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动量算符和角动量算符

动量算符和角动量算符
动量算符和角动量算符

§4.3 动量算符和角动量算符

重点:

动量算符和角动量算符本征值及本征函数的特征

(一)动量算符

动量算符是

(4.3-1)动量的三个投影算符是

(4.3-2)

动量算符的本征值方程为

(4.3-3)

式中P是动量算符的本征值,是属于这个本征值的本征函数,(4.3-3)式的三个发量的本征值方程为

(4.3-4)

它们的解是

(4.3-5)

,可使得动量本征函数归一化为函数。即取

取归一化常数

(4.3-6)

得出(4.3-7)(二)角动量算符

角动量算符

分量式

(4.3-8)

角动量平方算符

(4.3-9)

(4.3-11)

的本征值方程为

(4.3-12)

把球极坐标中的表达式(4.3-11)代入(4.3-12)得

(4.3-13)

式中是算符的属于本征值的本征函数。(4.3-13)式正是氢原子

的角量方程(3.4-7),要使波函数

在变化的整个区域内都是有限的,必

须有

(4.3-14)

因此的本征值

(4.3-15)

相应的本征函数

(4.3-16)

本征值方程

(4.3-17)

角动量z分量的本征值方程为

(4.3-18)

容易求得的本征函数和本征值分别为

(4.3-19)

(4.3-20)

因为

,所以也是的本征函数,满足本征值方程

(1)和的本征值都是量子化的(分立值)。的取值由角量子数l唯一地决

定,即的取值由磁量子数m唯一地决定,即

是角动量分量的本征值,所以

,由于

(的本征值的开方),但是整数,因此。

和有共同的本征函数。我们知道,在一个力学量的本征态下

(2)

测量该力学量,其结果必然是相应的本征值,既然

是和的共同本征态,

态中,和同时有确定的测量值,分别为和。

所在

能够同时满足算符的本征

同理,波函数

态中,都同时有确定值。

值方程,即它是这三个算符的共同本征态,因此在

自旋和角动量

第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验,____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中,算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象,耦合表象 4. 塞曼效应,正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上,求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值: {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态,粒子2处在S 2x =1/2的本征态,取?=1,求体系

总自旋S 2的可能值及相应的概率,并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数,试找出体系的守恒量,并确定体系的能级和简并度(取?=1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值,进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ,记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>,当j=1时: (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示,并求出其共同本征矢|1m x >x ; (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率; (3) 在|ψ>状态上,测量J z 得?时,体系处于什么状态上;在|ψ>状态上,计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中,若两个电子分别处于p 态和s 态,求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系,取磁场方向沿z 轴方向,矢势A φ=B ρ/2,A ρ=A z =0,求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子,在均匀磁场中运动,磁场的绝对值不变,但各个分量随时间变化,满足B x =Bsin θcos ωt ,B y =Bsin θsin ωt ,B z =Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2,求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动,

自旋和角动量-Oriyao

第六章 自旋和角动量内容简介:在本章中,我们将先从实验上引入自旋,分析自旋角动量的性质,然后讨论角动量的耦合,并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先,我们从实验上引入自旋,然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示,由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场,照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转,分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩,在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子,轨道角动量为零,s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外,由于实验上只有两条谱线,因而这种磁矩在磁场中的取向,是空间量子化的,而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ,则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为 cos U M H MH θ=-=- (6.1.1) θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为 cos z U H F M z z θ??=- =?? (6.1.2) 实验证明,这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验,乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量,他们认为: ① 每个电子都具有自旋角动量S ,S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间 的任意方向取为z 方向,则 2z S =± (6.1.3) ② 每个电子均具有自旋磁矩s M ,它与自旋角动量之间的关系为 s s e e M S M S m mc =-=- (SI ) 或 (C G S)(6.1.4) s M 在空间任意方向上的投影只能取两个值:

32动量算符和角动量算符

32动量算符和角动量算符 ?3.2 动量算符和角动量算符 一(动量算符。 ,,,,,,1. 动量算符的本征值方程:,三个分量方程是 (3.2.1) ,,,,,,r,p,rppi ,,,,,,,,,,, ,r,p,r,,,x,,,pxpi,x ,,,,,, , (3.2.2) ,,,y,,,,,,,,r,p,rpypi,y ,,,,,,,,,,, ,r,p,r,,,z,,,pzpi,z 通解是 i,,p,r,,,,C是归一化常数。 (3.2.3) ,,,r,Cep 2.动量本征函数的归一化。 i,,,,,,,,,p,px,p,py,,, p,pz,,,,,,,,xxyyzz2,,,,,,,,,,r,rd,,Cedxdydzp p,,,,,,,,,,,, i,ppx,,,,,xx,,,,edx2,,,pp,,因为,所以有 xx,,, ,,2,3,,,,,,,,,,,,,rrd,C2p,pp,pp,p,,,,,,,,,,,,,ppxxyyzz,,, 2,,3,,,,,,C2,,p,p, 3,,,2,,,如果取,,,则,r归一化为函数。 C,2,, Y p ,,,,,,, ,,,,,,;rrd,p,p,,,,,,pp,,, i,,p,rA A 1,(3.2.4) ,,,,,r,ep3 O X 2,,2,, (3.2.5) Z 3.箱归一化 i,,p,r,,,,A,,,r,Ce在A(L/2,y,z)和(-L/2,y,z)点, 的值应相同。即 p 11ii,,,,,pL,py,pzpL,py,pz,,,,xyzxyz,2,2,,,,Ce,Ce i,,pLx,e,1 pxL,2n,n所以,是正负整数或零。 xx, 2,n,xp,,n,0,,1,? (3.2.6) xxL 2,n,y (3.2.7) p,,n,0,,1,?yyL 2,n,zp,,n,0,,1,? (3.2.8) zzL 当L时,的本征值就变为连续谱。 p,p,p,,xyz i,,p,r1,,,,,,r,e (3.2.9) p32L

坐标、动量算符在彼此表象中的表示

(以一维情况为例:注意算符的表示形式和矩阵元形式) ∫∫+++∞ ∞?=?=?εεδδ00)()()()()(000 x x x f dx x x x f dx x x x f * ** ()()()(),()(1)() n n n x x x x δδδδ′′?=??=?*** 注意上两式中的积分符号 在坐标表象:坐标算符:x; 动量算符: i x ???= (微分形式) ()()'"??|||||'"'()'")(x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x x x x δδδ′′′′′′=<>=<><=?>=??∫∫ ① (将方框内部分视为函数()f x ,利用*式) ()'"?()()"'"()"'x x p x i x x x x d x x x d i x d δδδ????????∫? ?=?=?== ② (利用** 式) ()d i x d x x δ=′′′′??=(利用*** 式)(同曾谨言书的结果) 动量表象:坐标算符:x i p ??= (微分形式) ; 动量算符: p ()()'"?()'(()"')""p p d i p p p dp d x dp p p i p d p δδδ=?=???∫== ③ (利用**式) ()p p d i p d δ′′=?′′ = (利用*** 式)(同曾谨言书的结果) ()()'"??()'""("')p p p dp p p p p p p p p δδδ=???=?∫ ④ (将方框内部分视为函数()f x ,利用*式) ()())'"("""(")(')?(""'p p p p p p i p p p dp d i p dp d i p p dp L z y y z y z z y p p x ???????=???=∫δδδ===

第六章自旋与全同粒子

第六章:自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中,求x σ?的本征态 (解) 设泡利算符2 σ,x σ,的共同本征函数组是: ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - (1) 或者简单地记作α和β,因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数,但它们构成一个完整系,所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示(叠加原理),x σ ?的本征函数可表示: β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数,又设x σ ?的本征值λ,则x σ?的本征方程式是: λχχσ =x ? (3) 将(2)代入(3): ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6(P .264),x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是: βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢(2)是归一花的,将(5)代入(4): βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数(这二者线性不相关),再加的归一化条件,有: ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ,即1=λ,或1-=λ 当时1=λ,代入(6a )得21c c =,再代入(6c),得: δi e c 2 11= δi e c 2 12=

δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ,代入(6a )得 21c c -= 代入(6c),得: δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数: )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法,但在2 ??σσ x 共同表象中,采用z s 作自变量时,既是坐标表象,同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ (7) x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是: ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ (8) 其余步骤与坐标表象的方法相同,x σ ?本征矢的矩阵形式是: ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中,求n ?σ的本征态,)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 (解) 方法类似前题,设n ?σ算符的本征矢是: βα21c c x += (1)

电子自旋角动量

第七章电子自旋角动量 实验发现,电子有一种内禀的角动量,称为自旋角动量,它源于电子内禀性质,一种非定域的性质,一种量级为相对论性修正的效应。 本来,在Dirac相对论性电子方程中,这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似,以便导出Schrodinger 方程的时候,人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是,现在从Schrodinger 方程出发研究电子非相对论性运动时,自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度,添加在Schrodinger 方程上。到目前为止,非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法,使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是,整个量子理论对这个内禀角动量(以及与之伴随的内禀磁矩)物理根源的了解依然并不很透彻1。 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 早期发现的与电子自旋有关的实验有:原子光谱的精细结构(比如,对应于氢原子21 的跃迁存在两条彼此很靠 p s 近的两条谱线,碱金属原子光谱也存在双线结构等);1912 1杨振宁讲演集,南开大学出版社,1989年 155

156 年反常Zeeman 效应,特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ,无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释,因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重;1922年Stern —Gerlach 实验,实验中使用的是顺磁性的中性银原子束,通过一个十分不均匀的磁场,按经典理论,原子束不带电,不受Lorentz 力作用。由于银原子具有一个永久磁矩,并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时,磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后,应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰,但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰,根据分裂情况的实测结果为 B ±μ,数值为 Bohr 磁子。 在上述难以解释的实验现象的压力下,1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设:电子有一种内禀的(相对 于轨道角动量而言)角动量,s ,其数值大小为2 ,这种内禀 角动量在任意方向都只能取两个值,于是有2 z s =± 。他们认 为这个角动量起源于电子的旋转,因此他们称之为自旋。为 使这个假设与实验一致,假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且 和自旋角动量s 之间的关系为(电子电荷为-e ) (7.1) 这表明,电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是,电 子便具有了m,e,s,μ 共四个内禀的物理量。根据实验事实用外

第六章 自旋和角动量

第六章自旋和角动量 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是,更进一步的实验事实发现,还有许多现象,如光谱线在磁场中的分裂,光谱线的精细给构等,用前面几章的理论无法解择,根本原因在于,以前的理论只涉及轨道角动量。新的实验事实表明,电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中,自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自旋的实验事实,在定薛谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中,将证明,电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒,只有轨道角动量与自旋角动量之和,总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋,分析自旋角动童的性质,建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合,并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构,此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。 §6. 1电子自旋 施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一,如图6.1.1,由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场,照射到底片PP上,结果发现射线束方向发生偏转,分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩,在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子,轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生,这是一种新的磁矩.另外,由于实验上只发现只有两条谱线,因而这种磁矩在磁场中只有两种取向,是空间量子化的,而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M,则它在沿z方向的外磁场中的势能为 U= -M =Mcos (6.1.1) 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式,原子在z方向所受的力是 F z=-=Mcos (6.1.2) 实验证明,这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。 为了解释旋特恩一格拉赫实验,乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法,他们认为: (1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向,则 S z=±/2 (6.1.3) (2) 每个电子均具有自旋磁矩M s,它与自旋角动量之间的关系是

动量算符和角动量算符

§4.3 动量算符和角动量算符 重点: 动量算符和角动量算符本征值及本征函数的特征 (一)动量算符 动量算符是 (4.3-1)动量的三个投影算符是 (4.3-2) 动量算符的本征值方程为 (4.3-3) 式中P是动量算符的本征值,是属于这个本征值的本征函数,(4.3-3)式的三个发量的本征值方程为 (4.3-4)

它们的解是 (4.3-5) ,可使得动量本征函数归一化为函数。即取 取归一化常数 (4.3-6) 得出(4.3-7)(二)角动量算符 角动量算符 分量式 (4.3-8) 角动量平方算符 (4.3-9) (4.3-11) 的本征值方程为

(4.3-12) 把球极坐标中的表达式(4.3-11)代入(4.3-12)得 (4.3-13) 式中是算符的属于本征值的本征函数。(4.3-13)式正是氢原子 的角量方程(3.4-7),要使波函数 在变化的整个区域内都是有限的,必 须有 (4.3-14) 因此的本征值 (4.3-15) 相应的本征函数 (4.3-16) 本征值方程 (4.3-17) 角动量z分量的本征值方程为 (4.3-18)

容易求得的本征函数和本征值分别为 (4.3-19) (4.3-20) 因为 ,所以也是的本征函数,满足本征值方程 (1)和的本征值都是量子化的(分立值)。的取值由角量子数l唯一地决 定,即的取值由磁量子数m唯一地决定,即 是角动量分量的本征值,所以 ,由于 (的本征值的开方),但是整数,因此。 和有共同的本征函数。我们知道,在一个力学量的本征态下 (2) 测量该力学量,其结果必然是相应的本征值,既然 是和的共同本征态, 态中,和同时有确定的测量值,分别为和。 所在 能够同时满足算符的本征 同理,波函数 态中,都同时有确定值。 值方程,即它是这三个算符的共同本征态,因此在

厄米算符的对易关系(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰,手留余香。 §6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数,有 ψ= ψ I. (6. 42)

2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ,有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然: A B B A ????+=+,

(满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为 线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄 米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ,有

)?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题:两个厄米算符之积是不是厄米算符? 研究两个算符作用是否与次序有关? 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律, 即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义

A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ,则称算符A ?与B ?对易; 若]?,?[B A ≠ 0,则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米 算符,除非这两个厄米算符可对 易。具体而言,若A A ??=+,B B ??=+,则有

§6 - 3 厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数,有 ψ= ψ I. (6. 42) 2 ) 算符A?和B?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有

ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ,有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然: A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++,

(满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ,有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45)

问题:两个厄米算符之积是不是厄米算符? 研究两个算符作用是否与次序有关? 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律,即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ,则称算符A ?与B ?对易; 若]?,?[B A ≠ 0,则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算

符,除非这两个厄米算符可对易。具体 而言,若A A ??=+,B B ??=+,则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时,才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式: ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=,

厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对 易关系 一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数,有 ψψ=I . (6. 42) 2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+

对于任意的波函数ψ,有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然: A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ??

对于任意的波函数ψ,有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题:两个厄米算符之积是不是厄米算符? 研究两个算符作用是否与次序有关? 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律,即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ,则称算符A ?与B ?对易; 若]?,?[B A ≠ 0,则称算符A ?与B ?不对易。

● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符,除非这两个厄米算符可对易。具体 而言,若A A ??=+,B B ??=+,则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时,才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式: ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=, (6. 48) ]?,?[??]?,?[]?,??[C B A B C A C B A +=.

厄米算符的对易关系

厄米算符的对易关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

§6 - 3 厄米算符的对易关系 一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数,有 ψ ψ=I . (6. 42) 2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数?,都有ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数?,有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然: A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满 足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符.

● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数?,有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题:两个厄米算符之积是不是厄米算符 研究两个算符作用是否与次序有关 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律,即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ,则称算符A ?与B ?对易; 若 ]?,?[B A ? 0,则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符,除非这两个厄米算符可对易。 具体而言,若A A ??=+ ,B B ??=+,则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当 0]?,?[=B A 或B A A B ????=时,才有

第六章内民大磁介质分析

第六章 磁介质 引言: (1)前述真空中磁场,现介绍有磁介质时的磁场; (2)如同电介质对电场有响应,磁介质对磁场也有响应——磁化。 几乎所有气体、液体和固体等实物,无论其内部结构如何,对磁场都会有响应,表明所有物质都有磁性。 大部分物质磁性都较弱,只有少数如金属铁、镍、钴及某些合金等才有强磁性。 这种以铁为代表的磁效应特别强的物质称铁磁质,其它非铁磁性物质为弱磁质,又可分为顺磁质、抗磁质。 本章讨论磁性来源、磁化描述方法,有介质时的场方程、场能等内容。 §1 分子电流观点 根据磁学发展史,处理有介质时的磁学问题有两种观点:分子电流观点、磁荷观点,二者殊途而同归,本课程仅介绍前者,后者自学(见教材小字部分)。 一、磁介质的磁化 分子电流观点 1、磁化现象 现象1:螺绕环(或长螺管)线圈内充满均匀磁介质后,内B 和自感L 均增大。 设真空螺绕环的nI B 00μ=、V n L 200μ=,则充满均匀磁介质时有0B B μ=、 0L L μ= , μ为介质磁导率。 现象2:电磁感应现象发生时 I I —次级出现感应电流—插入铁芯的线圈—次级出现感应电流—0 , 0I I >>。表明感应能力加强,铁芯中B 大大增加,亦即:铁芯可 使线圈中φ大大增加。 2、用分子电流观点解释磁化现象 (1) 分子电流观点 此观点即“稳恒磁场”一章中所述的分子电流假说:组成磁介质的磁分子(最小单元)视为环形电流。对应分子磁矩为

a i m ρ ρ分分= (2) 解释现象 以软铁棒为例:磁介质圆长棒外套螺线管。 磁分子→分子环流→分子磁矩: 增大)。 以上现象(同向,故加强。可解释与电流激发场效磁化电流,此 邻环流相消,表面有等磁介质被磁化,内部相方向有序排列, 作用下一定程度上沿各分子磁矩在有外场时:。 未磁化宏观对外不显磁性各分子磁矩取向杂乱,无外场时:m B B B B nI B B φμ000000,)(,0? ?? ?? '== 此处叫励磁电流。 —叫附加场。螺管电流——叫磁化场(即外场)—I B B '0?? 3、磁化的描述 (1) 磁化强度M ? 介质被磁化与否,磁化的状态(方向、程度)如何,引入磁化强度矢量M ? 这一物理量进行描述,定义为: 单位体积内磁分子的分子磁矩之矢量和,即 V m M ?= ∑分?? 其单位为:米安米 米安1132 =?。 若取平均,把每个分子看成完全一样的电流环,用平均分子磁矩代替每个分子的真实磁矩(或认为排列已理想),则常用: a i n m n M ? ??分分== 其中n ——单位体积内的磁分子数。 [讨论] ?? ? ??===的量值越大。排列有序度高时,则常矢;当对于均匀磁化,有;对于真空中,有 ; 有当磁介质未被磁化时,分M m M M M ????? 00 (2) 磁化强度M ? 与磁化电流I '的关系

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