(试题1)2.3平面向量的基本定理及坐标表示

实数与向量的积

一、选择题

1．△ABC 中，已知BC =3BD ,则AD 等于（ ）

A ． 31（+2A

B ） B ．31（AB +2）

C ．41（+3AB ）

D ．41（+2AB ）

2．已知λ，μ∈R ，下列结论中，错误的是（ ）

A ．λ（+）=λ+λ

B ．（λ+μ） =λ+μ

C ．λ（μ）=（λμ）

D ．λ+μ=（λ+μ）（ +）

3．如昨=,=，那么=是四点A 、B 、C 、D 构成平行四边形的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知λ∈R ，则下列命题正确的是（ ）

A ．｜λ｜=λ｜｜

B ．｜λ｜=｜λ｜

C ．｜λa ｜=｜λ｜｜a ｜

D ．｜λa ｜＞0

5．λAB +μBC +υCA =0成立的充要条件为（ ）

C ．｜λ｜=｜μ｜=｜υ｜ B ．λ=μ=υ C ．λ+μ+υ=0

D ．λ=μ=υ=0

6．下面给四个命题：

①对于实数m 和向量，恒有：m （-）=m -m

②对于实数m,n 和向量a ，恒有：（m-n ） a =m a -n a

③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b ④若m a =n a （m,n ∈R, a ≠0），则m=n 其中正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．如图△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 边上的中线，G 是它们的交点，则下列等式中不正确的是（ ）

A ．BG =32BE

B ．DG =21AG

C ．CG =-FG

D ．31DA +32FC =21BC

8．下面三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；

③零向量不可为基底中的向量．

其中正确的说法是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

9．设O 是□ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．③④

10．已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若=,=，则等于（ ）

A ． 21 （-）

B ． 21 （-）

C ． 21 （ +）

D ．- 2

1 （ +）

二、填空题

1．已知3（x -a ）+2（x +2a ）-4（x +a -b ）=0,则x = ．

2．已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, b =7,｜2a -b ｜= ．

3．已知在平行四边形ABCD 中，=,=,则= ．

4．△ABC 中, =

51,EF ∥BC 交AC 于F 点，设=,=,则，表示向量是 ．

三、解答题

1． 已知，在△ABC 中，A ′是BC 的中点，向量AB =p , AC =q ，求向量'AA ．

2．设两个非零向量1e 和2e 不共线，如果AB =21e +32e ，BC =61e +232e , CD =41e -82e ，求证：A 、B 、D 三点共线．

3．已知矩形ABCD ，且AD=2AB,又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，=1e , =2e ,以1e ,2e 为基底，试表示向量，，及．

实数与向量的积·参考答案

一、1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C 二、1．3-4 2．1 3．

21 （-）,21（+） 4． 51 - 三、1． 2

1（+） 2．提示：证=++=6 3． =2e -1e , =2e , =22e -1e , =2e -1e

2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得

平面向量基本定理练习试题整理

专题八平面向量的基本定理 （A 卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A. (7,4)-- B.(7,4) C.(1,4)- D.(1,4) 【答案】A 【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A. 2.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-， ()1,7MB =，则 1 2 AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】 ()()() 111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=- ()()()11 11,732,41,222 =+-==，故选B. 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 【答案】A 【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r =()5,7，故选A. 4.【2018届重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点 ，向量 ， ，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵向量 ， ，

∴，又 ∴ ∴点的坐标为 故选：C. 5.在ABC ?中，D 为AB 边上一点，12AD DB =　，2 3 CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B. 1 3 C.1- D.2 【答案】B 【解析】由已知得，13AD AB =，故13C D C A A D C A A B =+=+1()3CA CB CA =+-21 33 CA CB =+, 故1 3 λ= ． 6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C. 【解析】∵a 与b 共线，∴?=-?-?0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故2|2|435a b -= +=,故应选D. 8.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为 ABC ?的重心（三边中线的交点） ．设,GB a GC b ==，则1 2 AB 等于 （ ） A. 3122a b - B. 1 2 a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，

(完整版)平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

必修四2.3.1平面向量基本定理优秀试题练习题

平面向量基本定理课时练 1．给出下面三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量． 其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．② 解析：因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B. 答案：B 2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1 D ．e 1＋e 2和e 1－e 2 解析：分析四个选项知，在C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)．∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，应选C. 答案：C 3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13 (AC →＋2AB →) B.13 (AB →＋2AC →) C.14 (AC →＋3AB →) D.14 (AC →＋2AB →) 解析：如右图所示，AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13 BC →

＝AB →＋13 (AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →＝13 (AC →＋2AB →)，故选A. 答案：A 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( ) A ．λ(A B →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋B C →)，λ∈? ???0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈? ???0，22 解析：∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在 AC 上， ∴三点A 、P 、C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A. 答案：A 5．若四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( ) A ．b ＋12 a B ． b －12a C ．a ＋12b D ．a －12 b 解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12BA →＝b －12 a . 答案：B 6．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________. 解析：∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0. 答案：0 7．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________， n ＝________. 解析：OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b . ∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案：k 1＋h 1 k 2＋h 2 8．已知向量a 与b 的夹角是45°，则－2a 与3b 的夹角是________． 答案：135°

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为

6.3 6.3.1 平面向量基本定理

6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 课标要求素养要求 理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基 底来表示其他向量. 通过力的分解引出平面向量基本定理， 体会平面向量基本定理的应用重点提升 数学抽象及直观想象素养. 教材知识探究 音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此. 在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 问题1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1 ，e2表示？依据是什么？ 提示能.依据是数乘向量和平行四边形法则. 问题2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示. 平面向量基本定理 定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量 条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

教材拓展补遗 [微判断] 1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×) 2.零向量可以作为基底.(×) 3.若a ，b 不共线，则a ＋b 与a －b 可以作为基底.(√) 提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底. 2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底. 3.由于a ＋b 和a －b 不共线，故可作基底. [微训练] 1.设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( ) A.e 1，e 2 B.e 1＋e 2，3e 1＋3e 2 C.e 1，5e 2 D.e 1，e 1＋e 2 解析 因为3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两向量共线不可作为基底. 答案 B 2.在△ABC 中，若AD →＝12(AB →＋AC →)，则下列关系式正确的是( ) A.BD ＝2CD B.BD ＝CD C.BD ＝3CD D.CD ＝2BD 解析 由AD →＝12(AB →＋AC →)得2AD →＝AB →＋AC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，即BD →＝DC →， 所以|BD →|＝|DC → |，故BD ＝CD . 答案 B [微思考] 1.若e 1，e 2是一个平面内的一组基底，则集合{a |a ＝λ1e 1＋λ2e 2，λ1λ2∈R }表示的是什么？ 提示 集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a 与e 2共线；当

平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习

平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积 一、向量的概念 1.向量：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小没有方向的量称为数量. 2.几何表示: 向量可以用有向线段表示. 长度：向量AB u u u r 的大小,也就是向量AB u u u r 的长度(或称模),记做|AB|u u u r . 向量也可用字母L a b,c ,（印刷用黑体a ，手写用a r ）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，AB u u u r ，CD uuu r . 零向量：长度为0的向量.记做0. 单位向量: 长度为1的向量. 平行向量: 方向相同或相反的向量.记作a //b . 规定: 零向量与任一向量平行. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做a =b . 注意: 向量相等与有向线段的起点无关. 共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量. 二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算) 1.向量加法的三角形法则 已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC uuu r 叫 做a 和b 的和，记做a +b ，即 AB BC =+u u u r u u u r a +b 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种方法称为向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平行四边形法则 以同一个点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作Y OACB ,则以O 为起点的对角线 OC u u u r 是a 与b 的和,即OA OB OC =+=u u u r u u u r u u u r a +b .此法叫做向量加法的平行四边形法则. 规定：对零向量与任一向量a ，00a +=+a =a 3.小结论 对任意向量a 、b ，有≤|a +b ||a |+|b |； 当a 、b 同向时，|a +b |=|a |+|b |； 当a 、b 反向是，|a +b |=|a |-|b |（或|b |-|a |） 4.向量加法交换律：a +b =b+a ；向量加法结合律：(a +b)+c =a +(b+c) 5.与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量. 6.向量减法的几何意义：a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 7.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： (1) ||||||λλ=a a ；

平面向量基本定理03913

2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一

组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.

必修四平面向量基本定理

平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .

思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

专题 平面向量基本定理 课后练习

平面向量基本定理课后练习 题一：已知12e e 、 是同一平面内的两个不共线向量，12=a e e +，12=3b e e -， 12=5c e e +，试用向量a ，b 表示c . 题二：已知向量12=2a e e -3 ，12=2b e e +3 ，其中12e e 、 不共线，向量12=2c e e -9 ， 问是否存在这样的实数λμ、，使向量=d a b λμ +与c 共线？ 题三：如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近点B ），那么 EF → 等于（ ） A. 12AB → － 13AD → B. 14AB → ＋ 12AD → C. 13AB → ＋ 12DA → D. 12AB → － 23 AD → 题四：如图所示，在平行四边形OADB 中，向量OA → ＝a ，OB → ＝b ，两条对角线交点为C ，又BM → ＝ 23BC →，CN → ＝ 23 CD →，试用a 、b 表示 MN →. 题五：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → ＝2DB →，CD → ＝ 13 CA →＋λCB →， 则λ＝________. 题六：设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点, AB AD 2 1=，BC BE 32=,若12=+uu u r uu u r uu u r DE AB AC λλ (1λ，2λ为实数),则12λλ+的值为 .

平面向量基本定理 课后练习参考答案 题一： =2c a b + . 详解：因为a ，b 不共线，所以可设=c a b λμ+ ， 则121212()(3)(3)()a b e e e e e e λμλμλμλμ+=++=++- -. 又12e e 、 不共线，所以351,,λμλμ+=??-=?解得21,, λμ=??=? 所以=2c a b + . 题二： 2λμ=-. 详解：∵121212=(2)(2)(22)(33)d e e e e e e λμλμλμ+= -3+3＋＋－＋， 要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc = ， 即1212(22)(33)29e e ke ke λμλμ= ＋＋－＋－ 即222339k k λμλμ=??=-?＋－＋，得2λμ=-. 故存在这样的实数λμ、，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线． 题三： D 详解：在△CEF 中，有EF → ＝EC →＋CF →. ∵点E 为DC 的中点，∴ EC → ＝ 12 DC →. ∵点F 为BC 的一个三等分点，∴ CF → ＝ 23 CB →. ∴EF → ＝ 12DC →＋23CB → ＝ 12AB →＋23DA → ＝ 12AB → － 23 AD →，故选D. 题四： 12a ＋16 b . 详解：∵ MN → ＝MC →＋CN →，而BM → ＝ 23BC →，CN → ＝ 23 CD →， ∴ MN → ＝ 16BA →＋13OD → ＝ 16(OA →－OB →)＋13(OA →＋OB →) ＝ 12OA →＋16OB → ＝ 12a ＋16 b . 题五： 23 详解：由图知CD → ＝ CA →＋AD →……① CD → ＝ CB →＋BD →……② 且AD →＋2BD → ＝ 0→. ∴ ①＋②×2得：3CD → ＝ CA →＋2CB →， ∴ CD → ＝ 13CA →＋23CB →，∴λ ＝ 23 . 题六： 12

平面向量的基本定理

平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量

②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。

平面向量基本定理基础训练题(含详解)

平面向量基本定理基础训练题（含详解) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在ABC 中，E 是AC 的中点，3BC BF =，若AB a =，AC b =，则EF =（ ） A ． 21 36 a b - B ．1 133 a b + C ． 1124 a b D ．1133 a b - 2．如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用a 、b 表示AD ，则AD 等于（ ） A ．3 4a b + B ． 31 44a b + C ．1144 a b + D ．1344 a b + 3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．12 33 OA AB BC =+ B ．21 33OA AB BC = + C ．12 33 OA AB BC = - D ．21 33 OA AB BC =- - 4．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若 (0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则 31 m n +的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 5．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ） A ．3142AE A B AD →→→ =+ B ．3122AE AB AD → →→ =+ C ．1142 AE AB AD →→→ =+ D ．3144 AE AB AD →→→ =+ 6．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ）

平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案)

平面向量基本定理和坐标表示 【知识清单】 1．两个向量的夹角 （1）已知两个____向量a,b ，在平面内任 取一点O ,作OA ＝a ，OB ＝b ，则 A O B θ∠=()0θπ≤≤叫做向量a 与b 的 夹角 （2）向量夹角θ的范围是__________，当 θ=________时，两向量共线， 当θ=____________时，两向量垂直，记作a ⊥b 2．平面向量基本定理及坐标表示 （1）平面向量基本定理 如果12,e e 是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数1λ， 2λ使a ＝ ______________．其中，不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组________． （2）平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解． （3）平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使 x y a =i +j ，这样，平面内的任一向量a 都 可由x ，y 唯一确定，把有序数对________叫做向量a 的坐标，记作a ＝__________，其中______叫做a 在x 轴上的坐标，______ 叫做a 在y 轴上的坐标． ②OA x y =+ i j ，则向量OA 的坐标 () ,x y 就是________的坐标，即若 (),OA x y = ， 则A 点坐标为 __________，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3．平面向量的坐标运算 向量加法和减法 若()()1222,,,,x x x y ==a b 则_____________,+=a b _____________,-=a b 实数与向量的乘积 若(),,,x y R λ=∈a 则________λ=a 向量的坐标 若起点()11,,A x y 终点()22,,B x y 则 ___________,________ AB AB == 4．平面向量共线的坐标表示 设()()1122,,,x y x y ==a b ，其中≠0b ， a // b ?__________________________． 1.已知平面向量 ，且 ，则（ ） A B C ． D ． 2.下列向量组中，能作为平面内所有向量基 底的是（ ） A. B. C. D.

平面向量基本定理经典练习题

第六教时 教材：平面向量基本定理 目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个 向量分解为两个向量。 过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。 2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到： 1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ ——提出课题：平面向量基本定理 三、新授：1．(P105-106)1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量 OA =1e OM = λ11e λ 11e +λ22e =2e =λ22e 得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 注意几个问题：1? 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2? 这个定理也叫共面向量定理 3?λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 2．例一( P106例三)已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e 。 作法：1? 取点O ，作=-2.51e =3 2? 作 OACB ，例二、(P106例4)如图 ABCD ， 用a ，b 表示，，和 解：在 ABCD 中 ∵AC =AB +AD =a +b = ∴ =-21=-21(a +b )=-21a -21b MB =21DB =21(a -b )=21a -21b MC =21AC =21a +2 1b =-=-21=-21a +21b 例三、已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：OA +OB +OC +OD =4OE 证：∵E 是对角线AC 和BD 的交点 ∴==- ==- 在△OAE 中 OA +AE =OE 同理：+= += += 以上各式相加，得：OA +OB +OC +OD =4OE 例四、(P107 例五)如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ,OB 表示OP 解：∵=t ∴ OP =OA +AP =OA + t AB =OA + t(OB -OA ) =OA + t -t 1e 2e a C A B C D O E P B A O

平面向量基本定理

2.3.1 平面向量基本定理 【学习目标】 （1）了解平面向量基本定理；理解向量夹角的定义； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【学习重点】平面向量基本定理. 【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程 一、学情分析，课前导入 前面我们学习过了向量的线性运算及共线向量定理。本节我们继续研究向量的其它性质，在学习之前我们来复习一下前面的内容， 二、提出问题，引入新课 师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足什么样的等式？ 生：a＝λb. 师：这就是我们上节课学习的共线向量定理（放幻灯片2） 结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb. (2)引导探究 师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？ (学生讨论) 结论：不成立． 师：也就是说一个向量不能表示另一个与它不共线的向量，两个向量能不能表示出与它们不共线的向量呢？我们来看:（幻灯片3） 师：我平时没事的时候喜欢看一些军事新闻，元旦时我看到这一新闻：新华社(12月31日电），来自中国航天科工集团第四研究院的消息，我们快舟-11固体运载火箭将于2018年上半年首飞，可一次性实现星座的快速构建，大幅提升发射效率和降低运载成本，怎么样，这技术，利害了，我的国！你们看下面的这个图：（幻灯片4） 在物理中速度可以合成，也可以分解。合成即向量的加法，分解也可以推广到向量中来。 师：我们先分析一下向量加法过程 三、任务下达，课堂探究

202x高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试26平面向量基本定理及坐标表示文含解

考点测试26 平面向量基本定理及坐标表示 高考概览 本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读 1．了解平面向量基本定理及其意义 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 一、基础小题 1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－4，m )，若a ＝－1 2b ，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．1 2 答案 A 解析 由向量的坐标运算可得1＝－1 2 m ，解得m ＝－2．故选A ． 2．设向量e 1，e 2为平面内所有向量的一组基底，且向量a ＝3e 1－4e 2与b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则实数k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 答案 B 解析 由a 与b 不能作为一组基底，则a 与b 必共线，故36＝－4 k ，即k ＝－8．故选B ． 3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB → 同方向的单位向量为( ) A ．35，－45 B ．45，－35 C ．－35，45 D ．－45，35 答案 A 解析 因为AB → ＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e ＝AB → |AB →|＝15(3，－4)＝35，－45．故 选A ．

4．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝0，5 2，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．12a ＋b B ．－1 2a －b C ．32a ＋12b D ．32a －12b 答案 A 解析 设c ＝x a ＋y b ，则0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以????? 2x －y ＝0，x ＋2y ＝5 2，解得????? x ＝12 ， y ＝1， 则c ＝1 2 a ＋ b ．故选A ． 5．已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB → ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO → 的坐标为( ) A ．－12，5 B ．1 2，5 C ．12，－5 D ．－1 2，－5 答案 D 解析 AC →＝AB →＋AD → ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)． ∴OC →＝12AC →＝12，5．∴CO → ＝－12 ，－5．故选D ． 6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a － c )， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6) 答案 D 解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D ． 7．已知点A (1，－2)，若向量AB →与向量a ＝(2,3)同向，且|AB → |＝13，则点B 的坐标为( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(3,1) D ．(3，－1) 答案 C

平面向量基本定理

一：学习目标：1：理解掌握平面向量基本定理；2：能用平面向量基本定理进行向量的合成与分解。 二：重点难点：平面向量基本定理 三：知识链接：1：向量的加法和减法运算： （1） 平行四边形法则的实施步骤： 先把两个向量的起点 ，然后 作平行四边形， 即为两个向量的和向量。 （2） 三角形法则的实施步骤： 先把两个向量首尾 ，由第一个向量的 指向第二个向量的 的向量即为两个向量的和向量。 减法可转化为加法运算。 2：向量的数乘运算：设λ为实数，则 λa 表示与a 的向量。 （1）当λ＞0时，λ与方向 ， = （2）当λ＜0时，λ与方向 ， = （3）当λ=0时，λ= 3：向量共线定理：非零向量与向量共线，当且仅当有唯一一个实数λ使 四：学习过程 ： 1：如图，在平面内任取一点O ，作=1e ,=2e ，=, 如何将 a 用1e 和2e 表示出来？（提示：用平行四边形法则将a 在1e 和2e 的方向上分解） A 2：讨论探究：是否平面内任一向量都能用 1e 和 2e 表示？ 3：平面向量基本定理的内容： ； 不共线的向量1e 和2e 称为 。讨论：同一平面的基底是否唯一？ 4：设=，=，则 为和的夹角，记为θ，范围是 ；当θ=00 时， ；当θ=1800时， ；当0，记作 。 讨论探究： 作出下列向量的夹角 （1） （2） 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量 2.对于平面上的一个向量a ,有且只有一对实数x,y,使得a xi y j =+,我们把有序实数对),(y x 叫做 向量a 的坐标,记作 . 比如力的分解， 6题例分析：(1):已知向量1e 和2e ，求作向量-2.51e +32e （提示：利用平行四边形法则合成） 变式练习：在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y =6, ∠AOX=600 ,试用1e 和2e 表示 提示：将向1e ，2e 的方向上分解，把两个分向量用1λ1e 和 2λ2e 表示出来，关键是求1λ和2λ (2):已知ABCDEF 是正六边形，且=，=,试用，表示 (提示:画出图形，用平行四边形法则或三角形法则进行转化) x A y O 1 e 2 e