C.-

D.-

6.(2017安徽池州模拟)已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:

①对任意的x1,x2∈[4,8],当x10;

②f(x+4)=-f(x);

③y=f(x+4)是偶函数.

若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是()

A.a

B.b

C.a

D.c

7.已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则a= ,b= .

8.若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a= .

9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log 2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是.

10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于.

11.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .

12.若不等式3x2-log a x<0在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.

思维提升训练

13.函数y=的图象大致为()

14.(2017江西百校联盟联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=若f(-5)

A.(-∞,1)

B.(-∞,2)

C.(-2,+∞)

D.(2,+∞)

15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()

A.0

B.m

C.2m

D.4m

16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.

17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为.

18.(2017山东,理15)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.

①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2

19.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.

(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析: ()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为 21=k ,所以()211'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()251= f , 所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析: 443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-, 带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C : x x x y 232 3+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点,则 ()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02 0300 23x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴ 2632302 002 0+-=+-x x x x , 整理得:03200=-x x ,解得: 2 30= x 或00=x (舍),此时, 830-=y ,41-=k 。所以,直线l 的方程为x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 考点四:函数的单调性。 例5.已知 ()132 3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'a 时,函数()x f 在R 上存在增区间。所以,当3->a 时,函数()x f 在R 上不是单调递减函数。 综合(1)(2)(3)可知3-≤a 。 答案:3-≤a 考点五:函数的极值。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值;(2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 解析:(1) 2 ()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=?? ++=?, .,解得3a =-,4b =。 (2)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++, 2 ()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高考文科数学专题复习导数训练题

高考文科数学专题复习导数训练题(文) 一、考点回顾和基础知识 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 在0x 处有增量x ?,称为函数)(x f y =在则称函数)(x f y =在)0或0|'x x y =,即 f . )(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(2121x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数) )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u *复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ??= 或x u x u y y '''?= 4.几种常见的函数导数: I.0'=C (C 为常数) x x cos )(sin ' = 1')(-=n n nx x (R n ∈) x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1 )(log '= x x e e =')(a a a x x ln )('= 二、经典例题剖析 考点一:求导公式

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=,

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +,

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0

高三数学导数压轴题

导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年:设函数2 ()1x f x e x ax =---。 (1)若0a =, 求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥, 求a 的取值范围 2019年:已知函数ln ()1a x b f x x x = ++, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=. (I )求,a b 的值; (II )如果当0x >, 且1x ≠时, ln ()1x k f x x x >+-, 求k 的取值范围. 2019年: 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-. (Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若b ax x x f ++≥2 2 1)(, 求b a )1(+的最大值.

2019: 一卷:已知函数()f x =2 x ax b ++, ()g x =()x e cx d +, 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0, 2), 且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若x ≥-2时, ()f x ≤()kg x , 求k 的取值范围. 2019一卷:设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+, 曲线()y f x =在点(1, (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >. 2015一卷:已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ , ()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时, x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m , n 中的最小值, 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x , 讨论()h x 零点的个数.

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈- ),求证:当1a =-时,1 |()|()2 f x g x >+; 2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知 2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ?=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小; ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. (I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由. 5.若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- (1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间; (2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点,则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点:函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在 的解,附近,如 果时,,时,则是极小值点,如果时,,时,,则是极大值点, 2. 【 2015 高考福建,文A.充分而不必要条 件12】“对任意 B.必要而不充分条件 ,”是“ C .充分必要条件 D ”的() .既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时,,构造函数,则 .故在单调递增,故,则;当时,不等式等价于,构造函数 ,则,故在递增,故 ”是“,则.综上 ”的必要不充分条件,选 所述,“ 对任 意B. ,

【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 3. (2014 课标全国Ⅰ,文 12) 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 2 + 1,若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x x x 0>0,则 a 的取值范围是 ( ) . A . (2 ,+∞ ) B . (1 ,+∞) C . ( -∞,- 2) D .( -∞,- 1) 答案: C 解析:当 a = 0 时, f ( x ) =- 3x 2+ 1 存在两个零点,不合题意; 当 a >0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 ′( ) = 0,得 x 1 = 0, , fx 所以 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一的零点,需 ,但这时零点 x 0 一定小于 0,不合题意; 当 a <0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 f ′(x ) = 0,得 x 1=0, ,这时 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一零点,应满足 ,解得 a <- 2( a > 2 舍去 ) ,且这时 零点 x 0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是 ( -∞,- 2) . 名师点睛:本题考查导数法求函数的单调性与极值,函数的零点,考查分析转化能力,分类讨论思想, 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时,不等式 恒成立,则实数 a 的取 值范围是()

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

高考文科数学专题复习导数训练题(文) 一、考点回顾 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用。 3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析: ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ,处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析:因为 21= k ,所以()211'= f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案:3

例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析: 443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-, 带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点,则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=,∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ,整理 得:0 3200=-x x ,解得: 230= x 或00=x (舍),此时,830-=y ,41 - =k 。所以,直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案:直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'

(完整版)高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导(填选压轴) 一.选择题(共30小题) 1.(2013?文昌模拟)如图是f(x)=x3+bx2+cx+d的图象,则x12+x22的值是() A.B.C.D. 考点:利用导数研究函数的极值;函数的图象与图象变化. 专题:计算题;压轴题;数形结合. 分析:先利用图象得:f(x)=x(x+1)(x﹣2)=x3﹣x2﹣2x,求出其导函数,利用x1,x2是原函数的极值点,求出x1+x2=,,即可求得结论. 解答:解:由图得:f(x)=x(x+1)(x﹣2)=x3﹣x2﹣2x, ∴f'(x)=3x2﹣2x﹣2 ∵x1,x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=,, 故x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2==. 故选D. 点评:本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值,是对基础知识的考查,属于基础题. 2.(2013?乐山二模)定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3﹣1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为() A.α>β>γB.β>α>γC.γ>α>βD.β>γ>α 考点:导数的运算. 专题:压轴题;新定义. 分析:分别对g(x),h(x),φ(x)求导,令g′(x)=g(x),h′(x)=h(x),φ′(x)=φ(x),则它们的根分别为α,β,γ,即α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2,然后分别讨论β、γ的取值范围即可. 解答: 解:∵g′(x)=1,h′(x)=,φ′(x)=3x2, 由题意得: α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2, ①∵ln(β+1)=, ∴(β+1)β+1=e, 当β≥1时,β+1≥2, ∴β+1≤<2, ∴β<1,这与β≥1矛盾, ∴0<β<1; ②∵γ3﹣1=3γ2,且γ=0时等式不成立,

导数文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1.(2014大纲理)曲线1x y xe- =在点(1,1)处切线的斜率等于( C ) A.2e B.e C.2 D.1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如右图所示, 则该函数的图象是(B) 4.(2012陕西文)设函数f(x)= 2 x +lnx 则( D ) A.x= 1 2 为f(x)的极大值点B.x= 1 2 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在,若 :()0 p f x=: :q x x =是() f x的极值点,则A.p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【答案】C 6.(2012广东理)曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7.(2013广东理)若曲线在点处的切线平行于轴,则 【答案】-1 8.(2013广东文)若曲线在点处的切线平行于轴,则. 【答案】 1 2 9.(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10.(2013江西文)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=

(完整版)高三文科数学导数专题复习

高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . (Ⅰ)求a ,b 的值; (Ⅱ)设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件: (1)直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点; (2)对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明:直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< (1)求函数)(x f 的极大值; (2)若[]1,1x a a ∈-+时,恒有()a f x a '-≤≤成立(其中()f x '是函数()f x 的导函数),试确定实数a 的取值范围. 3.如图所示,A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点,且AB//x 轴,点M (1,m )(m>3)是△ABC 边AC 的中点. (1)设点B 的横坐标为t ,△ABC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式)(t f S =; (2)求函数)(t f S =的最大值,并求出相应的点C 的坐标.

4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. (I )求)(x f 、)(x g 的表达式; (II )求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解; (III )当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值,曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--,试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0((a 为实数). (1)当1-=a 时,求函数)(x f y =的值域; (2)若函数)(x f y =在定义域上是减函数,求a 的取值范围; (3)求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ,使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -,且()2p f e qe e =--,其中e 是自然对数的底数. (1)求p 与q 的关系;

专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题五挖掘“隐零点”,破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”,破解导数压轴问题,例题说法,高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”,求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性,并说明理由; (2)当时,恒成立,求的取值范围. 【答案】(1)区间单调递增;(2) 【解析】 (1).∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增,所以当时 即函数f(x)在区间单调递减;当时 即函数f(x)在区间单调递增; (2)因为,而在(0,1)上递增 存在使得

,当 时单调递减; 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”,证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-,设()2 0,2a e ∈求证:当(]0,1x ∈时,2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1,222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-,()22()242x x x xe x e ?'==+, 当(]0,1x ∈,()0x ?'>,即()x ?在区间(]0,1为增函数, (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈,所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时,'()0f x <,当(]0,1x x ∈,'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减,在(]0,1x 单调递增, 所以当0x x =时,()f x 取得最小值,最小值为0200()ln x f x e a x =-, 由0 2020x x e a -=,即0 202x a e x = ,两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于,所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+

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